同济大学版高等数学课后习题答案第2章
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习题2-1
1. 设物体绕定轴旋转, 在时间间隔[0, t]内转过的角度为θ, 从而转角θ是t 的函数: θ=θ(t). 如果旋转是匀速的, 那么称
t
θ
ω=为该物体旋转的角速度, 如果旋转是非匀速的, 应怎样
确定该物体在时刻t 0的角速度？
解 在时间间隔[t 0, t 0+∆t]内的平均角速度ω为 t
t t t t
∆-∆+=∆∆=)()(00θθθω,
故t 0时刻的角速度为
)()
()(lim lim lim 0000
00t t
t t t t
t t t θθθθωω'=∆-∆+=∆∆==→∆→∆→∆. 2. 当物体的温度高于周围介质的温度时, 物体就不断冷却, 若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T =T(t), 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？
解 物体在时间间隔[t 0, t 0+∆t]内, 温度的改变量为 ∆T =T(t +∆t)-T(t), 平均冷却速度为
t
t T t t T t T ∆-∆+=∆∆)()(,
故物体在时刻t 的冷却速度为
)()()(lim lim 00t T t
t T t t T t T t t '=∆-∆+=∆∆→∆→∆. 3. 设某工厂生产x 单位产品所花费的成本是f(x)元, 此
函数f(x)称为成本函数, 成本函数f(x)的导数f '(x)在经济学中称为边际成本. 试说明边际成本f '(x)的实际意义.
解 f(x +∆x)-f(x)表示当产量由x 改变到x +∆x 时成本的改变量.
x
x f x x f ∆-∆+)
()(表示当产量由x 改变到x +∆x 时单位产量
的成本. x
x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)
()(lim
)(0
表示当产量为x 时单位产量的成
本.
4. 设f(x)=10x 2, 试按定义, 求f '(-1). 解 x
x x f x f f x x ∆--∆+-=∆--∆+-=-'→∆→∆2
200
)1(10)1(10lim )1()1(lim
)1(
20)2(lim 102lim 1002
0-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x x
x x x x . 5. 证明(cos x)'=-sin x .
解 x
x
x x x x ∆-∆+='→∆cos )cos(lim )(cos 0
x
x
x x x ∆∆∆+-=→∆2sin )2sin(2lim
x x x
x x x sin ]2
2sin )
2
sin([lim 0-=∆∆∆+-=→∆. 6. 下列各题中均假定f '(x 0)存在, 按照导数定义观察下列极限, 指出A 表示什么:
(1)A x
x f x x f x =∆-∆-→∆)
()(lim 000
;
解
x
x f x x f A x ∆-∆-=→∆)
()(lim
000
)()
()(lim 0000
x f x
x f x x f x '-=∆--∆--=→∆-. (2)A x
x f x =→)(lim 0
, 其中f(0)=0, 且f '(0)存在; 解
)0()
0()0(lim )(lim
00
f x f x f x x f A x x '=-+==→→. (3)A h
h x f h x f h =--+→)
()(lim 000
. 解
h
h x f h x f A h )
()(lim
000
--+=→
h
x f h x f x f h x f h )]
()([)]()([lim
00000----+=→ h
x f h x f h
x f h x f h h )
()(lim
)()(lim 000
000----+=→→ =f '(x 0)-[-f '(x 0)]=2f '(x 0). 7. 求下列函数的导数: (1)y =x 4; (2)32x y =; (3)y =x 1. 6; (4)x
y 1=
;
(5)21x
y =;
(6)53x x y =;
(7)5
322x x x y =;
解 (1)y '=(x 4)'=4x 4-1=4x 3 .
(2)31
13232
3
2
3
232)()(
--==
'='='x x x x
y . (3)y '=(x 1. 6)'=1.6x 1. 6-1=1.6x 0. 6.
(4)23
121
21
2121)()1(-----=-='='='x x x x
y .
(5)3222)()1(---='='='x x x
y .
(6)5
111
516516
5
35
16
5
16
)()(x x x x x
y =='='='-.
(7)65
161615
3226161)()(--=='='='x x x x x x y .
8. 已知物体的运动规律为s =t 3(m). 求这物体在t =2秒(s)时的速度.
解v =(s)'=3t 2, v|t =2=12(米/秒).
9. 如果f(x)为偶函数, 且f(0)存在, 证明f(0)=0. 证明 当f(x)为偶函数时, f(-x)=f(x), 所以
)0(0
)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim
)0(000
f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→, 从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0.
10. 求曲线y =sin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率:
π
3
2=x , x =π.
解 因为y '=cos x , 所以斜率分别为 2
13
2cos 1-==πk , 1cos 2-==πk .
11. 求曲线y =cos x 上点)2
1 ,3(π处的切线方程和法线方程