高三数学质量检测暨期末考试试题
北京市房山区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案解析
房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}2,0,1,2A =-，{}10B x x =->，则A B = （）A.{}2 B.{}1,2 C.{}2,0- D.{}2,0,1,2-2.在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（）A.2B.2iC.2i- D.2-3.已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π3，则m 的值为（）A.33-B.33C. D.4.432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A.32- B.32C.23- D.235.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A.22a b > B.11a b> C.b a a b> D.2211ab a b>6.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:125C x y -++=相切，则实数b =（）A.1或9B.1-或9C.1-或9- D.1或9-7.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（）A.12%B.10%C.9%D.6%9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（）A .2213y x -= B.2213x y -=C.22122x y -= D.2214x y -=10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3141π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1711234a ==++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（）A.8B.7C.6D.5第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数2ln(12)y x x=-+的定义域是______.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.13.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b c a C -=，则A ∠=______.14.已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.15.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④点P 到平面11AC D 的距离是3a .其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；条件②：PB =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.17.已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求ϕ的值；（2）设()()212cos 2g x f x x =-+，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB ）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为21s ，22s ，23s ，试比较21s ，22s ，23s 的大小（只需写出结论）.19.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知13A F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上的一个动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是2A FP △面积的4倍，求直线2A P 的方程.20.已知函数()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅⎪⎝⎭.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围.21.若无穷数列{}n a 满足：*m ∃∈N ，对于()*00n n n ∀≥∈N，都有n mna q a +=（其中q 为常数），则称{}n a 具有性质“()0,,Q m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，且31a =，52a =，691120a a a ++=，求2a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为2的等比数列，234b c ==，112b c c +=，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(2,1,3)Q ”，并说明理由；（3）设{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，其中i ，*j ∈N ，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j ijQ j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}2,0,1,2A =-，{}10B x x =->，则A B = （）A.{}2 B.{}1,2 C.{}2,0- D.{}2,0,1,2-【答案】C 【解析】【分析】计算出集合B 后由交集定义运算可得.【详解】{}{}101B x x x x =->=<，故{}2,0A B ⋂=-.故选：C.2.在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，则()1i z --=（）A.2B.2iC.2i- D.2-【答案】A 【解析】【分析】利用复数的几何意义可得出复数z ，再利用复数的乘法可求得()1i z --的值.【详解】在复平面内，若复数z 对应的点为()1,1-，由复数的几何意义可得1i z =-+，因此，()()()1i 1i 1i 2z --=--⋅-+=.故选：A.3.已知向量()2,0a = ，(),1b m = ，且a 与b 的夹角为π3，则m 的值为（）A.33-B.33C. D.【答案】B 【解析】【分析】先表示出,,a b a b ⋅ ，然后根据πcos 3a b a b ⋅= 求解出m 的值.【详解】因为2a b m ⋅= ，2,a b ==所以πcos 3a b a b ⋅= ，所以1222m =，解得33m =或33m =-（舍去），故选：B.4.432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A.32-B.32C.23- D.23【答案】B 【解析】【分析】写出二项式展开式通项，令x 的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()()431241442C C 20,1,2,3,4kk k kk k k T x x k x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅= ⎪⎝⎭，令1240k -=，可得3k =，因此，展开式中的常数项为3334C 24832T =⋅=⨯=.故选：B.5.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A.22a b >B.11a b> C.b a a b > D.2211ab a b>【答案】D 【解析】【分析】对A 、B 、C 举反例即可得，对D 作差计算即可得.【详解】对A ：若0a b >>，则22a b <，故错误；对B ：若0a b >>，则11a b<，故错误；对C ：若0a b >>，则22a b >，0ab >，左右同除ab ，有a bb a>，故错误；对D ：由a b >且a ，b 为非零实数，则2222110a b ab a b a b --=>，即2211ab a b>，故正确.故选：D.6.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:125C x y -++=相切，则实数b =（）A.1或9 B.1-或9 C.1-或9- D.1或9-【答案】D 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数b 的值.【详解】圆C 的圆心为()1,2C -因为直线:20l x y b -+=与圆C=，即45b +=，解得1b =或9-.故选：D.7.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，可得函数()f x 是R 上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数()f x 满足()()0f x f x --=，得函数()f x 是R 上的偶函数，而()f x 在[0,)+∞上单调递减，因此22()()(||)(||)||||f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔<⇔<，所以“22a b <”是“()()f a f b >”的充要条件.故选：C8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktP P t -=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（）A.12%B.10%C.9%D.6%【解析】【分析】根据题意可得9001e5kP P -⋅=，解得1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将12t =代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，所以9001e5kP P -⋅=，即91e ,5k -=所以1331e 5k -⎛⎫= ⎪⎝⎭．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为()4341230000011ee0.58512%55kkP P P P P --⎛⎫⋅=⨯=⨯≈⨯≈ ⎪⎝⎭．故选：A.9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（）A.2213y x -= B.2213x y -=C.22122x y -= D.2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定2PQ PF +最小时，点Q 的位置，进而求出,a b 的关系即得.【详解】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为0bx ay ±=，由对称性不妨令点P 在第二象限，由双曲线定义得211||||2||2PQ PF PQ PF a F Q a +=++≥+，当且仅当P 为线段1FQ 与双曲线的交点时因此2PQ PF +的最小值为1||F Q 的最小值与2a 的和，显然当1FQ 与渐近线0bx ay +=垂直时，1||F Q 取得最小值，而1PF 平行于渐近线0bx ay -=，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即1ba=，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为0x y ±=，显然选项ABD 不满足，C 满足，所以双曲线C 的方程可能是22122x y -=.故选：C10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3141π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1711234a ==++，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（）A.8B.7C.6D.5【答案】B 【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出．【详解】因为2a 为强率，由310π13<<可得，373101331.31244159a +==>+，即3a 为强率；由313π14<<可得，473131631.41254159a +==>+，即4a 为强率；由316π15<<可得，573161931.51264159a +==>+，即5a 为强率；由319π16<<可得，673192231.61274159a +==>+，即6a 为强率；由322π17<<可得，763222531.1252183.41597a +===<+，即7a 为弱率，所以7m =，故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数2ln(12)y x x=-+的定义域是______.【答案】()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得.【详解】由题意可得120x ->、0x ≠，故12x <且0x ≠，故该函数定义域为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.故答案为：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-，则n a =______.【答案】29n -【解析】【分析】由等差数列及其前n 项和的性质计算即可得.【详解】设()()1171n a a n d n d =+-=-+-，则313321315S a d d =+=-+=-，即2d =，故()72129n a n n =-+-=-.故答案为：29n -.13.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2b c a C -=，则A ∠=______.【答案】π4【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【详解】在ABC 中，由2cos 2b c a C -=及正弦定理，得2sin sin sin cos 2B C A C -=，则sin()sin sin cos 2A C C A C +-=，整理得cos sin sin 2A C C =，而sin 0C >，因此2cos 2A =，又0πA <<，所以π4A =.故答案为：π414.已知平面直角坐标系中，动点M 到(0,2)F -的距离比M 到x 轴的距离大2，则M 的轨迹方程是______.【答案】28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>【解析】【分析】设出点M 的坐标，利用已知列出方程化简即得.【详解】设点(,)M x y ，依题意，||||2MF y =+||2y =+，整理得24(||)x y y =-，所以M 的轨迹方程是28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>.故答案为：28(0)x y y =-≤或0(0)x y =>15.如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段1B C 上的动点.给出下列结论：①1AP BD ⊥；②//AP 平面11AC D ；③直线AP 与直线11A D 所成角的范围是ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④点P 到平面11AC D 的距离是3a .其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.【详解】以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有()0,0,0D 、(),0,0A a 、()1,0,A a a 、(),,0B a a 、()10,0,D a 、()1,,B a a a 、()0,,0C a 、()10,,C a a ，则()1,0,B C a a =-- 、()1,,BD a a a =-- 、()11,,0A C a a =- 、()1,0,A D a a =-- 、()10,,AB a a = 、()11,0,0A D a =- 、()10,0,AA a = ，设11B P B C λ= ，[]0,1λ∈，则()11,,AP AB B P a a a a λλ=+=-- ，222210AP BD a a a a λλ⋅=-+-= ，故1AP BD ⊥，故①正确；设平面11AC D 的法向量为(),,n x y z =，则有11100A C n A D n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00ax ay ax az -+=⎧⎨--=⎩，取1x =，则()1,1,1n =- ，有0AP n a a a λλ⋅=-+-+= ，故AP n ⊥ ，又AP ⊄平面11A C D ，则//AP 平面11A C D ，故②正确；当0λ=时，有()0,,AP a a = ，此时110000A A P D =+⋅+= ，即11AP A D ⊥，即此时直线AP 与直线11A D 所成角为π2，故③错误；由()1,1,1n =- ，()11,,PA AA AP a a a λλ=-=- ，则133PA n d n ⋅== ，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：对空间中线上动点问题，可设出未知数表示该动点分线段所得比例，从而用未知数的变化来体现动点的变化.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等腰三角形，PD AD ⊥，PA =，底面ABCD 是正方形，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求MN 与平面PBC 所成角的正弦值.条件①：CD PA ⊥；条件②：PB =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得；（2）选①，由题意及CD PA ⊥去推导得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题；选②，由题意及PB =结合勾股定理的逆定理去推导得到PD 、CD 、AD 两两垂直，即可建立空间直角坐标系解决问题.【小问1详解】连接点B 与AP 中点E 、连接ME ，又M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，故//ME AD 、12ME AD =，又底面ABCD 是正方形，故//BN AD 、12=BN AD ，故//ME BN 且ME BN =，故四边形MEBN 为平行四边形，故//MN EB ，又EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，故//MN 平面PAB ；【小问2详解】选条件①：CD PA ⊥，由PD AD ⊥且PAD 为等腰三角形，故PD AD =，又PA =，故222PD AD ==⨯=，有2PD AD AB BC CD =====，由CD PA ⊥，CD AD ⊥，PA 、AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，故CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M 、()1,2,0N ，则()1,2,1MN =- 、()2,2,2PB =- 、()0,2,2PC =- ，令平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n = ，则3cos ,6MN n MN n MN n⋅== ，故MN 与平面PBC所成角的正弦值为6.条件②：PB =，由PD AD ⊥且PAD 为等腰三角形，故PD AD =，又PA =，故222PD AD ==⨯=，有2PD AD AB BC CD =====，由PB =，则222PB PA AB =+，故PA AB ⊥，又//AB CD ，故CD PA ⊥，又CD AD ⊥，PA 、AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=，故CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，故CD PD ⊥，故PD 、CD 、AD 两两垂直，故可以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0D 、()002P ,,、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()0,0,1M 、()1,2,0N ，则()1,2,1MN =- 、()2,2,2PB =- 、()0,2,2PC =- ，令平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则有00PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则()0,1,1n = ，则3cos ,6MN n MN n MN n⋅== ，故MN 与平面PBC所成角的正弦值为6.17.已知函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，所得函数图象关于原点对称.（1）求ϕ的值；（2）设()()212cos 2g x f x x =-+，若()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）π4ϕ=（2）π5π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值；（2）利用三角恒等变换化简得出()1sin 22g x x =-，由0x m <<可得022x m <<，结合题意可得出关于m 的不等式，解之即可.【小问1详解】解：将函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移π8个单位长度，可得到函数ππ2284y x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由题意可知，函数π24y x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数，则()ππ4k k ϕ-=∈Z ，可得()ππ4k k ϕ=+∈Z ，又因为π2ϕ<，则π4ϕ=.【小问2详解】解：由（1）可知，()π2sin 2cos 24f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()()()21112cos sin 2cos 21cos 2sin 2222g x f x x x x x x =-+=+-++=-，因为0x m <<，则022x m <<，由()0g x =，可得1sin 22x =，因为()g x 在区间()0,m 上有且只有一个零点，则π5π266m <≤，解得π5π1212m <≤.因此，实数m 的取值范围是π5π,1212⎛⎤ ⎥⎝⎦.18.某移动通讯公司为答谢用户，在其APP 上设置了签到翻牌子赢流量活动.现收集了甲、乙、丙3位该公司用户2023年12月1日至7日获得的流量（单位：MB ）数据，如图所示.（1）从2023年12月1日至7日中任选一天，求该天乙获得流量大于丙获得流量的概率；（2）从2023年12月1日至7日中任选两天，设X 是选出的两天中乙获得流量大于丙获得流量的天数，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）将甲、乙、丙3位该公司用户在2023年12月1日至7日获得流量的方差分别记为21s ，22s ，23s ，试比较21s ，22s ，23s 的大小（只需写出结论）.【答案】（1）27（2）X 的分布列见解析，()47E x =（3）23s >2212s s =【解析】【分析】（1）利用古典概型计算公式进行求解即可；（2）利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.（3）根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问1详解】由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量的概率为27；【小问2详解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，因此0,1,2X =，()2527C 100C 21P X ===，()2227C 12C 21P X ===，()1011011212121P X ==--=，所以X 的分布列如下图所示：X012P 10211021121()1010140122121217E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个10,3个5；而且丙的的数据最分散，所以，23s >2212s s =.19.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，右焦点为F ，已知13A F =，离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是椭圆C 上的一个动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是2A FP △面积的4倍，求直线2A P 的方程.【答案】19.22143x y +=20.3260x y ±-=【解析】【分析】（1）由题意计算即可得；（2）设出直线，联立曲线，得到P 、Q 两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.【小问1详解】由13A F a c =+=，12c e a ==，解得2a =，1c =，故3b ==，即椭圆C 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】由椭圆C 的标准方程为22143x y +=，则()12,0A -、()22,0A 、()1,0F ，由题意可得直线2A P 斜率存在且不为0，设2:2A P l x my =+，令0x =，则2y m =-，故20,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，联立222143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234120m y my ++=，即()234120m y m y ⎡⎤++=⎣⎦，故0y =或21234m y m -=+，由()22,0A ，故21234P m y m -=+，则112121144222A PQ A A Q A A P Q P Q P S S S y y y y =-=⨯-⨯=- ，又()212122P A FP P y S y =⨯-=，即2422P Q P P y y y y -=⨯=，即Q P P y y y -=，若Q P y y >，则2Q P y y =，即2122234m m m -=⨯+，即223412m m +=，即249m =，则23m =±，若Q P y y <，则P Q P y y y -=，即0Q y =，不符，故舍去，即23m =±，故22:23A P l x y =±+，即直线2A P 的方程为3260x y ±-=.20.已知函数()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =时，求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点，求a 的取值范围.【答案】（1）ey =（2）15,2⎛⎫+-∞- ⎪ ⎪⎝⎭、51,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）当0a =时，求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当1a =时，求出()f x '，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的单调递增区间；（3）令()21g x ax x =+-，分析可知，函数()g x 在()0,1上有且只有一个异号零点，对实数a 的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a 的不等式，综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：当0a =时，()e xf x x =，则()()2e 1x x f x x-'=，所以，()1e f =，()10f '=，故当0a =时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=，即e y =.【小问2详解】解：当1a =时，()()1e 11e x x x f x x x +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，该函数的定义域为{}0x x ≠，()()()()2221e 2e 1e x x x x x x x x f x x x +-+-+'==，由()0f x ¢>，即210x x +->，解得152x +<-或512x ->，因此，当1a =时，函数()f x的单调递增区间为1,2⎛+-∞- ⎪⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭.【小问3详解】解：因为()1e x f x a x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则()()2221e 11e x x ax x f x a xx x +-⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭，令()21g x ax x =+-，因为函数()f x 在()0,1上有且只有一个极值点，则函数()g x 在()0,1上有一个异号零点，当0a =时，对任意的()0,1x ∈，()10g x x =-<，不合乎题意；当0a >时，函数()21g x ax x =+-在()0,1上单调递增，因为()010g =-<，只需()10g a =>，合乎题意；当a<0时，函数()g x 的图象开口向下，对称轴为直线102x a=->，因为()010g =-<，只需()10g a =>，不合乎题意，舍去.综上所述，实数a 的取值范围是()0,∞+.21.若无穷数列{}n a 满足：*m ∃∈N ，对于()*00n n n ∀≥∈N ，都有n m na q a +=（其中q 为常数），则称{}n a 具有性质“()0,,Q m n q ”.（1）若{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，且31a =，52a =，691120a a a ++=，求2a ；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为2的等比数列，234b c ==，112b c c +=，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(2,1,3)Q ”，并说明理由；（3）设{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，其中i ，*j ∈N ，i j <，求证：{}n a 具有性质“2,1,j i j Q j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【答案】（1）53（2）{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，可得当2n ≥时，43n n a a +=，结合题意计算即可得；（2）由题意计算出n a 通项公式后，检验2n na a +是否恒等于3即可得；（3）借助{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，则当1n ≥时，有1n i n a q a +=，2n j n a q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，通过运算得到12j i q q =，从而可验证对任意的1n i ≥+时，是否有2j i n j ij n a q a -+-=即可得.【小问1详解】由{}n a 具有性质“(4,2,3)Q ”，则当2n ≥时，43n na a +=，故623a a =，953a a =，117339a a a ==，又31a =，52a =，故691125323393329120a a a a a a a ++=++=+⨯+⨯=，即253a =；【小问2详解】{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”，理由如下：设()11n b b n d =+-，112n n c c -=⋅，由234b c ==，112b c c +=，即有11111442b d c b c c +==⎧⎨+=⎩，解得1113b c d ==⎧⎨=⎩，故32n b n =-，12n n c -=，则1232n n n n a b c n -=+=+-，有()21122322234n n n a n n +-++=++-=++，则121234232n n n n a n a n ++-++=+-，不恒等于3，故{}n a 不具有性质“(2,1,3)Q ”；【小问3详解】由{}n a 既具有性质“()1,1,Q i q ”，又具有性质“()2,1,Q j q ”，即当1n ≥时，有1n i n a q a +=，2n j na q a +=，则有12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i ia a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，由i j <，故121212112212121j ii i j j i i j i j j i j i i j ia a a a a a a a a q a a a q a a a a a a ++++++++++⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ ，故12j i q q =，即12i j q q =，由1n i n a q a +=，2n j n a q a +=，则21n j n i a q a q ++=，当1n i ≥+，即1n i -≥时，有22212j i n i j n j i j i n i in j a a q q q a a q q --++--+====，即对任意的1n i ≥+时，有2j i n j ij n a q a -+-=，即{}n a 具有性质“2,1,j i j Q j i i q -⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭”.【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到1n i n a q a +=，2n j na q a +=，并由此得到12112j i j i i j a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，12212j j i j i i a a a q a a a +++⨯⨯⨯= ，从而得出12j i q q =.。
四川省成都第七中学2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题含解析
四川省成都第七中学2024学年数学高三第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 2．复数5i 12i +的虚部是 ( ) A ．i B ．i - C ．1 D ．1-3．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则V v =（ ） A ．4 B ．8 C ．9 D ．274．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2 C ．ln 2 D ．2ln 25．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3A ．243π+B ．342π+ C ．263π+ D ．362π+ 6．已知直线l 320x y ++=与圆O ：224x y +=交于A ，B 两点，与l 平行的直线1l 与圆O 交于M ，N 两点，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线1l 330x y +-=320x y +-=，③320x -+=，330x y ++=.其中满足条件的所有直线1l 的编号有（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．①②④7．已知i 是虚数单位，若1z ai =+，2zz =，则实数a =（ ）A ．2-或2B ．-1或1C ．1D ．28．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,1)(1,)⋃+∞10．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ）A ．3215B ．6415C ．5D ．611．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ，且3SB ．22S ，且23SC ．22S ，且3SD ．22S ，且23S12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年山东省枣庄市高三上学期期末考试数学试题试题及答案
( ) ON ⊥ l 于点 N ，直线 MF 与 ON 交于点 A ，点 B 5, 0 ，则 AB 的取值范围是__________.
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
已知数列 an 中， a1 = 1, n2an+1 = (n +1)2 an .
22.（12 分）
已知双曲线 C 的渐近线方程为 3x y = 0 ，过右焦点 F (2, 0) 且斜率为 k 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点.
（1）求 C 的方程； （2）①若 B 点关于 x 轴的对称点为 E ，求证直线 AE 恒过定点 M ，并求出点 M 的坐标； ②若 k…3，求 AEF 面积的最大值.
比（ ） A.极差变小
B.平均数变大
C.方差变小
D.第 25 百分位数变小
10.设 m = (−1,3), n = (1, 2) ，则（ ）
A. m − 2n = 10
B. (m − 2n) ⊥ m C.若 (m − 2n) ∥ (km + n) ，则 k = − 1
2 D. n 在 m 上的投影向量为 1 m
A1
−
ABD
外接球的表面积最小值为
100π 3
12.已知定义在 R 上的连续函数
f
( x) ，其导函数为
f ( x) ，且
f
(0) = e,
f
1 2
=
1
பைடு நூலகம்，函数
y
=
f
x
+
1 2
为
奇函数，当 x 1 时 f ( x) f ( x) ，则（ ）
2
山东省青岛市2023-2024学年高三上学期期末学业水平检测数学试题
2023-2024学年度第一学期期末学业水平检测高三数学试题本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，请将答题卡上交。
一、单项选择题：本大题共8小题。
每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合()1,3A =-，}0{|B x x a =+≥，若{}1|A B x x =>-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]3,1-B ．(]3,1-C ．[)3,1-D ．()3,1-2．复数z a i =+（a R ∈，i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，若()()111z z ++=，则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是()2,0-，()1,3-，()3,4，()2,3，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF AB ⋅=（ ） A ．10B ．12C ．14D ．164．2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产晶和最大规模的国际合作平台。
树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图。
该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（ ）A ．72B ．76C ．78D ．855．已知等差数列{}n a 各项均为正整数，11123a a a a =++，210a <，则其公差d 为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．46．已知点F 是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，过点()的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，若2AF BF +的最小值为14，则E 的准线方程为（ ）A ．4y =-B ．2y =-C ．4x =-D ．2x =-7．已知正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 是线段AC 上的点，且1AE EF FC ==，分别过点E ，F 作与直线1AC 垂直的平面α、β，则正方体夹在平面α与β之间的部分的体积占整个正方体体积的（ ） A ．13B ．12C ．23D ．348．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点依次为12,F F ，过点1F 的直线与E在第一象限交于点P ，若122PF PF =，OP =，则E 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
安徽省六安市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题含答案
六安市2024年高三教学质量检测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log 1,A x x x =≤∈Z，{}220B x xx =+-<，则A B = （）A.{}0,1 B.{}2,1-- C.{}1,0- D.{}1-【答案】D 【解析】【分析】解出对数不等式和一元二次不等式，再根据交集含义即可.【详解】2log ||1x ≤，即22log ||log 2x ≤，则22x -≤≤且0x ≠，则{}2,1,1,2A =--，{}21B x x =-<<，所以{}1A B ⋂=-.故选：D .2.已知复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为()2,2-，则复数1z的虚部为（）A.1-B.i- C.14-D.1i 4-【答案】C 【解析】【分析】得到22i z =+，利用复数除法法则得到111i 44z =-，求出虚部.【详解】由已知得22i z =+，()()122i 1i 11i 22i 22i 444z --===-+-，则复数1z 的虚部为14-.故选：C3.已知向量a =，向量(1,b =- ，则a 与b 的夹角大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量a =，(1,b =-，则cos ,222a b 〈〉==-⨯ ，而0,180a b ︒≤〈〉≤︒ ，所以a，b的夹角为150︒.故选：D4.等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，若()83124m S a a a =++，则m =（）A.11B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式与通项公式转化为基本量计算即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以81828S a d =+，则有()11118282214a d a d a m d a +=+++-+⎡⎤⎣⎦，即()141d m d =+，又0d ≠，所以114m +=，所以13m =.故选：C.5.函数()e 4,1ln ,1x x x f x x x ⎧+-<=⎨≥⎩，若()()()21105f a f a f +≤--，则实数a 的取值范围是（）A.{}1- B.(],1-∞-C.[)1,-+∞ D.11,e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】原不等式变形为()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】当1x <时，()e 4xf x x =+-，因为e ,4x y y x ==-在(),1∞-上单调递增，此时()f x 单调递增，当1x ≥时，易知()ln f x x =单调递增，且当1x =时，1e 14e 30ln1+-=-<=，则()f x 在R 上单调递增，因为211a +≥，则()()()()()222215ln 1ln5ln5151f a f a a f a ⎡⎤++=++=+=+⎣⎦，所以由()()()21105f a f a f +≤--得()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，所以()25110a a +≤-，解得1a =-.故选：A .6.已知ππcos 2cos 63αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35 B.45C.45-D.35-【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式结合二倍角公式，利用齐次式计算可得.【详解】因为πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππsin 2cos 33αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222πππ2sin cos 2tan 2πππ4333sin 22sin cos πππ3335sin cos tan 1333ααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=++=== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.7.圆()222:0O x y r r +=>上一点1,22A r r ⎛⎫⎪⎝⎭关于x 轴的对称点为B ，点E ，F 为圆O 上的两点，且满足EAB FAB ∠=∠，则直线EF 的斜率为（）A.B.3C.3D.13【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质以及斜率乘积与直线垂直的关系即可.【详解】由EAB FAB ∠=∠知BOE BOF ∠=∠，所以OB EF ⊥，而212OB OArk k r =-=-=，∴3EF k =.故选：B.8.某种生命体M 在生长一天后会分裂成2个生命体M 和1个生命体N ，1个生命体N 生长一天后可以分裂成2个生命体N 和1个生命体M ，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记n a 表示第n 天生命体M 的个数，n b 表示第n 天生命体N 的个数，则11a =，10b =，则下列结论中正确的是（）A.413a = B.数列{}nnb a 为递增数列C.5163ni b==∑ D.若{}n n a b λ+为等比数列，则1λ=【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出递推公式，进而求出数列{},{}n n a b 的通项公式，再逐项分析判断即得.【详解】依题意，12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，则113()n n n n a b a b +++=+，而111a b +=，因此数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，13n n n a b -+=，又11n n n n a b a b ++=--，因此111n n a a b b -=-=，于是1312n n a -+=，1312n n b --=，对于A ，3431142a +==，A 错误；对于B ，11131213131n n n n n b a ----==-++，显然数列12{}31n -+是递减数列，因此{}n n b a 为递增数列，B 正确；对于C ，51014134058ni b==++++=∑，C 错误；对于D ，1122331,2,54a b a b a b λλλλλ==+=++++，由{}n n a b λ+为等比数列，得2(2)54λλ+=+，解得1λ=或1λ=-，当1λ=时，13n n n b a λ-+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，当1λ=-时，1n n a b λ+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，因此当数列{}n n a b λ+是等比数列时，1λ=或1λ=-，D 错误.故选：B【点睛】思路点睛：涉及求数列单调性问题，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答，也可以借助函数单调性进行判断.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.ln y x =B.ln y x= C.2y x -= D.e e x xy -=+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，根据函数奇偶性得到()ln f x x =为偶函数，且在()0,∞+单调递增，A 正确；B 不满足奇偶性，C 不满足单调性；D 选项，满足为偶函数，且求导得到函数在()0,x ∈+∞上单调递增，得到答案.【详解】A 选项，()ln f x x =定义域为()(),00,x ∈-∞⋃+∞，且()()ln ln f x x x f x -=-==，故()ln f x x =为偶函数，且()0,x ∈+∞时，ln y x =单调递增，故A 正确；B 选项，ln y x =的定义域为()0,∞+，故不是偶函数，故B 项错误；C 选项，()0,x ∈+∞时，2y x -=单调递减，故C 项错误；D 选项，()e exxg x -=+的定义域为R ，且()()e e x xg x g x --=+=，故()e exxg x -=+是偶函数，且()0,x ∈+∞时，()e e0xxg x -'=->，函数单调递增，故D 项正确.故选：AD10.地震释放的能量E 与地震震级M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为1E ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为2E ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为3E ，下列说法正确的是（）A.1E 约为2E 的10倍B.3E 超过2E 的100倍C.3E 超过1E 的10倍D.3E 低于1E 的10倍【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断.【详解】A.()12lg lg 1.5 6.9 5.9E E -=⨯-，所以 1.51210E E =，故A 错误；B.()32lg lg 1.57.7 5.9E E -=⨯-， 2.73210100E E =>，故B 正确；C.()31lg lg 1.57.7 6.9E E -=⨯-， 1.2311010E E =>，故C 项正确，D 项错误.故选：BC11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的正数x ，都满足()()()22f x xf x f x x <<-'，则下列结论正确的是（）A.()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B.()()1122f f <C.()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D.()()11214f f <+【答案】BC 【解析】【分析】设()()()0f x g x x x=>，利用导数求出()g x 的单调性，据此即可判断A 和B 选项，设()()()220f x x h x x x-=>，根据导数求出()h x 的单调性，据此即可求解C 和D 选项.【详解】设()()()0f x g x x x=>，则()()()20xf x f x g x x'-='>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，由()112g g ⎛⎫>⎪⎝⎭得()1122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 项错误；由()()12g g <得()()1122f f <，故B 项正确；设()()()220f x x h x x x-=>，则()()()()()()()()243222220f x x f x x x xf x f x x h x x x ---⋅--=''=<'，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，由()112h h ⎛⎫<⎪⎝⎭得()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 项正确：由()()12h h >得()()11214f f >+，故D 项错误.故选：BC.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱上一点，满足1PA PC d +=（d 为定值），记P 点的个数为n ，则下列说法正确的是（）A.当d =2n =B.1d <<+时，6n =C.当d =时，15n =D.n 的最大值为18【答案】AD 【解析】【分析】由点P 的位置进行分类讨论判断求解即可.【详解】当点P 位于A 或1C 处时，d当P 在AB 棱上由A 到B 移动时，d 1，当P 在AD ，1AA ，1C C ，11C B ，11C D 等棱上移动时，d 1+当P 在1BB 棱上由B 到1B 移动时，d 由11+；当P 在BC ，DC ，1D D ，11A B ，11A D 等棱上移动时，d 也是由1+再由增大到1+.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线24y x =的焦点F 与x 轴上一点A 的连线的中点P 恰在抛物线上，则线段AF 的长为______.【答案】316##0.1875【解析】【分析】根据题意求线段AF 的中点坐标，结合抛物线的定义分析求解.【详解】因为24y x =，即214x y =，可知抛物线的焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为116y =-，设(),0A a ，则线段AF的中点为1,232a ⎛⎫⎪⎝⎭，则113321632PF =+=，所以3216AF PF ==.故答案为：316.14.如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，120ADC ∠=︒，AB =，1AD =，2CD =，求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积为______.【答案】(12π+【解析】【分析】作出辅助线，求出各边长度，求出以AB 为半径的圆的面积，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积，以BC 为母线的圆台的面积，相加后得到答案.【详解】作CE AD ⊥，CFAB ⊥，E ，F 为垂足，因为120ADC ∠=︒，所以60EDC ∠=︒，因为2CD =，所以1DE =，CE =，故==AF CE ，又AB =1AD =，故2CF AE AD DE ==+=，BF AB AF =-=，由勾股定理得CB ==，四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，以AB 为半径的圆的面积(2π12π=，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积πrl =，以BC 为母线的圆台的侧面积+=所以该几何体的表面积为(12π+.故答案为：(12π+15.已知函数()()()22cos0f x x ωω=>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，则()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，进而求得()g x 在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域.【详解】()cos21f x x ω=+，2ππ2ω=，22ω=，()cos21f x x =+，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到ππcos 21cos 2163y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到()πcos 413g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π40,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1cos 4,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆222:O x y a +=与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点A ，点B 在双曲线C 上，222BF F A =-，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】2y x =±【解析】【分析】求出点A 的坐标及2AF 长，由222BF F A =-可得点A 为2BF 的中点，再结合双曲线定义求解即得.【详解】由222BF F A =-，得点A 为2BF 的中点，记1F 为C 的左焦点，连接1BF ，令半焦距为c ，则122BF OA a ==，由222b y x ax y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab A c c ，而2(,0)F c ，因此2222()()a ab AF c b c c=-+=，由双曲线定义得222b a a -=，即2b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x=±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()140n n S a λλλ-=->.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）当2λ=时，设1221log log n n n a n a n b a a ++++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析（2）261939n n nT n +=+【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到1n n a a λ+=，即可得证；（2）由（1）可得12n n a +=，则321122323n n n b n n n n ++=+=+-++++，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】证明：因为()()140n n S a λλλ-=->，当1n =时，()1114S a λλ-=-，解得14a =，由()14n n S a λλ-=-得()1114n n S a λλ++-=-，两式作差得()()()111144n n n n S S a a λλλλ++---=---，即()111n n n a a a λλλ++-=-，则1n n a a λ+=，又0λ>，所以数列{}n a 是首项为4，公比为λ的等比数列.【小问2详解】当2λ=时，由（1）得11422n n n a -+=⨯=，又223121322232log log log log 2322n n n n n n n a n a n n n b a a n n ++++++++++=+=+=+++，所以322131112232323n n n n n b n n n n n n +++++-=+=+=+-++++++，所以1111112344523n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112344523n n n ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭21161923339n n n n n +⎛⎫=+-=⎪++⎝⎭.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .（1）若12b a =，6sin sin B A -=，求角A 的值；（2）若π3A =，且b 是a 和3c 的等差中项，求cos B 的值.【答案】（1）π3A =或2π3（2）1cos 7B =-【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；（2）由等差中项可得23a b c =-，结合余弦定理解得83b c =，73a c =，代入余弦定理即可得结果.【小问1详解】因为12b a =，由正弦定理sin sin b a B A=得1sin sin 2B A =，又因为6sin sin B A -=sin 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =或2π3.【小问2详解】显然0,0,0a b c >>>，由b 是a 和3c 的等差中项得23b a c =+，即230a b c =->，可得32b c >，因为π3A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得()22223b c b c bc -=+-，化简得2231180b bc c -+=，即()()380b c b c --=，解得83b c =或b c =（舍去），由23a b c =-，可得73a c =，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得22278133cos 7723c c c B c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.19.已知函数()()36R f x x ax a =+-∈.（1）若函数()f x 的图象在2x =处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的图象在3x =-处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】19.15480x y -+=20.答案见解析【解析】【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.【小问1详解】()23f x x a ='+.由题意()2120f a ='+=，解得12a =-，所以()3126f x x x =--，()33f -=，()315f '-=()f x 在3x =-处的切线方程为15480x y -+=【小问2详解】()23f x x a ='+.①当0a ≥时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当0a <时，由()0f x '=得x =，()f x 在R 上的变化情况如下表：由上表可得()f x 在,∞⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a ≥时，增区间为(),∞∞-+，无减区间；当0a <时，增区间为,∞⎛- ⎝和∞⎫+⎪⎪⎭，减区间为⎛ ⎝.20.如图，在三棱锥A BCD -中，CE BD ⊥，垂足为点E ，AH ⊥平面BCD ，垂足H 在CE 上，点F 在AC 上，且CEF CAH ∠=∠.（1）证明：AC ⊥平面BDF ；（2）若22BE DE ==，22CH EH ==，三棱锥A BCD -的体积为BF 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，由CEF CAH ∠=∠，可得出AC EF ⊥，利用线面垂直的判定定理可以证得AC ⊥平面BDF ；（2）通过三棱锥A BCD -的体积，可以求出AH ，进一步求AC ，由两个三角形AHC ，EFC 相似，得出F 为AC 的中点，然后建立空间直角坐标系，求平面ABD 的法向量，进而可以求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由AH ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，得AH BD ⊥，又CE BD ⊥，而AH ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，AH CE H = ，所以BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，所以BD AC ⊥.再由AH ⊥平面BCD ，EC ⊂平面BCD ，得AH EC ⊥，得90AHC ∠=︒，又CEF CAH ∠=∠，ACH ECF ∠=∠，得90EFC AHC ︒∠=∠=，即AC EF ⊥.又EF ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，EF BD E = ，所以AC ⊥平面BDF .【小问2详解】由条件知11133322A BCD BCD V S AH BD CE AH AH -=⋅=⨯⨯⨯⨯==所以AH =，在Rt AHC 中，2228412AC AH CH =+=+=，所以AC =由（1）知Rt Rt AHC EFC ~△△，所以FC ECHC AC =，即2FC =，得FC =，可知F 为AC 的中点，过点H 作HG BD ∥交BC 于点G由（1）易得HG ，HC ，HA 两两垂直，以{HG 、HC 、}HA正交基底，建立空间直角坐标系H xyz -，如图所示由题意可知，(0,0,A ，()2,1,0B -，()0,1,0E -，()0,2,0C，(F .则(0,1,EA = ，()2,0,0EB =，(2,BF =- ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则020EA n y EB n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，则y =，所以平面ABD的一个法向量()0,1n =-，设直线BF 与平面ABD 所成角θ，则sin =cos<,5n BF n BF n BFθ⋅>===⋅.故直线BF 与平面ABD所成角的正弦值为5.21.平面内一动点P 到直线:4l y =的距离，是它到定点()0,1F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）经过点F 的直线（不与y 轴重合）与轨迹Γ相交于M ，N 两点，过点M 作y 轴平行线交直线l 于点T ，求证：直线NT 过定点.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得4y -=，化简即可得解；（2）设直线MN 的方程以及,,M N T 的坐标，联立若椭圆方程，由韦达定理得()121232kx x x x =+，表示出NT 的方程，令0x =，证明此时y 为定值即可得证.【小问1详解】由题意，设动点P 的坐标为(),x y，则4y -=，平方整理得22143y x +=，所以点P 的轨迹Γ方程为22143y x+=.【小问2详解】由题意，设直线MN 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1,4T x .将1y kx =+代入22143y x +=得()2234690k x kx ++-=，所以122634k x x k -+=+，122934x x k -=+，显然0∆>，所以()121232kx x x x =+.因为直线NT 的方程为()212144y y x x x x --=--，令0x =，则()21221221122121214144x x kx x x y x x kx x y x x x x x x -+---===---()()21122121213545222x x x x x x x x x x --+-===--，因此，直线NT 过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线MN 的方程为1y kx =+，再将其椭圆方程联立得到韦达定理式，再化积为和得到()121232kx x x x =+，再得到直线NT 的方程，令0x =计算即可.22.已知函数()()()22ln 211R 2m f x x x m x m =+-++∈.（1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x ，求证：()()122f x f x f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分0m ≤，12m =，12m >，102m <<，得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况；（2）由（1）得110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并得到()()12212ln 222f x f x m m m +=---，2222ln 44f m m ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，作差法得到()()21222f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，结合m 的范围得到结论.【小问1详解】()()22ln 2112m f x x x m x =+-++的定义域为()0,∞+，()()()()()()2212212210mx m x x mx f x mx m x x x x-++--'=+-+==>①若0m ≤，则()20f '=，()0,2x ∈时()0f x '>，()2,x ∞∈+时()0f x '<，故()f x 在()0,2x ∈上单调递增，在()2,x ∞∈+上单调递减，所以函数的极大值为()22ln221f m =--，无极小值，②若12m =，则()()2202x f x x'-=≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值.③若12m >，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，1,2x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()2,x ∞∈+时()0f x '>，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,∞+上单调递增，在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.④若102m <<，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，()0,2x ∈时()0f x '>，12,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0f x '>，故()f x 在()0,2，1,m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递增，在12,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭.综上，当0m ≤时，极大值为()22ln221f m =--，无极小值；当102m <<时，极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；当12m =时，()f x 无极值；当12m >时，极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.【小问2详解】由（1）知函数()f x 有两个极值点时，110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()121122ln2212ln 12f x f x f f m m m m ⎛⎫+=+=----- ⎪⎝⎭212ln222m m m=---，()222224ln 222122ln 44f m m m m m ⎛⎫=+-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()122122462f x f x f m m m ⎛⎫+-=--++- ⎪⎪⎝⎭22442⎫=-+-=-⎪⎭，因为110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2≠，所以()()212220f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-+< ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即()()1222f x f x f m ⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.。
高三数学试题与解析-惠州市2025届高三第一次调研考试暨惠州高二期末考试+数学
惠州市2025届高三第一次调研考试试题数学2024.07全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1. 已知集合{}{}230,ln 0A x x x B x x =-<=>，则A B =I （ ）A. {}01x x << B. {}0x x > C. {}03x x << D. {}13x x <<2. 若i(1)1z -=，则z z +=（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 23. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2+a 3＝13，则a 4+a 5+a 6等于（ ）A. 40B. 42C. 43D. 454. 732x æçè的展开式中常数项是（ ）A. 14B. 14- C. 42D. 42-5. 在正三棱柱111ABC A B C -中，若12,1AB AA ==，则点A 到平面1A BC 的距离为（ ）A.B.C.D. 6. 在ABC V 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ．向量(,),(,)p a c b q b a c a =+=--r r ．若//p q r r，则角C 的大小为（ ）A.π6B.π4C.π3D.2π3的7. 设点A,B 在曲线2log y x =上．若AB 的中点坐标为(5,2)，则||AB =（ ）A. 6B.C.D. 8. 已知函数π5π()sin(3)sin(2)46f x x x w w =-+在区间(0,π)恰有6个零点，若0w >，则w 取值范围为（ ）A. 313(,)412B. 1317(,)1212C. 1719(,]1212D. 197(,124二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9. 现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）．设事件M 表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N 表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”．下列说法正确的是（ ）机构名称甲乙分值90989092959395929194A. 甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分B. 甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差C. 乙机构测评分数的中位数为92.5D. 事件,M N 互为对立事件10. 设公比为q 等比数列{}n a 的前n项积为n T ，若1916a a =，则（ ）A 54a = B. 当11a =时，q =C. 29log 18T = D. 223732a a +≥11. 在平面直角坐标系xOy 中，动点(,)P x y 的轨迹为曲线C ，且动点(,)P x y 到两个定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之积等于3．则下列结论正确的是（ ）A. 曲线C 关于y 轴对称B. 曲线C 的方程为221x y ++=C. 12F PF △面积的最大值32D. ||OP 的取值范围为2]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 双曲线221-=x ky 的一个焦点是(2,0)，则k =_______．的的.13. 若点(cos ,sin )A q q 关于y 轴对称点为(cos(),sin())66B p pq q ++，写出q 一个取值为___．14. 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，对于1201x x £<£，恒有12()()f x f x £，且满足1()(1)1,(()52x f x f x f f x +-==，则1(2024f =_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()ln 2f x x x ax =++在点()()1,1f 处的切线与直线220x y -+=相互垂直．（1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间和极值．16. 某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试．（1）若所有考生的初试成绩X 近似服从正态分布()2,N m s ，其中65,10m s ==，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数）（2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为35，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N m s，则：()0.6827P X m s m s -<<+=，(22)0.9545,(33)0.9973P X P X m s m s m s m s -<<+=-<<+=．17. 在三棱锥-P ABC 中，PC ^平面π,3,2ABC PC ACB =Ð=．,D E 分别为线段,AB BC上的点，且22CD DE CE EB ====．（1）证明：DE ^平面PCD ；（2）求平面PAD 与平面PCD 夹角的余弦值．18. 如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的的（1）求p 的值；（2）求OM ON ⋅ r r的值；（3）求OMNOABS S V V 的取值范围.19. 如果数列{}n a 对任意的*N n Î，211n n n n a a a a +++->-，则称{}n a 为“速增数列”.（1）判断数列{}2n是否为“速增数列”？说明理由；（2）若数列{}n a 为“速增数列”.且任意项Z n a Î，121,3,2023k a a a ===，求正整数k 的最大值；（3）已知项数为2k （2,Z k k ³Î）的数列{}n b 是“速增数列”，且{}n b 的所有项的和等于k ，若2n b n c =，1,2,3,,2n k =L ，证明：12k k c c +<.直线交C 2于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交C 1于A 、B 两点，连接AB ，设V OMN 、V OAB的面积分别为S △OMN 、S V OAB ．。
湖南省常德市2023届高三上学期期末检测数学试题及答案
2022—2023学年度上学期常德市高三检测考试数 学（试题卷）本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．所有试题的答案请在答题卡的指定区域内作答． 2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|320}A x x x =-+≤，{|22}B x x =-≤≤，则A B = A.[02]， B.[12]， C.[22]-，D.∅ 2. 已知复数z i =-3，则复数zz i-2在复平面内对应的点所在的象限为A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 已知向量,a b 满足a b ⋅2=，且b (3,4)=-，则向量a 在向量b 上的投影向量为A.(,)-6855B.(,)-6855C.(,)-682525D.(,)-6825254. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时80分钟．设经过t 分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），则t 的值为 A.10 B.20 C.60 D.705. 在平面直角坐标系中，已知点(3,4)P 为角α终边上的点，则cos2cos αα+=A.825B.1325C.2225D.2725 6. 在平面直角坐标系中，已知直线4390x y +-=与圆2220C x x y a -++=：相交的弦长为42，则a =A.8-B.2-C.2D.8 7. 已知ln a =22，ln b =33，e c =22，则A.a b c <<B.b c a <<C.b a c <<D.a c b <<8. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与曲线C 的左右两支分别交于点M 、N ，且12||:||:||1:2:3F M F N MN =，则曲线C 的离心率为 A.2 B.333 C.223 D.113二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，点P 为直线2x =-上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则 A.抛物线的焦点坐标为(0，1)B.抛物线的准线方程为1x =-C.直线AB 一定过抛物线的焦点D.OP AB ⊥10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足0)()27(=++x f x f ，且)47(-=x f y 为奇函数，则下列说法一定正确的是A.函数()f x 的周期为27B.函数()f x 的图像关于)0,47(-对称C.函数()f x 为偶函数D.函数()f x 的图像关于47=x 对称11．下列说法正确的是A.数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数为7B.若2~(,)N ξμσ，且函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+为偶函数，则1μ=C.若随机事件A ，B 满足：()()1P A B P A +=，则A ，B 相互独立D.已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据()1,2,,i x i n =的平均数为x ，方差为2x s ；第二部分样本数据()1,2,,i y i n =的平均数为y ，方差为2y s ，若总的样本方差为2222x yS S S +=，则x y =12. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内(含边界)的动点，则下列说法正确的是A.若直线1A P 与平面AEF 平行，则三棱锥P －AEF 的体积为23B.若直线1A P 与平面AEF 平行，则直线A 1B 1上存在唯一的点Q ，使得DQ 与A 1P 始终垂直C.若15A P =，则EP 的最小值为51-D.若15A P =，则11A P B C ⋅的最大值为42 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()ln x f x e a x a -=--1，若曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线与直线012=-+y x 垂直，则切线的方程为_____________．14. 1631(1)(2)x y x--+的展开式中的常数项为_____________．15. 若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->在(0,)3π内存在唯一极值点，且在2[,]23ππ上单调递减，则ω的取值范围为_____________.16. 已知数列{}n a 满足首项a =11，n n na n a a n ++⎧⎪=⎨⎪⎩12，为奇数3，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知数列{}n a 的首项a =138，且满足n n n a a a +=+1332．(1)求证：数列{}na -13是等比数列； (2)若...na a a a ++++<1231111101，求满足条件的最大整数n 的值． 18．(本小题满分12分)如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，且2AD =，4BC =. (1)若3AB =，2CD =，求梯形ABCD 的面积； (2)若2D B ∠=∠，证明：ABC ∆为直角三角形． 19．(本小题满分12分)如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，点G 为DE 的中点，DE 为半个圆柱上底面的直径，且90BCF ∠=︒，2CD CB CF ===．H 为BC 的中点．(1)证明：平面DEH //平面GCF ；(2)若Q 是线段HE 上一动点，求直线AQ 与平面GCF 所成角的正弦的最大值．20．(本小题满分12分)常益长高铁的试运营，标志着我省迈入“市市通高铁”的新时代.常益长高铁全线长157公里，共设有常德站、汉寿站、益阳南站、宁乡西站、长沙西站5个车站. 在试运营期间，铁路公司随机选取了乘坐常德开往长沙G 6575次复兴号列车的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）： 上车站 下车站 汉寿站益阳南站宁乡西站长沙西站总计常德站 10 20 10 40 80 汉寿站 10 10 20 40 益阳南站 10 40 50 宁乡西站 30 30 总计10 30 30 130 200(用频率代替概率)(1)从这200名乘客中任选一人，求该乘客仅乘坐一站的概率；(2)在试营运期间，从常德上车的乘客中任选3人，设这3人到长沙下车的人数为X ，求X 的分布列，及其期望；(3)已知德山经开区的居民到常德站乘车的概率为0.6，到汉寿站乘车的概率为0.4，若经过益阳南站后高铁上有一位来自德山经开区的乘客，求该乘客到长沙下车的概率. 21．(本小题满分12分)已知点(2,1)P 为椭圆:()x y C a b a b+=>>222210上的一点，椭圆C 的离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过点P 作直线l 1、l 2，分别交椭圆于另一点M 、R ，直线l 1，l 2交直线l ：x =3于N ，S ，设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，且k 1+k 2=0，若PMS∆面积是PRN ∆面积的2倍，求直线l 1的方程.H第19题xyOPMN R Sl l 2 l第21题图22．(本小题满分12分)已知函数()ln f x x ax x=-+12.(1)讨论函数()f x 的零点个数；(2)证明：当*n N ∈，...ln()()n n n n +++++>+⨯⨯⨯+35721122436421.2022-2023学年度上学期常德市高三检测考试数 学（参考答案）5分，部分选对的得2分，有13.20x y -= 14.96 15.5(2,]216.4344n n ⨯--三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分10分)解：(1)n n n a a a +=+1332,n n a a +∴=+11213 ···································································· 2分 ()n na a +∴-=-1121333， {}n a ∴-13是以-13为首项，23为公比的等比数列 ························································ 5分 (2)由(1)可得：()n n a =-+112333，(())...()n n n n n a a a a --∴++++=+=+-<-12312111112333311012313即：()n n +-<2310203 (8)令()()n f n n =+-231023，当n 1≥时，()()()n f n f n +-=->1213033，()f n ∴单调递增；又()f <330，()f >340，∴满足不等式的最大整数n =33·············································································· 10分 18．（本小题满分12分）解：(1)在ABC ∆中，由余弦定理得22227cos 28AC BC AB AC BCA AC BC AC+-+∠==⋅ ···························· 1分 在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos 24AC AD CD AC CAD AC AD AC+-∠==⋅ ········································· 2分 由BCA CAD ∠=∠有，2274AC AC AC+=，解得AC =······················································ 3分 27cos 8AC BCA AC +∴∠=(0,)BCA π∠∈，3sin 4BCA ∴∠= ··········································· 4分 ∴梯形ABCD 的面积11sin sin 22ABC ACD S S S BC AC BCA AD AC CAD ∆∆=+=⋅∠+⋅∠·········································· 6分 法二：(1)取BC 的中点E ，连AE ，则BE =CE =2 ························································· 1分∴AD =EC ，AD //EC ，∴四边形AECD 为平行四边形···················································· 2分 ∴AE =DC =2 ······································································································· 3分在ABE ∆中，2223cos 24AB BC AE B AB BC +-∴∠==⋅又(0,)BCA π∠∈，7sin 4B ∴∠= ················································································ 4分∴梯形ABCD 的面积3397sin 224ABE AECD ABE S S S S AB BE B ∆∆=+==⋅∠= ································ 6分(2)设B α∠=，ACB θ∠=，则2D α∠=，BAC παθ∠=--，2ACD παθ∠=--在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC BC B BAC=∠，即4sin sin()AC ααθ=+①在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC AD D ACD=∠，即2sin 2sin(2)AC ααθ=+② ······························· 8分由①②得：sin 22sin(2)sin sin()ααθααθ+=+ ··············································································· 9分化简得，cos sin()sin(2)ααθαθ+=+又sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()αθααθααθααθ+=++=+++ 所以sin cos()0ααθ+= ···························································································· 11分 又(0,),(0,)απαθπ∈+∈所以2παθ+=，2BAC π∠=，ABC ∆为直角三角形 ························································ 12分法二：取BC 的中点E ，连AE ，则BE =CE =2∴AD =EC ，AD //EC ，∴四边形AECD 为平行四边形···················································· 8分 ∴2AEC D B ∠=∠=∠ ∴B BAE ∠=∠ ···································································································· 10分 2AE BE EC ∴=== ∴ECA EAC ∠=∠∴2EAC EAB B ECA π∠+∠=∠+∠=2BAC π∠=，ABC ∆为直角三角形 ············································································· 12分 19．（本小题满分12分）(1)证明：取DE 的中点M ，连MG 、MH ··································································· 1分 ////1MG AD HC MG HC ==且MHCG ∴四边行为平行四边形 ················································································ 2分 //MH CG ∴，又MH ⊄平面CGF//MH CGF ∴平面 ································································································ 3分 //DE CF 又，又DE ⊄平面CGF//DE CGF ∴平面 ································································································ 4分 ,,DEMH M MH DHE DE DHE =⊂⊂又平面平面//DHE CGF ∴平面平面 ························································································· 5分 (2)如图，以C 为原点，CB 为x 轴，CF 为y 轴，CD 为z 轴建立空间直角坐标系，则A (2,0,2)，C (0,0,0)，F (0,2,0)，G (―1,1,2)，H (1,0,0)，E (0,2,2) ······································ 6分 则(0,2,0),(1,1,2)CF CG ==-,设面CGF 的法向量(,,)n x y z = 2020y x y z =⎧⎨-++=⎩令1z =得2,0x y ==, 即(2,0,1)n = ·········································· 8分 (,2,2),HQ HE λλλλ==-(1,2,22)AQ AH HQ λλλ=+=--- ············· 9分设所求线面角为θ，则2222|2222|4sin 5(1)4(22)5965λλθλλλλλ--+-==--++--+ ··········································· 11分所以当13λ=时，sin θ································································· 12分20．（本小题满分12分）解：(1)仅乘坐一站的乘客有10+10+10+30=60人该乘客仅乘坐一站的概率600.3200p == ····· 2分 (2)从常德上车的乘客到长沙下车的概率401802p == ····················································· 3分 故这3人到长沙下车的人数1(3,)2XB ，331()2k P x k C ⎛⎫== ⎪⎝⎭········································· 5分······················································································································· 7分13()322E x =⨯= ··································································································· 8分 (3) 记事件A ：该乘客在过益阳南站后到长沙站下车，记事件B 1:该乘客在常德站上车，记事件B 2:该乘客在汉寿站上车. 12()0.6 ()0.4P B P B ==1404(|)505p A B ==，2202(|)303p A B ==······································································ 10分 1122()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+4256()0.60.45375P A =⨯+⨯=··················································································· 12分 (阅卷说明：①直接4256()0.60.45375P A =⨯+⨯=得结果的不扣分；②11()0.60.40.522P A =⨯+⨯=的本问给1分)21．（本小题满分12分）解：(1)由题可知a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩22222411 ················································································· 2分解得：28a =，22b =椭圆C 的方程为x y +=22182··················································································· 4分 (2)记1k k =，设11(,)M x y ，22(,)R x y则直线l 1：(12)y kx k =+-；直线l 2：(12)y kx k =-++联立()x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩2218212消y 得：222(41)8(12)(16164)0k x k k x k k ++-+--= 则211216164241P k k x x x k --==+，即21288241k k x k --=+ ······················································· 6分1||2|PM x ∴-又||2|N PN x =-=2||84||41PM k PN k +∴=+ ································································································· 8分 同理2||84||41PR k PS k -+=+ ····························································································· 9分 1||||sin 2PMS S PM PS MPS ∆=∠；1||||sin 2PNR S PN PR NPR ∆=∠||||2||||PMS PNR S PM PS S PN PR ∆∆∴==；即||||2||||PM PR PN PS = ······························································ 10分 22848424141k k k k +-+∴=⨯++，解得：16k = 直线l 1的方程为：11(1)63y x =+-即640x y -+=······················································· 12分22．（本小题满分12分）解：(1)由题意()ln f x x ax x=-+12的零点即为方程()f x =0的实数解，即：ln x a x x=+221························································ 1分 令ln ()x g x x x=+221，则(ln )()x x x g x x --'=321 ························································································ 2分令()ln h x x x x =--1，()ln h x x '=-；当(,)x ∈01时，()h x '>0，()h x 单调递增； 当(,)x ∈+∞1时，()h x '<0，()h x 单调递减. ()()h x h ∴≤=10 ·································································································· 3分 ()g x '∴≤0 ，()g x 在(,)+∞0单调递减，又x →+∞，()g x →0； ··················································································· 4分 所以，当0a >，y a =与函数()g x 有一个交点， ()f x 有一个零点； 当a ≤0，y a =与函数()g x 没有交点，()f x 无零点 ···················································· 5分(2)令()ln ,[,)F x x x x x=-+∈+∞121，()()x F x x x x --'=--=≤22221110 ·············································································· 6分 ()F x ∴在[,)+∞1单调递减，()()F x F ≤=10ln ()x x x ∴≤-112 ································································································ 8分 ln ()n n n n n ++∴<+12121 ····························································································· 9分 ...ln ln ln ...ln()n n n n n++++++>++++⨯⨯⨯+35721234122436421123 即...ln()()n n n n +++++>+⨯⨯⨯+35721122436421 ···························································· 12分。
广东省深圳市南山区2023届高三上学期期末数学试题(解析版)
南山区2022-2023学年度第一学期期末质量监测高三数学试题2023.1注意事项：1.本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.3.作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}11M x x =-<<，(){}20N x x x =-≤，则M N ⋂=（）A.(]1,2- B.(]1,0- C.[)0,1 D.(]0,2【答案】C 【解析】【分析】先求出集合N 中元素范围，再根据交集的概念可得答案.【详解】(){}]200,2N x x x =-≤=，{}11M x x =-<<[)0,1M N ∴= 故选：C.2.命题“存在无理数m ，使得2m 是有理数”的否定为（）A.任意一个无理数m ，2m 都不是有理数B.存在无理数m ，使得2m 不是有理数C.任意一个无理数m ，2m 都是有理数D.不存在无理数m ，使得2m 是有理数【答案】A 【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题得命题“存在无理数m ，使得2m 是有理数”的否定为“任意一个无理数m ，2m 都不是有理数”故选：A.3.若()()313x a x --的展开式的各项系数和为8，则=a （）A.1B.1-C.2D.2-【答案】C 【解析】【分析】直接令1x =计算可得答案.【详解】令1x =得()()31138a --=，解得2a =故选：C.4.已知随机变量X 的分布列如下：X12Pmn若()53E X =，则m =（）A.16 B.13C.23D.56【答案】B 【解析】【分析】根据期望公式及概率和为1列方程求解.【详解】由已知得5231m n m n ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得13m =故选：B.5.设3log 4a =，0.50.4b =，0.52c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.<<c a bB.b a c <<C.c b a <<D.<<b c a【答案】D 【解析】【分析】构造对数函数和幂函数，利用其单调性来比较大小.【详解】函数3log y x =在()0,∞+上单调递增，33log 4log 31a =>=，函数0.5y x =在[)0,∞+上单调递增，50.0.50.505.0.40.5121b c -<=<===<<b c a∴故选：D.6.在,,A B C 三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为5:6:9，现从这三个地区中任意选取一人，则此人是流感患者的概率为（）A.0.032B.0.048C.0.05D.0.15【答案】B 【解析】【分析】由题意可知，分别求出此人来自,,A B C 三个地区的概率，再利用条件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.【详解】设事件D 为“此人是流感患者”，事件123,,A A A 分别表示此人来自,,A B C 三个地区，由已知可得123569()0.25,()0.3,()0.45569569569P A P A P A ======++++++，123()0.06,()0.05,()0.04P D A P D A P D A ===，由全概率公式得112233()()()()()()()0.250.060.30.050.450.040.048P D P A P D A P A P D A P A P D A =++=⨯+⨯+⨯=故选：B7.若函数()cos f x x x =在区间1ln ,ln a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为m ，最大值为M ，则下列结论正确的为（）A.0m M += B.0mM = C.1mM = D.1m M +=【答案】A 【解析】【分析】求出函数在1ln ,ln a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为奇函数，数形结合得到最小值与最大值的和为0，推导出0mM <.【详解】1lnln a a=-，由题意得：ln 0a ->，故()0,1a ∈，1ln ,ln a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦关于原点对称，且()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，故()cos f x x x =为奇函数，则0m M +=，A 正确，D 错误；故,m M 一定异号，所以0mM <，BC 错误.故选：A8.已知交于点P 的直线1l ，2l 相互垂直，且均与椭圆22:13x C y +=相切，若A 为C 的上顶点，则PA 的取值范围为（）A.B.⎡⎣C.⎤⎦D.[]1,3【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设(),P m n ，由条件联立直线与椭圆方程，得到点P 的轨迹是圆，从而得到结果.【详解】当椭圆的切线斜率存在时，设(),P m n ，且过P 与椭圆相切的直线方程为：()y n k x m -=-，联立直线与椭圆方程()2213x y y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 可得，2221()2()()103k x k n km x n km ++-+--=所以()()2222144103k n km k n km ⎛⎫⎡⎤∆=--+--= ⎣⎦⎝⎭，即()2223210mkkmn n -++-=，设12,k k 为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以121k k ×=-，所以22113n m-=--，即2231m n -=-，所以2224(3)m n m +=≠，当椭圆的切线斜率不存在时，此时，1m n ==±，也满足上式，所以224m n +=，其轨迹是以()0,0为圆心，2为半径的圆，又因为A 为椭圆上顶点，所以()0,1A ，当点P 位于圆的上顶点时，min 211PA =-=，当点P 位于圆的下顶点时，max 213PA =+=，所以[]1,3PA ∈，故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设复数12i z =-，22i z =（i 为虚数单位），则下列结论正确的为（）A.2z 是纯虚数B.12z z -对应的点位于第二象限C.123z z +=D.12iz =+【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的概念判断A ；算出12z z -判断B ；算出12z z +判断C ；求出1z 判断D.【详解】对于A ：22i z =，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A 正确；对于B ：1223i z z -=-，其在复平面上对应的点为()2,3-，在第四象限，B 错误；对于C ：212i z z +=+，则12z z +==，C 错误；对于D ：12i z =-，则12i z =+，D 正确.故选：AD.10.下列等式能够成立的为（）A.1sin15cos152︒︒=B.sin 75cos15cos75sin151︒︒+︒︒C.cos105cos75sin105cos151︒︒-︒︒=-D.cos151︒+︒=【答案】BC 【解析】【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式及倍角公式逐一计算判断.【详解】对于A ：11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=，A 错误；对于B ：()sin 75cos15cos 75sin15sin 7515sin 901︒︒+︒︒=︒+︒=︒=，B 正确；对于C ：()cos105cos 75sin105cos15cos 10575cos1801︒︒-︒︒=︒+︒=︒=-，C 正确；对于D ()cos152sin 15302sin 45︒+︒=︒+︒=︒=，D 错误.故选：BC.11.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在双曲线()22:0C xy λλ-=>的右支上运动，平行四边形OAPB 的顶点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，则下列结论正确的为（）A.直线AO ，AP 的斜率之积为1-B.C 的离心率为2C.PA PB +D.四边形OAPB 的面积可能为23λ【答案】AC 【解析】【分析】根据题意可得：双曲线为等轴双曲线，即可得到离心率为，渐近线方程为0x y ±=，设P 点的坐标，根据渐近线互相垂直可得：平行四边形OAPB 为矩形，利用点到直线的距离公式和基本不等式进而进行判断即可.【详解】由题意可知：双曲线()22:0C x y λλ-=>，故选项B 错误；由方程可知：双曲线()22:0C xy λλ-=>的渐近线方程为0x y ±=，不妨设点A 在渐近线0x y +=上，点B 在渐近线0x y -=上.因为渐近线互相垂直，由题意可知：平行四边形OAPB 为矩形，则1AP OB k k ==，1OA k =-，所以直线AO ，AP 的斜率之积为1-，故选项A 正确；设点00(,)P x y ，由题意知：OAPB 为矩形，则,PB OB PA OA ⊥⊥，由点到直线的距离公式可得：PA ==，PB ==PA PB +≥PA PB =，也即P 为双曲线右顶点时取等，所以PA PB +，故选项C 正确；由选项C 的分析可知：2PA PB λ⋅==，因为四边形OAPB 为矩形，所以2OAPB S PA PB λ=⋅=，故选项D 错误，故选：AC .12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的为（）A.直线1A M 可能与平面1ACD 相交B.三棱锥A MCD -与三棱锥1D MCD -的体积之和为定值C.当1CM MD ⊥时，CM 与平面1ACD 所成角最大D.当AMC 的周长最小时，三棱锥11M CB D -的外接球表面积为16π【答案】BCD 【解析】【分析】A.利用面面平行的性质定理，判断A ；B.利用等体积转化，可判断B ；C.利用垂直关系的转化，结合线面角的定义，即可判断C ；D.首先确定点M 的位置，再利用球的性质，以及空间向量的距离公式，确定球心坐标，即可确定外接球的半径，即可判断D.【详解】A.如图，11//A C AC ，且11A C ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11//A C 平面1ACD ，同理1BC 平面1ACD ，且11AC ⊂平面11ABC ，1BC ⊂平面11A BC ，且1111A C BC C Ç=，所以平面11//A BC 平面1ACD ，且1A M ⊂平面11A BC ，所以1//A M 平面1ACD ，故A 错误；B.如图，过点M 作ME BC ⊥于点E ，1MF CC ⊥于点F ，根据面面垂直的性质定理可知，ME ⊥平面ACD ，MF ⊥平面1DCD ，2ME MF BE EC BC +=+==，11A MCD D MCD M ACD M DCD V V V V ----+=+()1111333ACD D CD ACD S ME S MF S ME MF =⨯⨯+⨯=⨯⨯+ 114222323=⨯⨯⨯⨯=.故B 正确；C.因为11D C ⊥平面1BCC ，MC ⊂平面1BCC ，所以11D C MC ⊥，且1MD MC ⊥，且1111D C D M D = ，11D C ⊂平面11D C M ，1D M ⊂平面11D C M ，所以MC ⊥平面11D C M ，且1MC ⊂平面11D C M ，所以1CM MC ⊥，即1CM BC ⊥，点M 是1BC 的中点，此时线段MC 最短，又因为11//BC AD ，且1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，即1BC 上任何一个点到平面1ACD 的距离相等，设为h ，设CM 与平面1ACD 所成角为θ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin h MC θ=,当1CM MD ⊥时，线段MC 最短，所以此时sin θ最大，所以θC 正确；D.AMC 的周长为AM MC AC ++，AC 为定值，即AM MC +最小时，AMC 的周长最小，如图，将平面1BCC 展成与平面11ABC D 同一平面，当点,,A M C 共线时，此时AM MC +最小，作CN AB ⊥，垂足为N ，BM AB CN AN =⇒=，解得：2=-BM，如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，()0,2,0C ,2,2M，连结1AC ，1AC ⊥平面11CB D ，且经过11CB D 的中心，所以三棱锥11M CB D -外接球的球心在1AC 上，设球心(),2,2O a a a --，则OC OM =,即()()(()(2222222222222a a a a a a +--+-=-+--+--+，解得：0a =，224R OC ==，所以外接球的表面积2416S R ππ==，故D 正确.附：证明1AC ⊥平面11CB D ，因为AB ⊥平面1BCC ，1B C ⊂平面1BCC ，所以1AB B C ⊥，又因为11B C BC ⊥，且1AB BC B =I ，AB ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ,1AC ⊂平面1ABC ，所以11B C AC ⊥，同理111B D AC ⊥，且1111B C B D B ⋂=，所以1AC ⊥平面11CB D ，且三棱锥111C CB D -是正三棱锥，所以1AC 经过11CB D 的中心.故选：BCD【点睛】思路点睛：本题考查空间几何的综合应用，难点是第四个选项的判断，充分利用数形结合和空间向量的综合应用，解决三棱锥外接球的球心问题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a =r ，()2,b m =-r ，若a b ⊥，则b = ______.【答案】【解析】【分析】先利用a b ⊥求出m ，再利用模的坐标公式计算即可.【详解】a b⊥220a b m ∴⋅=-+=，解得1m =，()2,1b ∴=-r，b ∴=.14.已知正实数x ，y 满足1x y +=，则22x y +的最小值为________．【答案】1##0.52【解析】【分析】根据基本不等式可得2124x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，再计算()222212x y xy x y xy =+-=-+的范围即可求解.【详解】因为1x y +=，所以2211224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立，所以()222112121242x y xy x x y y =+-=--⨯=+≥，所以22xy +的最小值为12，故答案为：12.15.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为1C ，2C ，3C ，4C ，则142C C C =______.【答案】163##153【解析】【分析】观察图形可知{}n C 是首项为13C =，公比为43的等比数列，即可求得结果.【详解】通过观察图形可以发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个图形周长的基础上增加了其周长的13，即1111433n n n n C C C C ---=+=，所以数列{}n C 是首项为13C =，公比为43的等比数列，即4321144644339,C C C C ⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因此14264316943C C C ⨯==.故答案为：16316.若关于x 的方程2ln 0x a x x --=在区间()1,+∞上有且仅有一个实数根，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,+∞【解析】【分析】设()2ln f x x a x x =--，()1,x ∈+∞，将方程的根转换为函数零点问题，讨论函数单调性从而确定函数的变化趋势，结合零点存在定理，即可求得实数a 的取值范围.【详解】解：设()2ln f x x a x x =--，()1,x ∈+∞，则()2221a x x af x x x x--'-=-=，令()0f x '=得220x x a --=，所以22a x x =-，令()22112248g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，()1,x ∈+∞，所以()g x 在()1,x ∈+∞单调递增，则()()1,g x ∈+∞，于是可得，当1a ≤时，方程220x x a --=在()1,x ∈+∞无解，即()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在()1,x ∈+∞单调递增，又()10f =，所以此时方程2ln 0x a x x --=在区间()1,+∞上无零点，不符合题意；当1a >时，方程220x x a --=在()1,x ∈+∞的根为1184x +=或1184x =（舍），当1181,4x ⎛+∈ ⎝⎭，()0;f x '<当118,4x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭，()0;f x '>所以()f x 在1181,4x ⎛+∈ ⎝⎭单调递减，在118,4x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，又()10f =，所以104f ⎛⎫+< ⎪ ⎪⎝⎭，又1a >，()()2ln ln 1f a a a a a a a a =--=--，设()1ln h aa a =--，1a >，所以()1110a h a a a-'=-=>恒成立，则()h a 在()1,a ∈+∞上单调递增，故()()10h a h >=，则()()ln 10f a a a a =-->，且当1a >时，()()()22411816161610a a a a a a --+=-=->，即14a <，故0118,4x a ⎛⎫∃∈ ⎪ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，即方程2ln 0x a x x --=在区间()1,+∞上有且仅有一个实数根综上，实数a 的取值范围为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.【点睛】关键点睛：本题考查方程的根与函数零点的关系，结合导数进行判断，属于中等题.解决本题的关键是，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，构造函数()2ln f x x a x x =--，()1,x ∈+∞，利用导数确定单调性时要分类讨论.当1a ≤，函数()f x 在()1,x ∈+∞单调递增，结合特殊值()10f =，得不符合题意，当1a >时，得()f x 在11,4x ⎛+∈ ⎪⎝⎭单调递减，在1,4x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，判断()1f ，14f ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，()f a 的符号，结合零点存在定理可得a 的范围.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()22*n n S a n =-∈N .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211log log n n n b a a +=⋅，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T <.【答案】（1）2n n a =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用1n n n a S S -=-计算整理得12n n a a -=，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）将n b 变形为111n b n n =-+，利用裂项相消法求n T ，进一步观察证明不等式.【小问1详解】()22*n n S a n =-∈N ①，∴当2n ≥时，1122n n S a --=-②，①-②得122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，又当1n =时，11122a S a ==-，解得12a =，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，2n n a ∴=；【小问2详解】由（1）得()1221111log 2log 211n n n b n n n n +===-⋅++，1111111122311n T n n n ∴=-+-++-=-++ ，因为101n >+，1n T ∴<18.某学校有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了解学生的体质健康状况，按照性别采用分层抽样的方法抽取100人进行体质测试.其中男生有50人测试成绩为优良，其余非优良；女生有10人测试成绩为非优良，其余优良.（1）请完成下表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析抽样数据，能否据此推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.性别体质测试合计优良非优良男生女生合计（2）100米短跑为体质测试的项目之一，已知男生该项成绩（单位：秒）的均值为14，方差为1.6；女生该项成绩的均值为16，方差为4.2，求样本中所有学生100米短跑成绩的均值和方差.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：()()22221111111mnmm m iji i i i j i i i a c bc a a m a c m m =====⎛⎫⎛⎫-+-=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑2211111nn n j j j j j j b b n b c n n ===⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑【答案】（1）根据小概率事件0.1α=的独立性检验，不可以认为全校学生体质测试的优良率与性别有关.（2）均值14.8；方差3.6【解析】【分析】（1）根据题意，由独立性检验的计算公式，代入计算即可判断；（2）根据题意，可得男生，女生的人数，结合均值方差的性质，代入计算即可得到结果.【小问1详解】性别体质测试合计优良非优良男生501060女生301040合计80200100()()()()()()222100500300 1.042 2.70660408020n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-==≈<++++⨯⨯⨯，根据小概率事件0.1α=的独立性检验，不可以推断全校学生体质测试的优良率与性别有关.【小问2详解】男生人数60，女生人数40，则设男生的成绩为()1,2,,60,i a i = 女生的成绩为()1,2,,40,j b j = 所以均值为()11460164014.8100⨯+⨯=，所以()()22604060606022111111114.814.86014.86060iji i i i j i i i a ba a a =====⎛⎫⎛⎫-+-=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑22404040111114014.84040j j j j j j b b b ===⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()()6022114601414.8i i a ==-+-+∑()()4022116401614.8jj b=-+-∑()21.660601414.8=⨯+-+()24.240401614.8360⨯+-=，所以样本中所有学生100米短跑成绩的方差为3603.6100=19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形，平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AC BC ⊥，且E 为1AA 的中点.（1）证明：平面EBC ⊥平面11ACC A ；（2）若AC BC =，且1EC EC ⊥，求平面1EBC 与平面ABC 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）先根据已知证明11AC BCC B ⊥平面，即可得到ACBC ⊥，又通过11ACC A ABC ⊥平面平面即可证明11BC ACC A ⊥平面，即可证明答案；（2）设1AC BC ==，AE x =，先通过已知与勾股定理求出1x =，建立空间直角坐标系，即可通过二面角的向量求法求出答案.【小问1详解】证明： 侧面11ACC A 为矩形，1AC CC ∴⊥，1AC BC ⊥ ，1BC 、111CC BCC B ⊂平面，且111BC CC C ⋂=，11AC BCC B ∴⊥平面，AC BC ∴⊥，11ACC A ABC ⊥ 平面平面，且平面11ACC A 平面ABC AC =，11BC ACC A ∴⊥平面，BC EBC ⊂ 平面，11EBC ACC A ∴⊥平面平面；【小问2详解】设1AC BC ==，AE x =，由题意可得EC =，1EC EC ⊥ ，1CC ∴=，E 为1AA 的中点，112AE AA CC ∴==，1EC EC ⊥2x ∴=，解得1x =，即1AE =，1122AE AA CC ===，根据第一问与题意可得：ACBC ⊥，1AC CC ⊥，1BC CC ⊥，则以C 为原点，以CA ，CB ，1CC分别为x ，y ，z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()0,1,0B ，()10,0,2C ，()1,0,1E ，则()11,0,1C E =- ，()10,1,2C B =-，设平面1EBC 的一个法向量为(),,n x y z =r，则11020C E n x z C B n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1z =，则()1,2,1n = ，由题意可得平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面1EBC 与平面ABC 的夹角为α，且由图得α为锐角，则cos cos ,6n m n m n m α⋅===⋅.20.在ABC中，AB =，2AC =，D 为边BC 上一点.（1）若sin 2sin BAD CAD ∠=∠，求BDCD的值；（2）若BD CD =，且1AD =，求ABC 的面积.【答案】（1；（2）152.【解析】【分析】（1）在ABD △、ACD 中分别利用正弦定理，结合已知条件可求得BDCD的值；（2）由平面向量的线性运算可得出2AD AB AC =+，利用平面向量的数量积运算可得出cos BAC ∠的值，利用同角三角函数的平方关系以及三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD ACCAD ADC =∠∠，可得2sin sin CAD CD ADC∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，可得()sin πsin BAD BADBD ADC ADC ∠∠==-∠∠，因此，6sin sin sin 2sin BD BAD ADCCD ADC CAD∠∠=⋅=∠∠.【小问2详解】解：因为BD CD =，则BD DC = ，即AD AB AC AD -=- ，2AD AB AC ∴=+，所以，()222242AD AB ACAB AC AB AC =+=++⋅，即6422cos 4BAC ++∠=，即6BAC ∠=-，解得cos 4BAC ∠=-，()0,πBAC ∠∈ ，故BAC ∠为钝角，所以，10sin 4BAC ∠==，故1sin 22ABC S AB AC BAC =⋅∠=△.21.已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，且与x 轴交于点()(),00M a a >，过点A ，B 分别作直线1:l x a =-1A ，1B ，动点N 在1l 上.（1）当1a =，且N 为线段11A B 的中点时，证明：AN BN ⊥；（2）记直线NA ，NB ，NM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）2λ=.【解析】【分析】（1）取AB 的中点D ,连接DN .利用几何法，分别证明出AN ,BN 为11,A AD B BD ∠∠的角平分线，即可证明；（2）利用“设而不求法”分别表示出123,,k k k ，解方程求出λ.【小问1详解】如图示：当1a =时，()1,0M 恰为抛物线2:4C y x =的焦点.由抛物线的定义可得：11,AM AA BM BB ==.取AB 的中点D ,连接DN ,则DN 为梯形11ABB A 的中位线，所以()1112DN AA BB =+.因为D 为AB 的中点,所以()1112DA DB AA BB ==+,所以DA DN =.在ADN △中，由DA DN =可得：AND NAD ∠=∠.因为DN 为梯形11ABB A 的中位线，所以1//DN AA ，所以1AND A AN ∠=∠，所以1NAD A AN ∠=∠.同理可证：1NBD B BN ∠=∠.在梯形11ABB A 中，11180A AB B BA ∠+∠=︒,所以11180A AN NAD DBN NBB ∠+∠+∠+∠=︒，所以1180902NAD DBN ∠+∠=⨯︒=︒，所以90ANB ∠=︒,即AN BN ⊥.【小问2详解】假设存在实数λ，使得123k k k λ+=.由直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，可设:l x my a =+.设()()1122,,,A x y B x y ,则24y xx my a⎧=⎨=+⎩，消去x 可得：2440y my a --=，所以124y y m +=，124y y a =-.则()()()()()121211212212121212122222222222y y y y y y y y y y m y y x a x a my a my a my a my ak k ++------+-=----++=+++=()()()()()2212122222212124444222424244m y y y y m m a m a m y y ma y y a m a ma m a ⎡⎤⎡⎤-+----⎣⎦⎣⎦==-⎡⎤⎡⎤+++-+⋅+⎣⎦⎣⎦.而1230222y y m m a a a ak +-===----.所以2m m a a λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得：2λ=.22.已知定义在()0,∞+上的函数()e ax f x =.（1）若R a ∈，讨论()f x 的单调性；（2）若0a >，且当()0,x ∈+∞时，不等式2e ln aax xx ax⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）1[,)e+∞.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数()f x '，再分类讨论解()0f x ¢>和()0f x '<作答.（2）当01x <≤时，可得a 为任意正数，当1x >时，变形给定不等式，构造函数并利用单调性建立不等式，分离参数求解作答.【小问1详解】函数()e ax f x =，0x >，求导得：()e e e ax ax ax f x '=+=，当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，当a<0时，由()0f x '>得102x a <<-，由()0f x '<得12x a >-，则()f x 在1(0,)2a-上递增，在1(,)2a-+∞上递减，所以当0a ≥时，函数()f x 的递增区间是()0,∞+；当a<0时，函数()f x 的递增区间是1(0,2a -，递减区间是1(,)2a-+∞.第21页/共21页【小问2详解】因为0a >，且当()0,x ∈+∞时，不等式2e ln (ax a x x ax≥恒成立，当01x <≤时，0a ∀>，2e ln (0ax a x x ax>≥恒成立，因此0a >，当1x >时，2e ln ()2ln e 2ln ln(ln )ln()ax a ax x a a x x ax x ax ≥⇔-≥-2ln e ln(ln e )2ln ln(ln )ax ax a a x x ⇔+≥+，令()2ln g x ax x =+，原不等式等价于(ln e )(ln )ax g g x ≥恒成立，而1()20g x a x'=+>，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，因此1,ln e ln ax x x ∀>≥，即ln 1,ln x x ax x a x ∀>≥⇔≥，令ln (),1x h x x x =>，21ln ()x h x x -'=，当1e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，函数()h x 在(1,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，max 1()(e)e h x h ==，因此1e a ≥，综上得1ea ≥，所以实数a 的取值范围是1[,)e +∞.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.。
2024年吉林省吉林市示范初中高三数学第一学期期末质量检测试题含解析
2024年吉林省吉林市示范初中高三数学第一学期期末质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．322．如图，在四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，120ABC ∠=︒，90ACD ∠=︒，60CDA ∠=︒，则BD 的长度为（ ）A ．533B ．23C ．33D ．7333．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．920π+B ．926π+C ．520π+D ．526π+4．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭5．已知等差数列{}n a 的公差为-2，前n 项和为n S ，若2a ，3a ，4a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，则n S 的最大值为（ ） A ．5B ．11C ．20D ．256．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同 7．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4πC ．2， 3π-D ．2，6π 8．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．10210．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( ) A ．2020B ．4038C ．4039D ．404011．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．212．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题含解析
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．1202．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）A ．33-B ．3C ．332-D ．32 3．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．784．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．6⎛ ⎝⎦B ．,15⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,5⎛ ⎝⎦D ．,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛ ⎝B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭8．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2010．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 11．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．312．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
东城区2023-2024学年第一学期期末检测高三数学试题答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）C （2）D （3）C （4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12）y = （13）π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11AC 中点G ，连接,FG AG .在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B AC ，的中点，所以1111,AEB GFA AB ,111=2A GF B ,1112A A EB =.所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形， 所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分（Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC . 而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥， 所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F （1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = . 设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =− 设AP 与平面BEF所成的角为θ， 则1sin cos ,5AP AP AP n n nθ⋅=〈〉===⋅．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分 （17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 12==.又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... ...........................5分（II ）选择条件①：π4ADB ∠=.在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD ABB ADB=∠，得=， 所以AD =所以sin sin()BAD B ADB ∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯=. ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BDBD BD +=+−，解得 2BD =，所以11sin 1222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯=. ........................ ...............13分(18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率 12377()151025P A A =−⨯=（），所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分（III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B . 设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=. 因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫⎪⎝⎭.所以直线():24nAE y x m =++. 设()11,D x y ,由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=.所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+，所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭.因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32ny n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线． .................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+，所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+，11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分 (21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
广东省深圳市第三高级中学2024年高三数学第一学期期末达标测试试题含解析
广东省深圳市第三高级中学2024年高三数学第一学期期末达标测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x fx -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞2．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n3．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆4．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+B ．x x y e e -=-C ．lg y x =D．y 5．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥6．不等式组201230x y y x x y -≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（ ）A ．(),x y ∀∈Ω，23x y +>B ．(),x y ∃∈Ω，25x y +>C ．(),x y ∀∈Ω，231y x +>- D ．(),x y ∃∈Ω，251y x +>- 7．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -8．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =，E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．1559．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ） A ．12B ．2C ．22D ．210．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．52B ．5C ．2D ．211．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-12．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6-B ．6C ．5D ．5-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省深圳市罗湖区2023届高三上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年第一学期期末质量检测试题高三数学2023.1注意事项：1.本试卷共4页，共22题，满分150分，考试用时120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.3.作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4.非选择题的答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5.考试结束后，考生上交答题卡.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){},0A x y x y =-=，(){},10B x y x y =++=，则A B ⋂的子集个数为（）A.0B.1C.2D.无穷多个【答案】C 【解析】【分析】由题知11,22A B ⎧⎫⎛⎫⋂=--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，再求子集个数即可.【详解】解：因为集合(){},0A x y x y =-=，(){},10B x y x y =++=，由010x y x y -=⎧⎨++=⎩可得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以11,22A B ⎧⎫⎛⎫⋂=--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，只有一个元素，所以，A B ⋂的子集个数为2.故选：C2.已知复数1i 22ω=-+，则2ω=（）A.ωB.ω-C.1ω- D.1ω+【答案】A 【解析】【分析】根据复数的运算可得答案.【详解】因为13i 22ω=-+，所以213313i i 42422ωω=--=--=，故选：A3.已知向量()2,a k = ，()2,4b =，若a b ⊥ ，则+= a b （）A.6B.5C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】先根据条件求出k ，再用坐标公式法计算模.【详解】,0,440,1a b a b k k ⊥∴=+==- ，()4,3,5a b a b +=+== ；故选：B.4.某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x 万件该产品，需另投入成本()x ω万元.其中()210,0401000071945,40x x x x x x x ω⎧+<≤⎪=⎨+->⎪⎩，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70）A.720万元B.800万元C.875万元D.900万元【答案】C 【解析】【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大值.【详解】该企业每年利润为()()2701025,04010000707194525,40x x x x f x x x x x ⎧-++<≤⎪=⎨⎛⎫-+-+>⎪ ⎪⎝⎭⎩当040x <≤时，()226025(30)875f x x x x +-=-+=--在30x =时，()f x 取得最大值875；当40x >时，()10000920920720f x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭（当且仅当100x =时等号成立），即在100x =时，()f x 取得最大值720；由875720>，可得该企业每年利润的最大值为875.故选：C5.圆221:460O x y y +--=与圆222:680x y O x y +-+=公共弦长为（）A.B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆1O 的圆心到公共弦的距离，再由公共弦长公式=d .【详解】联立两个圆的方程2222460680x y y x y x y ⎧+--=⎨+-+=⎩，两式相减可得公共弦方程210x y --=，圆()221:210O x y +-=的圆心坐标为()10,2O ，半径为r =，圆心()10,2O 到公共弦的距离为d ==，公共弦长为d ===.故选:C .6.已知()f x 为偶函数，当0x <时，()3f x x x =-，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程是（）A.220x y --= B.440x y --=C.220x y +-= D.440x y +-=【答案】C 【解析】【分析】先求得曲线()y f x =在0x >时的解析式，再利用导数几何意义即可求得曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程.【详解】设0x >，则0x -<，由()f x 为偶函数，且当0x <时，()3f x x x =-，可得()()33()()f x f x x x x x =-=---=-，则()213f x x '=-，则()1132f '=-=-，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程是2(1)y x =--，即220x y +-=故选：C7.某批产品来自A ，B 两条生产线，A 生产线占60%，次品率为4%；B 生产线占40%，次品率为5%，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A 生产线的概率是（）A.12B.611C.35D.59【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用全概率公式及贝叶斯公式求解作答.【详解】因为抽到的次品可能来自于A ，B 两条生产线，设A =“抽到的产品来自A 生产线”，B =“抽到的产品来自B 生产线”，C =“抽到的一件产品是次品”，则()0.6,()0.4,(|)0.04,(|)0.05P A P B P C A P C B ====，由全概率公式得()()()()()0.60.040.40.050.044P C P A P C A P B P C B =+=⨯+⨯=，所以它来自A 生产线的概率是()()()()()()0.60.0460.04411P A P C A P AC P A C P C P C ⨯====.故选：B 8.正四面体S ABC -中，M 是侧棱SA 上（端点除外）的一点，若异面直线MB 与直线AC所成的角为α，直线MB 与平面ABC 所成的角为β，二面角M BC A --的平面角为γ，则（）A.αβγ<<B.βαγ<<C.βγα<<D.γαβ<<【答案】C 【解析】【分析】先在正四面体S ABC -中，作出αβγ、、对应的角，再比较三者间的的大小关系即可解决.【详解】正四面体S ABC -中，取BC 中点D ，连接AD ，MD ，SD 过M 作MH AD ⊥于H ，连接HB ，MB ，过M 作AC 的平行线交SC 于N ，则BMN ∠α=，由SD BC ⊥，AD BC ⊥，SD AD D = ，SD ⊂平面SAD ，AD ⊂平面SAD可得BC ⊥平面SAD ，则MD BC ⊥，则MDH γ∠=由BC ⊥平面SAD ，可得平面ABC⊥平面SAD ，又平面ABC ⋂平面=SAD AD ，MH ⊂平面SAD ，MH AD ⊥，则MH ⊥平面ABC ，则MBH β∠=，因为sin sin MH MH MB MD βγ=<=，且π0,2βγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以βγ<.设正四面体边长为1，()01AM λλ=<<，有1SM MN λ==-.122cos MN BM BMλα-==，cos HD HDMD BMγ=>因为()33333112322222MNHD λλλλ-=->-=->=所以cos cos γα>，又π2αγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则γα<综上：βγα<<故选：C【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且1q ≠-，以下结论正确的是（）A.{}2na 是等比数列B.数列1112a a +，1213a a +，1314a a +成等比数列C.若1q >，则{}n a 是递增数列D.若0q >，则{}n S 是递增数列【答案】AB 【解析】【分析】先将{}n a 的通项公式写出，再按照有关定义逐项分析.【详解】由题意，11n n a a q-=，111nn q S a q-=-；对于A ，()12221n n a a q -=，所以{}2n a 是首项为21a ，公比为2q 的等比数列，正确；对于B ，因为1q ≠-，()()()1011101112111211112131131411,1,1a a a q a q a q q a a a q q a a a q q +=+=++=++=+，()()()()()222222222121311112131411,1a a a q q a a a a a q q +=+++=+，()()()21213111213140a a a a a a ∴+=++≠，1213131411121213a a a a a a a a ++=++,它们成等比数列，正确；对于C ，若10a <，q ＞1，则()11111110nn n n n a a a q a q a q q ---=-=-＜，{}n a 为递减数列，错误；对于D ，()1111111n n n n n a S S q q a q q++-=--+=-，若10a <，q ＞0，则10n n S S +-＜，1n n S S +<，{}n S 是递减数列，错误.故选：AB.10.已知随机变量()2,X Nμσ ，函数()()()222x f x x μσ--=∈R ，则A.当x μ=时，()f xB.曲线()y f x =关于直线x μ=对称C.x 轴是曲线()y f x =的渐近线D.曲线()y f x =与x 轴之间的面积小于1【答案】ABC 【解析】【分析】由正态分布曲线的性质逐一判断即可.【详解】解：因为随机变量()2,X Nμσ ，函数()()()222x f x x μσ--=∈R ，所以()f x 的对称轴为x μ=，且当x μ=时，()f x0=，故A ，B 正确；根据正态分布的曲线可得，x 轴是渐近线，且曲线()y f x =与x 轴之间的面积等于1，故C 正确，D 错误.故选：ABC.11.已知A ，B 为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>左、右顶点，(),0F c 为C 的右焦点，M是C 的上顶点，2,0a N c ⎛⎫⎪⎝⎭，MN 的垂直平分线交C 于D ，E ，若D ，E ，F 三点共线，则（）A.FN a =B.CC.点N 到直线MF 的距离为2b c D.直线DA ，DB 的斜率之积为22b a-【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意得DE 的方程为2222b a a y x bc c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而得422430c a c a -+=，再整理得2ac b =，进而求FN ，离心率判断AB ；求出直线MF 的方程并结合点线距公式求解判断C ；设()00,D x y ，则()222222000221x b y b a x a a⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，进而求解AD BD k k ⋅即可判断D.【详解】解：由题知()(),0,,0A a B a -，()0,M b ，2,0a N c ⎛⎫⎪⎝⎭，(),0F c ，所以，22MN b bck a a c=--=，MN 的中点为2,22a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，MN 的垂直平分线DE 的方程为2222b a a y x bc c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为D ，E ，F 三点共线，所以2222b a a c bc c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得422430c a c a -+=，所以()222220a c a c --=，即222a c acb -==所以，2222a a cb FNc a c c c-=-===，故A 选项正确；所以220c ac a --=，即210e e --=，解得12e -=或12e +=（舍）所以，椭圆的离心率为12e =，故B 选项正确；因为直线MF 的方程为by x b c=-+，即0bx cy bc +-=，所以，点2,0a N c ⎛⎫⎪⎝⎭到直线MF 的距离为222a b a bab b c c d a c c ===>，故C 选项错误；设()00,D x y ，则2200221x y a b +=，故()222222000221x b y b a x a a⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由于()(),0,,0A a B a -，所以()2200020222220020202AD BDy y y k k x a x a x a x a b a a b x a-⋅=⋅===-+---，故D 选项正确；故选：ABD12.已知[],x ππ∈-，函数()2sin 1xf x x =+，则（）A.()f x 的图像关于原点对称B.()f x 有四个极值点C.()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()f x的最大值不大于4【答案】AC 【解析】【分析】根据()f x 的函数性质逐项分析求解.【详解】对于A ，()()()()22sin sin 11x xf x f x x x --==-=-+-+，是奇函数，正确；对于B ，()()()2'221cos 2sin 1x x x xfx x+-=+，令()()21cos 2sin g x x x x x =+-，则()()()()'222cos 1sin 2sin 2cos 3sin g x x x x x x x x x x =-+-+=-+，当(]0,x π∈时，()'0g x ≤，()g x 单调递减，当[),0x π∈-时，()'0g x ≥，()g x 单调递增，所以()g x 最多只有2个零点，即()'f x 最多只有2个零点，错误；对于C ，222221214162422162g πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⨯-⨯-⨯-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()224032π=->，()()2240,01432g g ππ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，由B 的分析知：,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0g x >，即()'0f x >，()f x 是单调递增的，正确；对于D，22222224441221688f πππ⎛⎫==>= ⎪⎝⎭+++，错误；故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若α是第三象限角，且tan 3α=，则sin cos αα-=______.【答案】105-【解析】【分析】根据同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为α是第三象限角，且tan 3α=，所以sin 3cos ,sin 0,cos 0αααα=<<,因为22sin cos 1αα++=所以31010sin 1010αα=-=-，所以31010210101010105sin cos αα⎛⎫---=-=- -⎪ ⎝⎭=⎪故答案为：105-14.已知01x <<，则函数411y x x=+-的最小值为_______．【答案】9【解析】【详解】试题分析：由001{10x x x ><<⇒->,而()414141415559111x xy x x x x x x-=+=-+-+=++≥=---,当且仅当23x =时，上式取“=”,所以min 9y =.考点：基本不等式；构造意识和发散性思维.15.若正方形ABCD 的顶点均在半径为1的球O 上，则四棱锥O ABCD -体积的最大值为______.【答案】27【解析】【分析】设正方形ABCD 的边长为x ，可得到四棱锥O ABCD -体积为213V x =令()20,2x t =∈，则V =，利用导数的知识求得最大值即可求解【详解】设正方形ABCD 的中心为E ，连接OE ，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD ，设正方形ABCD 的边长为x ，因为正方形ABCD 的顶点均在半径为1的球O 上,且不在大圆上，所以(x ∈,所以，2222211122x OE OA AE x ⎛⎫=-=-=-⎪⎪⎝⎭，所以，四棱锥O ABCD -体积为221111332ABCD V S OE x x =⋅=⋅-令()20,2x t =∈，则23111113232V t t t t =⋅-=-，令2312y t t =-，则2322y t t '=-，故23322022y t t t t ⎛⎫'=-=-=⎪⎝⎭得0=t ，43t =所以，当40,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，23202y t t '=->，2312y t t =-单调递增，当4,23t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，23202y t t '=-<，2312y t t =-单调递减，所以，当43t =时2312y t t =-有最大值23max 4141632327y ⎛⎫⎛⎫=-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，2311116433232727V t t =-≤=，当且仅当233x =时四棱锥O ABCD -体积的最大值.故答案为：432716.已知ABC 的顶点()2,1A -，点B ，C 均在抛物线2:4H y x =上.若AB ，AC 的中点也在H 上，BC 的中点为D ，则AD =______，ABC 的面积S =______.【答案】①.274##6.75②.81248124【解析】【分析】先利用点在曲线上构造出一元二次方程，求得点D 的坐标，进而求得AD 的长和ABC 的面积.【详解】不妨设211,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y C y ⎛⎫⎪⎝⎭，则AB 的中点21111,82y y ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭在2:4H y x =上，所以2221111414282y y y ⎛⎫+⎛⎫=⨯-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2112170y y --=，又AC 的中点22211,82y y ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭在2:4H y x =上，所以2222221414282y y y ⎛⎫+⎛⎫=⨯-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2222170y y --=，所以1y ，2y 是方程22170y y --=的两根，则122y y +=，1217y y =-所以()22121223419884D y y y y x +++===，1212Dy y y +==，则274AD ==，ABC 的面积12127272724884S y y =⨯⨯-==⨯=故答案为：274；8124四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，12a =，()111n n na n a +-+=()*n ∈N.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11,, 2, n n n a n b a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前100项和.【答案】（1）31n a n =-（2）22950.【解析】【分析】（1）对条件作变形化简，求出通项公式；（2）分组求和.【小问1详解】()111111111,,111n n n n n n a a a a na n a n n n n n n+++++-+=∴-=-=+++ ，所以1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，即1113,311n n a a a n n ++==∴=-；【小问2详解】由（1）知，{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，由题意得212164n n b a n --==-，2212124n n b a n +==+，设数列{}21n b -，{}2n b 的前50项和分别为1T ，2T ，所以()1991502529874502b b T +==⨯=，()210025025620155002b b T ⨯+==⨯=，所以{}n b 的前100项和为1274501550022950T T +=+=；综上，31n a n =-，{}n b 的前100项和为1274501550022950T T +=+=.18.在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且22sin cos sin cos 3a B C c B A +=，cb >.（1）求cos B ；（2）若3c =，AC 边上中线BD =，求ABC 的面积.【答案】（1）13（2【解析】【分析】（1）由正弦定理和已知可得22sin 3B =，利用三角函数的平方关系可得答案；（2）法一：在ABC 和ABD △中，由余弦定理可得2226b a =+，1cos 3B =，求出a 代入三角形面积公式可得答案；法二：由cos ADB cos DB 0∠+∠=C 得2226b a =+，1cos 3B =，求出a 由1sin 2ABC S ac B =△可得答案；法三：作//DE BC 交AB 于E ，则322c BE ==，2aDE =，由余弦定理可得1a =，代入三角形面积公式计算可得答案.【小问1详解】由正弦定理有sin sin cos sin sin cos sin 3A B C C B A B +=，因为sin 0B ≠，有()sin cos sin cos sin sin 3A C C A A CB +=+==，因为c b >，故cos 0B >，1cos 3B ==；【小问2详解】法一：在ABC 和ABD △中，2222222cos 222b c BD b c a A b bc c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭，因为3c =，BD =，则2226b a =+，因为()222229261cos 263a a a cb B ac a +-++-===，所以1a =，所以1122sin 13223ABC S ac B ==⋅⋅⋅= 法二：因为cos ADB cos DB 0∠+∠=C，所以2223932202222b b a b b ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，有2226b a =+，因为()222229261cos 263a a a cb B ac a +-++-===，所以1a =，所以1122sin 13223ABC S ac B ==⋅⋅⋅= 法三：如图，作//DE BC 交AB 于E ，则E 是AB 的中点，所以322c BE ==，2a DE =，1cos cos 3BED ABC ∠=-∠=-，即222312233222a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅⋅，解得1a =，所以11sin 13223ABC S ac B ==⋅⋅⋅=19.快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发现它们分布在区间[]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，并据此画得频率分布直方图如下：（1）求a 的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；（2）若重量在[]5,15（单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为X ，求X 的分布列和数学期望.注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.【答案】（1）0.030；31（2）分布列见解析，35【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图和百分位数的计算方式直接计算即可；（2）由题知13,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，再根据二项分布求解即可；【小问1详解】解：因为频率分布直方图的组距为10，所以，落在区间[]5,15，(]15,25，(]35,45上的频率分别为0.20，0.32，0.18，所以，10.180.320.200.03010a ---==.因为落在区间[]5,25上的频率为0.200.320.52+=，而落在区间[]5,35上的频率为0.200.320.300.82++=，所以第70百分位数落在区间[]25,35之间，设为x ，则()0.52250.030.70x +-⨯=，解得31x =，所以估计第70百分位数为31.【小问2详解】解：由（1）知，重量落在[]5,15的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2，因为X 可取0，1，2，3，且13,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，则()3034640C 5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21314481C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()22314122C 55125P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()333113C 5125P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为：X0123P6412548125121251125所以X 的数学期望为()48243301251251255E X =+++=（或直接由()13355E X =⨯=）.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -侧面11ABB A 是边长为2的正方形，1AA BC ⊥，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点.（1）证明：MN ∥平面11ACC A ；（2）若90ABC ∠= ，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，求直线AC 与平面AMN 所成角θ的正弦值.条件①：异面直线AC 与MN 所成的角为45°；条件②：AMN 是等腰三角形.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】(1)应用线面平行的判定定理证明即可;(2)根据选择的已知条件应用线面角的向量法求解可得.【小问1详解】取AC 的中点为O ，连接1AO ，ON ，因为N 是BC 的中点，所以ON AB ∥且12ON AB =，又因为1A M AB ∥且112A M AB =，所以1A M ON ∥且1A M ON =，所以四边形1A MNO 是平行四边形，即1MN A O ∥，MN ⊄平面11ACC A 而1A O ⊂平面11ACC A ，所以MN ∥平面11ACC A .【小问2详解】因为1AA AB ⊥，1AA BC ⊥，且AB ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ABC ⊥，又因为90ABC ︒∠=，所以分别以BC ，BA ，1BB 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.选择条件①，因为1AA O ∠为异面直线AC 与MN 所成的角，即145AA O ∠=，所以12OA AA ==，1MN AO ==设BN m =，则MN ==，解得m =，所以()0,2,0A，()C ，()0,1,2M，)N，所以()2,0AC =- ，()0,1,2AM =-，)2,0AN =- ，设平面AMN 的法向量(),,n x y z =r，则2020.n AM y z n AN y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2y =，则x =，1z =，即2,1n ⎫=⎪⎭，所以sin cos ,31AC nAC n AC n θ⋅====∣.选择条件②，设BN m =，则AN =MN =AM =，因为AMN 是等腰三角形，所以上式中只能AM AN =，即1m =，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，)0,1,2M，()1,0,0N ，所以()2,2,0AC =- ，()0,1,2AM =- ，()1,2,0AN =-，设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =r ，则20,20.n AM y z n AN x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令2y =，则4x =，1z =，即()4,2,1n =，所以42sin cos ,21AC n AC n AC nθ⋅===⋅.21.点M 是平面直角坐标系xOy 上一动点，两直线1:l y x =，2:l y x =-，已知1MA l ⊥于点A ，A 位于第一象限；2MB l ⊥于点B ，B 位于第四象限.若四边形OAMB 的面积为2.（1）若动点M 的轨迹为C ，求C 的方程.（2）设(),M s t ，过点M 分别作直线MP ，MQ 交C 于点P ，Q .若MP 与MQ 的倾斜角互补，证明直线PQ 的斜率为一定值，并求出这个定值.【答案】（1）()2240x y x -=>；（2）证明见解析，定值为st-.【解析】【分析】（1）设(),M x y ，然后求出点A 的坐标，然后算出OA、MA，然后由四边形OAMB 的面积为2可得答案；（2）设直线():MP y t k x s -=-，联立直线MP 与C 的方程消元，然后求出点P 的坐标，然后同理可得点Q 的坐标，然后可算出直线PQ 的斜率.【小问1详解】设(),M x y ，依题意得0x >且x y x >>-，即0x y ->且0x y +>，设(),A n n ，则(),MA x n y n =--，因为直线1l 的方向向量为()1,1，所以()1,10MA x n y n ⋅=-+-= ，2x yn +=，即,22x y x y A ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以)2x y OA +===，),2x y MA -===所以四边形OAMB 的面积为2222x y OA MA -⋅== ，即动点M 的轨迹方程为()2240x y x -=>.【小问2详解】设直线():MP y t k x s -=-（1k <-或1k >），则():MQ y t k x s -=--，联立()224,,x y y t k x s ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩得()224x kx ks t ⎡⎤---=⎣⎦，整理得()()()2221240kx k ks t x ks t -+----=，所以()221P k ks t s x k -+=-，即222222211P k s kt k s kt sx s k k --+=-=--，所以()22221P P k t ksy k x s t t k -+=-+=+-，同理得22221Q k s kt x s k +=--，22221Q k t ksy t k --=+-，所以直线PQ 的斜率44Q P Q Py y ks sk x x kt t--===--，得证.22.已知函数()()ln f x ax ax =+，其中a 是非零实数.（1）讨论函数()f x 在定义域上的单调性;（2）若关于x 的不等式()e x af x x -≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）01a <≤.【解析】【分析】（1）分0a >和a<0两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；（2）令()()()eln e x ax a F x f x x ax ax x --=-=+-，当0a >时，可得不等式恒成立的必要条件为：由()11ln e 0aF a a -=+-≤，求得01a <≤，再证明充分性，令()()()ln e 0x a G a ax ax x x -=+->，利用导数可求证得结论.【小问1详解】当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，当a<0时，()f x 的定义域为(),0∞-.()1.f x a x='+①当0a >时，()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增；②当a<0时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减.综上所述：当0a >时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x 在(),0∞-上单调递减.【小问2详解】令()()()eln e x ax a F x f x x ax ax x --=-=+-.由题()0F x ≤恒成立.①当a<0时，()()()ln e 0x aF x ax ax x x -=+-<.第21页/共21页因为1111e 0a a F a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故不合题意.②当0a >时，则不等式恒成立的必要条件为：()11ln e0a F a a -=+-≤.令()()1ln e0a g a a a a -=+->，则()111e 0a g a a-=+'+>，故()g a 在()0,a ∈+∞上单调递增.注意到()10g =，故由1ln e 0a a a -+-≤可知01a <≤.下证充分性：当01a <≤时，令()()()ln e0x a G a ax ax x x -=+->，则()1e 0x a G a x x x -=++>'.故()G a 在(]0,1a ∈上单调递增.所以()()11ln ex G a G x x x -≤=+-.令()1ln ex h x x x x -=+-，则()()1111e x h x x x-=+-+'，令()()11()11e x x h x x x ϕ-=+-+'=则()()1212e 0x x x xϕ-'=--+<.故()h x '在(0,)+∞单调递减.因为()10h '=，故当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以()()10h x h ≤=，即()1ln 0e x h x x x x -=+-≤综上所述：01a <≤.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是当0a >时，则不等式恒成立的必要条件为：()11ln e 0a F a a -=+-≤，可得01a <≤，然后通过构造函数证明其充分性也成立，考查数学计算能力，属于较难题.。
贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学(理)试题含答案
铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,222.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.173.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC 满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.86.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]- B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是348.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5B.6C.7D.89.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.91611.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A .2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃- D.(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．14.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μx （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,22【答案】C 【解析】【分析】由集合相等元素对应相同解方程组.【详解】由集合相等的定义，有296x x y =⎧⎨+=⎩，解得9232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不合题意舍去，或269x x y =⎧⎨+=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，满足题意．故选：C ．2.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.17【答案】C 【解析】【分析】根据复数的模的性质、模长公式和共轭复数的模的性质可求出结果.【详解】因为|||(512i)(cos isin )||512i ||cos isin |z θθθθ=-+=-⋅+=13=，所以||||13z z ==．故选：C ．3.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥ ，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件推出0AC AB ⋅>，得CAB ∠为锐角．同理可得,ABC BCA ∠∠也为锐角．由此可得答案.【详解】因为,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，所以0,0,0OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅==，()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅- 22||0OB OC OA OB OC OA OA OA =⋅-⋅-⋅+=> ，所以cos 0||||AB ACCAB AB AC ⋅∠=>⋅，即知CAB ∠为锐角．同理可知,ABC BCA ∠∠也为锐角．故ABC 是锐角三角形．故选：A ．4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤【答案】A 【解析】【详解】由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重326⨯=斤.5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】解：由题知24p =，即2p =，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A B ，中点的横坐标为3，所以126x x +=，所以，由抛物线焦半径公式得12||||628AF BF x x p +=++=+=故选：D ．6.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]-B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式取等号的条件，将|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥转化为11x -≤≤且22y -≤≤，再根据不等式的性质可求出结果.【详解】因为|1||1||(1)(1)|2x x x x ++-≥+--=，当且仅当(1)(1)0x x +-≤，即11x -≤≤时，等号成立，|2||2||(2)(2)|4y y y y ++-≥+--=，当且仅当(2)(2)0y y +-≤，即22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥，当且仅当11x -≤≤且22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=等价于11x -≤≤且22y -≤≤，所以222x -≤≤，所以424x y -≤+≤.故选：C7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是34【答案】D 【解析】【分析】对于A,连接11A C ，利用线面垂直的判定定理可得11B D ⊥平面11A CC ，即可判断；对于B ，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C ，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D ，1ACD △为等边三角形，利用面积公式即可【详解】对于A ，连接11A C ，由正方体可得1CC ⊥平面111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，在正方形1111B A 中，1111AC B D ⊥，因为1111CC A C C ⋂=，111,A C C C ⊂平面11A CC ，所以11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111A C B D ⊥，故A 正确；对于B ，因为11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BDD B 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11EB D ，11B D ⊂平面11EB D ，所以//BD 平面11EB D ，故B 正确；对于C,正方体1111ABCD A B C D -，所以外接球的表面积为234π3π2⎛⨯= ⎝⎭，故正确，对于D ，因为1ACD △是正三角形，其边长为，所以它的面积为213sin 6022⨯⨯︒=，即D 错误．故选：D ．8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5 B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，根据{}n a 为递增数列，推出1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，再推出11T <，21T <，31T <，41T <，51T <，61T <，71T =，81T >可得结果.【详解】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，因为1n n n a a q a +=>，所以{}n a 为递增数列，所以1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，所以111T a =<，2121T a a =<，31231T a a a =<，412343431T a a a a T a T ==⋅=<，512345T a a a a a =121a a =<，6123456T a a a a a a =21261411a a a a a a ===<，71234567T a a a a a a a =717263544()()()1a a a a a a a a ===，8123456787881T a a a a a a a a T a a ==⋅=>，所以n 的最小为8.故选：D ．9.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.【答案】D 【解析】【分析】根据特设求出外接球的半径，再根据圆心到平面距离最大时，截面面积最小即可求解.【详解】由题意知，ABD △和BCD 为等边三角形，如图所示，取BD 中点为E ，连接,AE CE ，则AE BD ⊥，由平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，故⊥AE 平面CBD ，AE ===，球心O 在平面BCD 的投影为BCD △的外心1O ，过O 作OH AE ⊥于H ，易得11,OH O E OO HE ∥∥，则在Rt OHA △中，OH AH ==，所以外接球半径R ==OM ，因为2,,2AH HE OH CE AM MC ==∥，所以H ，O ，M 三点共线，所以23MH CE OM MH OH ===-=，当M 为截面圆圆心时，截面圆的周长最小，此时，截面圆半径r ==，所以截面圆周长的最小值为2C r π==，故选:D ．10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.916【答案】D 【解析】【分析】求出方程的解集，得出p ，q 的所有取值，再得到所求事件所需条件的p ，q 取值，即可得到所求事件的概率.【详解】因为方程()()2254560t t t t -+-+=的根的集合为{1,2,3,4}，所以有{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈．记事件A 为“函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数”．对函数32()1g x px qx x =++-求导，得2()321g x px qx +'=+．由题意，知2()3210g x px qx '=++≥在(,)-∞+∞上恒成立，有0p >，且()2221(2)434303q p q p p q ∆=-⨯=-≤⇒≥．当1q =时，有13p ≥，所以p 可以取到1，2，3，4这4个值；当2q =时，有43p ≥，所以p 可以取到2，3，4这3个值；当3q =时，有3p ≥，所以p 可以取到3，4这2个值；当4q =时，有163p ≥，所以p 的值不存在．综合以上，事件A 包含的基本事件共有4329++=种．因为{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈，所以所有的基本事件共有4416⨯=种．则所求事件的概率为9()16P A =．故选：D ．11.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A.2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =【答案】B 【解析】【分析】由已知条件和双曲线的定义可得12AF a =，24AF a =，12F F =，2BF AB =，由122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，化简可得2AB AF =【详解】由双曲线定义和题设条件，得212AF AF a -=，c =，12F F =．如图所示，因为12AF a =，所以24AF a =．又由双曲线定义，得122BF BF a -=,因为112BF AF AB a AB =+=+，所以212BF BF a AB =-=．在12AF F △和2ABF △中，122πF AF BAF ∠+∠=，有122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，得222222121222122022AF AF F F AB AF BF AF AF AB AF +-+-+=，得222222224162802242AB AF AB a a a a a AB AF +-+-+=⋅⋅，化简得2122AF AB =，所以2AB AF =．故选：B ．12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃-D.(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】构函数函数()()f x F x x=，根据()f x 为奇函数，得()F x 为偶函数.求导并利用已知得到()F x 在(0,)+∞上单调递增，再根据()F x 为偶函数得到()F x 在(,0)-∞上单调递减，利用()F x 的单调性可求出结果.【详解】设()()f x F x x=，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()f x f x F x F x x x---===--，所以()F x 为偶函数，对()F x 求导得2()()()xf x f x F x x''-=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以()0F x '>，则()F x 在(0,)+∞上单调递增，又因为()F x 为偶函数，则()F x 在(,0)-∞上单调递减，因为(1)(1)(1)(1)011f f F F ---====，所以当0x >时，()()00()0(1)1f x f x F x F x x>⇒>⇒>=⇒>，当0x <时，()()00f x f x x>⇒<()0(1)F x F ⇒<=-10⇒-<<x ，所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是(1,0)(1,)-⋃+∞.故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．【答案】18【解析】【分析】求出男女运动员的比例，从而求出答案.【详解】女运动员的人数为985642-=，故男女运动员的人数比例为56:424:3=，所以女生应抽取3421843⨯=+人．故答案为：1814.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．【答案】1【解析】【分析】转化为PM l ⊥可求出结果.【详解】劣弧所对的圆心角最小时，劣弧所对的弦长最短，此时，PM l ⊥，因为(2,0)M ，所以1111012PMk k =-=-=--．故答案为：1.15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．【答案】711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）【解析】【分析】由割补法求出所围区域的面积得到ω，函数解析式化简后利用整体代入法求单调递减区间.【详解】如图所示，区域1S 与2S ，区域3S 与4S 组成的图形是中心对称图形，面积分别对应相等，故函数cos (0y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积等于矩形OABC 的面积，由2πOA =，1OC =，矩形OABC 的面积为2π，所以2πω=．于是πcos sin cos 2πsin 2π2π4y x x x x x ωω⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭．由()π2π2π2ππZ 4k x k k ≤+≤+∈，解得()13Z 88k x k k -≤≤+∈．函数cos sin y x x ωω=-的单调递减区间是()13,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦令1k =，其中一个单调递减区间是711,88⎡⎤⎢⎣⎦.故答案为：711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．【答案】(2,3]【解析】【分析】当01a <<时，不符合题意；当1a >时，根据方程()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，结合图象可知函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点，即可求解.【详解】由题意知，()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，即为函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点.当01a <<时，显然不成立；当1a >时，如图所示，只需log 21log 31a a<⎧⎨≥⎩，解得23a <≤.故答案为：(]2,3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．【答案】（1）2π3C =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理和余弦定理得到1cos 2C =，再根据C 的范围可求出结果；（2）利用三角形的面积公式可得3ab =，再根据余弦定理以及不等式知识可证不等式成立.【小问1详解】因为2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+，所以()22212sin 12sin 21sin 2sin sin A B C A B -+-=-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +=-，由正弦定理得222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，又因为0πC <<，所以2π3C =．【小问2详解】因为12πsin 323ab ab ==，由余弦定理，得2222π2cos3c a b ab =+-22a b ab =++23ab ab ab ≥+=，当且仅当a b =时等号成立，所以2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接1A E ，根据题意得1A E AC ⊥，根据面面垂直的性质定理得1A E ⊥平面ABC ，1A E BC ⊥，根据线面垂直的判定定理得到BC ⊥平面1A EF ，再得到EF BC ⊥；（2）以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】连接1A E ，∵E 是AC 的中点，11A A A C AC ==，∴1A E AC ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ⊂平面11A ACC ，∴1A E ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，∴1A E BC ⊥，又1,A F AB AB BC ⊥//，∴1BC A F ⊥，因为1A E ⊂平面1A EF ，1A F ⊂平面1A EF ，111A E A F A ⋂=，∴BC ⊥平面1A EF ，因为EF ⊂平面1A EF ，∴EF BC ⊥．【小问2详解】以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，1(0,2,0),(0,2,0)A B A C -，∴1((BA BC =-=，易知平面11ACC A 的法向量为(1,0,0)m =，设平面1A CB 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BA y n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令x =，∴3,y z ==，∴n =，5cos ,5||m n m n m n ⋅<>==⋅∣，所以25sin ,5m n <>== .∴二面角11C A C B --的正弦值为255.19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .【答案】()116.372；()2①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.【解析】【分析】()1根据数据算出1050x =，由Z服从正态分布()21050,660N ，算出概率，即()20,0.8186X B ，进而算出X 的数学期望；()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，即棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+.即112(1)2n n n n P P P P ----=--，进而求证当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【详解】解：()12500.27500.3512500.2517500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯22500.05+⨯+27500.051050⨯=，因为Z 服从正态分布()21050,660N ，所以()()0.95450.6827390237020.95450.81862P Z P Z μσμσ-<≤=-<≤+=-.所以()20,0.8186X B ，所以X 的数学期望为()200.818616.372E X =⨯=.()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -，所以211122n n n P P P --=+，即112(1)2n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=-，所以当159n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项1012P P -=-，公比为12-的等比数列.②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，以上各式相加，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以闯关成功的概率为6060592121113232P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，闯关失败的概率为5959605811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.60595859602111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.【答案】（1）22134x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1）设(),P x y ,根据题意列出方程整理即得；（2）直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立消去y 整理得：()2243690k xkx ++-=,检验判别式并利用弦长公式求得()2212143k MN k+=+，利用韦达定理和中点坐标公式及直线垂直时的斜率关系得到中垂线的方程，进而求得H 的坐标，得到()223143k FH k +=+,从而证得结论.【小问1详解】设(),P x y142y =-,整理得：22134x y +=,此即为曲线C 的方程；【小问2详解】经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立得：221134y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得：()2243690k x kx ++-=,()()22236494314410k k k ∆=+⨯⨯+=+>恒成立,设()()1122,,,M x y N x y,则()212221214343k MN x k k+=-==++,122643kx x k +=-+，设线段MN 的中点为()00,T x y ,则12023243x x k x k +==-+，0024143y kx k =+=+，线段MN 的中垂线的斜率为1k-，方程为224134343ky x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭,令0x =,解得2143y k =+，即为点H 的纵坐标，∴()22231114343k FH k k+=-=++,∴()()222231143412143k FHk MN k k ++==++（为定值）21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．【答案】（1）单调性及极值见解析，原方程有唯一实根（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调性，求解极值，结合单调性的结论判断方程的实根个数；（2）不等式变形为4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>，换元后即证e 1≥+t t ，构造函数利用导数求解函数最值即可得证.【小问1详解】()ln (R)f x x a x a =-∈，函数定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，有极小值()(1ln )f a a a =-．方程e 2ln 0x x x ---=可变形为e ln x x x x --=+，即e ln e ln x x x x --+=+，当1a =-时，()ln f x x x =+，有()e()xf f x -=，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则有e xx -=，函数e x y -=和y x =的图像只有一个交点，且交点位于第一象限，所以e x x -=在()0,∞+上有唯一实根，故原方程有唯一实根．【小问2详解】证明：由0x >知，所要证的不等式等价于44e ln 1(0)xx x x x+≥+>，等价于4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>．（*）令4ln t x x =-，则不等式（*）等价于e 1≥+t t （**）．构造函数()e 1()t f t t t =--∈R ，求导，得()e 1t f t =-'．当0t <时，()0f t '<，函数()f t 是减函数；当0t >时，()0f t '>，函数()f t 是增函数．所以min ()()(0)0f t f t f ≥==．即（**）成立．故原不等式成立．【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．【答案】（1）230x y --=，221x y -=；（2.【解析】【分析】（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答.（2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.【小问1详解】因为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则22cos sin cos 322θθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2cos sin 3ρθρθ-=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得，230x y --=，所以直线l 的直角坐标方程是230x y --=；由112112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩变形得，22222211241124x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，则有221x y -=，所以曲线C 的直角坐标方程是221x y -=．【小问2详解】把直线l 的方程23y x =-，代入曲线C 的方程：221x y -=，得22(23)1x x --=，即2312100x x -+=，2Δ12120240=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212104,3x x x x +==，于是AB ===所以直线l 被曲线C 截得弦AB.[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）|2||2|a b ab -<-，理由见解析【解析】【分析】（1）分11112222、、≤--<<≥x x x 讨论去绝对值求出集合M ，再利用绝对值三。
2025届四川省三台县塔山中学高三数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析
2025届四川省三台县塔山中学高三数学第一学期期末质量检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{|N x y ==若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( ) A ．()12n n + B ．12n + C ．21n - D ．121n ++3．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．1或12C D ． 4．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20B ．50C ．40D ．605．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-3C ．2D ．36．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．5C D ．547．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强8．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦9．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦10．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ） A ．12B ．45C ．38D ．3411．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度12．已知i 是虚数单位，则（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省咸阳市乾县第二中学2024学年高三下期末教学质量检测试题数学试题(文理)试卷
陕西省咸阳市乾县第二中学2024学年高三下期末教学质量检测试题数学试题（文理）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差2．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或83．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<4．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．223B ．23C 36D 2366．设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A ．1i -+B ．-1i -C ．1i +D ．1i -7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47C ．57D ．678．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．29．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =±D ．2y x =±10．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞12．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届山东省济南市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2024届山东省济南市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则( )A．B．C．D．【答案】C【解析】利用交集概念与运算干脆求解即可.【详解】∵集合，，∴故选：C【点睛】本题考查交集的概念及运算，属于基础题.2．已知复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为( )A．-1 B．1 C．D．【答案】A【解析】利用复数的乘除运算化简复数z，结合虚部概念得到答案.【详解】由z（1+i）＝2，得，∴复数z的虚部是﹣1．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知等差数列的前项和为，若，，则该数列的公差为( ) A．-2 B．2 C．-3 D．3【答案】B【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】由题意可得：5d＝25，解得d＝2．故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．4．已知实数，满足约束条件则的最大值是( )A．0 B．1 C．5 D．6【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z＝x+2y过点A时z 最大，求出A的坐标，代入z＝x+2y得答案．【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（0，3），此时直线y x z在y轴上的截距最大，所以目标函数z＝x+2y的最大值为z max＝0+2×3＝6．故选：D．【点睛】本题考查了简洁的线性规划，考查数形结合的思想，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．5．已知命题关于的不等式的解集为；命题函数在区间内有零点，下列命题为真命题的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】先推断命题p，q的真假，结合真值表可得结果.【详解】关于的不等式的解集为，故命题p为假命题，由函数可得：即，结合零点存在定理可知在区间内有零点，故命题求为真命题.∴p∧q为假，为假，为真，为假，故选：C．【点睛】本题考查的学问点是复合命题的真假，其中推断出命题p与q的真假是解答本题的关键．6．如图，在中，，，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，概率符合几何概型，所以只要求出阴影部分的面积，依据三角形的内角和得到空白部分的面积是以1为半径的半圆的面积，由几何概型的概率公式可求．【详解】由题意，题目符合几何概型，中，，，，所以三角形为直角三角形，面积为，阴影部分的面积为：三角形面积圆面积＝2，所以点落在阴影部分的概率为；故选：D．【点睛】本题考查了几何概型的概率求法；关键明确概率模型，然后求出满足条件的事务的集合，由概率公式解答．7．已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．2 D．【答案】D【解析】由焦点到条渐近线的距离，可得b＝1，求出c，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的焦点到条渐近线的距离等于b．∵双曲线的焦点到条渐近线的距离为2，∴b＝2，又a∴c＝，∴e．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查学生的计算实力，求出双曲线的焦点到条渐近线的距离等于b是关键．8．函数的图象大致为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】利用函数的奇偶性，极限，特值点逐一推断即可.【详解】由函数为偶函数，解除B选项，当x时，，解除A选项，当x=时，，解除C选项，故选：D【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，推断图象的改变趋势；（3）从函数的奇偶性，推断图象的对称性；（4）从函数的特征点，解除不合要求的图象. 9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】利用函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【详解】解：为了得到函数的图象，可以将函数向右平移个单位长度，故选：B．【点睛】本题主要考查函数y＝A cos（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】依据三视图知几何体是组合体：下面是圆锥、上面是四分之一球，依据图中数据，代入体积公式求值即可．【详解】解：依据三视图知几何体是组合体，下面是圆锥、上面是四分之一球，圆锥的底面半径为3，高为3；球的半径为3，∴该几何体的体积V，故选：A．【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，以及几何体的体积公式，考查空间想象实力，三视图正确复原几何体是解题的关键．11．执行如图所示的程序框图，若输入的，，依次为，，，其中，则输出的为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可.【详解】由程序框图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，∵∴，又在R上为减函数，在上为增函数，∴＜，＜故最大值为，输出的为故选：C【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必定是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．12．我国南宋数学杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.从其次行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最终一行仅有一个数，则的值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】依据每一行的第一个数的改变规律即可得到结果.【详解】解：第一行第一个数为：；其次行第一个数为：；第三行第一个数为：；第四行第一个数为：；，第n行第一个数为：；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：；故选：C．【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的实力，属于中档题．二、填空题13．已知向量，为单位向量，若与的夹角为，则__________．【答案】1【解析】依据条件可以得到，这样便可求出的值，从而得出的值．【详解】解：依据条件，，；∴1-1+1＝1；∴．故答案为：．【点睛】本考查单位向量的概念，向量数量积的运算及其计算公式，求向量的长度的方法：求．14．过圆内一点作直线，则直线被圆所截得的最短弦长为__________．【答案】【解析】化已知圆为标准方程，得到圆心C（1，0），半径r＝2，利用垂径定理结合题意，即可求出最短弦长．【详解】圆方程可化为（x﹣1）2+y2＝4，∴圆心C（1，0），半径r＝2，，当截得的弦长最短时，CP⊥l，即P为弦的中点，∴最短弦长为故答案为：．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，最短弦长问题，考查数形结合思想，属于基础题．15．在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】连接FC，与DE交于O点，取BE中点为N，连接ON，CN，易得ON∥BD，故∠CON就是异面直线与所成角，在等腰三角形CON中，求底角的余弦值即可.【详解】连接FC，与DE交于O点，取BE中点为N，连接ON，CN，易得ON∥BD∴∠CON就是异面直线与所成角设正方形的边长为2，OC=，ON=，CN=∴cos∠CON==故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,依据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．16．若函数与的图象交点的横坐标之和为2，则的值为__________．【答案】1【解析】依据函数的对称性得出直线过曲线的对称中心，从而得出m的值．【详解】解：∵y=的图象均关于点（1，0）对称，∴函数的图象关于点（1，0）对称，且在上单调递增，∵函数与的图象交点的横坐标之和为2，∴直线y＝经过点（1，0），∴m＝1．故选：1．【点睛】本题考查了函数对称性的推断与应用，属于中档题．三、解答题17．已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若，，边的中点为，求的长.【答案】（1）（2）【解析】（1）由及正弦定理得，从而得到角的大小；（2）利用可得，进而利用余弦定理可得，再利用余弦定理可得BD.【详解】（1）由及正弦定理得：，又，所以，因为所以，因为，所以.（2）由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时留意分析角的范围.对于余弦定理肯定要熟记两种形式：（1）；（2）.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还要记住，，等特殊角的三角函数值，以便在解题中干脆应用.18．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，.（1）求证：；（2）若，，为线段上一点，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析（2）【解析】（1）取中点，连接，，先证明，，可得平面，即可得证；（2）利用等积法即可得到结果.【详解】（1）证明：取中点，连接，，因为，所以，因为为等边三角形，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以.（2）因为，所以，又因为，，所以平面，因为为边长为2的等边三角形，所以，因为，所以.【点睛】等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特殊是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过详细作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过干脆计算得到高的数值．19．某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满足”或“不满足”的评价，再让客户确定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计，确定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满足”的客户比“对性能不满足”的客户多10人，“对性能不满足”的客户中恰有选择了退货.（1）请完成下面的列联表，并推断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满足之间有关”.对性能满足对性能不满足合计购买产品不购买产品合计（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满足”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后支配了抽奖环节，共有4张奖券，奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回的进行抽取，每人随机抽取一张奖券，求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.附：，其中0.1500.1000.0500.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】(1)依据题意填写列联表，由表中数据计算观测值，比照临界值得出结论；(2)利用古典概型概率公式即可得到结果.【详解】（1）设“对性能不满足”的客户中购买产品的人数为，则退货的人数为，由此可列出下表对性能满足对性能不满足合计购买产品50不购买产品50合计100因为，所以；填写列联表如下：对性能满足对性能不满足合计购买产品351550不购买产品203050合计5545100所以.所以，有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满足之间有关”.（2）由题意知：参与座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4.“购买产品的客户抽取奖券”的基本领件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共有16个基本领件：设事务“购买产品的客户人均所得奖金不少于500元”，则事务包含的基本领件有：，，，，，，，，，，共有10个基本领件：则.所以，购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率是.【点睛】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20．已知椭圆过点，左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆有两个不同的交点，，点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)由题意布列a，b的方程组，解之即可得到椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆方程可得，利用韦达定理表示，利用二次函数的性质即可得到结果.【详解】（1）因为左焦点为，所以，因为过点，所以，解之得，，所以椭圆方程为.（2）设，，联立方程，得，由，，，，，所以，因为，所以，所以取值范围为.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21．已知函数.（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)求出，令x=1,即可解出实数的值；（2）时，恒成立转化为求函数最小值大于零即可.【详解】（1），因为，所以；（2），设，设，设，留意到，，（ⅰ）当时，在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以，所以在上恒成立，所以在上是增函数，所以在上恒成立，符合题意；（ⅱ）当时，，，所以，使得，当时，，所以，所以在上是减函数，所以在上是减函数，所以，所以在上是减函数，所以，不符合题意；综上所述：.【点睛】利用导数探讨不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数探讨函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分别变量，构造函数，干脆把问题转化为函数的最值问题.22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用，把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，利用韦达定理表示条件，解方程即可得到结果.【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程可化为：，由得曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，设，对应的参数分别为，，则，，所以，解得或（舍），所以.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B 为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中常常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．23．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对随意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）当a＝2时，分类探讨求得不等式的解集；（2）对随意的恒成马上，数形结合即可得到结果．【详解】（1）当时，，即当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；当时，不等式等价于：，解得，所以；所以，不等式的解集为.（2）由题意知，当时，，即恒成立，依据函数的图像易知，解得，的取值范围为.【点睛】含肯定值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间探讨，二是利用肯定值的几何意义求解．法一是运用分类探讨思想，法二是运用数形结合思想，将肯定值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的敏捷应用.第 21 页共 21 页。
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2019届高三数学质量检测暨期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1. 等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．42.设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则3()2f 等于( )A.32 B ．－14 C.14 D.12 3．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B ．1 C.32D. 3 4. 若函数()f x 的导函数2'()43f x x x =-+，则使函数(1)f x -单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ． []0,1B ．[]3,5 C. []2,3 D []2,45．已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 6.等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、Tn ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A. 1315 B. 2335 C. 1117 D. 497．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”其意思为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天所走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地，请问第二天走了 ( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3613S S =，则612S S 等于（ ） A ．81 B ．31 C ．91 D ． 103 9. 函数2log (2)a y x ax =-+在区间(],1-∞上是减函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[)1,+∞C ．[)2,3D ． (2,3) 10. 函数2ln(23)2()x x f x x+-=的图象在点(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A . 23B . 43C . 12D . 1611. 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，'()f x >2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 12．已知函数132log ,1(),1x x f x x x x >⎧⎪=⎨⎪-+≤⎩，若对任意的x R ∈，不等式27()24f x m m ≤-恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．[)1,1,8⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,+∞D ．1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)13.等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________．14．函数()ln(1)g x x x =+-的最大值是______．15. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是_______．16. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－2)＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，求它的通项公式．18. （12分）设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )≤2x －2.19. （12分） 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．20.(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .21. （12分）已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x ＋b (a ，b ∈R )． (1)若x ＝1为f (x )的极值点，求a 的值；(2)若y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y －3＝0，求f (x )在区间[－2,4]上的最大值．22. （12分）已知函数f (x )＝ln x x－x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求f (x )在[m,2m ]上的最大值．参考答案：一、 选择题：1—6 B A D C A C 7——12 B D C C B B二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)13. 180 14. 0 15. (0,1) 16. 2三、解答题17. 解 设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝－4，a 3a 7＝－12，所以a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的两根．因为d >0，所以a 3<a 7.解方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝－6，a 7＝2.由a 7＝a 3＋4d ，得d ＝2. 所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋2(n －3)＝2n －12.18. (1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋b x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝3. (2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x . 设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－x －12x ＋3x .当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2.19. (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12. 又c n ＝a n －1， ∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列． (2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .20. 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4n ＋1， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4n ＋1. 21. 解析： (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1， ∵x ＝1是f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0，即a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2.(2)∵(1，f (1))在x ＋y －3＝0上．∴f (1)＝2， ∵(1,2)在y ＝f (x )的图像上，∴2＝13－a ＋a 2－1＋b ， 又f ′(1)＝－1，∴1－2a ＋a 2－1＝－1， ∴a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，b ＝83， ∴f (x )＝13x 3－x 2＋83，f ′(x )＝x 2－2x ， 由f ′(x )＝0可知x ＝0和x ＝2是f (x )的极值点．∵f (0)＝83，f (2)＝43，f (－2)＝－4，f (4)＝8， ∴f (x )在区间[－2,4]上的最大值为8.22. 解：(1)∵f ′(x )＝1－ln x x2－1， 令f ′(x )＝0，得x 2＝1－ln x . 显然x ＝1是上面方程的解．令g (x )＝x 2＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝2x ＋1x>0， ∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一解．∵当0<x <1时，f ′(x )＝1－ln x x2－1>0； 当x >1时，f ′(x )<0. ∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)知函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故①当0<2m ≤1，即0<m ≤12时，f (x )在[m,2m ]上单调递增． ∴f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m 2m－2m . ②当m ≥1时，f (x )在[m,2m ]上单调递减，∴f (x )max ＝f (m )＝ln m m －m . ③当m <1<2m ，即12<m <1时，f (x )max ＝f (1)＝－1. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。