2016年最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题

合集下载

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°．所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ．（1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由；（2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时，求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由；（2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△；（2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5，三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立．故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12．（2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==，得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=，所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=．【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ．【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ．【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ，又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ，在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°；如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°，故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形；（2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =，又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ．答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ），故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ），则BD =AB -AD =8-6=2（m ）．答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°．（2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒．（2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

等腰、等边及直角三角形知识点归类

第16讲等腰、等边及直角三角形一、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=A C，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求21P COBAPCO BADABC abc6.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.DABC abc。

等腰等边三角形典型题

等腰等边三角形典型题一、等腰三角形典型题1. 题目：在等腰△ABC中，AB = AC，∠A = 50°，求∠B和∠C的度数。

- 解析：因为AB = AC，所以△ABC是等腰三角形，等腰三角形两底角相等。

三角形内角和为180°，已知∠A=50°，设∠B = ∠C = x，则可列方程x + x+50° = 180°，2x=180° - 50°，2x = 130°，解得x = 65°，所以∠B = ∠C = 65°。

2. 题目：等腰三角形的一个角是70°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

- 解析：分两种情况讨论。

- 当这个70°的角是底角时，因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也是70°，根据三角形内角和为180°，则顶角为180°-70°×2 = 180° - 140°=40°。

- 当这个70°的角是顶角时，顶角就是70°。

3. 题目：已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，求这个等腰三角形的面积。

- 解析：先作等腰三角形底边上的高。

因为等腰三角形三线合一（底边上的高、中线、顶角平分线三线合一），所以底边上的高将底边平分。

底边长为6cm，则底边的一半是3cm。

根据勾股定理，高h=√(5^2)-3^{2}=√(25 - 9)=√(16) = 4cm。

三角形面积S=(1)/(2)×底×高=(1)/(2)×6×4 = 12cm^2。

二、等边三角形典型题1. 题目：等边三角形ABC的边长为6，求它的高和面积。

- 解析：- 求高：因为等边三角形三线合一，设等边三角形的高为h，边长为a = 6，根据勾股定理h=√(a^2)-<=ft((a)/(2))^{2}=√(6^2)-3^{2}=√(36 - 9)=√(27)=3√(3)。

等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点

等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点等腰三角形是初中数学中的一种基本几何图形，具有很多特殊的性质和定理。

本文将对等腰三角形的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握等腰三角形的特点和应用。

以下是等腰三角形知识点总结汇总，希望对大家的学习有所帮助。

1、等腰三角形知识总结，定义(1)等腰三角形:有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两条边叫腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

(2)等边三角形:特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、等腰三角形知识总结，等腰三角形的相关概念(1)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴。

(2)等腰三角形的外心、内心、重心和垂心都在顶角平分线上，即四心共线。

(3)等边三角形的外心、内心、重心和垂心四心合一，成为等边三角形的中心。

3、等腰三角形知识总结，等腰三角形的性质定理(1）推理格式:在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C。

(2)定理的作用:证明同—个三角形中的两个角相等。

4、等腰三角形知识总结，等腰三角形性质定理的推论(1)等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

5、等腰三角形知识总结，等腰三角形的判定定理(1)该定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。

(2)注意:该定理不能叙述为“如果一个三角形中有两个底角相等，那么它的两腰也相等”。

因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。

相等的两条边叫腰；两腰的夹角叫顶角；顶角所对的边叫底；腰与底的夹角叫底角。

(2)等边对等角；(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合；(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线；(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半；(6)顶角等于180°减去底角的两倍；(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角．等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。

人教版八年级上册数学等腰三角形知识点及对应练习(附参考解析)

等腰三角形一、知识梳理：专题一：等腰三角形概念及性质；等腰三角形的判定.二、考点分类考点一：等腰三角形的概念有两边相等的三角形是等腰三角形。

【类型一】利用等腰三角形的概念求边长或周长【例1】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm 时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．考点二：等腰三角形的性质1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．2、解题方法：设辅助未知数法与拼凑法．3、重要的数学思想方法：方程思想、整体思想和转化思想．【类型一】利用“等边对等角”求角度【例2】等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A ．65°或50° B．80°或40° C ．65°或80° D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．【类型二】利用方程思想求等腰三角形角的度数【例3】如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求△ABC 各角的度数．解析：设∠A ＝x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A ＝x .∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝x .∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝∠ABD ＋∠A＝2x .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠BCD ＝2x .在△ABC 中，∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠A ＝36°，∠ABC ＝∠ACB ＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x .① ②【类型三】利用“等边对等角”的性质进行证明【例4】如图②，已知△ABC 为等腰三角形，BD 、CE 为底角的平分线，且∠DBC ＝∠F ，求证：EC ∥DF .解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC ＝∠ACB ，根据角平分线定义得到∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，那么∠DBC ＝∠ECB ，再由∠DBC ＝∠F ，等量代换得到∠ECB ＝∠F ，于是根据平行线的判定得出EC ∥DF .证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .又∵BD 、CE 为底角的平分线，∴∠DBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵∠DBC ＝∠F ，∴∠ECB ＝∠F ，∴EC ∥DF .方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．【类型四】利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明【例5】如图①，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC .(1)若AD ＝AE ，求证：BD ＝CE ；(2)若BD ＝CE ，F 为DE 的中点，如图②，求证：AF ⊥BC .解析：(1)过A 作AG ⊥BC 于G ，根据等腰三角形的性质得出BG ＝CG ，DG ＝EG 即可证明；(2)先证BF ＝CF ，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A 作AG ⊥BC 于G .∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴BG ＝CG ，DG ＝EG ，∴BG－DG ＝CG －EG ，∴BD ＝CE ；(2)∵BD ＝CE ，F 为DE 的中点，∴BD ＋DF ＝CE ＋EF ，∴BF ＝CF .∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC .方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．【类型五】与等腰三角形的性质有关的探究性问题【例6】如图①，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可证得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形；由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也符合题意；(2)BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC .(2)AD 与BE 垂直．证明：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE .(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴AE ＝DE .在Rt △ABE 和Rt △DBE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DE ，BE ＝BE ，∴Rt △ABE ≌Rt △DBE (HL)，∴AB ＝BD .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ，∴AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC＝10.① ②考点三：等腰三角形的判定方法(1)根据定义判定；(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．【类型一】确定等腰三角形的个数【例7】如图②，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个解析：共有5个．(1)∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD的角平分线，∴∠EBC ＝12∠ABC ，∠ECB ＝12∠BCD .∵△ABC 是等腰三角形，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴△BCE 是等腰三角形；(3)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°.又∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝36°＝∠A ，∴△ABD 是等腰三角形；同理可证△CDE 和△BCD 也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【类型二】在坐标系中确定三角形的个数【例8】已知平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，3)，在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6解析：因为△AOP 为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO ＝AP (有一个)．此时只要以A 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于O 点和另一个点，另一个点就是点P ；(2)AO＝OP (有两个)．此时只要以O 为圆心AO 长为半径画圆，可知圆与y 轴交于两个点，这两个点就是P 的两种选择；(3)AP ＝OP (一个)．作AO 的中垂线与y 轴有一个交点，该交点就是点P 的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B. 方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．【类型三】判定一个三角形是等腰三角形【例9】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．【类型四】等腰三角形性质和判定的综合运用【例10】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△BDE 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CE ，∠B ＝∠C ，BE ＝CF ，∴△BDE ≌△CEF (SAS)，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；(2)解：∵△BDE ≌△CEF ，∴∠BDE ＝∠CEF ，∴∠BED ＋∠CEF ＝∠BED ＋∠BDE .∵∠B ＋∠BDE ＝∠DEF ＋∠CEF ，∴∠B ＝∠DEF .∵∠A ＝50°，AB ＝AC ，∴∠B ＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF ＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．经典例题考点一：等腰三角形的概念【例1】等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为考点二：等腰三角形的性质【例3】已知等腰△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，求∠C 的度数。

等腰三角形知识点+经典例题

等腰三角形知识点+经典例题本文介绍了等腰三角形的定义、作法、对称性、性质和判定定理。

首先定义了等腰三角形是有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

然后介绍了作法，即以已知的线段a,b作等腰三角形ABC，使AB=AC=b,BC=a。

接着讲解了等腰三角形的对称性，包括轴对称、底角相等、底边上的中线等长、底边上的高线垂直于底边等。

其次，介绍了等边三角形与等腰三角形的关系，即等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。

接下来，讲解了等腰三角形的性质，包括底角相等、顶角平分线、底边上中线和高线互相重合等。

最后，介绍了等腰三角形的判定定理，即若一条角平分线同时是等腰三角形的两边之一，则该三角形是等腰三角形。

同时，还给出了等腰三角形中重要线段的性质，包括两底角的平分线相等、底边上的高上任一点到两腰的距离相等等。

1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形就是等腰三角形。

简单来说，等角对等边。

要点解释：要明确判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆。

判定定理得到的结论是等腰三角形，而性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角的关系。

此外，不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形。

2.等边三角形的判定定理如果三个角相等，那么这个三角形就是等边三角形。

另外，一个角是60°的等腰三角形也是等边三角形。

3.含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

要点解释：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后通过逐步推导论证，最后推出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明命题的方法叫做反证法，也称归谬法，适用于直接证明有困难的命题。

典型例题】类型一、等腰三角形中有关角度的计算题例1、（2016春•太仓市期末）如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数。

等腰三角形和等边三角形

第1讲等腰三角形和等边三角形1.等腰三角形的性质：①等腰三角形的_________________________可以简述为：_________②等腰三角形________________________________及________________互相重合，通常简述为________________。

③等腰三角形两底角的平分线________________④等腰三角形两腰上的高________________⑤等腰三角形两腰上的中线________________2.等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都________________三条边都________________等腰三角形手拉手模型【模型应用】1.精准识别或构造共顶点的两等腰三角形且顶角相等；2.找等边，找等角，确定全等三角形；3.有结论成立：拉手线段相等，且夹角等于等腰三角形顶角（识别“8”字导角模型）；4.①大等腰，②小等腰，③全等三角形，“知二推一” ．P 为底边上任意的一点，PM+PN=BH考点1 等腰(边）三角形的性质与判定例题1如图，在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，若∠BDC=69°，则∠A等于（）A.32°B. 36°C. 48°例题2如图,等边△ABC中,BD是高,延长B C到点E,使DB=DE,则∠CDE=___°.例题3（1）在等腰三角形一底角为50°，则顶角的度数是（）A. 65°B. 70°C. 75°D. 80°（2）等腰三角形的一个内角是100°，则这个三角形的底角的大小是( )A. 35°B. 40°C. 45°D. 48°（3）已知：△ABC中,AB=AC,∠B−∠A=30°，则∠A =___.（4）已知等腰三角形的一个内角为50°，则顶角的度数为_____.例题4（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为______.（2）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15cm和6cm两部分。

等腰三角形与等边三角形

精心整理等腰三角形与等边三角形学习目标掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定本课重点 1．理解等腰三角形的性质和判定．2．理解等边三角形的性质和判定．3．灵活运用性质和判定定理解决实际问题本课难点综合应用等腰三角形的性质和判定解决实际问题，理解性质和判定的区别．1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，这个等腰三角形顶角的度数为．2．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A ．11B ．16C ．17D ．16或173．下列说法，正确的个数是（）①等腰三角形的底角一定是锐角；②等腰三角形的角平分线、中线、高线是同一条线段；③等腰三角形两腰上的高一定相等；④等腰三角形两腰上的中线一定相等A ．0B ．1C ．2D ．34．如图，∠B =∠C =36°，∠ADE =∠AED =72°，则图中的等腰三角形的个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个知识点一、等腰三角形三线合一【例1】如图，在△ABC 中AB =AC ，点F 在AC 上，在BA 延长线上截取AE =AF 求证：EF ⊥BC名校精析名校导读名校互动【变式1】求证：一边上的中线与这边所对的角的角平分线互相重合的三角形是等腰三角形．知识点二、等腰三角形边关系【例2】已知：如图，点D 是∠ABC 的角平分线与∠ACB 的外角平分线的交点，DE ∥BC ，DE 交AB 于点E ，交AC 于点F ．求证：EF ＝BE －CF ．【变式2】等腰三角形ABC 中，AB AC =，90A ∠=，BD 平分ABC ∠，DE BC ⊥，且10BC =，求DCE ∆的周长．知识点三、等腰三角形角的关系【例3【变式3】在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，AD AC =，BE BC =，求DCE ∠的度数．知识点四、等边三角形与直角三角形含30°角的性质【例4】将ABC ∆绕顶点A 顺时针旋转60，得到AB C ''∆，且C '为BC 的中点．则求:C D '：DB '的值．【变式4】如图所示，在△ABC 中，∠A =30°，∠ACB =90°，M 是AB 上一点，CM =21AB ，D 是BM 的中点，求证：CD ⊥AB ．【例5】，作∠求证：【变式5】已知ABC ∆为等边三角形，D 是BC 上一点，再延长BA 到E ，使AE BD =．求证：CE DE =知识点六、等腰直角三角形【例6】如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点O 是BC 的中点，连结OA ，（1）OA =OB =OC 成立吗？请说明理由．（2）若点M ，N 分别在线段AB ，AC 上移动，在移动中始终保持AN =BM ，请判断△OMN 的形状，并说明理由．（3）若点O 分别在线段BA 、AC 的延长线上移动，在移动中始终保持AN =BM ，请判断△OMN 的形状，并说明理由．【变式6PF 分别交AB ，=AP ⑤S 四边形AEPF 证明．A 夯实基础1．若等腰三角形有一个角的度数是70°，则这个三角形的顶角是___________．2．等腰三角形的底边长为3，周长为15，则一腰长为．3．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG=CD ，DF =DE ，则∠E = ．4．已知：如图，B 、D 分别在AC 、CE 上，AD 是∠CAE 的平分线，BD ∥AE ，AB ＝BC ．求证：AC ＝AE ．5．长方形球桌ABCD 上，一球从AB 边上某处P 点击出，分别撞击球桌的边BC 、CD 、DA 各一次后，又回到出发点P 处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成德角相等（如图中αβ∠=∠）．已知3AB =，4BC =，求此球所走路线的长度．名校拓展B能力提高6．如图，已知，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．7．△ABC为等边三角形，点M是BC上任意一点，点N是CA上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，则∠AQN等于多少度？C综合创新，连接DE．则BD与DE有什么关系？8．在等边三角形ABC中，BD⊥AC，延长BC到E，使CE CD名校小结。

等腰三角形与等边三角形的性质知识点总结

等腰三角形与等边三角形的性质知识点总结等腰三角形和等边三角形是我们在初中数学学习中经常遇到的两种特殊三角形。

它们具有一些独特的性质，这些性质对于我们理解三角形的性质和解题都有很大的帮助。

下面将对等腰三角形和等边三角形的性质进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和应用这些知识点。

一、等腰三角形的性质1. 定义：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

2. 底角和顶角：等腰三角形的两个底角（底边两侧的角）是相等的，称为底角；顶角是等腰三角形的顶点所对的角，也是两个底角。

3. 对称性质：等腰三角形具有对称性，即等腰三角形可以通过一条对称轴分成两个对称部分。

4. 高度：等腰三角形的高度是从顶点到底边的垂直距离，高度所在的线段与底边垂直，并且把底边分为两个相等的线段。

5. 角平分线：等腰三角形的顶角所在的角平分线同时也是底边的中线和高线。

6. 等腰定理：等腰三角形的两个底角相等。

7. 等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高度和底边的长度来计算，公式为：面积 = 底边长度 ×高度 ÷ 2。

8. 等腰三角形的判定：当我们知道一个三角形的两边相等时，可以判断它是否为等腰三角形。

二、等边三角形的性质1. 定义：等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。

2. 角度：等边三角形的三个角都是60度。

3. 高度：等边三角形的高度是从顶点到底边的垂直距离，高度所在的线段与底边垂直。

4. 三角形内角和：等边三角形的三个角的和为180度，因为每个角都是60度，所以三角形的三个角相加为180度。

5. 等边定理：如果一个三角形的三边相等，则它是等边三角形。

6. 等边三角形的面积：等边三角形的面积可以通过边长来计算，公式为：面积 = 边长的平方× √3 ÷ 4。

7. 等边三角形的判定：当我们知道一个三角形的三边相等时，可以判断它是否为等边三角形。

三、等腰三角形与等边三角形的关系1. 等腰三角形也可以是等边三角形：当等腰三角形的两个底角为60度时，它就是等边三角形。

九年级数学下册等腰、等边及直角三角形知识点总结

第16讲等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求21P COBAPCO BADABC abccD。

等腰三角形知识点+经典例题

等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。

在几何学中，等腰三角形有着独特的特点和应用。

本文将介绍等腰三角形的基本性质和解题技巧，并通过经典例题加深对该知识点的理解。

一、等腰三角形基本性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长相等，通常表示为AB = AC。

2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等，通常表示为∠B = ∠C。

3. 对顶角平分底边：等腰三角形的对顶角（即顶点处的角）平分底边，即顶角的平分线与底边相等和垂直。

4. 底角是钝角：当等腰三角形的顶角大于90度时，底角为钝角。

二、等腰三角形的特殊性质1. 高线重合：等腰三角形的高线与底边重合，且高线上的高度等于底边的中线和中线的一半。

2. 内切圆：等腰三角形的内切圆与底边相切，且圆心在高线上。

3. 外接圆：等腰三角形的外接圆的圆心位于底边的中点，且外接圆的半径等于底边长度的一半。

三、等腰三角形的解题技巧1. 利用等腰三角形的两边相等性质，可在题目中找到相等的边长，进而推导其他角度和边长的关系。

2. 利用等腰三角形的两底角相等性质，可在题目中找到已知角度与未知角度的关系，从而推导解题过程。

3. 利用等腰三角形的对顶角平分底边性质，和底角是钝角的特点，可应用角平分线定理解题。

四、经典例题例题1：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 6cm，∠B = 60°，求角A的度数和三角形的面积。

解析：由于AB = AC，可知三角形ABC是等腰三角形。

又∠B =∠C = 60°，由等腰三角形的两底角相等性质可得∠A = 180° - 2∠B = 60°。

三角形ABC的三个角度均为60°，是等边三角形。

根据等边三角形的性质，三角形ABC的面积为√3/4 * AB^2 = √3/4 * 6^2 = 9√3 cm^2。

例题2：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 8cm，∠A = 100°，求顶角B的度数和三角形的周长。

七年级数学下册专题第13讲等腰三角形重点、考点知识总结及练习

专题第13讲等腰三角形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，12BD AB =，∴∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，②如下图，当高在三角形外部时，12BD AB =，则∠BAD=30°，∴∠BAC=150°，∴∠ABC=∠ACB=15°，所以此三角形的底角等于75°或15°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，得2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13，此时底边长为13-12=1，满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当底边长为x+12时，根据题意，得2x+x+12=27，解得x=5，此时底边长为5+12=17，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1．（2017秋•洛阳期末）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____．【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=x+30°，分情况讨论：当∠A=∠C为底角时，2x+（x+30°）=180°，解得x=50°，顶角∠B=80°；当∠B=∠C为底角时，2（x+30）+x=180°，解得x=40°，顶角∠A=40°．故这个等腰三角形的顶角的度数为80°或40°．故答案为：80°或40°．2．（2017秋•襄州区期末）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为______．【解答】解：根据题意，①当15是腰长与腰长一半时，AC+AC=15，解得AC=10，所以底边长=12﹣×10=7；②当12是腰长与腰长一半时，AC+AC=12，解得AC=8，所以底边长=15﹣×8=11．所以底边长等于7或11．故答案为：7或11．3．（2017秋•枣阳市期末）一个等腰三角形的周长为20，一条边的长为6，则其两腰之和为______．【解答】解：①底边长为6，则腰长为：（20﹣6）÷2=7，所以另两边的长为7，7，能构成三角形，7+7=14；②腰长为6，则底边长为：20﹣6×2=8，能构成三角形，6+6=12．故答案为：12或144．（2017秋•诸暨市期末）已知等腰三角形的周长为8，其中一边长为2，则该等腰三角形的腰长为_____．【解答】解：①2是腰长时，底边为：8﹣2×2=4，三角形的三边长分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边长时，腰长为：×（8﹣2）=3，三角形的三边长分别3、3、2，能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的腰长是3．故答案为：3．5．（2018春•李沧区期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_______°．【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°=138°；②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣48°=42°．故答案为：42或138．6．（2018春•邗江区期中）已知等腰三角形的一条边等于4，另一条边等于9，那么这个三角形的第三边是_____．【解答】解：当4为底时，其它两边都为9，4、9、9可以构成三角形；当4为腰时，其它两边为4和9，因为4+4=8＜9，所以不能构成三角形．故答案为：9．知识点2 等腰三角形的性质---边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【解析】解：设∠ACE=x，∠ECD=y，∠DCB=z，∵BC=BE，+，∴∠CED=∠ECB=y z∵AC=AD，+，∴∠ADC=∠ACD=x y+-，在△CDB中，∠B=x y z+-，在△ACE中，∠A=y z x在△ABC中，∠ACB=90°，+-++-=90°，∴∠A+∠B=90°，即x y z y z x∴2y=90°，解得y=45°．于是∠DCE=45°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=（AB+AC+BC）-（AC+BC）=AB，∴AB=40﹣24=16．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解. 【随堂练习】1．（2017春•成华区期末）如图△ABC中，AB=AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE=CD，CF=BD．若∠EDF=50°，则∠A的度数为_____．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中，∴△BDE≌△CFE．∴∠BDE=∠CFD，∵∠EDF=50°，∴∠BDE+∠CDF=∠CDF+∠CFD=130°，∴∠C=50°∵AB=AC，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，故答案为：80°．2．（2017秋•浦东新区校级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【解答】解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．知识点3等腰三角形的性质---三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.【典例】1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．【方法总结】本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.【随堂练习】1．（2017秋•莘县期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE=CD，连接DE，求证：BD=DE．【解答】证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠ACB，∴∠E=∠DBE，∴BD=DE．2．（2017秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．知识点4等腰三角形的判定与性质1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.【典例】1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．【答案】9【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；②以AB作为等腰三角形的一个腰，当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，综合①②可知，符合条件的点C共有9个.故答案是：9.【方法总结】本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．【答案】10或103【解析】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：当P点在O的左侧时，∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t∴当PO=QO时，10﹣2t=t；解得t=103时，△POQ是等腰三角形；即当t=103如图2所示：当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形，∵∠BOC=60°，∴△POQ是等边三角形，∴PO=QO=PQ∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；∴2t﹣10=t；解得t=10；故答案为：10或10．3【方法总结】本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．【解析】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．【方法总结】本题主要考查的是“平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.模型如下：如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）上述条件任意两个成立则第三个也成立.即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.【随堂练习】1．（2018•安徽模拟）如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，∴∠BAD=∠G，∴AB=BG，∴D是AG的中点，又∵DE∥BG，∴E是AB的中点，F是AC的中点，∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2，又∵EF=2DF，∴DF=1，∴DE=3，∴BG=2DE=6，∴AB=6，故选：B．2．（2018•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为_____．【解答】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠AEG，∴AG=EG，同理可得，EF=CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=AB：BC：AC=3：4：5，设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=4k=．故答案为：．3．（2017春•平南县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB上的点，BD=CD=5，则AD=______．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵BD=DC，∴∠B=∠DCB，∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=90°，∴∠A=∠DCA，∴AD=DC=5，故答案为5．综合运用1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.【答案】2【解析】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故答案为：2．2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE其中正确的结论有_________．【答案】①④【解析】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；21④∵D 是BC 的中点，∴BD=DC ，∵AB=CE ，∴AB+BD=CE+DC=DE ，故④正确．故其中正确的结论有①④．故答案为：①④．3.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE=AF ，求证：DE=DF ．【解析】证明：连接AD ，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD=∠FAD ，在△AED 和△AFD 中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE=DF ．4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．【解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=90°，∵∠D=20°，∴∠CAD=90°-∠D =90°-20°=70°，∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD=70°，∵∠BAC=70°，∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC- ∠C =40°，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，23∵△ABC 是等腰三角形，∴DB 是∠ABC 的平分线．5.已知等腰三角形△ABC ，AB=AC ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．【解析】解：如图，在△ABC 中，AB=AC ，且AD=BD ．设AB=AC=x ，BC=y ，（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时，根据题意得，152x x +=，122x y +=，解得x=10，y=7．（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时，根据题意得，122x x +=，152x y +=，解得x=8，y=11，故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．6.如图，O 是△ABC 的∠ABC ，∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=16，求△ODE 的周长.【解析】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OD∥AB，∴∠ABO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴OD=BD，同理OE=CE，∵BC=16，则△ODE的周长为：OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．。

等腰三角形的判定及等边三角形

等腰三角形【知识要点】知识点1 等腰三角形的概念有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.知识点2 等腰三角形的性质性质1：“等边对等角”――等腰三角形的两个底角相等性质2：“三线合一”――等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.知识点3 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.【典型例题】一、等腰三角形的性质例1．已知等腰三角形的一个内角是110°，求另外两个角的度数 . 例2.（1）若等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角为；（2）若等腰三角形的两个内角和为100°，则它的顶角为 .（3）等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两个角为 .例3．等腰三角形的底角与顶角的度数之比为2∶1，则顶角为( )A.72°B.36°C.36°或72°D.18°例4．若等腰三角形的底边长是8cm，腰长是5cm，则这个等腰三角形的周长是( )A.21cmB.18cmC.18cm或21cmD.13cm或26cm例5．如果等腰三角形的三边长均为整数，且它的周长为10cm，那么它的三边长分别为 . 例6.若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则三角形的一个底角是例7．如图所示，在△ABC中，AB=AC=CD，AD=DB，求∠BAC的度数.性质练习1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是5、如图，在△ABC中，AB=AC，（1）若AD平分∠BAC，那么、（2）若BD＝CD，那么、（3）若AD⊥BC,那么、二、等腰三角形的判定例1．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E是AD延长线上一点，连接BE，CE.求证:等腰△BEC.例2.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC外角∠DAC的平分线.试判断AE与BC的位置关系.例3.如图，在△ABC中.AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC与∠A的关系.例4.已知：如图，OA 平分BAC ∠，12 ∠∠．求证：ABC △是等腰三角形．例5.如图，已知点O 是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点，且OD ∥AB ，OE ∥AC. （1）图形中共有哪几个等腰三角形？选一者证明；（2）试说明△ODE 的周长与BC 的关系；（3）若BC=12cm ，则△ODE 的周长 .例6.如图：△ABC 的边AB 的延长线上有一个点D ，过点D 作DF ⊥AC 于F ，交BC 于E ，且BD =BE ，求证：△ABC 为等腰三角形。

16章复习1等腰三角形和等边三角形

B
A
E
D
C
2、（1）△ABC中，AD 平分∠BAC，若 ∠B=20°，∠C=40°，且AB=16，AC=10，求 CD的长.
B
A
E
D C
2、（2）△ABC中， AD平分∠BAC， ∠C=2∠B，求证： AB=CD+AC.
A
高线保证等腰三角形的形成
B C
E
D
角的倍半关系为等腰三角形的形成创造了条件
A
100° D 60° 60° 40° 20° 100° 80° 40°
20° 20°
B
E
F
C
A
D
4、（1）已知AD//BC，∠ADC、 ∠BCD的平分线交AB边于点E，试确定AD、BC与CD的关系，并证明.
4、（2）△ABC中，AD平分 ∠CAB，AD⊥CD . ①若AB=AC+2CD，求证：∠ACB=3∠B.
三、等腰三角形有关结论：（1）等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）（2）等腰三角形的底边上的中点到两腰的距离相等。（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) （4）等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 (5)在直角三角形中，30度锐角所对的直角边等于斜边的一半。
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD 垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD＝2CE．
F A E D B C
如图，在△ABC中，已知AB＝AC， ∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC， EC＝BD，DF＝FE．求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）AF⊥DE．

第一章第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)(解析版)

第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01 等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC D 中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD Ð=Ðìï=^Ð=Ð^Ð=Ðíï^î==若则若则若，则知识点02 等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)21D C B A题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm，则第三边的长为cm．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm，则底边为4cm，则第三边的长为8cm，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm，则底边为8cm，则第三边的长为4cm，+=，故不能组成三角形．448故答案为：8．【变式训练】解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02 根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03 根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ^，90BAD Ð=°∴EBA BAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð【答案】10【详解】解：AB Q 5BD CD \==，210BC BD \==，故答案为：10．(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC Ð=°，AB ∴222(2)BC AB AC =+=+∴190452B ACB Ð=Ð=´°=°，∵F 为BC 中点，题型04 根据等腰三角形三线合一进行证明 (1)若106BAC DAE ÐÐ=°，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =Ð=Ð=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ^，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD^连接AC AD ，∵AB AE ABC AED BC ED =Ð=Ð=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ^．2．如图，在ABC V 中，AB AC =，40BAC Ð°=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD Ð的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形Ð，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BCV是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C Ð=ÐÐ=Ð，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C Ð=Ð，即可证明ABC V 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C Ð=ÐÐ=Ð，，∵AD 平分CAE Ð，∴EAD CAD Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，∴ABC V 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC V 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x Ð=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到1【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06 等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC Ð交AC 于点E ．(1)若40C Ð=°，求BAD Ð的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC V 的周长，AEF △的周长为15，求ABC V 的周长．【详解】（1）解：AB AC =Q ，C ABC \Ð=Ð，∵40C Ð=°，∴40ABC Ð=°，AB AC =Q ，D 为BC 的中点，AD BC \^，90BDA \Ð=°，∴90904050BAD ABC °°°°Ð=-Ð=-=；（2）证明：BE Q 平分ABC Ð，ABE EBC \Ð=Ð，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF Ð=Ð，∴EBF FEB Ð=Ð，BF EF \=，BEF \V 是等腰三角形；（3）解：AEF QV 的周长为15，15AE AF EF \++=，BF EF =Q ，15AE AF BF \++=，即15AE AB +=，BE Q 平分ABC V 的周长，=15AE AB BC CE \++=，ABC \V 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ^于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（）．A ．20°B ．80°C ．100°D ．20°或100°【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80°，∴等腰三角形的顶角为180808020°-°-°=°．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC V 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B Ð=°，则CAD Ð的度数为（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC V 是等腰三角形的是（）A ．40B Ð=°，80C Ð=°B ．123A BC ÐÐÐ=::::C ．2A B CÐ=Ð+ÐD ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利A．16【答案】A【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．二、填空题【答案】117°/117度【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，根据等边对等角可得54BAC BCA °Ð=Ð=，CAE CEA Ð=Ð127CAE ACB Ð=Ð=°，1BAD Ð=Ð【答案】10°，80°，140°或20°【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC Ð=°，30ACB Ð=°，+ ∵BAC Ð是ABP V 的一个外角，∴20BAC APB ABP Ð=Ð+Ð=°，∵AB AP =，∵AB AP =，20BAP Ð=°，∴180802BAP ABP APB °-ÐÐ=Ð==°；当BA BP =时，如图：∵BA BP =，∴20BAP BPA Ð=Ð=°，∴180140ABP BAP BPA Ð=°-Ð-Ð=°；当PA PB =时，如图：∵PA PB =，∴20BAP ABP Ð=Ð=°；综上所述：当ABP V 是等腰三角形时，故答案为：10°，80°，140°或20°．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm 的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ^Q ，AD AC =AE \平分CAD Ð，CAE DAE \Ð=Ð，在CAE V 和DAE V 中，当AD BC^时，Q AB AC=，\142BD CD BC===，Q DEFV的周长DE DF EF=++，\DEFV的周长CE EF CD=+++(1)若120BAC Ð=°，求BAD Ð(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE Ð=Ð，求【答案】(1)见解析(2)108BAC Ð=°∵,AB AC AD AE ==.∴,BF CF DF EF ==,∴BD CE =.（2）∵,AB AC AD AE ==，AF ^∴BAF CAF Ð=Ð，DAF EAF Ð=Ð【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C Ð=Ð，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =Ð∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（4）同法（2）得到,FD BD CE EF ==，推出ADE V 的周长等于+AB AC ，即可得出结果；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C Ð=ÐÐ=Ð，∵AE 平分DAC Ð，∴DAE CAE Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，∴ABC V 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD Ð，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC Ð=ÐÐ=Ð，∴A ABC CB =Ð∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．理解概念：（1）如图1，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CD AB ^，请写出图中两对概念应用：（2）如图2，在ABC V 中，CD 为角平分线，40A Ð=°，60B Ð=°．求证：动手操作：（3）当ACD V 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A Ð=Ð=°，BCD Ð=∴100ACB ACD BCD Ð=Ð+=°∠当ACD V 是等腰三角形，DA AC =则65ACD ADC Ð=Ð=°，BCD Ð∴5065115ACB Ð=°+°=°；当ACD V 是等腰三角形，CD AC =则1803ACD BCD B °-Ð=Ð=Ð=∴2603ACB ACD BCD Ð=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD Ð=Ð，设BDC BCD x Ð=Ð=，则B Ð=则1802ACD B x Ð=Ð=°-，由题意得，180250x x °-+°=，230x °。

第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质

MING XIAO KE TANG
证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°. 又∵AC＝AB，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD(AAS)． ∴CE＝BD.
MING XIAO KE TANG
知识点2 等边三角形的性质
4．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C )
A．60°
7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝ 3 ．
MING XIAO KE TANG
8．(2019·镇江)如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边 AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1 ＝ 40° ．
MING XIAO KE TANG
9．如图，在等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA 延长线上一点，且AE＝CD，求证：BE＝AD.
MING XIAO KE TANG
在△ABO和△AEO中，
AB＝AE，
∠BAO＝∠EAO， AO＝AO， ∴△ABO≌△AEO(SAS)．
∴∠E＝∠ABO＝30°.
MING XIAO KE TANG
16．(教材P7习题T3变式)如图，△ABN是线段CA上任意一点，且BM＝CN，BN与 AM相交于点Q.
D．90°
MING XIAO KE TANG
14．如图，等腰△ABC的面积为12，AB＝AC＝6，点D为BC边
上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE＋DF＝( B )
A．2
B．4
C．6
D．8
【方法指导】等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于腰上的高．
MING XIAO KE TANG
A．(1，1)
B．(1， 3)
C．( 3，1)

等腰三角形和等边三角形习题例题

等腰三角形和等边三角形习题例题等腰三角形和等边三角形是初中数学中非常重要的几何图形。

掌握它们的性质和特点，对于解决相关的习题和例题至关重要。

我们先来了解一下等腰三角形的定义和性质。

等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

等腰三角形的两腰所对的角也相等，我们称之为“等边对等角”。

而且等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，也就是我们常说的“三线合一”。

下面通过一道例题来加深对等腰三角形性质的理解。

例题：在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，∠A ＝ 80°，求∠B 和∠C 的度数。

解题思路：因为 AB ＝ AC，所以∠B ＝∠C。

又因为三角形内角和为 180°，所以∠B ＝∠C ＝（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°接下来看看等腰三角形的判定。

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

例题：在三角形 ABC 中，∠B ＝∠C，求证：AB ＝ AC。

证明：作∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D。

因为∠B ＝∠C，∠BAD ＝∠CAD，AD ＝ AD，所以△ABD ≌△ACD（AAS），所以AB ＝ AC。

再来说说等边三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，三个角也都相等，并且每个角都是 60°。

例题：已知等边三角形 ABC 的边长为 6，求它的高。

解题思路：先作等边三角形的高 AD，因为等边三角形三线合一，所以 BD ＝ 3。

在直角三角形 ABD 中，根据勾股定理可得，AD ＝√（6² 3²）＝3√3 。

下面我们通过一些习题来巩固所学知识。

习题 1：在等腰三角形中，一个角是 50°，求另外两个角的度数。

答案：当 50°是顶角时，另外两个角的度数都是（180° 50°）÷ 2 ＝65°；当 50°是底角时，另一个底角是 50°，顶角是 180° 50°× 2 ＝ 80°。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

新知：等腰三角形
1.等腰三角形的定义：
2.等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的三线合一
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。

（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
4.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)
6.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴
7.等腰三角形的判定：
1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)
2.在同一三角形中，等角对等边
8.等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形
9.等边三角形的性质：
⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）
⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。

⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。

（四心合一）
⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
10.等边三角形的判定：
⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）
⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
(4)两个内角为60度的三角形是等边三角形
(5)说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

(6)等边三角形的性质与判定理解：
11、三角形中的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：
等腰三角形的性质应用及判定
例1如图，△ABC中，D、E分别是位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

例一：AC、AB上的点，BD与CE交于点O.出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;
③BE=CD.
1.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）
2.选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形
例2如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,求证：△CDE为等腰三角形
例3如图将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（）
①DC'平分∠BDE ②BC长为(2
2 )a
③△BC'D是等腰三角形④△CED的周长等于BC的长
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
E
B C
O D E
A
B C D
例4如图，△ABC 是边长为1的正三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M,N 分别在AB,AC 上，则△AMN 的周长是
追加练习：
1.如图所示．△ABC 是边长为1的正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB ，AC 于M ，N ，连接MN ，求△AMN 的周长．
2.如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN 。

探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明。

例5已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（） A.20° B.120° C.20°或120° D.36°
A
M N
D
B
C
例6等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为
等边三角形的性质应用及判定
例7如图，在等边△ABC 中，点D,E 分别在边BC,AB 上，BD=AE,AD 与CE 交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)求∠DFC 的度数。

例8如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC,BC 为边，在Rt △ABC 外作两个等边三角形△ACE 和△BCF ，连接BE,AF 。

求证：BE=AF
例9如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N,有如下结论：①△ACD ≌△DCB; ②CM=CN; ③AC=DN.其中正确结论的个数是 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
例10如图，点C 在线段AB 上，在AB 的同侧作等边三角形ACM 和BCN ，连三角形ACM 和BCN ，连接AN ，BN ，若∠MBN=38°，则∠ANB 的大小等于。

B
C
D
A
B
E
例11已知，如图，延长△ABC 的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F ，得到△DEF 为等边三角形，求证：（1）△AEF ≌△CDE;(2)△ABC 为等边三角形
等腰直角三角形的性质应用及判定
例12如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，D 是BC 延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD=
例13已知，如图，AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，AD 是 ∠A 平分线，求证：AC+CD=AB
例14两个全等的含30°，60°的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E,A,C 三点一条直线上，连接BD,取BD 的中点M,连接ME,MC,试判断△EMC 的形状，并说明理由
1.已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．
F E
D
2、如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若AB=18，AC=16，求△AEF 的周长？
3、已知BO 、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，OE ∥AB ，OF ∥AC ，如果已知BC 的长为a ，你能知道△OEF 的周长吗？.
4、如图，在ΔABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F. 求证：DE+DF=AB
5、已知:如图，△BDE 是等边三角形，A 在BE 延长线上，C 在BD 的延长线上，且AD=AC 。

求证：DE+DC=AE 。

B C F E
O
6、等边三角形△ABC中，AD=CE,求∠BPC的度数。

7. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC+AB=6cm，则AB=cm
5.已知：等边△ABC中，如图，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等边△CDE,连结AD,则有AD∥BC,上述结论还成立吗？答。

2016年最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题

新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析

等腰、等边及直角三角形知识点归类

等腰等边三角形典型题

等腰三角形知识点总结等腰三角形知识点归纳重点

人教版八年级上册数学等腰三角形知识点及对应练习(附参考解析)

等腰三角形知识点+经典例题

等腰三角形和等边三角形

等腰三角形与等边三角形

等腰三角形与等边三角形的性质知识点总结

九年级数学下册 等腰、等边及直角三角形知识点总结

等腰三角形知识点+经典例题

七年级数学下册专题第13讲等腰三角形重点、考点知识总结及练习

等腰三角形的判定及等边三角形

最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题

16章复习1等腰三角形和等边三角形

第一章第01讲 等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)(解析版)

第2课时 等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质

等腰三角形和等边三角形习题例题

九年级数学下册等腰、等边及直角三角形知识点总结

第一章第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)(解析版)

第2课时等腰三角形的特殊性质和等边三角形的性质