2008年高考广东省文科数学试题

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A. A B ⊆ B. B C ⊆ C. B ∪C = A D. A ∩B = C2、已知0<a <2，复数z = a + i （i 是虚数单位），则|z|的取值范围是（ ）A. （1，5）B. （1，3）C. （1D. （13、已知平面向量a =（1，2），b =（－2，m ），且a ∥b ，则2a + 3b =（ ）A. （－5，－10）B. （－4，－8）C. （－3，－6）D. （－2，－4） 4、记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d =（ ）A. 2B. 3C. 6D. 75、已知函数2()(1cos2)sin f x x x =+，x R ∈，则()f x 是（ ）A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π/2的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π/2的偶函数6、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ）A. x + y + 1 = 0B. x + y － 1 = 0C. x － y + 1 = 0D. x － y － 1 = 0 7、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、 C 分别是△GHI 三边的中点）得到几何体如 图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图 （或称左视图）为（ ）8、命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是（ ） A. 若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数 B. 若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数 C. 若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D. 若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数 9、设a ∈R ，若函数x y e ax =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A. a < －1B. a > －1C. a < －1/eD. a > －1/e 10、设a 、b ∈R ，若a － |b | > 0，则下列不等式中正确的是（ ）A. b － a > 0B. a 3 + b 3 < 0C. a 2 － b 2 < 0D. b + a > 0 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

（一）必做题（11～13题）11、为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量。

产品数量的分组区间为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95），由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75）的人数是_______。

12、若变量x 、y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是_______。

13、阅读右上的程序框图。

若输入m = 4，n = 3，则输出a = ____，i =_____ 。

（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程）已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，4cos ρθ=（0ρ≥，02πθ≤<），则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________15、（几何证明选讲）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2。

AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB=1，则圆O 的半径R = ________三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

16、（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<，x R ∈的最大值是1，其图像经过点M （π/3，1/2）。

（1）求()f x 的解析式；（2）已知α、(0,/2)βπ∈，且()3/5f α=，()12/13f β=，求()f αβ-的值。

17、（本小题满分12分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。

经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x （单位：元）。

为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。

18、（本小题满分14分）如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP ∽△BAD 。

（1）求线段PD 的长；（2）若PC = R ，求三棱锥P-ABC 的体积。

19、（本小题满分13分）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19。

（1）求x的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？（3）已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率。

20、（本小题满分14分）设b>0，椭圆方程为222212x yb b+=，抛物线方程为28()x y b=-。

如图所示，过点F（0，b + 2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G。

已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）。

21、（本小题满分14分）设数列{}n a 满足11a =，22a =，121(2)3n n n a a a --=+（n = 3，4，…）。

数列{}n b 满足11b =， n b （n = 2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有－1≤1m m b b +++…m k b ++≤1。

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n n c na b =（n = 1，2，…），求数列{}n c 的前n 项和n S 。

2008年普通高考广东卷数学（文科）（B 卷）参考答案一、选择题：CCBBD CAAAD二、填空题：11. 13 12. 70 13. 12 314. 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭15.； 三、解答题：16解：（1）依题意知 A=11sin 332f ππφ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又4333πππφ<+< ∴ 536ππφ+= 即2πφ= 因此 ()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； （2） ()3c o s5f αα== ，()12cos 13f ββ==且 ,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ 4s i n5α= ，5sin 13β= ()()3124556cos cos cos sin sin 51351365f αβαβαβαβ-=-=+=⨯+⨯= ； 17解：设楼房每平方米的平均综合费用为f （x ）元，则()()2160100001080056048560482000f x x x x x⨯=++=++ ()10,x x Z +≥∈()21080048f x x'=-令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '<因此 当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

18解：（1） BD 是圆的直径∴ 90BAD ∠=又 ~A D P B A D ∆∆,∴A D D PB A A D = , ()()22234sin 60431sin 3022R BD ADDP R BA BD R ⨯====⨯; (2 ) 在Rt BCD ∆中，cos45CD BD ==222229211P D C D R R R P C +=+== ∴ P D C D ⊥ 又 90PDA ∠=∴ PD ⊥底面ABCD ()21111sin 60452222224ABC S AB BC R R ∆⎛=⨯+=+= ⎝⎭三棱锥P ABC -的体积为 23111133344P ABC ABC V S PD R R R -∆=⨯⨯=⨯⨯= . 19解：（1）0.192000x= ∴ 380x = （2）初三年级人数为y ＋z ＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：48500122000⨯= 名 （3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y ，z ）； 由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个 事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254,246)、(255,245) 共5个 ∴ 5()11P A =； 20解：（1）由()28x y b =-得 218y x b =+ 当2y b =+时，4x =±，∴G 点的坐标为（4，b ＋2） 14y x '=， 41x y ='=过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-，即2y x b =+-， 令y ＝0得 2x b =- ，∴1F 点的坐标为 （2-b ，0）； 由椭圆方程得1F 点的坐标为（b ，0）， ∴ 2b b -= 即 b ＝1， 因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-。