2008年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学北京卷(理科)
2008年普通高等学校校招生全国统一考试数学北京卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于(A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3| (2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin52π,则 (A ）a >b >c (B)b >a >c (C)c>a>b (D)b >c>a(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件（4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是x ≤0, (A)0(B)1(C)3(D)9(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m 满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于 （A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90°(8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。
过点P 作垂直平面BB 1D 1D 的直线，与正方体面相关于M 、N ，设BP =x ,MN =y ,则函数y =f (x )的图象大致是第Ⅱ卷二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(理科)2730
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（理科） 测试题 2019.91,若实数满足则的最小值是（ ）A ．0B ．1C．92,已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）A ．B ．C ．D ．3,过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．4,如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）5,已知函数（）的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．6,如图，在三棱锥中，，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；x y ，1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤23x yz +={}n a *p q ∈N ，p q p q a a a +=+26a =-10a 165-33-30-21-y x =22(5)(1)2x y -+-=12l l ，12l l ，y x =30456090P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D M N ，BP x =MN y =()y f x =2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭0ω>πω()f x 2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，P ABC -2AC BC ==90ACB ∠=AP BP AB ==PC AC ⊥PC AB ⊥B AP C --（Ⅲ）求点到平面的距离．7,甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列． 8,已知函数，求导函数，并确定的单调区间．9,已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程； （Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．10,对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列．对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列； 又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．测试题答案CAPB A B C D ，，，A ξA ξ22()(1)x bf x x -=-()f x '()f x ABCD A C ，2234x y +=BD BD (01)，AC 60ABC ∠=ABCD 12n A a a a ：，，，1T 1T A 1()T A ：12111n n a a a ---，，，，12m B b b b ：，，，2T 2T B 2()T B 2221212()2(2)m mS B b b mb b b b =+++++++0A 121(())(012)k k A T T A k +==，，，0A 12A A ，A 1(())()S T A S A =0A K k K ≥1()()k k S A S A +=1, 【标准答案】: B【试题分析】: 解出可行域的顶点，带入验证。
北京市高考理科数学试题及答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ）A ．{}|34x x x ≤>或B ．{}|13x x -<≤C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知ABC △中，2a =，3b =，60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．305．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A ．1()11(1)f x x x -=+-> B ．1()11(1)f x x x -=--> C ．1()11(1)f x x x -=+-≥D ．1()11(1)f x x x -=--≥6．若实数x y ，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤，，，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30B ．45C ．90D ．186A BC D M N P A 1B 1C 1D 18．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 10．不等式112x x ->+的解集是 ． 11．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么a b 的值为 ．12．5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）13．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．14．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，12；②2212xx >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小．17．（本小题共13分）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．（Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．18．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．ACBP已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l //． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．20．（本小题共13分）数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n =，，），λ是常数．（Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．参考答案1．D ． 2. A ． 3. A ． 4．C ． 5．B ． 6．A ． 7．C ． 8. B 9．34 10．2x -< 11．-8 12．2510;C =32 13．4，-2 14．② 15.解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-=+112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤． 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16.解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP =，PD AB ∴⊥．AC BC =，CD AB ∴⊥．PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，．AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．ACBDPACBE P在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，BE AB ==sin BC BEC BE ∴∠==∴二面角B AP C --的大小为．17.解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+．又32()3f x x ax bx c =+++所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32f x x bx =++．所以2()33(0)f x x b b '=+≠． 当0b <时，由()0f x '=得x =x 变化时，()f x '的变化情况如下表：所以，当0b <时，函数()f x 在(-∞上单调递增，在(上单调递减，在)+∞上单调递增．当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增． 18.解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．19.解：（Ⅰ）因为AB l //，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x⎧+=⎨=⎩， 得1x =±．所以12AB x =-=又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232m x x +=-，212344m x x -=，所以122AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =．所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++．所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-．20.解：（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-=，，，且11a =．所以当21a =-时，得12λ-=-，故3λ=． 从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-．（Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列，证明如下：由11a =，21()n n a n n a λ+=+-得22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---．若存在λ，使{}n a 为等差数列，则3221a a a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-， 解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-，43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列． （Ⅲ）记2(12)n b n n n λ=+-=，，，根据题意可知，10b <且0n b ≠，即2λ>且2*()n n n λ≠+∈N ，这时总存在*0n ∈N ，满足：当0n n ≥时，0n b >； 当01n n -≤时，0n b <．所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数， 则00n a <，从而当0n n >时，0n a <；若0n 为奇数，则00n a >， 从而当0n n >时0n a >．因此“存在*m ∈N ，当n m >时总有0n a <” 的充分必要条件是：0n 为偶数，记02(12)n k k ==，，，则λ满足22221(2)20(21)210k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩． 故λ的取值范围是22*4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。
北京市高考理科数学试题及答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ）A ．{}|34x x x ≤>或B ．{}|13x x -<≤C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知ABC △中，a =b =60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．305．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A．1()11)fx x -=+>B．1()11)f x x -=> C．1()11)f x x -=+≥D．1()11)fx x -=-≥6．若实数x y ，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤，，，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ） A ．30B ．45C ．90D ．186A BC D M N P A 1B 1C 1D 18．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 10．不等式112x x ->+的解集是 ． 11．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么a b 的值为 ．12．5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）13．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，((0))f f = ；函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ．14．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，12；②2212xx >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小．17．（本小题共13分）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数． （Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．18．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率．ACBP已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l //． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．20．（本小题共13分）数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n =，，），λ是常数． （Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．参考答案1．D ． 2. A ． 3. A ． 4．C ． 5．B ． 6．A ． 7．C ． 8. B 9．34 10．2x -< 11．-8 12．2510;C =32 13．4，-2 14．② 15.解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤．因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16.解：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP =，PD AB ∴⊥． AC BC =，CD AB ∴⊥．PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥． 又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，．AB BP =，BE AP ∴⊥． EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．ABDPACBE P在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，2BE AB ==sin 3BC BEC BE ∴∠==．∴二面角B AP C --的大小为arcsin 3．17.解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+．又32()3f x x ax bx c =+++所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32f x x bx =++．所以2()33(0)f x x b b '=+≠． 当0b <时，由()0f x '=得x =x 变化时，()f x '的变化情况如下表：所以，当0b <时，函数()f x 在(-∞，上单调递增，在(上单调递减， 在)+∞上单调递增． 当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增．18.解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．19.解：（Ⅰ）因为AB l //，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，． 由2234x y y x ⎧+=⎨=⎩，得1x =±．所以12AB x =-=．又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =122ABC S AB h ==△． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232mx x +=-，212344m x x -=，所以12AB x =-=又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-．20.解：（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-=，，，且11a =． 所以当21a =-时，得12λ-=-，故3λ=．从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-．（Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列，证明如下：由11a =，21()n n a n n a λ+=+-得22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---．若存在λ，使{}n a 为等差数列，则3221a a a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-， 解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-，43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列．（Ⅲ）记2(12)n b n n n λ=+-=，，，根据题意可知，10b <且0n b ≠，即2λ> 且2*()n n n λ≠+∈N ，这时总存在*0n ∈N ，满足：当0n n ≥时，0n b >；当01n n -≤时，0n b <．所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数， 则00n a <，从而当0n n >时，0n a <；若0n 为奇数，则00n a >，从而当0n n >时0n a >．因此“存在*m ∈N ，当n m >时总有0n a <”的充分必要条件是：0n 为偶数，记02(12)n k k ==，，，则λ满足22221(2)20(21)210k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩． 故λ的取值范围是22*4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。
2008高考北京数学理科试题及详细解答
2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ） A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤解：],4,1[-=B C U )(B C A U =}31|≤≤-x x 2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>解：0.521a =>，π0log 3log 1b ππ<=<=，222πlog sinlog 105c =<=，a b c ∴>> 3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：函数()()f x x ∈R 存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立。
4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解：把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。
5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．9解：可行域是以(0,0),(0,1),(0.5,0.5)A B C -为顶点的三角形（如图），200x y y +≥+≥，0,0x y ∴==时20x y +=取最小值，0min 31z ==。
2008年高考试题——数学理(北京卷)(有答案)
2008年高考试题——数学理(北京卷)(有答案) 2008年高考试题——数学理(北京卷)(有答案)一、选择题1. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$，则 $f[f(x)]$ 的定义域为（）A. $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$B. $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$C. $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$D. $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$解析：由于 $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$，所以 $f(x)$ 的定义域为$x\neq1$，即 $(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。
因此，当 $x\neq1$ 时，$f[f(x)]$ 的定义域为$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。
因此，选项A、B、C、D 中只有选项 A 正确。
答案：A2. 已知函数 $f(x)=\log_2(x+2)$，则 $f(x)$ 的值域为（）A. $(-\infty,1]$B. $(-\infty,0]$C. $(-\infty,2]$D. $(-\infty,+\infty)$解析：由于 $f(x)=\log_2(x+2)$，所以 $f(x)$ 的定义域为 $x>-2$。
当$x>-2$ 时，$f(x)$ 的值域为 $(-\infty,+\infty)$。
因此，选项 A、B、C、D 中只有选项 D 正确。
答案：D3. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}$，则 $f[f(x)]$ 的定义域为（）A. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$B. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$C. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$D. $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$解析：由于$f(x)=\dfrac{1}{x}$，所以$f(x)$ 的定义域为$x\neq0$，即 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
(精编精校)2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 理科数学 解析版
2008年高考北京理科数学详解一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()UA B 等于（ ）A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤ D ．{}|13x x -≤≤【标准答案】: D【试题分析】: C U B=[-1, 4]，()UA B ＝{}|13x x -≤≤【高考考点】:集合 【易错提醒】: 补集求错 【备考提示】: 高考基本得分点 2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【标准答案】: A【试题分析】:利用估值法知a 大于1，b 在0与1之间，c 小于0. 【高考考点】: 函数的映射关系，函数的图像。
【易错提醒】: 估值出现错误。
【备考提示】: 大小比较也是高考较常见的题型，希望引起注意。
3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【标准答案】: B【试题分析】: 函数()()f x x ∈R 存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。
【高考考点】: 充要条件，反函数，映射关系，函数单调性。
【易错提醒】: 单调性与一一对应之间的关系不清楚 【备考提示】: 平时注意数形结合训练。
4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【标准答案】: D【试题分析】: 把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义。
2008年高考理科数学试题及参考答案(北京卷)
2008年高考北京数学理科试卷含详细解答一、选择题（本大题共8小题，共0分）1．（2008北京理1）已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(A B C U ⋂等于（ ） A.{}|24x x -<≤B.{}|34x x x 或≤≥ C.{}|21x x -<-≤ D.{}|13x x -≤≤【答案】D【解题关键点】 C U B=[-1, 4]，)(A B C U ⋂＝{}|13x x -≤≤ 【结束】2．（2008北京理2）若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A.a b c >> B.b a c >>C.c a b >>D.b c a >>【答案】A【解题关键点】利用估值法知a 大于1，b 在0与1之间，c 小于0. 【结束】3．（2008北京理3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解题关键点】函数()()f x x ∈R 存在反函数，至少还有可能函数()f x 在R 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。
【结束】4．（2008北京理4）若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】 D【解题关键点】把P 到直线1x =-向左平移一个单位，两个距离就相等了，它就是抛物线的定义 【结束】5．（2008北京理5）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是（ ）A.0B.1D.9【答案】 B【解题关键点】 解出可行域的顶点，带入验证。
高考试卷 全国普通高校招生统一考试数学(北京卷理科)(附答案 全字版)
高考试卷全国普通高校招生统一考试数学(北京卷理科)(附答案全字版)自己整理的高考试卷全国普通高校招生统一考试数学(北京卷理科)(附答案全字版)相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！2008年全国普通高等学校招生统一考试数学(理工农医)(北京卷)本试卷分为两部分：第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)。
第一册1-2页，第二册3-9页，总分150。
考试时间120分钟。
考试结束后，这张试卷和答题卡应该一起归还。
卷一(选择题总分40)注意事项：1.在回答第一卷之前，考生必须在答题卡上写下自己的姓名、准考证号和考试科目。
2.为每个小问题选择答案后，用铅笔将答题卡上相应问题的答案标签涂黑。
如果需要改，用橡皮擦擦干净，然后选择其他答案。
你不能在试卷上回答它们。
一、这个大题有8个小题，每个小题5分，一共40分。
A.公元前2年.如果、那么()A.公元前3年.“函数中有反函数”就是“函数是世界上递增的函数”()A.充分和不必要的条件。
如果一个点到一条直线的距离比它点到一个点的距离小1，那么这个点的轨迹就是()A.圆b .椭圆c .双曲线d .抛物线5。
如果满足实数，则最小值为()A.0B.1C.D.9 6。
已知序列满足任意，则等于()A.公元前7年.圆的两条切线通过直线上的一点，当直线对称时，它们之间的夹角为()A.公元前8年.如图，移动点在立方体的对角线上。
交叉点是垂直于平面的直线，与立方体的表面相交。
如果，那么函数的图像大致是()a b c d m n p a1 B1 C1 d1y x a . o y x b . o y x c . o y x d . o 2008年全国高考数学(理工农医)(北京卷)第二卷(共110分)注意事项：1.用钢笔或圆珠笔直接把答案写在试卷上。
2.答题前，请将密封线中的项目填写清楚。
2.填空题：这个大题有6个小题，每个小题5分，共30分。
把答案填在问题的横线上。
9.如果已知是虚数单位，那么实数。
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(理科)
2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（理科） 测试题 2019.91,若角的终边经过点，则的值为 ． 2,不等式的解集是 ．3,已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．4,的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）5,如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；函数在处的导数 ．6,已知函数，对于上的任意，有如下条件： ①；②；③．其中能使恒成立的条件序号是 ．7,已知全集，集合，，那么集合等于（ ）A ．B ．C ．D ．8,若，，，则（ ）α(12)P -，tan 2α112x x ->+a b 1204==a b a b 5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x ABC A B C ，，(04)(20)(64)，，，，，((0))f f =()f x 1x =(1)f '=2()cos f x x x =-ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，12x x ，12x x >2212x x >12x x >12()()f x f x >U =R {}|23A x x =-≤≤{}|14B x x x =<->或()UA B ð{}|24x x -<≤{}|34x x x 或≤≥{}|21x x -<-≤{}|13x x -≤≤0.52a =πlog 3b =22πlog sin 5c =A ．B ．C ．D ．9,“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10,若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线测试题答案1,【解析】 2,【解析】3, 【解析】4, 10 32【解析】由得故展开式中常数项为取即得各项系数之和为5, 2 -2【解析】6, ②a b c >>b a c >>c a b >>b c a >>()()f x x ∈R ()f x R P 1x =-(20)，P 43222tan 4tan 2,tan 2.11tan 3αααα-==-∴==-{}|2x x <-113110020 2.222x x x x x x x --->⇒->⇒>∴+<⇒<-+++8-1||||cos12044()8.2a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯-=-2510515531()(),r r r r r r T C x C x x --+⇒==1050r -=2,r =2510;C =1x =5(11)32.+=((0))(4)2;f f f ==(1) 2.AB f k '==-【解析】函数为偶函数，则 在区间上, 函数为增函数，7, 【标准答案】: D 【试题分析】: C U B=[-1, 4]，＝【高考考点】:集合【易错提醒】: 补集求错【备考提示】: 高考基本得分点8, 【标准答案】: A【试题分析】:利用估值法知a 大于1，b 在0与1之间，c 小于0.【高考考点】: 函数的映射关系，函数的图像。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(北京)
绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
不能答在试卷上。
一、 本题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于 (A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1(D)|x | -1≤x ≤3|(2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin 52,则 (A ）a >b >c (B)b >a >c (C)c>a>b(D)b >c>a(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件（D ）即不充分也不必要条件 （4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是x ≤0,(A)0(B)1(C)3(D)9(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m 满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于 （A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21 （7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30°（B ）45°(C)60°(D)90°(8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。
全国各地2008年数学高考真题及答案-(北京.理)含详解-推荐下载
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号 二
分数
得分 评分人
15
16
17
二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。
（9）已知(a-i)2=2i,其中 I 是虚数单位，那么实数 a=
在点 P1(x1,y1)处，其中 x1=1,y1=1,当 k≥2 时，
x1=xx-1+1-5［T（
yk=yk+1+T（
k 1
5
k 1
5
）-T（
）-T（
K 2
5
K 2
5
）
T（a）表示非负实数 a 的整数部分，例如 T(2,6)=2,T(0,2)=0. 按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2008 棵树种植点的坐标应为 。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 得 分 评分人
19
20
。
总分
,其展开式中的常数项为
得 分 评分人 （16）（本小题共 14 分） 如图，在三棱锥 P-ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
（Ⅰ）求证：PC⊥AC； （Ⅱ）求二面角 B-AP-C 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 APB 的距离.
得 分 评分人 （17）（本小题共 13 分） 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岁位服务，每上岗位至少 有一名志愿者. （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量 ξ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求 ξ 的分布列.
2008年北京市高考理科数学试题及答案
2008年北京市高考理科数学试题及答案2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学（北京卷）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()UA B I ð等于（ ）A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlogsin5c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ ）A ．0B ．1 CD ．96．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p qp qaa a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-7．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o8．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）C D M N P A 1 B 1C 1D 1A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知2()2a i i-=，其中i 是虚数单位，那么实数a =___________．10．已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+g b a b 的值为 _________ ． 11．若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n =_______ ，其展开式中的常数项为________ ．（用数字作答）12．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，((0))f f =________；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆________．（用数字作答） 13．已知函数2()cos f x x x=-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12xx >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 _________ ． 14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()kkkP x y ，处，其中11x=，11y=，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 __________ ；第2008棵树种植点的坐标应为________ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16．（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o，AP BP AB==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者． （Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．A CBP18．（本小题共13分）已知函数22()(1)x b f x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．19．（本小题共14分） 已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=o时，求菱形ABCD 面积的最大值．20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列12nA a a a L ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a ---L ，，，，．对于每项均是非负整数的数列12mB b b b L ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义2221212()2(2)m mS B b bmb b b b =+++++++L L ．设A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==L ，，，．（Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S AS A +=．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．1- 10．0 11．5 10 12．2 2-13．② 14．(12)， (3402)，三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（共13分）解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222xf x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16．（共14分） 解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP=Q ，ACBDPPD AB ∴⊥． AC BC =Q ， CD AB∴⊥． PD CD D=Q I ，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂Q 平面PCD ， PC AB∴⊥．（Ⅱ）AC BC =Q ，AP BP =，APC BPC∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC∴⊥．又90ACB ∠=o，即AC BC ⊥，且AC PC C=I，BC ∴⊥平面PAC ． 取AP 中点E ．连结BE CE ，．AB BP =Q ，BE AP ∴⊥． ECQ 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=o，2BC =，2BE AB ==sin 3BC BEC BE ∴∠==．ACBE P∴二面角B AP C --的大小为arcsin3．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ，∴平面APB ⊥平面PCD ． 过C 作CH PD ⊥，垂足为H ．Q平面APB I 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH∴的长即为点C 到平面APB 的距离．由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A=I，PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂Q 平面ABC ， PC CD∴⊥．在Rt PCD △中，12CD AB ==，2PD PB ==2PC ∴=．3PC CD CH PD ∴==g ．∴点C 到平面APB的距离为3．17．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件AE ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140．ACBD P H（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务， 则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)4P P ξξ==-==，ξ的分布列是18．（共13分） 解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-g3222(1)x b x -+-=- 32[(1)](1)x b x --=--．令()0f x '=，得1x b =-．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减．当2b >时，函数在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减．当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减． 19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=．因为A C，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得n <<．设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232n x x +=，212344n x x -=，11yx n=-+，22yx n=-+．所以122n y y+=．所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，．由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =-．所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=．（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o，所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD的面积2S =．由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)S n n ⎛=-+<< ⎝⎭．所以当0n =时，菱形ABCD的面积取得最大值 20．（共13分）（Ⅰ）解：0532A ：，，，1()3421T A ：，，，，121(())4321A T T A =：，，，；11()43210T A ：，，，，，2211(())4321A T T A =：，，，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12na a a L ，，，，则1()T A 为n ，11a -，21a-，L ，1na-，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a an a =+-+-+++-L222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-L ．又2221212()2(2)n nS A a ana a a a =+++++++L L ，所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++L L 2122()n n a a a n+-++++L2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12na a a L ，，，．当存在1i j n <≤≤，使得ija a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ， 则()()2()ji i j S B S A iaja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤．当存在1m n <≤，使得120m m n aa a ++====L 时，若记数列12ma a a L ，，，为C ，则()()S C S A =．所以2(())()S T A S A ≤． 从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k AT T A k +==L ，，，可知11()(())k k S AS T A +≤．又由（Ⅱ）可知1(())()kkS T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤．即对于k ∈N ，要么有1()()k k S AS A +=，要么有1()()1k k S AS A +-≤．因为()kS A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()kk k S A S AS A ++===L．即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．。
2008年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2008年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2008•北京）已知全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，那么集合A∩B等于（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x≤﹣1或x＞3} C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x＜3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意全集U=R，集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，根据交集的定义计算A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1或x≥4}，∴集合A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，故选C．【点评】此题主要考查集合的交集运算，比较基础．2．（5分）（2008•北京）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【考点】对数函数的单调区间；对数的运算性质．【分析】利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．【解答】解：，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A【点评】估值法是比较大小的常用方法，属基本题．3．（5分）（2008•北京）“函数f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立【解答】解：“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；反之取f（x）=﹣x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数．故选B【点评】本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．4．（5分）（2008•北京）若点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】抛物线的定义．【分析】把直线x=﹣1向左平移一个单位变为x=﹣2，此时点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，这就是抛物线的定义．【解答】解：因为点P到直线x=﹣1的距离比它到点（2，0）的距离小1，所以点P到直线x=﹣2的距离等于它到点（2，0）的距离，因此点P的轨迹为抛物线．故选D．【点评】本题考查抛物线的定义．5．（5分）（2008•北京）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C．D．9【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．6．（5分）（2008•北京）已知数列{a n}对任意的p，q∈N*满足a p+q=a p+a q，且a2=﹣6，那么a10等于（）A．﹣165 B．﹣33 C．﹣30 D．﹣21【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据题目所给的恒成立的式子a p+q=a p+a q，给任意的p，q∈N*，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．【解答】解：∵a4=a2+a2=﹣12，∴a8=a4+a4=﹣24，∴a10=a8+a2=﹣30，故选C【点评】这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．7．（5分）（2008•北京）过直线y=x上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】圆的切线方程．【专题】压轴题．【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为600．明白N点后，用图象法解之也很方便【解答】解：圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程：x+y﹣6=0，它与y=x 的交点N（3，3），N到（5，1）距离是，两条切线l 1，l2，它们之间的夹角为60°．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的数学思想；这个解题方法在高考中应用的非常普遍．8．（5分）（2008•北京）如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】压轴题．【分析】只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．【解答】解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，则y=MN=M1N1=2BP1=2•xcos∠D1BD=2•是一次函数，所以排除D．故选B．【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）（2008•北京）已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a= ﹣1 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．【解答】解：a2﹣2ai﹣1=a2﹣1﹣2ai=2i，a=﹣1故答案为：﹣1【点评】考查复数的代数形式的混合运算，复数相等条件，易错处增根a=1没有舍去．高考基本得分点．10．（5分）（2008•北京）已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为0 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量数量积公式进行计算即可．【解答】解：由题意知==2×4×4cos120°+42=0．故答案为0．【点评】本题考查向量数量积运算公式．11．（5分）（2008•北京）若展开式的各项系数之和为32，则n= 5 ，其展开式中的常数项为10 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质；二项式定理．【专题】计算题．【分析】显然展开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即n=5；将5拆分成“前3后2”恰好出现常数项，C52=10．【解答】解：∵展开式的各项系数之和为32∴2n=32解得n=5展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣5r当r=2时，常数项为C52=10．故答案为5，10．【点评】本题主要考查了二项式定理的应用，课本中的典型题目，套用公式解题时，易出现计算错误，二项式的考题难度相对较小，注意三基训练．12．（5分）（2008•北京）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））= 2 ；= ﹣2 ．（用数字作答）【考点】极限及其运算；函数的值．【专题】计算题；压轴题．【分析】由函数的图象可知，，当0≤x≤2，f'（x）=﹣2，所以由导数的几何意义知=f'（1）=﹣2．【解答】解：∵f（0）=4，f（4）=2，f（2）=4，∴由函数的图象可知，，由导数的几何意义知=f′（1）=﹣2．答案：2；﹣2．【点评】本题考查函数的图象，导数的几何意义．数形结合是最常用的手段之一，希望引起足够重视．13．（5分）（2008•北京）已知函数f（x）=x2﹣cosx，对于[﹣，]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2．其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是②．【考点】函数奇偶性的性质；余弦函数的奇偶性．【专题】压轴题．【分析】先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，]上f′（x）＞0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f（x1）＞f （x2）恒成立，只需x1，到原点的距离比x2，到原点的距离大即可，由此可得出|x1|＞|x2|，在所给三个条件中找符合条件的即可．【解答】解：函数f（x）为偶函数，f′（x）=2x+sinx，当0＜x≤时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，]上为单调增函数，由偶函数性质知函数在[﹣，0]上为减函数．当x12＞x22时，得|x1|＞|x2|≥0，∴f（|x1|）＞f（|x2|），由函数f（x）在上[﹣，]为偶函数得f（x1）＞f（x2），故②成立．∵＞﹣，而f（）=f（），∴①不成立，同理可知③不成立．故答案是②．故应填②【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙．14．（5分）（2008•北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）．【考点】数列的应用．【专题】压轴题；规律型．【分析】由题意可知，数列x n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…；数列{y n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…由此入手能够得到第6棵树种植点的坐标和第2009棵树种植点的坐标．【解答】解：∵组成的数列为0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，k=2，3，4，5，…一一代入计算得数列x n为1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…即x n的重复规律是x5n+1=1，x5n+2=2，x5n+3=3，x5n+4=4，x5n=5．n∈N*．数列{y n}为1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…即y n的重复规律是y5n+k=n，0≤k＜5．∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为（1，2）；第2009棵树种植点的坐标应为（4，402）．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运用．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2008•北京）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得ω（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．【解答】解：（Ⅰ）==．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范围为．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．16．（14分）（2008•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小；（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证PC⊥AB，取AB中点D，连接PD，CD，可先证AB⊥平面PCD，欲证AB⊥平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面PCD内两相交直线垂直，而PD⊥A B，CD⊥AB，又PD∩CD=D，满足定理条件；（Ⅱ）取AP中点E．连接BE，CE，根据二面角平面角的定义可知∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角，在△BCE 中求出此角即可；（Ⅲ）过C作CH⊥PD，垂足为H，易知CH的长即为点C到平面APB的距离，在Rt△PCD中利用勾股定理等知识求出CH即可．【解答】解：（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵AC=BC，∴CD⊥AB．∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥AB．（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，∴△APC≌△BPC．又PC⊥AC，∴PC⊥BC．又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．取AP中点E．连接BE，CE．∵AB=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．在△BCE中，BC=2，，CE=cos∠BEC=．∴二面角B﹣AP﹣C的大小arccos．（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD．过C作CH⊥PD，垂足为H．∵平面APB∩平面PCD=PD，∴CH⊥平面APB．∴CH的长即为点C到平面APB的距离．由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴PC⊥平面ABC．∵CD⊂平面ABC，∴PC⊥CD．在Rt△PCD中，，，∴．∴．∴点C到平面APB的距离为．【点评】本题主要考查了空间两直线的位置关系，以及二面角的度量和点到面的距离的求解，培养学生空间想象能力，属于基础题．17．（13分）（2008•北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人同时参加A岗位服务，则另外三个人在B、C、D三个位置进行全排列，所有的事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列．（Ⅱ）总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列．（Ⅲ）五名志愿者中参加A岗位服务的人数ξ可能的取值是1、2，ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，同第一问类似做出结果．写出分布列．【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件E A，总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．满足条件的事件数是A33，那么，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是．（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，满足条件的事件数是A44，那么，∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．（Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则．∴，ξ的分布列是【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点．总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C52混淆为A52，18．（13分）（2008•北京）已知函数，求导函数f′（x），并确定f（x）的单调区间．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据函数的求导法则进行求导，然后由导数大于0时原函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减可得答案．【解答】解：==．令f'（x）=0，得x=b﹣1．当b﹣1＜1，即b＜2时，f'（x）的变化情况如下表：当b﹣1＞1，即b＞2时，f'（x）的变化情况如下表：所以，当b＜2时，函数f（x）在（﹣∞，b﹣1）上单调递减，在（b﹣1，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．当b＞2时，函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，b﹣1）上单调递增，在（b﹣1，+∞）上单调递减．当b﹣1=1，即b=2时，，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减．【点评】本题主要考查函数的求导方法和导数的应用．导数题一般不会太难但公式记忆容易出错，要熟练掌握简单函数的求导法则．19．（14分）（2008•北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．【考点】椭圆的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意得直线BD的方程，根据四边形ABCD为菱形，判断出AC⊥BD．于是可设出直线AC的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于0求得n的范围，设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，代入直线方程可表示出y1+y2，进而可得AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1求得n，进而可得直线AC的方程．（Ⅱ）根据四边形ABCD为菱形判断出∠ABC=60°且|AB|=|BC|=|CA|．进而可得菱形ABCD的面积根据n的范围确定面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为y=x+1．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．于是可设直线AC的方程为y=﹣x+n．由得4x2﹣6nx+3n2﹣4=0．因为A，C在椭圆上，所以△=﹣12n2+64＞0，解得．设A，C两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，y1=﹣x1+n，y2=﹣x2+n．所以．所以AC的中点坐标为．由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以，解得n=﹣2．所以直线AC的方程为y=﹣x﹣2，即x+y+2=0．（Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以|AB|=|BC|=|CA|．所以菱形ABCD的面积．由（Ⅰ）可得，所以．所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配20．（13分）（2008•北京）对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，…，a n，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1（A）：n，a1﹣1，a2﹣1，…，a n﹣1；对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，…，b m，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）；又定义S（B）=2（b1+2b2+…+mb m）+b12+b22+…+b m2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令A k+1=T2（T1（A k））（k=0，1，2，…）．（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1（A））=S（A）；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S（A k+1）=S（A k）．【考点】数列的应用．【专题】压轴题；探究型．【分析】（Ⅰ）由A0：5，3，2，求得T1（A0）再通过A k+1=T2（T1（A k））求解．（Ⅱ）设有穷数列A求得T1（A）再求得S（T1（A）），由S（A）=2（a1+2a2++na n）+a12+a22++a n2，两者作差比较．（Ⅲ）设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，a n．在存在1≤i＜j≤n，有a i≤a j时条件下，交换数列A的第i 项与第j项得到数列B，在存在1≤m＜n，使得a m+1=a m+2═a n=0时条件下，若记数列a1，a2，…，a m为C，A k+1=T2（T1（A k））s（A k+1）≤S（T1（A k））．由S（T1（A k））=S（A k），得到S（A k+1）≤S（A k）．S（A k）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（A k）=S（A k+1）=S（A k+2）=0．【解答】解：（Ⅰ）解：A0：5，3，2，T1（A0）：3，4，2，1，A1=T2（T1（A0））：4，3，2，1；T1（A1）：4，3，2，1，0，A2=T2（T1（A1））：4，3，2，1．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，a n，则T1（A）为n，a1﹣1，a2﹣1，a n﹣1，从而S（T1（A））=2[n+2（a1﹣1）+3（a2﹣1）++（n+1）（a n﹣1）]+n2+（a1﹣1）2+（a2﹣1）2++（a n ﹣1）2．又S（A）=2（a1+2a2++na n）+a12+a22++a n2，所以S（T1（A））﹣S（A）=2[n﹣2﹣3﹣﹣（n+1）]+2（a1+a2++a n）+n2﹣2（a1+a2++a n）+n=﹣n（n+1）+n2+n=0，故S（T1（A））=S（A）．（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，a n．当存在1≤i＜j≤n，使得a i≤a j时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B，则S（B）﹣S（A）=2（ia j+ja i﹣ia i﹣ja j）=2（i﹣j）（a j﹣a i）≤0．当存在1≤m＜n，使得a m+1=a m+2═a n=0时，若记数列a1，a2，a m为C，则S（C）=S（A）．所以S（T2（A））≤S（A）．从而对于任意给定的数列A0，由A k+1=T2（T1（A k））（k=0，1，2，）可知S（A k+1）≤S（T1（A k））．又由（Ⅱ）可知S（T1（A k））=S（A k），所以S（A k+1）≤S（A k）．即对于k∈N，要么有S（A k+1）=S（A k），要么有S（A k+1）≤S（A k）﹣1．因为S（A k）是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S（A k）=S（A k+1）=S（A k+2）=0．即存在正整数K，当k≥K时，S（A k+1）=S（A）【点评】本题是一道由一个数列为基础，按着某种规律新生出另一个数列的题目，要注意新数列的前几项一定不能出错，一出旦错，则整体出错．。
2008年高考数学试卷(北京.理)含详解
绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项：1答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
不能答在试卷上。
一、本题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于(A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3| (2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin52,则 (A ）a >b >c (B)b >a >c (C)c>a>b (D)b >c>a(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件（4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是x ≤0, (A)0(B)1(C)3(D)9(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m 满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于 （A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90°(8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。
2008年高考理科数学试题及参考答案(北京卷)
16
结束后七天 物料交接 内
17
结束后10天 提供结案报告 内
活动结束一周内提交活动总结报告 （报告包括PPT，照片等）
整理活动相关资料并提交总部项 目经理
金锣市场部 客户经理 项目经理 城市督导 谈点 助理督导 促销员 交进店资料 提供店家名单 确认促销员进场 费用 交押金 核查促销员 进场费用 100％ 申请促销员 进场费用 记录促销员进 场费用清单
北京灵智精锐整合营销顾问有限公司
灵智精锐客户服务部 2人 金锣市场部 灵智精锐运营 部项目经理 1 人 项目助理1人 金锣城市负责人 当地业务 城市督导41人 督导助理 （临时人员） 灵智精锐大区 经理2人
金锣大区负责人
理货
促销员
序 完成时间 号 活动筹备 1 2 3 4 5 6
内容
市场部
客户方-金锣
招募人数：
为保证培训质量，不少于上岗 人数的1.5倍 培训合格人数 不少于上岗人数的1.3倍
实地抽查培训 促销员表现
招募流程
基础培训 专案培训
组织书面考核 组织现场演练
通过考核者 进入活 动流程
实地检查培训 效果30％
促销员
正式工作 金锣当地销售 确定上岗人员 实地抽查培训 促销员表现
肉粒多产品介绍
• 肉粒多规格：
- 袋装：40克×8支×10袋/箱 - 单支：80克×50支/箱 • • 肉粒多口味：
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肉粒多产品卖点： - 三优组合： A、优原料：限定农场 全生态自养原料 金锣生态农场特选优良猪种，精选谷物饲料精心饲养，绝无药物残留，健康有 保障。 B、优营养：精选100%优质冷鲜肉加工
12
召开每周例会
2008年全国高考数学北京市理科卷
绝密★使用完毕前2008年普通高等学校校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项：1答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用钢笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
不能答在试卷上。
一、本题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩（εv B ）等于(A)|x |-2≤x 〈4| （B ）|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3| (2)若a =2a ,b =log,3,c =log,sin52,则 (A ）a >b >c (B)b >a >c (C)c>a>b (D)b >c>a(3)“函数f (x )(x ∈R)存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的 (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）即不充分也不必要条件（4）若点P 到直线x =－1的距离比它到点（2，0）的烛1，则点P 的轨迹为 （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线x -y +1≥0,（5）若实数x ,y 满足 x +y ≥0, 则z =3x +y 的最小值是x ≤0, (A)0(B)1(C)3(D)9(6)已知数列｜a n ｜对任意的p,q ∈N m 满足a p+q =a p +a q ,且a P =-6,那么a p +q 等于 （A ）-165 (B)-33 (C)-30 (D)－21（7）过直线y =x 上的一点作圆（x -5）2=2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y =x 对称时，综们之间的夹角为 （A ）30° （B ）45° (C)60° (D)90°(8)如图，动点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上。
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下条件：
①x1＞x2；②x12＞x22；③|x1|＞x2．
其中能使 f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是
．
14．（5 分）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如
下：第 k 棵树种植在点 Pk（xk，yk）处，其中 x1=1，y1=1，当 k≥2 时，
T（a）表示非负实数 a 的整数部分，例如 T
（Ⅰ）如果数列 A0 为 5，3，2，写出数列 A1，A2； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列 A，证明 S（T1（A））=S（A）； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0，存在正整数 K，
当 k≥K 时，S（Ak+1）=S（Ak）．
第 5页（共 22页）
2008 年北京市高考数学试卷（理科）
． 的值
，其展开
式中的常数项为
．（用数字作答）
12．（5 分）如图，函数 f（x）的图象是折线段 ABC，其中 A，B，C 的坐标分
别 为 （ 0 ， 4 ），（ 2 ， 0 ），（ 6 ， 4 ）， 则 f （ f （ 0 ）） =
；
=
．（用数字作答）
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13．（5 分）已知函数 f（x）=x2﹣cosx，对于[﹣ ， ]上的任意 x1，x2，有如
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； （Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．
18．（13 分）已知函数 间．
，求导函数 f′（x），并确定 f（x）的单调区
19．（14 分）已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2+3y2=4 上，对角线 BD 所在 直线的斜率为 1．
]上的取值范围．
16．（14 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB， PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB； （Ⅱ）求二面角 B﹣AP﹣C 的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 APB 的距离．
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17．（13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗 位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
3．（5 分）“函数 f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数 f（源自）在 R 上为增函数”的（）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5 分）若点 P 到直线 x=﹣1 的距离比它到点（2，0）的距离小 1，则点 P 的
则函数 y=f（x）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 9．（5 分）已知（a﹣i）2=2i，其中 i 是虚数单位，那么实数 a=
10．（5 分）已知向量 与 的夹角为 120°，且
，那么
为
．
11．（5 分）若
展开式的各项系数之和为 32，则 n=
（Ⅰ）当直线 BD 过点（0，1）时，求直线 AC 的方程；
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（Ⅱ）当∠ABC=60°时，求菱形 ABCD 面积的最大值．
20．（13 分）对于每项均是正整数的数列 A：a1，a2，…，an，定义变换 T1，T1 将数列 A 变换成数列 T1（A）：n，a1﹣1，a2﹣1，…，an﹣1；对于每项均是 非负整数的数列 B：b1，b2，…，bm，定义变换 T2，T2 将数列 B 各项从大到 小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 T2（B）；又定义 S（B）=2 （b1+2b2+…+mbm）+b12+b22+…+bm2．设 A0 是每项均为正整数的有穷数列，令 Ak+1=T2（T1（Ak））（k=0，1，2，…）．
当直线 l1，l2 关于 y=x 对称时，它们之间的夹角为（ ）
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A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
8．（5 分）如图，动点 P 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的对角线 BD1 上．过点 P
作垂直于平面 BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于 M，N．设 BP=x，MN=y，
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）
1．（5 分）已知全集 U=R，集合 A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1 或 x≥4}，那
么集合 A∩B 等于（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|x≤﹣1 或 x＞3}
C．{x|﹣2≤x＜﹣1}
D．{x|﹣1≤x＜3}
轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
5．（5 分）若实数 x，y 满足
则 z=3x+2y 的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．
D．9
6．（5 分）已知数列{an}对任意的 p，q∈N*满足 ap+q=ap+aq，且 a2=﹣6，那么 a10
等于（ ）
A．﹣165
B．﹣33
C．﹣30
D．﹣21
7．（5 分）过直线 y=x 上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2 的两条切线 l1，l2，
（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为
；第
2009 棵树种植点的坐标应为
．
三、解答题（共 6 小题，满分 80 分） 15．（13 分）已知函数 f（x）=sin2ωx+ sinωxsin（ωx+ ）（ω＞0）的最小正周
期为π． （1）求ω的值； （2）求函数 f（x）在区间[0，
【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 菁优网版 权所有
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，
在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）
1．（5 分）已知全集 U=R，集合 A={x|﹣2≤x＜3}，B={x|x＜﹣1 或 x≥4}，那
么集合 A∩B 等于（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|x≤﹣1 或 x＞3}
C．{x|﹣2≤x＜﹣1}
D．{x|﹣1≤x＜3}
2．（5 分）若 a=20.5，b=logπ3，c=log2sin ，则（ ）