小专题(六) 完全平方公式的变形

合集下载

完全平方公式变形公式专题

半期复习(3)—— 完全平方公式变形公式及常见题型一.公式拓展:拓展一:拓展二:拓展三:拓展四:杨辉三角形拓展五: 立方与与立方差二.常见题型:(一)公式倍比例题:已知=4,求。

(1),则=(2)已知=(二)公式变形(1)设(5a ＋3b)2=(5a －3b)2＋A,则A=(2)若()()x y x y a-=++22,则a 为 (3)如果,那么M 等于(4)已知(a+b)2=m,(a —b)2=n,则ab 等于(5)若,则N 得代数式就是(三)“知二求一”1.已知x ﹣y=1,x 2+y 2=25,求xy 得值.2.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.(1)求xy 得值;(2)求x 2+3xy+y 2得值.3.已知:x+y=3,xy=﹣8,求:(1)x 2+y 2(2)(x 2﹣1)(y 2﹣1).4.已知a ﹣b=3,ab=2,求:(1)(a+b)2(2)a 2﹣6ab+b 2得值.(四)整体代入例1:,,求代数式得值。

例2:已知a= x ＋20,b=x ＋19,c=x ＋21,求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 得值⑴若,则=⑵若,则= 若,则=⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0,求得值为⑷已知,,,则代数式得值就是.(五)杨辉三角请瞧杨辉三角(1),并观察下列等式(2):根据前面各式得规律,则(a+b)6=.(六)首尾互倒1.已知m2﹣6m﹣1=0,求2m2﹣6m+=.2.阅读下列解答过程:已知:x≠0,且满足x2﹣3x=1.求:得值.解:∵x2﹣3x=1,∴x2﹣3x﹣1=0∴,即.∴==32+2=11.请通过阅读以上内容,解答下列问题:已知a≠0,且满足(2a+1)(1﹣2a)﹣(3﹣2a)2+9a2=14a﹣7,求:(1)得值;(2)得值.(七)数形结合1.如图(1)就是一个长为2m,宽为2n得长方形,沿图中得虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图(2)形状拼成一个正方形.(1)您认为图(2)中得阴影部分得正方形边长就是多少？(2)请用两种不同得方法求图(2)阴影部分得面积;(3)观察图(2),您能写出下列三个代数式之间得等量关系吗？三个代数式:(m+n)2,(m﹣n)2,mn.(4)根据(3)题中得等量关系,解决下列问题:若a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2得值.2.附加题:课本中多项式与多项式相乘就是利用平面几何图形得面积来表示得,例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2得面积来表示.(1)请写出图3图形得面积表示得代数恒等式;(2)试画出一个几何图形,使它得面积能表示(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.(八)规律探求15.有一系列等式:1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)22×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)23×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)24×5×6×7+ 1=292=(42+3×4+1)2…(1)根据您得观察、归纳、发现得规律,写出8×9×10×11+1得结果(2)试猜想n(n+1)(n+2)(n+3)+1就是哪一个数得平方,并予以证明.。

完全平方公式变化形式

完全平方公式变化形式完全平方公式，这可是咱们数学学习中的“常客”！它的变化形式就像是孙悟空的七十二变，花样繁多但又有迹可循。

咱们先来说说完全平方公式的基本形态：(a+b)² = a² + 2ab + b²，(a - b)² = a² - 2ab + b²。

这两个公式大家应该都不陌生吧？但是，它的变化形式那才叫有趣呢！比如说，a² + b² = (a + b)² - 2ab ，这就像是把原本的公式“拆了重装”。

我记得之前有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就一脸懵地问我：“老师，这变来变去的，到底有啥用啊？”我笑着回答他：“这用处可大了去啦！就好比你要盖房子，这公式就是你的建筑蓝图，不同的变化形式能帮你解决不同的问题。

”咱们就拿一个简单的例子来说。

假设小明有一块长方形的土地，长为 a + b 米，宽为 a - b 米，让咱们求这块土地的面积。

这时候，咱们就可以用完全平方公式的变化形式来解决。

面积就是 (a + b)(a - b) ，展开之后就是 a² - b²。

再比如，在代数运算中，经常会遇到化简式子的情况。

像化简 a² +6a + 9 ，咱们一眼就能看出来，这其实就是 (a + 3)²嘛。

还有在求解方程的时候，完全平方公式的变化形式也能大显身手。

比如 x² + 4x - 5 = 0 ，咱们通过配方，可以把它变成 (x + 2)² - 9 = 0 ，这样是不是就好解多啦？总之，完全平方公式的变化形式在数学的世界里就像是一把万能钥匙，能打开各种难题的锁。

咱们在学习这些变化形式的时候，可不能死记硬背，得理解着来。

多做几道练习题，多琢磨琢磨其中的规律，慢慢地就能熟练掌握啦。

希望同学们都能跟完全平方公式的变化形式成为好朋友，让它帮助咱们在数学的海洋里畅游，攻克一个又一个难题！。

完全平方公式变形公式专题

完全平方公式变形公式专题GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形拓展五：立方和与立方差二．常见题型：（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。

(1)1=+y x ，则222121y xy x ++=(2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式变形(1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=(2)若()()x y x y a -=++22，则a 为(3)如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于(4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（三）“知二求一”1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy+y 2的值．3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b ）2（2）a 2﹣6ab+b 2的值．（四）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。

例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a ba -+的值为⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是．（五）杨辉三角请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b ）6= ．（六）首尾互倒1．已知m 2﹣6m ﹣1=0，求2m 2﹣6m+= ．2．阅读下列解答过程：已知：x≠0，且满足x 2﹣3x=1．求：的值．解：∵x 2﹣3x=1，∴x 2﹣3x ﹣1=0∴，即．∴==32+2=11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a）﹣（3﹣2a）2+9a2=14a﹣7，求：（1）的值；（2）的值．（七）数形结合1．如图（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．2．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．（八）规律探求15．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．。

完整版)完全平方公式变形公式专题

完整版)完全平方公式变形公式专题半期复（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一、公式拓展：拓展一：$a+b=(a+b)^2-2ab$a-b=(a-b)^2-2ab$拓展二：$(a+b)-(a-b)=4ab$a+b)=(a-b)+4ab$拓展三：$a+b+c=(a+b+c)-2ab-2ac-2bc$拓展四：杨辉三角形a+b)^2=a^2+2ab+b^2$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$拓展五：立方和与立方差a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$二、常见题型：一）公式倍比已知$a+b=4$，求$\frac{a^2+b^2}{2ab}$ 1）$x+y=1$，求$x^2+xy+y^2$2）已知$x(x-1)-(x-y)=-2$，求$x^2-y^2$ 二）公式变形1）设$(5a+3b)^2=(5a-3b)^2+A$，求$A$2）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$3）如果$(x-y)+M=(x+y)$，求$M$4）已知$(a+b)=m$，$(a-b)=n$，求$ab$5）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$的代数式三）“知二求一”1.已知$x-y=1$，$x^2+y^2=25$，求$xy$的值2.若$x+y=3$，$(x+2)(y+2)=12$，求$xy$和$x^2+3xy+y^2$的值3.已知$x+y=3$，$xy=-8$，求$x^2+y^2$和$(x^2-1)(y^2-1)$的值4.已知$a-b=3$，$ab=2$，求$(a+b)^2$和$a^2-6ab+b^2$的值四）整体代入例1：已知$x-y=24$，$x+y=6$，求$5x+3y$的值例2：已知$a=x+20$，$b=x+19$，$c=x+21$，求$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值⑴若$x-3y=7$，$x-9y=49$，求$x+3y$的值⑵若$a+b=2$，求$a-4b$的值⑶已知$a^2+b^2=6ab$且$a>b$，求$a+b$的值已知$a=2005x+2004$，$b=2005x+2006$，$c=2005x+2008$，则代数式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$的值为：begin{aligned}a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca&=(2005x+2004)^2+(2005x+2006)^2+(2005x+2008)^2\\ quad-(2005x+2004)(2005x+2006)-(2005x+2006)(2005x+2008)-(2005x+2008)(2005x+2004)\\ 3\cdot(2005x)^2+3\cdot2\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2 +2008^2)-3\cdot(2004\cdot2006+2006\cdot2008+2008\cdot2004)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot(2004+2006+2008)^2+3\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot2018^2+6\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2004^2+2006^2+2008^2) -3\cdot2018^2\\10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2005^2-1)-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+10\cdot2005^2-10\cdot2005+10\cdot2005^2-10-3\cdot2018^2\\10\cdot2005^2x^2+20\cdot2005^2-10\cdot2005-3\cdot2018^2-10\\end{aligned}五）杨辉三角观察杨辉三角（1），发现每个数都是上面两个数之和，可以得到如下规律：a+b)^1=a+b$$a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$根据规律，$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6 $。

完全平方公式的变形及其应用

完全平方公式的变形及其应用完全平方公式的变形及其应用多项式乘法的完全平方公式的变形形式很多，且应用广泛。

下面结合例题，介绍完全平方公式的变形及其应用。

一、变式1：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，移项，得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。

例1：已知$x+y=5$，$xy=2$，求下列各式的值：（1）$x^2+y^2$；（2）$x^4+y^4$。

解：由变式1，得（1）$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=5^2-2\times2=21$；（2）$x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=21^2-2\times4=433$。

二、变式2：$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$这是因为：由$(a-b)=a^2-2ab+b^2$，移项，得$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$。

例2：已知$a-\sqrt{11}=5$，求$a^2+11$的值。

解：由变式2，得$a^2+11=\left(a-\sqrt{11}\right)^2+2\sqrt{11}=5^2+2\sqrt{11}=27$。

三、变式3：$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$这是因为：由$(a+b)=a^2+b^2+2ab$，得$2ab=(a+b)-\left(a^2+b^2\right)$，两边同除以2，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)$。

例3：已知$a+b=7$，$a^2+b^2=29$，求$ab$的值。

解：由变式3，得$ab=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{a^2+b^2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(2a+b-\sqrt{7^2-29}\right)=10$。

完全平方公式8种变形

完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。

在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。

下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。

1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。

我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。

2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。

这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。

3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。

变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。

4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。

我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。

5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。

变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。

6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。

变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。

7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。

我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。

谈谈完全平方公式的几种变形式

数学篇学思导引完全平方公式，即(a ±b )2=a 2+b 2±2ab .它是恒等变形中的常用公式之一，也是破解数学问题的重要利器.完全平方公式经过变形或重组可以衍生出新的公式.灵活运用这些公式，可以让我们在解题时更快捷.运用完全平方公式及其变形式解题时需注意以下几点：1.a 和b 可以是数，可以是式子；2.要有整体观念，即把某个数或式子看成a 或b ，再运用公式解题；3.注意运用变形公式，可以分别将a +b ，a -b ，a 2+b 2，ab 看成四个整体，若已知其中两个整体，则可以灵活运用公式及公式变形式求得另外两个整体.变形式1：a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab 由(a +b )2=a 2+b 2+2ab ，(a -b )2=a 2+b 2-2ab ，可以得到：a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab .例1设x >y >0，且x 2+y 2-7xy =0，则x +yy -x的值为________.分析：要想求出x +yy -x的值，需要先求出x +y ，y -x 的值.而结合已知条件可知，它们的值借助完全平方变形公式x 2+y 2=(x -y )2+2xy =(x +y )2-2xy 即可求出.解：因为x 222又x 2+y 2-7xy =0，所以(x +y )2-2xy -7xy =0，即(x +y )2=9xy .因为x >y >0，所以x +y >0，所以x +y =3xy .因为x 2+y 2=(x -y )2+2xy ，又x 2+y 2-7xy =0，所以(x -y )2+2xy -7xy =0，即(x +y )2=5xy .因为x >y >0，所以y -x <0，所以y -x =-5xy .所以x +y y -x =.评注：本题利用完全平方公式的变形式a 2+b 2=(a +b )2-2ab =(a -b )2+2ab ，分别求出x +y ，y -x 的值，再将其代入所求目标式中.在这一过程中，要特别注意x +y >0，y -x <0这一隐含条件.变形式2：(a +b )2=(a -b )2+4ab 因为(a -b )2=a 2+b 2-2ab ,所以有(a -b )2+4ab =a 2+b 2-2ab +4ab =a 2+b 2+2ab =(a +b )2.例2已知x -y =2，xy =3，则(x +y )4的值为_______.分析：要想求出(x +y )4的值，需要先对江苏省盐城市新洋初级中学洪婷婷27数学篇学思导引(x+y)4进行变形,(x+y)4实际上可以看作是(x+y)2的平方，而(x+y)2=(x-y)2+4xy，这样问题也就迎刃而解了.解：(x+y)4=[(x+y)2]2=[(x-y)2+4xy2]2=(22+4×3)2=256.评注：本题先通过变形，把目标式转化为平方式，再利用完全平方公式的变形式(a+b)2=(a-b)2+4ab求出其值.变形式3：(a-b)2=(a+b)2-4ab因为(a+b)2=a2+b2+2ab，(a+b)2-4ab=a2+b2+2ab-4ab=a2+b2-2ab=a-b2，所以有a-b2=(a+b)2-4ab.例3若a，b，c满足a-b=6，ab=-9-c2，则a+b+c的值为_____.分析：本题涉及a-b，ab，a+b，若能联想完全平方公式的变形式(a-b)2=(a+b)2-4ab，则可以化难为易.解：因为(a-b)2=(a+b)2-4ab，又a-b=4，ab=-8-c2，所以62=(a+b)2-4(-9-c2)，即(a+b)2+4c2=0，根据非负数的性质可知a+b=0，c=0，所以a+b+c=0.评注：本题利用(a-b)2=(a+b)2-4ab，得出(a+b)2+4c2=0，再结合非负数的性质求出a+b+c的值，从而使问题获解.变形式4：(a+b)2-(a-b)2=4ab，由(a+b)2=(a-b)2+4ab，(a-b)2=(a+b)2-4ab，这两个变形公式，可以得到(a+b)2-(a-b)2=4ab，即ab=14[(a+b)2-(a-b)2].例4已知(a+b)2=32,(a-b)2=20,则ab的值为_______.分析：本题出现了(a+b)2和(a-b)2，若能联想完全平方公式的变形式(a+b)2-(a-b)2=4ab，即可快速求出ab的值.解：因为(a+b)2-(a-b)2=4ab，所以ab=14[(a+b)2-(a-b)2]=14×(32-20)=3.评注：本题若按照常规思路先求出a、b的值，再求ab，则较为繁琐，而利用完全平方变形公式则可以化繁为简.变形式5：(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)因为(a+b)2=a2+b2+2ab，(a-b)2=a2+b2-2ab，所以(a+b)2+(a-b)2=2(a-b)2=2(a2+b2)，即a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2].例5已知a+b=8，则a2+b2的最小值为_________.分析：由a+b，a2+b2可以联想完全平方公式的变形式(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2).解：因为(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，又a+b=8，所以a2+b2=12[(a+b)2+(a-b)2]=12[82+(a-b)2]=32+12(a-b)2.因为(a-b)2≥0，所以a2+b2≥32.即当a+b=8时，a2+b2的最小值为32.评注：本题利用(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)这一完全平方公式的变形式解题，使解题过程变得简捷明了.总之，在平时的学习中，同学们不仅要熟悉完全平方公式的结构特征，而且还要掌握它的变形和推广形式，并注意结合题目的结构特征，灵活运用完全平方变形公式.这将会给我们的解题带来意想不到的效果.28。

完全平方差公式的变式

完全平方公式的所有变形公式一. 完全平方公式常见的变形有a2+b2=（a+b）2-2ab，a2+b2=（a-b）2+2ab，（a+b）2-（a-b）2=4ab，a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）二. 乘法公式变形的应用例1：已知：x2+y2+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求xy的值。

分析：逆用完全乘方公式，将x2+y2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y的值即可。

解：∵x2+y2+4x-6y+13=0，（x2+4x+4）+（y2-6y+9）=0，即（x+2）2+（y-3）2=0。

∴x+2=0，y=3=0。

即x=-2，y=3。

∴xy=（-2）3=-8。

分析：本题巧妙地利用例3 已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。

分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c）2002的值，可利用（a-b）2=（a +b）2-4ab确定a-b与c的关系，再计算（a-b+c）2002的值。

解：（a-b）2=（a+b）2-4ab=82-4（16+c2）=-4c2。

即：（a-b）2+4c2=0。

∴a-b=0，c=0。

∴（a-b+c）2002=0。

例4 已知：a、b、c、d为正有理数，且满足a4+b4+C4+D4=4abcd。

求证：a=b=c=d。

分析：从a4+b4+C4+D4=4abcd的特点看出可以化成完全平方形式，再寻找证明思路。

证明：∵a4+b4+C4+D4=4abcd，∴a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4+2a2b2-4abcd+2c2d2=0，（a2-b2）2+（c2-d2）2+2（ab-cd）2=0。

a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0又∵a、b、c、d为正有理数，∴a=b，c=d。

代入ab-cd=0，得a2=c2，即a=c。

所以有a=b=c=d。

完全平方公式变形公式及常见题型

完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形及常见题型是数学学习中最基本的内容，在考试中也是经常出现的题型。

完全平方公式的变形和常见的题型可以大大提高学生在数学考试中的表现，也可以帮助学生更好地理解这些概念。

本文将对完全平方公式变形公式及常见题型进行讨论，包括它们的定义、变形公式以及常见题型。

完全平方公式是一类特殊的二次公式，其标准形式为：
ax2+bx+c=0
其中a、b和c分别为系数，可以为整数、分数或者其他数学表
示形式。

在完全平方公式中，b=0，a和c为正数或者负数，此时x2
的系数为a，而常数项的系数为c。

完全平方公式的一般形式为：
ax2+c=0
要将完全平方公式一般形式变形为标准形式，可以使用变形公式，其中b系数的变形公式为：
b=±√(ac)
通过使用变形公式，可以在给定的条件下变形完全平方公式，使其达到标准形式。

完全平方公式变形后常常会出现一些常见的题型，这些题型包括： 1.全平方公式求解题：此类题型一般要求学生使用完全平方公式求解某类问题，例如求解一元二次方程；
2.全平方公式变形题：此类题型要求学生运用变形公式将完全平方公式从一般形式变换到标准形式；
3.全平方公式的图像分析题：此类题型要求学生分析完全平方公式的图像特征，如顶点、极值、开口方向等；
4.全平方公式在实际问题中的应用题：此类题型要求学生将完全平方公式运用到实际问题中，如几何问题或投资问题，求解问题的最佳解。

以上就是完全平方公式变形公式及常见题型的基本内容，下面我们将对它们进行更深入的介绍。

完全平方公式的变形

完全平方公式的变形引言在代数学中，完全平方公式是一种常见的代数公式，经常被用于求解二次方程方程、因式分解和展开式化简等问题。

本文将介绍完全平方公式的变形，以及其在求解问题中的应用。

完全平方公式的基本形式完全平方公式是指将一个二次多项式写成平方的形式，其基本形式为：(a+b)2=a2+2ab+b2其中，a和b是任意实数或复数。

完全平方公式的变形完全平方公式还可以通过变形，得到其他形式的公式。

下面将介绍几种常见的变形形式。

1. 差平方公式差平方公式是一种完全平方公式的变形形式，其表达式为：(a−b)2=a2−2ab+b2与完全平方公式的基本形式相比，差平方公式仅改变了中间项的符号。

2. 平方差公式平方差公式是一种完全平方公式的变形形式，其表达式为：a2−b2=(a+b)(a−b)平方差公式可以将一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积。

这在因式分解和展开式化简中经常被使用。

3. 求解二次方程完全平方公式的变形形式还可以应用于求解二次方程。

对于一般的二次方程ax2+bx+c=0，可以通过完全平方公式进行变形，得到以下形式：a(x−ℎ)2+k=0其中，ℎ和k是待求解的常数。

通过移项、配方等运算，可以进一步求解出x的值。

完全平方公式的应用举例完全平方公式的变形形式在数学问题的求解中具有广泛的应用。

下面将通过几个具体例子来说明其应用。

例1：求解二次方程考虑二次方程x2−6x+9=0。

通过观察可得，该方程可以表示为(x−3)2=0的形式。

根据完全平方公式的变形形式，可知x−3=0，从而解得x=3。

这个例子展示了将二次方程转化为完全平方公式的变形形式，从而更容易求解方程的过程。

例2：因式分解考虑多项式x2−4。

根据平方差公式，可将其因式分解为(x+2)(x−2)。

这个例子展示了平方差公式在因式分解中的应用。

例3：化简展开式考虑展开式(x−2)3=x3−6x2+12x−8。

通过完全平方公式的变形形式，可以将其化简为一个较简单的形式。

完全平方公式变形的应用专题指导

完全平方公式变形的应用专题指导姜峰完全平方公式是多项式乘法中专门重要的一个公式。

把握其变形特点并灵活运用，能够巧妙地解决专门多咨询题。

一. 完全平方公式常见的变形有a 2+b 2=〔a+b 〕2-2ab ，a 2+b 2=〔a-b 〕2+2ab ，〔a+b 〕2-〔a-b 〕2=4ab ，a 2+b 2+c 2=〔a+b+c 〕2-2〔ab+ac+bc 〕二. 乘法公式变形的应用例1：：x 2+y 2+4x-6y+13=0，x 、y 均为有理数，求x y 的值。

分析：逆用完全乘方公式，将x 2+y 2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y 的值即可。

解：∵x 2+y 2+4x-6y+13=0，〔x 2+4x+4〕+〔y 2-6y+9〕=0，即〔x+2〕2+〔y-3〕2=0。

∴x+2=0，y=3=0。

即x=-2，y=3。

∴x y =〔-2〕3=-8。

例已知，试求的值。

21612242a a a a a a ++=++分析：此题巧妙地利用a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a 222222422222112160161111561111111156136113311+=+-++=≠=++=++∴+=-∴++=++=+-=--=-=-()()()进行运算。

解：由，可知，因此可得，。

例3 ：a+b=8，ab=16+c 2，求〔a-b+c 〕2002的值。

分析：由条件无法直截了当求得〔a-b+c 〕2002的值，可利用〔a-b 〕2=〔a+b 〕2-4ab 确定a-b 与c 的关系，再运算〔a-b+c 〕2002的值。

解：〔a-b 〕2=〔a+b 〕2-4ab=82-4〔16+c 2〕=-4c 2。

即：〔a-b 〕2+4c 2=0。

∴a-b=0，c=0。

∴〔a-b+c 〕2002=0。

例4 ：a 、b 、c 、d 为正有理数，且满足a 4+b 4+C 4+D 4=4abcd 。

完全平方公式变形公式专题

完全平方公式变形公式专题文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四：杨辉三角形拓展五：立方和与立方差二．常见题型：（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。

(1)1=+y x ，则222121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则=(二）公式变形 (1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A=(2)若()()x y x y a-=++22，则a 为 (3)如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于(4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于(5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（三）“知二求一”1．已知x ﹣y=1，x 2+y 2=25，求xy 的值．2．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy 的值；（2）求x 2+3xy+y 2的值．3．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：（1）x 2+y 2（2）（x 2﹣1）（y 2﹣1）．4．已知a ﹣b=3，ab=2，求：（1）（a+b ）2（2）a 2﹣6ab+b 2的值．（四）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。

例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=201x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+=⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 ba b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是．（五）杨辉三角请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b ）6= ．（六）首尾互倒1．已知m 2﹣6m ﹣1=0，求2m 2﹣6m+= ．2．阅读下列解答过程：已知：x ≠0，且满足x 2﹣3x=1．求：的值．解：∵x 2﹣3x=1，∴x 2﹣3x ﹣1=0∴，即． ∴==32+2=11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a ≠0，且满足（2a+1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2=14a ﹣7，求：（1）的值；（2）的值．（七）数形结合1．如图（1）是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗三个代数式：（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．2．附加题：课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积来表示．（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2．（八）规律探求15．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．。

演示文档完全平方公式变形讲解.ppt

(3)x2 12x m是完全平方式,则m ____
(4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式
.精品课件.
10
则a ______完_。全平方式
（2）已知，4x2 kxy 25y2是完全平方式，则k ___________。 (3)x2 12x m是完全平方式,则m _____ . (4)请把4x4 1添加一项后是完全平方式，可以添加____________.
则x2 y2 ________。（3）已知(x y)2 25, (x y)2 16
则xy ________。
.精品课件.
5
则x2 y2 公 _式__变__形__的_。应用
（3）已知(x y)2 25, (x y)2 16, 则xy ________。
.精品课件.
6
公式变形的应用
.精品课件.
1
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
首平方，尾平方， 2倍首尾放中央
.精品课件.
2
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
a2+b2= (a+b)2-2ab (a-b)2+2ab
(a+b)2-(a-b)2= 4ab
.精品课件.
3.已知 a b 4, a2 b2 4 求a2b 2 与 (a b)2 的值.
4.已知 (a b)2 80 (a b)2 60 求 a2 b2 及ab的值
.精品课件.
20
1.已知
x
1 x
6
，求
x2 1 x2
的值。
2.已知 x2 3x 1 0

完全平方公式八个变形逆用

完全平方公式八个变形逆用而完全平方公式的变形，则是根据题目给定的条件，对于二次方程进行简化或转化，从而更便于求解。

下面就来介绍八个完全平方公式的变形及其逆用方法。

1.两个完全平方数的差a^2-b^2=(a+b)(a-b)逆用：可以将已知的完全平方数进行因式分解，从而求出未知数的值。

例如，已知一个完全平方数为25，可以写成5^2，则可以利用公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)，将其分解为(5+b)(5-b)=25，求解得到b=0。

2.两个完全平方数的和a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2逆用：通过因式分解可以将已知的完全平方和转化为完全平方公式。

例如，已知a^2+6a+9=49，可以写成(a+3)^2=49，即(a+3)=√49，求解得到a=43.完全平方的平方根√(a^2)=，a逆用：通过取平方根，可以求解已知完全平方的未知数。

例如，已知√(x^2)=7，可以求解得到，x，=7，即x=7或x=-74.两个完全平方的积(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2逆用：通过将已知的完全平方和进行展开，可以求解未知数。

例如，已知(x+3)^2=49，可以展开得到x^2+6x+9=49，即x^2+6x-40=0。

再通过求根公式进行求解，得到x=4或x=-10。

5.完全平方的倒数1/a^2=1/a*1/a=(1/a)^2逆用：可以通过求解分母的平方根，来求解完全平方的倒数。

例如，已知1/x^2=1/25，可以求解得到(1/x)^2=1/25，即(1/x)=±(1/5)，解得x=5或x=-56.两个完全平方的乘积(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2逆用：可以将已知的完全平方差展开，从而求解未知数。

例如，已知(x-4)^2=49，可以展开得到x^2-8x+16=49，即x^2-8x-33=0。

通过求根公式进行求解，得到x=-3或x=117.完全平方的倒数的平方根√(1/a^2)=1/√(a^2)=1/，a逆用：通过对倒数的平方根进行求解，来求解完全平方的倒数。