经济类概率统计 条件分布与独立性

P{Y
yj
X
xi }
P{ X xi ,Y yi } P{ X xi }
pij , j 1,2, pi .
为 在X xi条 件 下 随 机 变 量Y的 条 件 分 布 率 。
例1 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。其一是紧固3 只螺栓，其二是焊接2处焊点。以X表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良 的数目，以Y表示由机器人焊接的不良焊点的数目。具积累的资料知(X,Y) 具有分布律：
p. j P{Y y j } pij , j 1, 2,L . i 1
设p. j 0，考虑在事件{Y y j }已发生的条件下事件
{X xi}发生的概率，则
P{X
xi
Y
yj}
P{X xi ,Y y j } P{Y y j }
pij p. j
, i 1, 2,L
2. 二维离散型随机变量的条件分布律*
练习 设随机变量(X,Y)的概率密度为
Axy, ( x, y) G
f (x, y)
0,
其它
其中G是由0≤x≤2,0≤y≤x2围成的区域。求：
⑴系数A；⑵fX(x), fY(y)；⑶X,Y是否独立。
解
（1）1
2
x2
f ( x, y)dxdy A dx xydy 16A / 3
0
0
G
故A 3 /16.
(2) f X ( x) 3 /16
x2 0
xydy 3x5 / 32,
0,
0 x2 其它
fY
(
y
)
3
/
16
2
xydx 3 y(4 y) / 32,
y
0,
0 y4 其它
(3) f ( x,y) f X ( x) fY ( y)
X,Y不 独 立 。
X Y
0
1
2
3
P{Y=j}
0 1 2
P{X=i}
0.840 0.060 0.010
0.910
0.030 0.010 0.005
0.045
0.020 0.008 0.004
0.032
0.010 0.002 0.020
1.000
⑴求在X=1的条件下，Y的条件分布律； ⑵求在Y=0的条件下，X的条件分布律。
P{Y 0}
0.900 90
P{ X 3Y 0} P{ X 3,Y 0} 0.010 1
P{Y 0}
0.900 90
可以用表格表示为：
Y|X=1 P
01 2 6/9 2/9 1/9
X|Y=0 0
1
23
P
84/90 3/90 2/90 1/90
二、二维连续型随机变量的条件概率*
设 二 维 随 机 变 量( X ,Y )的 概 率 密 度 为f ( x, y),( X ,Y )关 于
解 在X=1的条件下，Y的分布律为
P{Y 0 X 1} P{ X 1,Y 0} 0.030 6
P{ X 1}
0.045 9
P{Y 1 X 1} P{ X 1,Y 1} 0.010 2
P{ X 1}
0.045 9
P{Y 2 X 1} P{ X 1,Y 2} 0.005 1
Y的 边 缘 概 率 密 度 为fY ( y)。 若 对 于 固 定 的y, fY ( y) 0， 则 称
f ( x, y) 为 在Y y的 条 件 下X的 条 件 概 率 密 度 ， 记 为 fY ( y)
fX Y (x y)
f (x, y) fY ( y)
称
x
fX Y (x
y)dx为 在Y
设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若
P{Y y j } 0， 则 称
P{ X
xi Y
yj}
P{X xi ,Y P{Y y j }
yi }
pij , i 1,2, p. j
为 在Y y j条 件 下 随 机 变 量X的 条 件 分 布 率 。
同 样 ， 对 于 固 定 的i， 若P{ X xi } 0， 则 称
§3.4 二维随机变量的条件分布
一 、 二维离散型随机变量的条件分布
1. 条件概率 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布率为
P{X xi ,Y y j } pij , i, j 1, 2,L . ( X ,Y )关于X 和Y的边缘分布率分别为
pi. P{X xi} pij , i 1, 2,L . j 1
P{ X 1}
0.045 9
在Y=0的条件下，X的分布律为
P{ X 0Y 0} P{ X 0,Y 0} 0.840 84
P{Y 0}
0.900 90
P{ X 1Y 0} P{ X 1,Y 0} 0.030 3
P{Y 0}
0.900 90
P{ X 2Y 0} P{ X 2,Y 0} 0.020 2
设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函 数及边缘分布函数。若对所有x,y P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y} 则称随机变量X和Y是相互独立的。 等价命题有 F(x,y)=FX(x)FY(y) f(x,y)=fX(x)fY(y) P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj},i,j=1,2, …
y的 条 件 下X的 条 件 分 布 ， 记 为
x f (x, y)
FX Y ( x y) P{ X x Y y}
dx fY ( y)
类 似 地 ， 可 以 定 义fY X ( y x)
f (x, y) 和 fX (x)
FY X ( y x)
y
f (x, y) dx
fX (x)
三 随机变量的独立性