泊松流、指数分布、爱尔朗分布

合集下载

排队论方法讲解

排
队论方法
1. 基本概念
1.排队过程的一般模型顾客服务过程分为四个步骤：
进入排队系统（输入）等候服务接受服务离开系统（输出）
顾客接受服务后立即离开系统，因此输出过程可以不用考虑，则
讲
解
输入过程排队系统排队规则服务机构
排
队论
①输入过程： I.顾客总体（顾客源）
排
队论
1.5.2 指数分布
当顾客流为泊松流时,用T表示两顾客相继到达的时间间隔,则T是一个随机变量, 其分布函数为
FT (t ) P{T t} 1 P(T t ) 1 P0 (t )
t t 又P ( t ) e , 则 F ( t ) 1 e , 0 T
k 0 n
讲
解
(全概公式、独立性 ) Pn k (t ) Pk (t , t t )
k 0 n
Pn (t )(1 t ) Pn 1 (t )t o(t )
排队论
Pn (t , t t ) Pn (t ) o(t ) Pn (t ) Pn 1 (t ) t t
讲
解
排
队论
(1) 无后效性：在不相交的时间区间内,顾客到达数相互独立，即在 [t,t+△t]时段内到达的顾客数，与时刻t之前到达的顾客数无关； (2)平稳性：对于充分小的△t，在 [t,t+△t]内有１个顾客到达的概率，只与△t有关，而与ｔ无关，且 P1 (t , t t ) t o(t ),
t
实际中，多数问题都属于稳态情况，且通常在经过某一时段后即可到达稳态，而不需要t→∞
排
队论

交通流理论

交通流理论离散型分布在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布的车辆数，是所谓的随机变数，描述这类随机变数的统计规律用的是离散型分布。

1、泊松分布适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的。

基本公式：()!Kt K t P e k λλ-=式中：K P —在计数间隔t 内到达k 辆车的概率；λ—平均到车率；t —每个计数间隔持续的时间；e —自然对数的底，可取2.718280。

若令m t λ=—在计数间隔t 内到达的平均车辆数，则m 又称为泊松分布的参数。

则有递推公式：0m P e -=，11k K m P P k +=+；分布的均值M 和方差D 都等于t λ。

2、二项分布适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。

基本公式：()(1)k k n k k n t t P C n n λλ-=-式中各参数代表意义同上。

通常记t P nλ=，则二项分布可写成：(1)k k n k k n P C P P -=-，式中：01P <<，n,p 称为分布的参数。

递推公式为：111k k n k P P P k P+-=∙∙+-，分布的均值M 和方差D 分别是：n (1)M nP D P P ==-，。

显然M D >，这是二项分布与泊松分布的显著区别，它表征二项分布到达的均匀程度高于泊松分布。

如果通过观测数据计算出样本均值m 和方差s 2，则可分别代替M 和D ，用下面两式求出P 和n 的估计值：222n m s m P m m s -==-，，其中m 和s 2可按下面两式计算：221111s ()1N N i i i i m m N N χχ====--∑∑，式中：N —观测的计数间隔数；i χ—第i 个计数间隔内的车辆到达数。

连续型分布车流到达的统计规律除了可用计数分布来描述外，还可以用车头时距分布来描述，这种分布属于连续型分布。

1、负指数分布适用条件：用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布，它常与计数的泊松分布相对应。

运筹学第8章排队论

第八章排队论排队是日常生活和经济管理经常遇到的问题，如医院等待看病的病人、加油站等待加油的汽车、工厂等待维修的机器、港口等待停泊的船只等。

在排队论中把服务系统中这些服务的客体称为顾客。

由于系统中顾客的到来以及顾客在系统中接受服务的时间等均是随机的，因此排队现象是不可避免的。

对于随机服务系统，若扩大系统设备，会提高服务质量，但会增加系统费用。

若减少系统设备，能节约系统费用，但可能使顾客在系统中等待的时间加长，从而降低了服务质量，甚至会失去顾客而增加机会成本。

因此，对于管理人员来说，解决排队系统中的问题是：在服务质量的提高和成本的降低之间取得平衡，找到最适当的解。

排队论是优化理论的重要分支。

排队论是1909年由丹麦工程师爱尔郎（A.K.Erlang ）在研究电话系统时首先提出，之后被广泛应用于各种随机服务系统。

第一节排队论的基本概念及所研究的问题一、基本概念（一）排队系统的组成一般的排队系统有三个基本组成部分：顾客的到达（输入过程）、排队规则和服务机构，如图8—1所示。

1．输入过程输入过程指顾客按什么样的规律到达。

包括如下三个方面的内容：（1）顾客总体（顾客源）指可能到达服务机构的顾客总数。

顾客总体数可能是有限的，也可能是无限。

如工厂内出现故障而等待修理的机器数是有限的，而到达某储蓄所的顾客源相当多，可近似看成是无限的。

（2）顾客到达的类型指顾客的到达是单个的还是成批的；（3）顾客相继到达的时间间隔分布即该时间间隔分布是确定的（定期运行的班车、航班等）还是随机的，若是随机的，顾客相继到达的时间间隔服从什么分布（一般为负指数分布）；2．排队规则排队规则指顾客接受服务的规则（先后次序），有以下几种情况。

（1）即时制（损失制）当顾客来到时，服务台全被占用，顾客随即离去，不排队等候。

这种排队规则会损失许多顾客，因此又称为损失制。

（2）等待制当顾客来到时，若服务台全被占用，则顾客排队等候服务。

在等待制中，又可按顾客顾客达到排队系统图8—1服务的先后次序的规则分为：先到先服务（FCFS，如自由卖票窗口等待卖票的顾客）、先到后服务（FCLS，如仓库存放物品）、随机服务（SIRO，电话交换台服务对话务的接通处理）和优先权服务（PR，如加急信件的处理）。

泊松分布和指数分布

泊松分布和指数分布⼀、先摆出泊松分布表达式：P (x =k ;λ)=λkk !e−λ泊松分布的意义：⾸先，泊松分布的描述对象是“离散随机变量”; 泊松分布是描述特定时间或者空间中事件的分布情况。

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位⾯积)内随机事件的平均发⽣率。

泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发⽣的次数。

1.⼀本书⾥，印刷错误的字的个数：其中参数λ由⼆项分布的期望np 决定，λ=np ，表⽰该时间(空间)段内的事件发⽣的频率。

这个例⼦中，表⽰⼀般情况下，书内(空间)的出错的频率(期望)，n 代表所有的字数，p 代表印刷错误的概率，k 表⽰印刷错的字数。

刚好这个例⼦包含了，当n 很⼤，p 很⼩的时候，⼆项分布的极限是泊松分布。

因为这个例⼦同样可以⽤⼆项分布的⾓度来解释：每印刷⼀个字，表⽰⼀次伯努利实验（n 代表所有的字数，p 代表印刷错误的概率，k 表⽰印刷错的字数。

当n 继续变⼤，为连续变量的时候，⼆项分布的极限⼜成了正态分布（正态分布是所有分布趋于极限⼤样本的分布）。

2.⼀段时间内的次品率；3.某医院平均每⼩时出⽣的婴⼉数；4.某⽹站每分钟的访问次数；注意这⾥的λ为⼀段时间内的期望，如果待研究的时间段变化了，λ也要跟着变。

⽐如医院平均每⼩时出⽣的婴⼉数的参数为λ，则“医院平均每两个⼩时出⽣的婴⼉数”的参数为2λ，则每两个⼩时医院出⾝的婴⼉个数为k 的概率为：P (x =k ;λ)=(2λ)kk !e −2λ泊松分布的柱状图类似正太分布的形状，在 k = λ 的时候概率最⼤。

⼆、指数分布概率密度函数：f (x )=1θe −x /θ,x >0分布函数：P (X ≤x )=F (x )=1−e −x /θ,x ≥0其中θ>0为常数，则称X 服从参数θ的指数分布。

指数分布的意义：⾸先，指数分布的描述对象是“连续型随机变量”；指数分布是泊松过程的事件间隔的分布：泊松分布表⽰的是事件发⽣的次数，“次数”这个是离散变量，所以泊松分布是离散随机变量的分布；指数分布是两件事情发⽣的平均间隔时间，“时间”是连续变量，所以指数分布是⼀种连续随机变量的分布。

第四章交通流理论(详细版)

34
二、排队论的基本原理
幻灯片 35§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。例如：损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的
36
二、排队论的基本原理
幻灯片 37-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (3) 服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公
7.5m
Q=360辆/h
Qt
3607.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.4724
360 0.4724 170
（次）
幻灯片 27 当 Q = 900 辆/h 时，车头时距大于 7.5s 的概率为：
26 §4-2 交通流的统计分布特性
1h 内车头时距次数为 900，其中 h≥7.5s 的车头时距为可以安全横穿的次数：
33
二、排队论的基本原理
幻灯片 34§4-3 排队论的应用 2．排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
p m s2 m
m
1 N
N
i
i 1
n
m2 m s2
s 2
1 N 1
N i 1
(i
m)2
14 幻灯片 15 【例 4-2】：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车 30 辆，其中有 30%

概率论中几种常用重要分布

概率论中几种常用的重要的分布摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。

其在实际中的应用。

关键词1 一维随机变量分布随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布．下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论．随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。

它是一种“定性”类型的概念。

为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。

称这种变数为随机变数。

本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。

定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P Xx x=∈-∞=-∞+∞.这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。

它是一个普通的函数。

成这个函数为随机函数X 的分布函数。

有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。

更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈=称这样的随机变数为离散型随机变数。

称它的分布为离散型分布。

【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。

（1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。

称这种随机变数的分布为退化分布。

一个退化分布可以用一个常数a 来确定。

（2）X 可能取的值只有两个。

确切地说，存在着两个常数a ，b ，使([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。

如果([])P X b p ==，那么，([])1P X a p ===-。

因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。

特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。

第四章交通流理论

各种类型的“顾客”按怎样的规律到达

定长输入：顾客等时距到达；泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布；爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布；
（2）排队规则
排队论基本原理
到达的“顾客”按怎样的次序接受服务

损失制：顾客到达时，若所有服务台被占，该顾
客就自动消失，永不再来；
第三节排队论的应用
The Application of Queuing Theory

排队论概述
排队论也称随机服务系统理论，是研究“服务” 系统因“需求”拥挤而产生的等待行列或排队的现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论。是运筹学中以概率论为基础的一个重要分支。在交通工程中，排队论在研究车辆延误、通行能力、信号配时以及停车场、收费厅、加油站等交通设施的设计与管理诸方面得到广泛的应用。

Poisson distribution belongs to discrete function with only one parameter. In traffic engineering Poisson distribution equation is used to describe the arrivals of vehicles at intersections or toll booth, as well as number of accident (crash) Poisson distribution is appropriate to describe vehicle’s arrival when traffic volume is not high. When field data shows that the mean and variance have significant difference, we can no longer apply Poisson distribution.

爱尔朗(Erlang)分布

爱尔朗分布（Erlang Distribution ）在概率与统计相关学科中，爱尔朗分布（Erlang Distribution ）是一种连续型概率分布。

Erlang 分布的译名较多，如爱尔兰分布，埃朗分布，埃尔朗分布，爱尔朗分布，厄朗分布等等；此外在不同学科间，Erlang 分布的习惯译法也可能不同。

该分布与指数分布一样多用来表示独立随机事件发生的时间间隔。

相比于指数分布，爱尔朗分布能更好地对现实数据进行拟合（更适用于多个串行过程，或无记忆性假设不显著的情况下）。

除非退化为指数分布，爱尔朗分布不具有无记忆性（或马尔可夫性质），因此对其进行分析相对困难一些。

一般通过将爱尔朗过程分解为多个指数过程的技巧来对爱尔朗分布进行分析。

遵循爱尔朗分布的随机变量可以被分解多个同参数指数分布随机变量之和，该性质使得爱尔朗分布被广泛用于排队论中。

参数与公式爱尔朗分布有两个参数，阶数（stage ）k 和均值μ（也有用来代替的）。

具有阶数k 的爱尔朗过程被称为k 阶爱尔朗（k-stage Erlang ），对应的随机变量可被视为k 个同参数指数分布随机变量之和。

依据上下文环境不同，均值参数μ可以指整个爱尔朗分布的均值μ0也可以指每个指数分布的均值μi 。

两者的关系是：[编辑]与其他概率分布的关系爱尔朗分布是一种Phase-Type 分布。

它是亚指数分布的一个特例（各阶指数过程均值都相等的k 阶亚指数分布即为k 阶爱尔朗分布）；而指数分布则是爱尔朗分布的一个特例（阶数k= 1的爱尔朗分布即为指数分布）。

[编辑]Speical Erlang“Speical Erlang”分布是亚指数分布的一个别名。

需要注意的是，Special Erlang 并非爱尔朗分布（Erlang ）的特例。

正好相反，爱尔朗（Erlang ）分布是Special Erlang 的一个特例。

爱尔朗分布模型：设V 1，V 2，…，V k 相互独立，V i ～E(0 ，k μ)，则，T=V 1+V 2+…+V k 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>-=-.0,0,0,)!1()()(1t t k kt k t f k k μμ称T 服从k 阶爱尔朗分布。

交通工程学交通流理论

S 2

1 N 1
N i 1
( xi

m)2

1 N 1
n
(x j m)2 f j
j 1
•

1
N
（
N 1 i1
xi2

Nm2 )
• n: 观测数据分组数
•
数f i的:频在率全（部即的对观应测的时计间数内间,在隔计的数次间数隔）t内事件K发生次
•
N: 观测的总周期（观测的间隔总数），此时观测的
总时间为T＝Nt
第八章交通流理论
• 由于泊松分布的均值 M 和方差 D均等于λt；
而观测数据的均值 m和 S2均为无偏估计，因此，当观测数据表明S2/m显著不等于1时，就是泊松分布不合适的表征，所以，应选择其他分布形式。
第八章交通流理论
例1 设60辆车随机分布在4km长的道路上，求任意400m路段上有4辆及4辆车以上的概率
解：行人横过单向行车道所需要的时间：
t =7.5/1=7.5s
因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s的概率为：
Qt
3607.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.4724
车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降。
2020/2/1
31
二、排队论的基本概念
• “排队”与“排队系统”
➢ 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一个“排队系统”。
➢ 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这个队列则称为“排队”。

排队论模型

E[N (t)] = λt ； Var[N (t)] = λt 。
当输入过程是泊松流时，那么顾客相继到达的时间间隔 T 必服从指数分布。这是
由于
P{T > t} = P{[0, t) 内呼叫次数为零} = P0 (t) = e−λt 那么，以 F (t) 表示 T 的分布函数，则有
P{T
≤
t}
=
F (t)
设 N (t) 表示在时间区间 [0, t) 内到达的顾客数（ t > 0 ），令 Pn (t1,t2 ) 表示在时间区
间 [t1,t2 )(t2 > t1 ) 内有 n(≥ 0) 个顾客到达的概率，即 Pn (t1,t2 ) = P{N (t2 ) − N (t1) = n} (t2 > t1, n ≥ 0)
=
⎧1 − e−λt , ⎨
⎩0,
t≥0 t<0
而分布密度函数为
f (t) = λe−λt , t > 0 .
-121-
对于泊松流, λ 表示单位时间平均到达的顾客数,所以 1 就表示相继顾客到达平均 λ
间隔时间，而这正和 ET 的意义相符。
对一顾客的服务时间也就是在忙期相继离开系统的两顾客的间隔时间，有时也服从
n=2
（2）
-120-
在上述条件下，我们研究顾客到达数 n 的概率分布。由条件 2o，我们总可以取时间由 0 算起，并简记 Pn (0,t) = Pn (t) 。
由条件 1o 和 2o，有
P0 (t + Δt) = P0 (t)P0 (Δt)
n
∑ Pn (t + Δt) = Pn−k (t)Pk (Δt), k =0
指数分布是单参数 λ 的非对称分布，记作 Exp(λ) ，概率密度函数为：

泊松分布

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。

泊松分布的概率质量函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。

通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似计算在概率论和统计学中，指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。

指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。

有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。

它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。

指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。

Gamma分布的定义设α，β是正常数，如果X的密度是：就称X是服从参数为（α，β）的Gamma分布。

并记为Γ(β,α).Gamma分布中2参数为形状参数α（shape parameter）和尺度参数β（sc ale parameter），当α为正整数时，分布可看作α个独立的指数分布之和，当k趋向于较大数值时，分布近似于正态分布。

下图为概率密度函数（图中形状参数k为（shape parameter）和尺度参数θ为（sc ale parameter））。

性质：1、β=n，Γ(n,α)就是Erlang分布。

Erlang分布常用于可靠性理论和排队论中,如一个复杂系统中从第 1 次故障到恰好再出现n 次故障所需的时间;从某一艘船到达港口直到恰好有n 只船到达所需的时间都服从Erlang分布；2、当β= 1 时，Γ(1,α) 就是参数为α的指数分布,记为exp (α) ；3、当α = 1/2，β=n/2时，Γ (n/2,1/2)就是数理统计中常用的χ2( n) 分布。

到达和服务的时间分布

P(T≤t)即为在区间[0,t]内至少有一个顾客到达的概率。则有：
概率密度：即到达时间间隔服从负指数分布。则:
三、爱尔朗分布
物流运筹学
当Pn(t1,t2)符合下列三个条件时，则可判断顾客的到达形成泊松流。 ①不相重叠的时间区间内，顾客到达数是相互独立的，即无后效性； ②对充分小的△t，在[t,t+△t]内有1个顾客到达的概率与t无关，而与时间长度 △t成正比，即P(t,t+△t)=λ△t+ο(△t)； ③对充分小的△t，在[t,t+△t]内有2个或2个以上顾客到达的概率极小，可忽略。经过数学处理，得到在时间[0,t]内到达系统的顾客数N(t)的概率为：
泊松过程是在一定时间t内顾客到达系统的人数服从参数为λt的泊松分布，记为N(t)=P(λt)。也可以这样说，单位时间内到达的顾客数N是服从泊松分布的随机变量，即
且有泊松分布的均值和方差分别为：E(N)=λ，D(N)=λ。
二、负指数分布
有的书上也称为指数分布，是排队论分析中用得最多的极为重要的概率分布，通常用来描述顾客到达的间隔时间和对顾客服务时间的分布。现实生活中大多数排队问题都符合这种分布规律。
物达规律的特殊随机过程，与概率论中的泊松分布和负指数分布关系密切。
设N(t)表示在在时间区间[0,t]内到达的顾客数（t<0），Pn(t1,t2)表示在区间 [t1,t2](t2>t1)内有n个顾客到达的概率，则Pn(t1,t2)=P{N(t2)-N(t1)=n}。

泊松流、指数分布、爱尔朗分布

三种常用的理论分布：（1）泊松流与泊松分布｛N （t ）,t>0｝是计数过程，有Λ,2,1,0,!)()(==-n e n t t P t n n λλ 且E[N （t ）]=λt ，Var[N(t)]=λt.(2) 指数分布当输入过程是一个泊松过程｛N(t),t>0｝时，设T 是两位顾客相继到达的时间间隔，有F T （t ）=P ｛T ≤t ｝=1－P ｛T ＞t ｝=1－P 0（t ）=1－t eλ-，t>0,F T （t ）=0, t ≤0。

从而 ⎩⎨⎧≤>='=-.0,00,)()(t t e t F t f t T T λλ（λ＞0），且 E （T ）=1/λ，λ—单位时间到达的平均顾客数；1/λ— 相继到达的平均间隔时间。

定理.输入过程｛N(t), t>0｝是参数为λ的泊松过程的充分必要条件是相继到达的时间间隔：T 1，T 2，…T n ,…相互独立，同服从参数为指数分布。

为一位顾客服务的时间V 一般也服从指数分布，有⎩⎨⎧<>-=-.0,0,0,1)(t t e t F t V μ, ⎩⎨⎧<>-=-.0,0,0,)(t t e t f t V μμ其中 μ— 平均服务率；E （V ）= 1/μ—一位顾客的平均服务时间。

ρ=λ/μ—服务强度，刻画服务效率和服务机构利用程度的重要指标。

（3）爱尔朗（Erlang ）分布设V 1，V 2，…，V k 相互独立，V i ～E(0 ，k μ)，则，T=V 1+V 2+…+V k 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>-=-.0,0,0,)!1()()(1t t k kt k t f k k μμ称T 服从k 阶爱尔朗分布。

例：串列的k 个服务台，每个服务台的服务时间相互独立，服从相同的指数分布，则k 个服务台的总服务时间服从k 阶爱尔朗分布。

有：1）E （T ）=μμ11)(1=⋅=∑=k k V E ki i ； 2）k=1时，T ～E （0，μ）；3）k ≥30时，T 近似服从正态分布；4）.01)(2lim lim ==∞→∞→μk T Var t k （化为确定型分布）。

排队论中三种典型的分布

排队论顾客到达时间的间隔分布和服务时间的分布（1）泊松分布（顾客到达数满足泊松分布）随机变量x （单位时间内顾客到达数），满足泊松分布：x~P(λ)，概率分布为：()!kP x k e k λλ-==注意：泊松分布中的λ，既是数学期望又是方差，即E(x)=D(X)= λ(单位时间内平均到达的顾客数)（2）负指数分布随机变量T （顾客相继到达时间间隔），满足负指数分布，即：~()()t T f t e λλ-=密度函数注意：E(T)=1/λ(为相继到达平均间隔时间),21D(T)λ=。

说明：顾客到达数满足泊松分布等价于顾客相继到达时间间隔满足负指数分布。

随机变量v （顾客相继离开的间隔时间），满足负指数分布，即：~()()t v f t e μμ-=密度函数注意：E(v)=1/μ(为相继离开平均间隔时间),D(v)= 1/μ2 。

（3）爱尔朗分布设k 个顾客到达系统的时间间隔序列为：v1 ， v2 ,…, vk ，（为相互独立的随机变量），且都服从参数为kλ的负指数分布，即：k),...,2,1(i e k ~ vi k -=λλ 则随机变量Tk I=1iT v =∑服从k 阶爱尔朗分布()()()()()()()121~0,01!111,,k k t k i i i k k t T f t e t k E v E T v D T k k λλλλλλλ--==>>-====∑ 说明1：K=1时，就是负指数分布。

说明2：假设系统中有串联的K 个服务台，每个服务台对顾客的服务时间相互独立，且服从参数为kμ的负指数分布，则一个顾客接受完k 个服务台服务所需的总时间T 就服从k 阶爱尔朗分布。

交通流理论---第八章4

交通工程学教师:朱艳茹
第二节交通流中排队理论 2．排队系统的三个组成部分
（1）输入过程指各种类型的“顾客（车辆或行人）” 按怎样的规律到来。
定长输入——顾客等时距到达。泊松输入——顾客到达时距符合负指数分布。这种输入过程最容易处理，因而应用最广泛。
爱尔朗输入——顾客到达时距符合爱尔朗分布。
混合制——顾客到达时，若队长小于L，就排入队伍；若队长等于L，顾客就离去，永不再来。
交通工程学教师:朱艳茹
第二节交通流中排队理论
（3）服务方式指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以接待单个顾客，也可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。服务时间的分布主要有如下几种：
（2）忙期——服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。
（3）队长——有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。
交通工程学教师:朱艳茹
第二节交通流中排队理论二、单通道排队服务（M／M／1）系统
由于排队等待接受服务的通道只有单独一条，故称“单通道服务”系统。如图
第二节交通流中排队理论三、条通道排队服务（M／M／N系统
在这种排队系统中，服务通道有N条，所以叫 “多通道服务”系统。根据排队方式的不同，又可分为：
单路排队多通道服务：指排成一个队等待数条通道服务的情况。排队中头一辆车可视哪个通道有空就到哪里去接受服务，如图所示。
单路排队多通道服务图
交通工程学教师:朱艳茹
交通工程学教师:朱艳茹
第一节交通流的统计分布特性
图8-5泊松分布
交通工程学教师:朱艳茹
第一节交通流的统计分布特性 2、递推公式
m m P( x) P( x 1)( x 1), P(0) e x

2022年-2023年国家电网招聘之管理类练习题(二)及答案

2022年-2023年国家电网招聘之管理类练习题(二)及答案单选题（共30题）1、下列各选项中，与网络安全性无关的是（）。

A.保密性B.可传播性C.可用性D.可控性【答案】 B2、下列选项中，对正确接收到的数据帧进行确认的MAC协议是（）。

A.CSMA/CDB.CDMAC.CSMAD.CSMA/CA【答案】 D3、排队系统中，若系统输入为泊松流，则相继到达的顾客间隔时间服从什么分布（）A.正态分布B.爱尔朗分布C.泊松流D.负指数分布【答案】 D4、线性规划具有唯一最优解是指()A.最优表中存在常数项为零B.最优表中非基变量检验数全部非零C.最优表中存在非基变量的检验数为零D.可行解集合有界【答案】 B5、在一个运输方案中，从任一数字格开始，（）一条闭合回路。

A.可以形成至少B.不能形成C.可以形成D.有可能形成【答案】 B6、下列有关虚电路服务的叙述中不正确的是（）。

A.在ARPANET内部使用数据报操作方式，但可以向端系统提供数据报和虚电路两种服务B.SNA采用的是虚电路操作支持虚电路服务的方式C.以数据报方式操作的网络中不可以提供虚电路服务D.OSI中面向连接的网络服务就是虚电路服务【答案】 C7、下列IP地址有误的是（）。

A.128.25.0.4B.112.0.12.36C.198.25.257.1D.221.45.7.9【答案】 C8、排队系统中，若系统输入为泊松流，则相继到达的顾客间隔时间服从什么分布（）A.正态分布B.爱尔朗分布C.泊松流D.负指数分布【答案】 D9、下列各选项中，与网络安全性无关的是（）。

A.保密性B.可传播性C.可用性D.可控性【答案】 B10、影子价格的经济解释是（）A.判断目标函数是否取得最优解B.价格确定的经济性C.约束条件所付出的代价D.产品的产量是否合理【答案】 C11、有6个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征()A.有10个变量24个约束B.有24个变量10个约束C.有24个变量9个约束D.有9个基变量10个非基变量【答案】 B12、互为对偶的两个问题存在关系()A.原问题无可行解，对偶问题也无可行解B.对偶问题有可行解，原问题也有可行解C.原问题有最优解解，对偶问题可能没有最优解D.原问题无界解，对偶问题无可行解【答案】 D13、在求极小值的线性规划问题中，引入人工变量之后，还必须在目标函数中分别为它们配上系数，这些系数值应为（）。

第八章交通流理论

将影响、传递到车队中的最后一辆车。
N+1 S(t) Xn+1(t)
t时刻N+1车位置正常情况下两车间距
N
N车停车位置
Xn(t)
t时刻N车的位置
N车开始减速位置
d3:N车的制动距离
N+1 N+1 N
d1
反应时间T内N+1 车的行驶距离
d2
N+1车的制动距离
L
安全距离
3.线性跟驰模型分析
S(t) d 1 d 2 L - d 3

n m / p m 2 /(m S 2 )(取整数)
(2)递推公式
P(0) (1 p) n n x 1 p P( X x) P( X x 1) x 1 p
(3)应用条件车流比较拥挤、自由行驶机会不多的车流用二项分布拟合较好。此时S2/m小于1.0。
t t
其概率密度函数为：
e (t ) , f (t ) 0,
t t
式中：

1 , t
t 为平均车头时距。
(2)适用条件
移位负指数分布适用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。

3.M3分布（1）基本公式：

m2 l 2 ， S
概率密度函数：
p(t ) e
t
(t ) , l 1,2,3, (l 1)!
l 1
第二节跟驰模型
1.引例
思考
前车紧急制动时，后车在什么情况下才是安全的？
后车反应
？
前车刺激
2.线性跟驰模型介绍

跟驰理论——研究在限制超车的单车道上，行驶车

泊松流、指数分布、爱尔朗分布

排队论方法讲解

交通流理论

运筹学 第8章 排队论

泊松分布和指数分布

第四章交通流理论(详细版)

概率论中几种常用重要分布

第四章 交通流理论

爱尔朗(Erlang)分布

交通工程学 交通流理论

排队论模型

泊松分布

到达和服务的时间分布

泊松流、指数分布、爱尔朗分布

排队论中三种典型的分布

交通流理论---第八章4

2022年-2023年国家电网招聘之管理类练习题(二)及答案

第八章 交通流理论

运筹学第8章排队论

第四章交通流理论

交通工程学交通流理论

第八章交通流理论