基于三次样条曲线的铁路既有曲线整正方法
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中 图 分 类 号 ：Ｕ １ ． ３． ２２３２２ 文 献 标 识 码 ：Ａ
铁路线路在运营以及正常的养护维修过程中会 发生变形 ，这种变形在 曲线地段更加明显 。既有 曲 线整正的目的就是将这种错动后的曲线恢复到标准 线型，以保证线路的平顺性和平稳性。 目前 铁 路 曲线 常用 的整 正 方 法 主要 有 绳 正 法
求得 △ 。 ｊ 变换 Ｒ， ， Ｌ 的值 即可求得它们对 ａＬ和 ｚ
２ 三次样条 曲线拟合铁路 既有 曲线平
面线形 的误差组成
铁 路 既有 曲线 的平面 整正 需要 曲线上 一 系列有
拟合 误差 的影 响 。
序离散测量点数据。依据这些离散的测点数据估计
整条 既有 曲线线 形属 于逆 向工 程 曲线重构 中的拟合 问题¨ 。 曲线 重构 误差 （ 合误差 ）反 映 曲线 的拟 ６ ］ 拟
本文在分析三次样条曲线表示铁路既有 曲线平 面线形 时产生 的误差 组成 及影 响因素 的基础 上 ，提
出 １ 既有 曲线 的整正方 法 。 种
１ 三次样条 曲线表示铁路既有 曲线平 面线形 的理论可行性
目前 ，理论 较为成熟 的 曲线拟合 方法有 Ｌ — ａ
ｇａｇ 多项 式 插 值 、分 段 低 次 Ｈｅｍｉ ｒｎ ｅ ｒ ｔ 项 式 插 ｅ多
要来 自数学模 型产 生的拟合误差和既有曲线变形产 生的拟合误 差。既有 曲线参 数对拟合误 差影 响的分析结果表 明：数学模型产生的既有 曲线 曲率 、一阶导数 和点 位拟合误 差随既有 曲线半径 的增 大而减 小，三者的最大值 随 着既有曲线缓和曲线长度 的增大有先降后增的趋势 ，既 有曲线 的总 转角对三 者的影 响较小 ，可忽略不计 。既 有 曲线变形产生的既有曲线点位拟合误差近似等于既有 曲线 的变形量 。在此 基础上 ，提 出 １种能够得 到既有 曲线 上任意一点拨距量的整 正方法 ，并利用 ＶＣ ＋＋６ ｏ软件编制相关计算程序 ，且用实例 验证 了此方法 的实用性 。 ． 关键词 ：三次样条 曲线 ；拟合误差分 析；既有线 ；平面线形 ；既有 曲线 ；整正方法
收稿 日期；２ ０—２２ ；修订 日期 ：２０ —７１ ０９０ —５ ０９０—５ 基金项 目：铁道部科技研究开发计划项 目 （０ ８ ２－ ） ２ ０Ｇ０ ２Ｂ
作者简介：秦方方 （９ ６ ） １ ８一 ，男 ，江苏徐州人，硕士研究生。
第 ２期
基于三次样条 曲线 的铁路既有 曲线整正方法
基 于 三次样 条 曲线 的铁 路 既有 曲线 整 正方 法
秦 方 方 ，易思 蓉 ，杨 长根
（．西南交通大学 土木工程学院 ，四川 成都 １ ６０ ３ ； １ ０ １ ６ ０３ ） １０ １ ２ ．高速铁路线路工程教育部 重点 实验室 ，四川 成都 摘
要 ：依据逆 向工程 中曲线重构理论的分析 ，三 次样条 曲线 拟合铁路 既有 曲线平 面线形 时的拟合误差 主
第３卷， ２ １ 第 期
２０ １０年 ３月
文章编号 ：１ ０ —６ ２ （００ ２０ １—６ ０ １４ ３ ２ １ ）０—０ ８０
中 国 铁 道 科 学
ＣＨＩ ＮＡ ＲＡＩ ＬＷ ＡＹ ＣＩ Ｓ ＥＮＣＥ
Ｖ０ ． １ Ｎｏ ２ １３ ．
Ｍａｃ ｒｈ， ２ １ ００
（ 矢法 ） 正 、偏 角法和 坐标法 。绳正 法测量 方便 ，适
值 、三次样条插值和最／ －乘法等 。对于铁路既有 ｂ
曲线整正 ，除三次样条插值方法外 ，其余方法均存
在理论 上 的不足 ｒ ］ 】 。
三次样 条 函数 的数 学定 义如下 Ｌ ： ３ ］
设有区间 ［ ，６ 口 ］上的一个划分 ：７： — 。 ｃ ｎ ＜ ＜…＜ 一＜ｚ 一６ ，函数 （ ） 在各节点处的值 为 Ｙ ＝ ｆ ｘ） ＝ ０ １… ， ，如 果 三次 样条 函数 （ （ ，， ）
较高 。
（ ）一 Ｓ ａ ｛ ， ２ｚ ，ｚ—ｚ ） … ， ｐ ｎ １ｚ ， ３ （ １罩， （ ～ｚｒ ） ， 辜） （） １
（） ２
且 满足 条件
Ｓ（ ｘ ）一 Ｙ ｉ ０ １ … ， 一 ，， ”
则称 Ｓ ｘ ） 厂 ｚ 的三次样条插值函数， 五， （ 为 （ ） （ ｆ ｘ） 称为 Ｓ ｘ） （ ） （ 的插值型值点。 由三次样条函数的定义可知 ，三次样条插值方 法所得插 值 曲线随 着插值 点 间隔的缩小 ，逐 渐接近 于实际曲线的状态 ，且插值曲线具有形式简单、保 形 性 和 光 滑 性 较 好 等 特 点 ，可 以 满 足 工 程 的 需 要 ［］ ３ 。根据 既有 曲线线 形 的特 点 ，如 曲线 较光 滑 ， 变化较复杂 ，用三次样条曲线表示既有曲线平面线 形在理论上是可行的。
图 Ｉ 标准曲线布置图
施工误差产生的拟合误差 ，本文中，△ 一０ ： ；△ 为
由线 路 变形产 生 的拟合误 差 。 本文 主要讨 论 由数学 模 型和线 路变 形产 生 的拟 合误 差 。每种 拟合误 差又 均包 括 曲率 、一 阶导数 和 点位 拟合 误差 。对 于标准 的铁 路 曲线 ，由于线形 没 有发 生变 化 ，则 Ａ －０ 。对 于铁 路 既有线 ，△ 和 △。 ｌ 同时存 在 ，且相 互影 响 ，重构 误差 与两 者是 非线性 关 系 。为 了简便 ，取 重构 误差 为两 者 的简单 线性 叠
Ｓ（ ｚ）∈ （ ， ｚ）
合于车间、班组 日 常养护维修使用 ，但该方法拨正
精度低，容易产生鹅头 ；偏角法主要用于非提速线
路曲线的大中修 ，操作过程简单 ， 由于列车运营 但
的干扰 ，实际 与理论存 在难 以调 和的矛盾 ，拨正 误 差较 大 ；坐标 法 主要 应 用 于提 速 线路 曲线 的 大 中 修 ，测点可 以任 意选取 ，受列 车 的干 扰较小 ，精 度
一
合精度 ，依据曲线重构理论 ，铁路既有曲线平面线
形 拟合误 差 为
Ａ ｇ— ｆ Ａ ＋△ ＋ Ａ ＋ Ａ ） （ｊ （） ３
Fra Baidu bibliotek
ｉ ｉ—而 磊 １— 卜 —
处
壁直线
式 中： ｊ △ 为数学模 型产生的拟合误差 ；Ａ 为线路
测量 误差 产生 的拟 合 误差 ，本文 中 ，Ａ 一０ ；Ａ 为
铁路线路在运营以及正常的养护维修过程中会 发生变形 ，这种变形在 曲线地段更加明显 。既有 曲 线整正的目的就是将这种错动后的曲线恢复到标准 线型，以保证线路的平顺性和平稳性。 目前 铁 路 曲线 常用 的整 正 方 法 主要 有 绳 正 法
求得 △ 。 ｊ 变换 Ｒ， ， Ｌ 的值 即可求得它们对 ａＬ和 ｚ
２ 三次样条 曲线拟合铁路 既有 曲线平
面线形 的误差组成
铁 路 既有 曲线 的平面 整正 需要 曲线上 一 系列有
拟合 误差 的影 响 。
序离散测量点数据。依据这些离散的测点数据估计
整条 既有 曲线线 形属 于逆 向工 程 曲线重构 中的拟合 问题¨ 。 曲线 重构 误差 （ 合误差 ）反 映 曲线 的拟 ６ ］ 拟
本文在分析三次样条曲线表示铁路既有 曲线平 面线形 时产生 的误差 组成 及影 响因素 的基础 上 ，提
出 １ 既有 曲线 的整正方 法 。 种
１ 三次样条 曲线表示铁路既有 曲线平 面线形 的理论可行性
目前 ，理论 较为成熟 的 曲线拟合 方法有 Ｌ — ａ
ｇａｇ 多项 式 插 值 、分 段 低 次 Ｈｅｍｉ ｒｎ ｅ ｒ ｔ 项 式 插 ｅ多
要来 自数学模 型产 生的拟合误差和既有曲线变形产 生的拟合误 差。既有 曲线参 数对拟合误 差影 响的分析结果表 明：数学模型产生的既有 曲线 曲率 、一阶导数 和点 位拟合误 差随既有 曲线半径 的增 大而减 小，三者的最大值 随 着既有曲线缓和曲线长度 的增大有先降后增的趋势 ，既 有曲线 的总 转角对三 者的影 响较小 ，可忽略不计 。既 有 曲线变形产生的既有曲线点位拟合误差近似等于既有 曲线 的变形量 。在此 基础上 ，提 出 １种能够得 到既有 曲线 上任意一点拨距量的整 正方法 ，并利用 ＶＣ ＋＋６ ｏ软件编制相关计算程序 ，且用实例 验证 了此方法 的实用性 。 ． 关键词 ：三次样条 曲线 ；拟合误差分 析；既有线 ；平面线形 ；既有 曲线 ；整正方法
收稿 日期；２ ０—２２ ；修订 日期 ：２０ —７１ ０９０ —５ ０９０—５ 基金项 目：铁道部科技研究开发计划项 目 （０ ８ ２－ ） ２ ０Ｇ０ ２Ｂ
作者简介：秦方方 （９ ６ ） １ ８一 ，男 ，江苏徐州人，硕士研究生。
第 ２期
基于三次样条 曲线 的铁路既有 曲线整正方法
基 于 三次样 条 曲线 的铁 路 既有 曲线 整 正方 法
秦 方 方 ，易思 蓉 ，杨 长根
（．西南交通大学 土木工程学院 ，四川 成都 １ ６０ ３ ； １ ０ １ ６ ０３ ） １０ １ ２ ．高速铁路线路工程教育部 重点 实验室 ，四川 成都 摘
要 ：依据逆 向工程 中曲线重构理论的分析 ，三 次样条 曲线 拟合铁路 既有 曲线平 面线形 时的拟合误差 主
第３卷， ２ １ 第 期
２０ １０年 ３月
文章编号 ：１ ０ —６ ２ （００ ２０ １—６ ０ １４ ３ ２ １ ）０—０ ８０
中 国 铁 道 科 学
ＣＨＩ ＮＡ ＲＡＩ ＬＷ ＡＹ ＣＩ Ｓ ＥＮＣＥ
Ｖ０ ． １ Ｎｏ ２ １３ ．
Ｍａｃ ｒｈ， ２ １ ００
（ 矢法 ） 正 、偏 角法和 坐标法 。绳正 法测量 方便 ，适
值 、三次样条插值和最／ －乘法等 。对于铁路既有 ｂ
曲线整正 ，除三次样条插值方法外 ，其余方法均存
在理论 上 的不足 ｒ ］ 】 。
三次样 条 函数 的数 学定 义如下 Ｌ ： ３ ］
设有区间 ［ ，６ 口 ］上的一个划分 ：７： — 。 ｃ ｎ ＜ ＜…＜ 一＜ｚ 一６ ，函数 （ ） 在各节点处的值 为 Ｙ ＝ ｆ ｘ） ＝ ０ １… ， ，如 果 三次 样条 函数 （ （ ，， ）
较高 。
（ ）一 Ｓ ａ ｛ ， ２ｚ ，ｚ—ｚ ） … ， ｐ ｎ １ｚ ， ３ （ １罩， （ ～ｚｒ ） ， 辜） （） １
（） ２
且 满足 条件
Ｓ（ ｘ ）一 Ｙ ｉ ０ １ … ， 一 ，， ”
则称 Ｓ ｘ ） 厂 ｚ 的三次样条插值函数， 五， （ 为 （ ） （ ｆ ｘ） 称为 Ｓ ｘ） （ ） （ 的插值型值点。 由三次样条函数的定义可知 ，三次样条插值方 法所得插 值 曲线随 着插值 点 间隔的缩小 ，逐 渐接近 于实际曲线的状态 ，且插值曲线具有形式简单、保 形 性 和 光 滑 性 较 好 等 特 点 ，可 以 满 足 工 程 的 需 要 ［］ ３ 。根据 既有 曲线线 形 的特 点 ，如 曲线 较光 滑 ， 变化较复杂 ，用三次样条曲线表示既有曲线平面线 形在理论上是可行的。
图 Ｉ 标准曲线布置图
施工误差产生的拟合误差 ，本文中，△ 一０ ： ；△ 为
由线 路 变形产 生 的拟合误 差 。 本文 主要讨 论 由数学 模 型和线 路变 形产 生 的拟 合误 差 。每种 拟合误 差又 均包 括 曲率 、一 阶导数 和 点位 拟合 误差 。对 于标准 的铁 路 曲线 ，由于线形 没 有发 生变 化 ，则 Ａ －０ 。对 于铁 路 既有线 ，△ 和 △。 ｌ 同时存 在 ，且相 互影 响 ，重构 误差 与两 者是 非线性 关 系 。为 了简便 ，取 重构 误差 为两 者 的简单 线性 叠
Ｓ（ ｚ）∈ （ ， ｚ）
合于车间、班组 日 常养护维修使用 ，但该方法拨正
精度低，容易产生鹅头 ；偏角法主要用于非提速线
路曲线的大中修 ，操作过程简单 ， 由于列车运营 但
的干扰 ，实际 与理论存 在难 以调 和的矛盾 ，拨正 误 差较 大 ；坐标 法 主要 应 用 于提 速 线路 曲线 的 大 中 修 ，测点可 以任 意选取 ，受列 车 的干 扰较小 ，精 度
一
合精度 ，依据曲线重构理论 ，铁路既有曲线平面线
形 拟合误 差 为
Ａ ｇ— ｆ Ａ ＋△ ＋ Ａ ＋ Ａ ） （ｊ （） ３
Fra Baidu bibliotek
ｉ ｉ—而 磊 １— 卜 —
处
壁直线
式 中： ｊ △ 为数学模 型产生的拟合误差 ；Ａ 为线路
测量 误差 产生 的拟 合 误差 ，本文 中 ，Ａ 一０ ；Ａ 为