同济大学版高等数学课后习题答案第2章

习题2-11. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称tθω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解 在时间间隔[t 0, t 0+∆t]内的平均角速度ω为 tt t t t∆-∆+=∆∆=)()(00θθθω,故t 0时刻的角速度为)()()(lim lim lim 000000t tt t t tt t t θθθθωω'=∆-∆+=∆∆==→∆→∆→∆. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔[t 0, t 0+∆t]内, 温度的改变量为 ∆T =T(t +∆t)-T(t), 平均冷却速度为tt T t t T t T ∆-∆+=∆∆)()(,故物体在时刻t 的冷却速度为)()()(lim lim 00t T tt T t t T t T t t '=∆-∆+=∆∆→∆→∆. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义.解 f(x +∆x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +∆x 时成本的改变量.xx f x x f ∆-∆+)()(表示当产量由x 改变到x +∆x 时单位产量的成本. xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0表示当产量为x 时单位产量的成本.4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 xx x f x f f x x ∆--∆+-=∆--∆+-=-'→∆→∆2200)1(10)1(10lim )1()1(lim)1(20)2(lim 102lim 10020-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x xx x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x .解 xxx x x x ∆-∆+='→∆cos )cos(lim )(cos 0xxx x x ∆∆∆+-=→∆2sin )2sin(2limx x xx x x sin ]22sin )2sin([lim 0-=∆∆∆+-=→∆. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:(1)A xx f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim 000;解xx f x x f A x ∆-∆-=→∆)()(lim000)()()(lim 0000x f xx f x x f x '-=∆--∆--=→∆-. (2)A xx f x =→)(lim 0, 其中f(0)=0, 且f '(0)存在; 解)0()0()0(lim )(lim00f x f x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A hh x f h x f h =--+→)()(lim 000. 解hh x f h x f A h )()(lim000--+=→hx f h x f x f h x f h )]()([)]()([lim00000----+=→ hx f h x f hx f h x f h h )()(lim)()(lim 000000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0). 7. 求下列函数的导数: (1)y =x 4; (2)32x y =; (3)y =x 1. 6; (4)xy 1=;(5)21xy =;(6)53x x y =;(7)5322x x x y =;解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .(2)3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.(4)23121212121)()1(-----=-='='='x x x xy .(5)3222)()1(---='='='x x xy .(6)511151651653516516)()(x x x x xy =='='='-.(7)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y .8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s)时的速度.解v =(s)'=3t 2, v|t =2=12(米/秒).9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明 当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim)0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:π32=x , x =π.解 因为y '=cos x , 所以斜率分别为 2132cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .11. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式.解y '=-sin x ,233sin3-=-='=ππx y ,故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y ,法线方程为)3(3221π--=-x y .12. 求曲线y =e x 在点(0,1)处的切线方程. 解y '=e x , y '|x =0=1, 故在(0, 1)处的切线方程为 y -1=1⋅(x -0), 即y =x +1.13. 在抛物线y =x 2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点, 作过这两点的割线, 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 y '=2x , 割线斜率为421913)1()3(=-=--=y y k .令2x =4, 得x =2.因此抛物线y =x 2上点(2, 4)处的切线平行于这条割线. 14. 讨论下列函数在x =0处的连续性与可导性: (1)y =|sin x|;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin 2x x xx y . 解 (1)因为 y(0)=0,0)sin (lim |sin |lim lim 00=-==---→→→x x y x x x ,0sin lim |sin |lim lim 00===+++→→→x x y x x x ,所以函数在x =0处连续. 又因为 1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000-=-=--=--='---→→→-x x x x x y x y y x x x ,1sin lim 0|0sin ||sin |lim 0)0()(lim )0(000==--=--='+++→→→+xx x x x y x y y x x x , 而y '-(0)≠y '+(0), 所以函数在x =0处不可导.解 因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y(0)=0, 所以函数在x =0处连续. 又因为01sin lim 01sin lim0)0()(lim 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x , 所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.15. 设函数⎩⎨⎧>+≤=1 1)(2x b ax x x x f 为了使函数f(x)在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 解 因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f(1)=a +b ,所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 . 又因为当a +b =1时211lim )1(21=--='-→-x x f x ,a x x a xb a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111, 所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1. 16. 已知⎩⎨⎧<-≥=0 0)(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 解 因为 f -'(0)=10lim )0()(lim00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在.17. 已知f(x)=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x) .解 当x<0时, f(x)=sin x , f '(x)=cos x ; 当x>0时, f(x)=x , f '(x)=1; 因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=---→→x x x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→xx x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x)=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x .18. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解 由xy =a 2得xa y 2=, 22xa y k -='=.设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x ax y x =+=, 为切线在x轴上的距.令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-21. 推导余切函数及余割函数的导数公式: (cot x)'=-csc 2x ; (csc x)'=-csc xcot x .解 xx x x x xx x 2sin cos cos sin sin )sin cos ()(cot ⋅-⋅-='=' x xx x x 22222csc sin 1sin cos sin-=-=+-=. x x xx x x cot csc sin cos )sin 1()(csc 2⋅-=-='='. 2. 求下列函数的导数: (1)1227445+-+=xxxy ;(2) y =5x 3-2x +3e x ;(3) y =2tan x +sec x -1; (4) y =sin x ⋅cos x ; (5) y =x 2ln x ; (6) y =3e x cos x ; (7)xx y ln =;(8)3ln 2+=xe y x;(9) y =x 2ln x cos x ; (10)tt s cos 1sin 1++=;解 (1))12274()12274(14545'+-+='+-+='---x x x xxxy2562562282022820xxxx x x +--=+--=---. (2) y '=(5x 3-2x +3e x )'=15x 2-2x ln2+3e x .(3) y '=(2tan x +sec x -1)'=2sec 2x +sec x ⋅tan x =sec x(2sec x +tan x).(4) y '=(sin x ⋅cos x)'=(sin x)'⋅cos x +sin x ⋅(cos x)' =cos x ⋅cos x +sin x ⋅(-sin x)=cos 2x . (5) y '=(x 2ln x)'=2x ⋅ln x +x 2⋅x1=x(2ln x +1) . (6) y '=(3e x cos x)'=3e x ⋅cos x +3e x ⋅(-sin x)=3e x (cos x -sin x).(7)22ln1ln 1)ln (x x x xx x x x y -=-⋅='='.(8)3422)2(2)3ln (x x e x x e x e x e y x x x x -=⋅-⋅='+='. (9) y '=(x 2ln x cos x)'=2x ⋅ln x cos x +x 2⋅x1⋅cos x +x 2 lnx ⋅(-sin x)2x ln x cos x +x cos x -x 2 ln x sin x .(10)22)cos 1(cos sin 1)cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos )cos 1sin 1(t tt t t t t t tt s +++=+-+-+='++='.3. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y =sin x -cos x , 求6π='x y 和4π='x y .(2)θθθρcos 21sin +=,求4πθθρ=dd .(3)553)(2x x x f +-=, 求f '(0)和f '(2) .解 (1)y '=cos x +sin x , 21321236sin 6cos 6+=+=+='=πππx y ,222224sin 4cos 4=+=+='=πππx y . (2)θθθθθθθθρcos sin 21sin 21cos sin +=-+=d d ,)21(4222422214cos 44sin 214πππππθρπθ+=⋅+⋅=+==d d . (3)x x x f 52)5(3)(2+-=', 253)0(='f , 1517)2(='f . 4. 以初速v 0竖直上抛的物体, 其上升高度s 与时间t 的关系是2021gt t v s -=. 求:(1)该物体的速度v(t); (2)该物体达到最高点的时刻. 解 (1)v(t)=s '(t)=v 0-gt .(2)令v(t)=0, 即v 0-gt =0, 得gv t 0=, 这就是物体达到最高点的时刻.5. 求曲线y =2sin x +x 2上横坐标为x =0的点处的切线方程和法线方程.解 因为y '=2cos x +2x , y '|x =0=2, 又当x =0时, y =0, 所以所求的切线方程为 y =2x , 所求的法线方程为x y 21-=, 即x +2y =0.6. 求下列函数的导数: (1) y =(2x +5)4 (2) y =cos(4-3x); (3)23x e y -=;(4) y =ln(1+x 2); (5) y =sin 2x ; (6)22x a y -=;(7) y =tan(x 2); (8) y =arctan(e x ); (9) y =(arcsin x)2; (10) y =lncos x .解 (1) y '=4(2x +5)4-1⋅(2x +5)'=4(2x +5)3⋅2=8(2x +5)3. (2)y '=-sin(4-3x)⋅(4-3x)'=-sin(4-3x)⋅(-3)=3sin(4-3x). (3)22233236)6()3(xx x xe x e x e y ----=-⋅='-⋅='.(4)222212211)1(11x x x x x x y +=⋅+='+⋅+='. (5) y '=2sin x ⋅(sin x)'=2sin x ⋅cos x =sin 2x . (6))()(21])[(22121222122'-⋅-='-='-x a x a x a y222122)2()(21x a x x x a --=-⋅-=-.(7) y '=sec 2(x 2)⋅(x 2)'=2xsec 2(x 2).(8)xx xx e e e e y 221)()(11+='⋅+='. (9) y '21arcsin2)(arcsin arcsin 2xx x x -='⋅=. (10)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='⋅='. 7. 求下列函数的导数: (1) y =arcsin(1-2x);(2)211x y -=;(3)x e y x 3cos 2-=;(4)xy 1arccos =;(5)x x y ln 1ln 1+-=;(6)xx y 2sin =; (7)x y arcsin =;(8))ln(22x a x y ++=;(9) y =ln(sec x +tan x); (10) y =ln(csc x -cot x). 解 (1)2221)21(12)21()21(11x x x x x y --=---='-⋅--='.(2))1()1(21])1[(21212212'-⋅--='-='---x x x y 222321)1()2()1(21x x x x x --=-⋅--=-.(3))3)(3sin (3cos )2()3(cos 3cos )(2222'-+'-='+'='----x x e x x e x e x e y xx x x)3sin 63(cos 213sin 33cos 21222x x e x e x e xxx+-=--=---. (4)1||)1()1(11)1()1(1122222-=---='--='x x x x x x x y . (5)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x xy +-=+--+-='.(6)222sin 2cos 212sin 22cos xx x x xx x x y -=⋅-⋅⋅='.(7)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(8)])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y 2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=.(9)x xx x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12=++='+⋅+='. (10) x xx x x x x x x x y csc cot csc csc cot csc )cot (csc cot csc 12=-+-='-⋅-='.8. 求下列函数的导数: (1)2)2(arcsin x y =;(2)2tan ln x y =;(3)x y 2ln 1+=;(4)x e y arctan =; (5)y =sin n xcos nx ; (6)11arctan -+=x x y ;(7)xx y arccos arcsin =;(8) y=ln[ln(ln x)] ; (9)xx x x y-++--+1111; (10)xx y +-=11arcsin.解 (1)'⋅=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(arcsin 22'⋅-⋅=x x x21)2(11)2(arcsin 22⋅-⋅=x x . 242arcsin 2x x-=(2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'⋅⋅='⋅='x x x x x yx x x csc 212sec 2tan 12=⋅⋅=.(3))ln 1(ln 121ln 1222'+⋅+=+='x xx y )(ln ln 2ln 1212'⋅⋅+=x x x x x x 1ln 2ln 1212⋅⋅+=xx x2ln 1ln +=.(4))(arctan arctan '⋅='x e y x)()(112arctan'⋅+⋅=x x e x)1(221)(11arctan 2arctanx x e x x e x x+=⋅+⋅=.(5) y '=n sin n -1x ⋅(sin x)'⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx)⋅(nx)' =n sin n -1x ⋅cos x ⋅cos nx +sin n x ⋅(-sin nx)⋅n =n sin n -1x ⋅(cos x ⋅cos nx -sin x ⋅sin nx)= n sin n -1xcos(n +1)x . (6)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--⋅-++='-+⋅-++='.(7)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-='22)(arccos arcsin arccos 11x x x x +⋅-=22)(arccos 12x x -=π.(8))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'⋅⋅='⋅='x x x x x y)ln(ln ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ⋅=⋅⋅=. (9)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111x x -+-=.(10)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xx x x x x y +--+-⋅+--='+-⋅+--=')1(2)1(1x x x -+-=.9. 设函数f(x)和g(x)可导, 且f 2(x)+g 2(x)≠0, 试求函数)()(22x g x f y +=的导数.解])()([)()(212222'+⋅+='x g x f x g x f y )]()(2)()(2[)()(2122x g x g x f x f x g x f '+'⋅+=)()()()()()(22x g x f x g x g x f x f +'+'=.10. 设f(x)可导, 求下列函数y 的导数dxdy :(1) y =f(x 2);(2) y =f(sin 2x)+f(cos 2x).解 (1) y '=f '(x 2)⋅(x 2)'= f '(x 2)⋅2x =2x ⋅f '(x 2). (2) y '=f '(sin 2x)⋅(sin 2x)'+f '(cos 2x)⋅(cos 2x)'= f '(sin 2x)⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x)⋅2cosx ⋅(-sin x) =sin 2x[f '(sin 2x)- f '(cos 2x)]. 11. 求下列函数的导数: (1) y =ch(sh x ); (2) y =sh x ⋅e ch x ; (3) y =th(ln x); (4) y =sh 3x +ch 2x ; (5) y =th(1-x 2); (6) y =arch(x 2+1); (7) y =arch(e 2x ); (8) y =arctan(th x);(9)xx y 2ch 21ch ln +=; (10))11(ch 2+-=x x y解 (1) y '=sh(sh x)⋅(sh x)'=sh(sh x)⋅ch x . (2) y '=ch x ⋅e ch x +sh x ⋅e ch x ⋅sh x =e ch x (ch x +sh 2x) . (3))(ln ch 1)(ln )(ln ch 122x x x x y ⋅='⋅='.(4) y '=3sh 2x ⋅ch x +2ch x ⋅sh x =sh x ⋅ch x ⋅(3sh x +2) . (5))1(ch 2)1()1(ch 122222x x x x y --=-⋅-='. (6)222)1()1(112422++='+⋅++='x x x x x y .(7)12)(1)(142222-='⋅-='x xx x e e e e y . (8)xxx x x x x y 222222ch 1ch sh 11ch 1th 11)th ()th (11⋅+=⋅+='⋅+=' x x x 222sh 211sh ch 1+=+=. (9))ch (ch 21)ch (ch 124'⋅-'⋅='x x x x y x x xx x sh ch 2ch 21ch sh 4⋅⋅-= xx x x x x x x 323ch sh ch sh ch sh ch sh -⋅=-=x xx x x x 33332th ch sh ch )1ch (sh ==-⋅=. (10)'+-⋅+-⋅+-='+-⋅+-=')11()11(sh )11(ch 2])11(ch [)11(ch 2x x x x x x x x x x y)112(sh )1(2)1()1()1()112(sh 22+-⋅+=+--+⋅+-⋅=x x x x x x x x .12. 求下列函数的导数: (1) y =e -x (x 2-2x +3); (2) y =sin 2x ⋅sin(x 2); (3)2)2(arctan x y =;(4)n xx y ln =;(5)t t t t ee e e y --+-=;(6)xy 1cos ln =;(7)x ey 1sin 2-=; (8)xx y +=;(9)242arcsin x x x y -+=;(10)212arcsint t y +=.解 (1) y '=-e -x (x 2-2x +3)+e -x (2x -2) =e -x (-x 2+4x -5).(2) y '=2sin x ⋅cos x ⋅sin(x 2)+sin 2x ⋅cos(x 2)⋅2x =sin2x ⋅sin(x 2)+2x ⋅sin 2x ⋅cos(x 2). (3)2arctan 44214112arctan 222x x x x y +=⋅+⋅='. (4)121ln 1ln 1+--=⋅-⋅='n n n n x x n x nx x x xy . (5)2222)1(4)())(())((+=+---++='-----t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e y .(6)xxxxxxxy 1tan 1)1()1sin (1sec )1(cos 1sec 22=-⋅-⋅='⋅='.(7))1(1cos )1sin 2()1sin (21sin 21sin 22x x x e x ey x x -⋅⋅-⋅='-⋅='--x e x x1sin 222sin 1-⋅⋅=. (8))211(21)(21x xx x x x x y +⋅+='+⋅+='xx x x +⋅+=412.(9)2arcsin )2(421214112arcsin 22x x x x x x y =-⋅-+⋅-⋅+='. (10)22222222)1()2(2)1(2)12(11)12()12(11t t t t tt t t t t y +⋅-+⋅⋅+-='+⋅+-=' )1(|1|)1(2)1()1(2)1(1222222222t t t t t t t +--=+-⋅-+=.习题 2-31. 求函数的二阶导数: (1) y =2x 2+ln x ; (2) y =e 2x -1; (3) y =xcos x ; (4) y =e -t sin t ; (5)22x a y -=;(6) y =ln(1-x 2)(7) y =tan x ; (8)113+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ; (10)xe y x=;(11)2x xe y =;(12))1ln(2x x y ++=. 解 (1)xx y 14+=',214xy -=''.(2) y '=e 2x -1 ⋅2=2e 2x -1, y ''=2e 2x -1 ⋅2=4e 2x -1. (3) y =xcos x ; y '=cos x -xsin x ,y ''=-sin x -sin x -xcos x =-2sin x -xcos x . (4) y '=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t)y ''=-e -t (cos t -sin t)+e -t (-sin t -cos t)=-2e -t cos t . (5)222222)(21x a x x a x a y --='-⋅-=',22222222222)(x a x a a xa x a xx x a y ---=---⋅---=''.(6) 22212)1(11xx x x y --='-⋅-=',222222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''. (7) y '=sec 2 x ,y ''=2sec x ⋅(sec x)'=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tanx . (8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y ,333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y .(9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x x x x x y ,212arctan 2xx x y ++=''.(10)22)1(1xx e x e x e y x x x -=⋅-⋅=',3242)22(2)1(])1([xx x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''.(12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=',xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222.2. 设f(x)=(x +10)6, f '''(2)=?解f '(x)=6(x +10)5, f ''(x)=30(x +10)4, f '''(x)=120(x +10)3,f '''(2)=120(2+10)3=207360. 3. 若f ''(x)存在, 求下列函数y 的二阶导数22dxyd :(1) y =f(x 2); (2) y =ln[f(x)] .解 (1)y '= f '(x 2)⋅(x 2)'=2xf '(x 2),y ''=2f '(x 2)+2x ⋅2xf ''(x 2)=2f '(x 2)+4x 2f ''(x 2). (2))()(1x f x f y '=',2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=.4. 试从ydydx '=1导出:(1)322)(y y dy x d '''-=;(2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=. 解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy xd '''-='⋅'''-=⋅'='==. (2)(())(())dy dxy y dx d y y dy d dy x d ⋅'''-='''-=333352623)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y '''''-''='⋅''''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =Asin ωt(A 、ω是常数), 求物体运动的加速度, 并验证: 0222=+s dt s d ω.解 t A dtds ωωcos =,t A dt s d ωωsin 222-=. 22dt s d 就是物体运动的加速度.0sin sin 22222=+-=+t A t A s dt s d ωωωωω. 6. 验证函数y =C 1e λx +C 2e -λx (λ,C 1, C 2是常数)满足关系式:y ''-λ2y =0 . 解 y '=C 1λe λx -C 2λe -λx , y ''=C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx .y ''-λ2y =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-λ2(C 1e λx +C 2e -λx ) =(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )-(C 1λ2e λx +C 2λ2e -λx )=0 . 7. 验证函数y =e x sin x 满足关系式: y ''-2y '+2y =0 .解 y '=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x),y ''=e x (sin x +cos x)+e x (cos x -sin x)=2e x cos x . y ''-2y '+2y =2e x cos x -2e x (sin x +cos x)+2e x sin x =2e x cos x -2e x sin x -2e x cos x +2e x sin x =0 .8. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式:(1) y =x n +a 1x n -1+a 2x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n (a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n 都是常数);(2) y =sin 2x ; (3) y =xln x ;(4) y =xe x .解 (1) y '=nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1,y ''=n(n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2,⋅ ⋅ ⋅,y (n)=n(n -1)(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅1x 0=n! . (2) y '=2sin x cos x =sin2x , )22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(3) 1ln +='x y ,11-==''x xy , y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n)=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n xn xn .(4) y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n)=ne x +xe x =e x (n +x) . 9. 求下列函数所指定的阶的导数: (1) y =e x cos x , 求y (4) ; (2) y =xsh x , 求y (100) ; (3) y =x 2sin 2x , 求y (50) . 解 (1)令u =e x , v =cos x , 有 u '=u ''=u '''=u (4)=e x ;v '=-sin x , v ''=-cos x , v '''=sin x , v (4)=cos x , 所以 y (4)=u (4)⋅v +4u '''⋅v '+6u ''⋅v ''+4u '⋅v '''+u ⋅v (4) =e x [cos x +4(-sin x)+6(-cos x)+4sin x +cos x]=-4e x cos x .(2)令u =x , v =sh x , 则有 u '=1, u ''=0;v '=ch x , v ''=sh x , ⋅ ⋅ ⋅ , v (99)=ch x , v (100)=sh x , 所以)100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅==100ch x +xsh x . (3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有 u '=2x , u ''=2, u '''=0; x x v 2sin 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π,v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x , 所以)50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅=)50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''=)2sin 2(2cos 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=)2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=.习题 2-31. 求函数的二阶导数: (1) y =2x 2+ln x ; (2) y =e 2x -1; (3) y =xcos x ; (4) y =e -t sin t ; (5)22x a y -=;(6) y =ln(1-x 2) (7) y =tan x ;(8)113+=x y ; (9) y =(1+x 2)arctan x ;(10)xe y x =;(11)2x xe y =; (12))1ln(2x x y ++=. 解 (1)xx y 14+=',214xy -=''.(2) y '=e 2x -1 ⋅2=2e 2x -1, y ''=2e 2x -1 ⋅2=4e 2x -1. (3) y =xcos x ; y '=cos x -xsin x ,y ''=-sin x -sin x -xcos x =-2sin x -xcos x . (4) y '=-e -t sin t +e -t cos t =e -t (cos t -sin t)y ''=-e -t (cos t -sin t)+e -t (-sin t -cos t)=-2e -t cos t . (5)222222)(21x a x x a x a y --='-⋅-=',22222222222)(x a x a a xa x a xx x a y ---=---⋅---=''.(6) 22212)1(11xx x x y --='-⋅-=',222222)1()1(2)1()2(2)1(2x x x x x x y -+-=--⋅---=''.(7) y '=sec 2 x ,y ''=2sec x ⋅(sec x)'=2sec x ⋅sec x ⋅tan x =2sec 2x ⋅tan x .(8)232233)1(3)1()1(+-=+'+-='x x x x y ,333433223)1()12(6)1(3)1(23)1(6+-=+⋅+⋅-+⋅-=''x x x x x x x x x y .(9)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x x x x x y ,212arctan 2xx x y ++=''.(10)22)1(1xx e x e x e y x x x -=⋅-⋅=',3242)22(2)1(])1([xx x e x x x e x e x e y x x x x +-=⋅--⋅+-=''. (11))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''.(12)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=',xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222.2. 设f(x)=(x +10)6, f '''(2)=?解f '(x)=6(x +10)5, f ''(x)=30(x +10)4, f '''(x)=120(x +10)3,f '''(2)=120(2+10)3=207360. 3. 若f ''(x)存在, 求下列函数y 的二阶导数22dxyd :(1) y =f(x 2); (2) y =ln[f(x)] .解 (1)y '= f '(x 2)⋅(x 2)'=2xf '(x 2),y ''=2f '(x 2)+2x ⋅2xf ''(x 2)=2f '(x 2)+4x 2f ''(x 2). (2))()(1x f x f y '=',2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=.4. 试从ydydx '=1导出:(1)322)(y y dy x d '''-=;(2)5233)()(3y y y y dy x d '''''-''=. 解 (1)()()()3222)(1)(11y y y y y dy dx y dx d y dy d dy dx dy d dy xd '''-='⋅'''-=⋅'='==. (2)(())(())dy dxy y dx d y y dy d dy x d ⋅'''-='''-=333352623)()(31)()(3)(y y y y y y y y y y y '''''-''='⋅''''⋅''-''''-=.5. 已知物体的运动规律为s =Asin ωt(A 、ω是常数), 求物体运动的加速度, 并验证: 0222=+s dt s d ω.解 t A dtds ωωcos =,t A dt s d ωωsin 222-=. 22dt s d 就是物体运动的加速度.0sin sin 22222=+-=+t A t A s dt s d ωωωωω.6.验证函数y=C1eλx+C2e-λx(λ,C1, C2是常数)满足关系式:y''-λ2y=0 .解y'=C1λeλx-C2λe-λx,y''=C1λ2eλx+C2λ2e-λx.y''-λ2y=(C1λ2eλx+C2λ2e-λx)-λ2(C1eλx+C2e-λx)=(C1λ2eλx+C2λ2e-λx)-(C1λ2eλx+C2λ2e-λx)=0 .7.验证函数y=e x sin x满足关系式:y''-2y'+2y=0 .解y'=e x sin x+e x cos x=e x(sin x+cos x),y''=e x(sin x+cos x)+e x(cos x-sin x)=2e x cos x .y''-2y'+2y=2e x cos x-2e x(sin x+cos x)+2e x sin x=2e x cos x-2e x sin x-2e x cos x+2e x sin x=0 .8.求下列函数的n阶导数的一般表达式:(1) y=x n+a1x n-1+a2x n-2+⋅⋅⋅+a n-1x+a n (a1, a2,⋅⋅⋅, a n都是常数);(2) y=sin2x ;(3) y=xln x ;(4) y=xe x.解 (1) y '=nx n -1+(n -1)a 1x n -2+(n -2)a 2x n -3+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1,y ''=n(n -1)x n -2+(n -1)(n -2)a 1x n -3+(n -2)(n -3)a 2x n -4+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2,⋅ ⋅ ⋅,y (n)=n(n -1)(n -2)⋅ ⋅ ⋅2⋅1x 0=n! . (2) y '=2sin x cos x =sin2x , )22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(3) 1ln +='x y ,11-==''x xy , y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n)=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n xn xn . (4) y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n)=ne x +xe x =e x (n +x) . 9. 求下列函数所指定的阶的导数: (1) y =e x cos x , 求y (4) ; (2) y =xsh x , 求y (100) ; (3) y =x 2sin 2x , 求y (50) . 解 (1)令u =e x , v =cos x , 有 u '=u ''=u '''=u (4)=e x ;v '=-sin x , v ''=-cos x , v '''=sin x , v (4)=cos x , 所以 y (4)=u (4)⋅v +4u '''⋅v '+6u ''⋅v ''+4u '⋅v '''+u ⋅v (4) =e x [cos x +4(-sin x)+6(-cos x)+4sin x +cos x]=-4e x cos x .(2)令u =x , v =sh x , 则有 u '=1, u ''=0;v '=ch x , v ''=sh x , ⋅ ⋅ ⋅ , v (99)=ch x , v (100)=sh x , 所以)100()99(99100)98(98100)98(2100)99(1100)100()100( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅==100ch x +xsh x .(3)令u =x 2 , v =sin 2x , 则有 u '=2x , u ''=2, u '''=0; x x v 2sin 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π,v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x , 所以)50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅=)50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''=)2sin 2(2cos 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=)2sin 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=.习题2-41. 求由下列方程所确定的隐函数y 的导数dxdy :(1) y 2-2x y +9=0; (2) x 3+y 3-3axy =0; (3) xy =e x +y ; (4) y =1-xe y .解 (1)方程两边求导数得 2y y '-2y -2x y ' =0 , 于是 (y -x)y '=y ,xy yy -='. (2)方程两边求导数得3x 2+3y 2y '-2ay -3axy '=0,于是 (y 2-ax)y '=ay -x 2 ,axy x ay y --='22. (3)方程两边求导数得 y +xy '=e x +y (1+y '), 于是 (x -e x +y )y '=e x +y -y ,yx y x e x ye y ++--='. (4)方程两边求导数得 y '=-e y -xe y y ', 于是 (1+xe y )y '=-e y ,yy xe e y +-='1.2. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程.解 方程两边求导数得 032323131='+--y y x , 于是 3131---='y x y , 在点)42 ,42(a a 处y '=-1.所求切线方程为 )42(42a x a y --=-, 即a y x 22=+.所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0.3. 求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22dxyd :(1) x 2-y 2=1;(2) b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2; (3) y =tan(x +y); (4) y =1+xe y .解 (1)方程两边求导数得 2x -2yy '=0, y '=yx ,3322221)(y y x y y y xx y y y x y y x y -=-=-='-='=''. (2)方程两边求导数得2b 2x +2a 2yy '=0, yx a b y ⋅-='22,22222222)(y y x a b x y a b y y x y a b y ⋅--⋅-='-⋅-=''32432222222ya b y a x b y a a b -=+⋅-=.(3)方程两边求导数得y '=sec 2(x +y)⋅(1+y '),1)(cos 1)(sec 1)(sec 222-+=+-+='y x y x y x y 222211)(sin )(cos )(sin yy x y x y x --=+-+++=,52233)1(2)11(22y y y y y y y +-=--='=''. (4)方程两边求导数得y '=e y +xe y y ',ye y e xe e y y y y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''.4. 用对数求导法求下列函数的导数:(1) x xx y )1(+=;(2)55225+-=x x y ; (3)54)1()3(2+-+=x x x y ;(4)x e x x y -=1sin . 解 (1)两边取对数得ln y =xln|x|-xln|1+x|， 两边求导得xx x xx x y y+⋅-+-⋅+='11)1ln(1ln 1,于是]111[ln )1(xx x x x y x ++++='. (2)两边取对数得)2ln(251|5|ln 51ln 2+--=x x y ,两边求导得 22251515112+⋅--⋅='x x x y y, 于是]225151[25512552+⋅--=+-='x x x x x y .(3)两边取对数得)1ln(5)3ln(4)2ln(21ln +--++=x x x y ,两边求导得 1534)2(211+---+='x x x y y,。