2.1合情推理与演绎推理(用)

于是，歌德巴赫产生了一个想法：10，20，30 都是偶数，那么其他偶数是否也有类似的规律 呢？
显然，第一个等于 再看看超过6的偶数：
两个奇质数之和的 偶数是6，即
8=3+5， 10=5+5，
12=5+7，
6=3+3
14=7+7， 16=5+11，
…… 1000=29+971， 1002=139+863，
例1 观察图2.1-1，可以发现：
1 23456 7
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，
……
由上述具体事实能提出怎样的 结论？
可以猜想：前n (n N *) 个连续奇数的和等于n的平方，
即 1 3 (2n 1) n2.
例(n2已1,知2,数列)，{a试n}归的纳第出1项这a个1=数1，列且的a通n 1项公1 式ana。n
“空间中，同时垂直于一个平面的两个平面互相平行” 显然，这个猜想是错误的。
合情推理的定义：
我们把上面所进行的推理过程概括为：
从具体 问题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳、 类比
提出 猜想
可见，归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、（比较、联想），在进行归纳、（类比）， 然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
——这就是著名的费马猜想。 半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数
F5 225 1 4294967297 6416700417
不是质数，从而推翻了费马的猜想。
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理（二）
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还常 常应用类比。 例如：
据说我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗 虫的齿牙，发明了锯；
…… 根据上述过程，歌德巴赫大胆地猜想：任何
一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。
这就是歌德巴赫猜想
现在，我们来考察一下歌德巴赫提出猜想的过 程： 通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表 示成两个奇质数之和，而且没有出现反例。于是，提 出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”。
人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理， 发明了潜水艇；仿照蝙蝠的回声定位发明了雷达;等等。 事实上，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物 的机制得到的。
为了回答“火星上是否有生命”这个问题， 科学家把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地 球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转 的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而 且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物 的生存，等等。由此，科学家猜想：火星上可能有生 命存在。
解析：第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点 (不含中心点)，再加上中心1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n ＋1个点．
答案：n2－n＋1
练习
2．对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方
式：
22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7
23＝3＋5 33＝7＋9＋11
43＝13＋15＋17＋19
解：如右图所示，在三角形 ABC 中，
由正弦定理，得sina A＝sinb B＝sinc C.
于是，类比三角形中的正弦定理，在三棱锥 S-ABC 中， 猜想：
sinS1θ1＝sinS2θ2＝sinS3θ3.
练习
跟 踪3．过棱锥各侧棱中点的截面叫做中截面，类比三角形中位线定 训 练理“A1B1∥AB 且 A1B1＝12AB”，
圆的概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦（非直径）中点的连 线垂直于弦.
与圆心距离相等的两弦相等， 与圆心距离不等的两弦不等， 距圆心较近的弦较长.
以点（x0,y0）为圆心，r为半 径的圆的方程为 （x-x0）2 + （y-y0）2 = r2.
球的概念和性质
类比推理：
这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的 推理称为类比推理（简称类比）。
可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项， 然后归纳猜想它的通项公式。
an
1 n
.
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个 猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明， 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
例3. 对于任意正整数n，猜想2n与n2的大小．
解析：当 n＝1 时，21＞12；
当 n＝2 时，22＝22；
解析：当 n＝1 时，12＜21； 当 n＝2 时，23＜32； 当 n＝3 时，34＞43； 当 n＝4 时，45＞54. 由此可以归纳猜想，当 n＜3 且 n∈N*时，nn＋1 ＜(n＋1)n；当 n≥3 且 n∈N*时，nn＋1＞(n＋1)n.
练习
1.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试 猜想第n个图形中有________个点．
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。 合情推理在数学中的作用： 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常 常能帮助我们猜测和发现结论；
证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们 提供证明的思路和方向。
例3. 如图所示，有三根针和
套在一根针上的若干金属片。按 2
1
3
下列规则，把金属片从一根针上
当n=2时，为了避免将较大的金属片放在了较小 的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移 动的顺序是：（12）（13）（23）共移动3次。
当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体， 则归结为n=2的情形，移动的顺序是：
（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针； （2）把第3个金属片从1号针移到3号针； （3）把上面两个金属片从2号针移到3号针。 符号表示为(13) (12) (32) (13) (21) (23) (13) 共移动7次。
这样的推理过程就是归纳推理
归纳推理： 这种由某类事物的部分对象具有某些特 征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理， 或者由个别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推 理（简称归纳）。
简而言之，归纳推理是由部分到整体、由个 别到一般的推理（归纳推理的特征）。
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论， 下面是一个数学中的例子。
当 n＝3 时，23＜32；
目
当 n＝4 时，24＝42；
链 接
当 n＝5 时，25＞52；
当 n＝6 时，26＞62；
由此可以归纳得出，当 n＝3 时，2n＜n2；当 n＝2,4 时，2n＝n2；
当 n＝1 或 n≥5，且 n∈N 时，2n＞n2.
跟踪
训例练3 变式．对于任意正整数 n，猜想 nn＋1 与(n＋1)n 的大小．
∴周期 T＝6， ∴a2 012＝a2＝6.
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明。(文科不涉及，理科要用数学归纳法证明) 例如，法国数学家费马观察到
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
22n 1(n N*) 的数都是质数。
在数学中，证明的过程更离不开推理。
2、数学猜想
数学中有各种各样的猜想，如：歌德巴 赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、 歌尼斯堡七桥猜想等等。
歌德巴赫提出猜想的过程： 据说歌德巴赫无意中观察到：
3+7=10，3+17=20，13+17=30，
他有意把上面的式子改写成：
10=3+7，20=3+17，30=13+17。 其中反映了一个规律：偶数=奇质数+奇质数
全部移到另一根针上。
1、每次只能移动一个金属片；
2、较大的金属片不能放在较小
的金属片上面。
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要 移动多少次？
分析：我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手， 探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需 的次数。
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用 符号（13）表示，共移动了1次。
ABCD
中 (如 图 所
示)，平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于点 E，则得到的
类比结论是________．
把线段比类比到面积比，得AEEB＝SS△△ABCCDD.
练习
2.如图，在三棱锥SABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，
SC⊥SA，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分 别为θ1，θ2，θ3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积 分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给 出三棱锥SABC的一个猜想．
圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆 心的距离等于圆的半径， 类比：
对于球，我们推测可能存在这样的平面，与 球只交于一点，该点都球心的距离等于球的半径。
平面内不共线的3个点确定一个圆， 类比：
猜想空间中不共面的4个点确定一个球；等 等。
类比圆的特征，填写表2-1中球的相关特征，并说说推理的过程。
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理（一）
1、什么是推理
推理是人们思维活动的过程，是根据一个 或几个已知的判断来确定一个新的判断的思 维过程。
在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。
例如:
医生诊断病人的病症，
警察侦破案件，
气象专家预测天气的可能状态，
考古学家推断遗址的年代，
数学家论证命题的真伪等等。
科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？
答：在提出上述猜想的过程中，科学家对比 了火星与地球之间的某些相似特征，然后从 地球的一个已知特征（有生命存在）出发， 猜测火星也可能具有这个特征。
数学研究中也常常进行这样的推理。
例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于 求与圆在形状上都有类似的地方，即都具有完美的对 称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此 我们推测对于圆的特征，球也可能具有。
可得三棱锥中截面的性质定理：
__________________________________________________________.
栏 目 链 接
平面 A1B1C1∥平面 ABC，且 S△A1B1C1＝14S△ABC
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同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠。 例如， “平面内，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行” 得到猜想：
例2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。
解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得 的结果仍然是一个实数。
（2）从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换
律和结合律，即
a+b=b+a
ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c) (ab) c=a (bc)
（3）从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的 逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程
根据上述分解规律，若 m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3 的分
解中最小的正整数是 21，则 m＋n＝( B )
A．10
B．11
C．12
D．13
m=6,n=5
练习
3．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则 a2 012 ＝________.
解析：易知 a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5 ＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，a9＝3，…
从这个角度看，我们可以把三角形作为四面体的类比 对象。
例1. 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空
间中四面体性质的猜想。
P
解：考虑到直角三角形的 B
两条边互相垂直，我们可 以选取有3个面两两互相 垂直的四面体，作为直角 三角形的类比对象。
ac Cb A
E
S2 D S1
S3
F
如图，Rt△ABC中有勾股定理：a2+b2=c2。
都有唯一解
x a 0 | ax 1(a 0)
x a | x 1 a
（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法
中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来
的数，即
a+0=a
a 1a
练习
基础
自 测 1．在平面几何中，△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比
为AE＝AC，把这个结论类比到空间：在三棱锥 EB BC
简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的 类比对象？
从构成几何体的元素数目看，四面体由4个平面围成， 它是空间中由数目最少的基本元素（平面）围成的封 闭几何体；
从构成几何体的元素数目看，三角形由3条直线围成， 它是平面内由数目最少的基本元素（直线）围成的封 闭图形。
类似地,在四面体P-DEF中，∠PDF= ∠PDE= ∠EDF=900。
设S1，S2，S3和S分别表示△PDF， △PDE， △EDF 和△PEF的面积。
直角三角形有2条直角边a，b和1条斜边c，类似于四面
体P-DEF有3个“直角面” S1，S2，S3和1个“斜面”S。
类比勾股定理的结构，我们猜想 S2=S12+S22+S32