数模非线性规划模型

s．t． 0x1.5, xx12
(2 0.25x2 )x2 0
800
4
二 非现性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
一般形式:
mfiX n
s.t. h gijX X 0 0
i1,2m ,..;., j1,2,..l..,
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定义：下降方向
设 f: R n R 1 ,x R n ,p R n ,p 0 ,若 存 0 ，在 使
f ( x t) p f ( x ) ,t ( 0 ,)
则称向量p是函数f (x) 在点x处的下降方向。
若f (x)在x可导，-则 f (x)就是 f (x)在x处下降最快的方向。
☺迭代缩短[a,b]的长度。
☺当[a,b]的长度小于某个预设的值，或者导数的绝 对值小于某个预设的正数，则迭代终止。
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➢假定：已经确定了单谷区间[a,b]
mi n(t) t0 min(t) 0ttmax
mi n(t)
atb
(t1) (t2)
(t1) (t2)
a
t1 t2
t
新搜索区间为[a,t2]
若 X是凸 ,f是 集 S上的凸 ,称函 M （ ） 数 P 为非线 , 简称凸规划。
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➢凸规划性质：
定理
线 性 函 数
对于非线性规(M划P),
min f（x）
s.t. g（i x）0 i1,,p
h（j x）0 j1,,q
凸函数
若gi (x)皆为Rn上的凸函,数 hj (x)皆为线性函数，
并且f是X上的凸函数， （M 则P）是凸规划。
XD，且 XX* ，都有 fX *fX ，则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X*时， fX *fX
若
，则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局
部最优解）．
定义3 对于问题(1),设 X*D,对任意的XD,都有fX *fX
则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当
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➢数值方法的基本思路：迭代
给定初始点x0
根据x0,依次迭代产生点列{xk}
{xk}有限
{xk}无限
{xk}的最后一点为最优解
{xk}收敛于最优解
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➢迭代格式
pk
xk
xk
xk+1 x k 1 x k x k
xktkpk x k 1 x k x k
称pk为第k轮搜索方向，tk为第k轮沿pk方向的步长。 产生tk和pk的不同方法，形成了不同的算法。
（1）
其中 X x 1 ,x 2 , ,x n T E n ，f ,gi,hj 是定义在 En 上的实值函
数，简记: f:E n E 1 , g i:E n E 1 ,h j:E n E 1
其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
5
28
➢例：求解 min(t)t32t1 t0
其中单[谷 0,3]区 精 , 间 0度 .5
[a,b]称为 (t)的单谷区间。
显然此 t为时 (t)在 [a,b]上唯一的极小点。
☺问题：凸函数是不是单谷函数？严格凸函数是不 是单谷函数？单谷函数是不是凸函数？
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➢搜索法求解：
mi n(t)或 t0
min(t)
0ttmax
基本过程：
☺给出[a,b],使得t*在[a,b]中。[a,b]称为搜索区间。
定理 凸规划的任一局部最优解都是它的整体最优解。
☺凸规划是以后重点讨论的一类非线性规划
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第三节 一维搜索方法
➢什么叫一维搜索问题？
一维搜索问题指目标函数为单变量的非线性规划问题。 又称线性搜索问题。其模型为：
mi n(t) 或 min(t)t为实数
t0
0ttmax
一般一维搜索问题 有效一维搜索问题
X X* 时，若fX *fX ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值
点（严格全局最优解）．
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非现性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
一般形式:
mfiX n
s.t. h gijX X 0 0
i1,2m ,..;., j1,2,..l..,
ba
t1 t2
b
t
新搜索区间为[t1,b]
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➢区间缩小比例的确定：
(t1) (t2)
(t1)
(t2)
a
t1 t2
ba
t1 t2
b
区间缩短比例为(t2-a)/(b-a) 缩短比例 满足：
缩短比例为(b-t1)/(b-a)
☺每次插入搜索点使得两个区间[a,t2]和[t1,b]相等； ☺每次迭代都以相等的比例缩小区间。
问题1 容器设计问题 问题提出 某公司生产贮藏用容器，订货合同要求该公司制造 一种敞口的长方体容器，容积为12立方米，该容器的底为正方形， 容器总重量不超过68公斤。已知用作容器四壁的材料为 每平方米10元，重3公斤；用作容器底的材料每平方米20元， 重2公斤。试问制造该容器所需的最小费用是多少？
2
f(x1) （ f(x1), f(x1)） T是函x1 数 处在 的点 梯 x1 xn
（2）f是S上的严格凸函数条 的件 充是 要 f ( x 1 ) T ( x 2 x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 1 ) x 1 , x 2 S , x 1 x 2
n=1时几何意义：可微函数是凸的等价于切线不在函数图 像上方。
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X(En)称为可行解（或可
行点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为
D D． 即X |g i X 0 , h j X 0 , X E n
minfX
XD
问题(1)可简记
定为义2 对于．问题(1)，设 X*D，若存在 0 ,使得对一切
(2 )若 f1 ,f2 是 S 上的 ,f1 凸 f2 是 S 上 函的 数凸 定理: 设 S R n 是非 ,f是 空凸 ,c 凸 R 1 ,函 则 集数 集
H S ( f , c ) x S | f ( x ) c 是凸集。
函数f在集合S上关于c的水平集
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定理 设 SRn是非空开 f： S 凸 R1可 集,则 微 ， （1）f是S上的凸函数的充条 分件 必是 要 f ( x 1 ) T ( x 2 x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 1 ) x 1 , x 2 S
➢最优解为（1/2，1/2） 最优值为1/2
1/2 1/2
➢问题：(1/2,1/2)是整体的还是局部的？是严格的还是非 严格的？
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2、非线性规划方法概述
➢微分学方法的局限性：
实际的问题中，函数可能是不连续或者不可微的。 需要解复杂的方程组，而方程组到目前仍没有有 效的算法。 实际的问题可能含有不等式约束，微分学方法不 易处理。
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X(En)称为可行解（或可
行点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为
D D． 即X |g i X 0 , h j X 0 , X E n
minfX
XD
问题(1)可简记
定为义2 对于．问题(1)，设 X*D，若存在 0 ,使得对一切
数学模型电子教案
重庆邮电大学
数理学院
沈世云
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第四章 非线性规划
一、非线性规划引例 线性规划和整数规划它们的目标函数和约束条件都是 自变量的线性函数，在实际中还有大量的问题， 其目标函数或约束条件很难用线性函数来表示。 如果目标函数或约束条件中含有非线性函数， 则称这种规划问题为非线性规划问题。先看两个实例。
（1）
其中 X x 1 ,x 2 , ,x n T E n ，f ,gi,hj 是定义在 En 上的实值函
数，简记: f:E n E 1 , g i:E n E 1 ,h j:E n E 1
其它情况: 求目标函数的最大值或约束条件为小于等于零 的情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
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XD，且 XX* ，都有 fX *fX ，则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地当 X X*时， fX *fX
若
，则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局
部最优解）．
定义3 对于问题(1),设 X*D,对任意的XD,都有fX *fX
则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地当
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定理 设SRn是非空开,凸 f:S集 R1二阶连续,可 则f是S上的凸函数的充是要条件 2f(x)在S上是半正定的。 当2f(x)在S上是正定矩阵 f是时 S上，的严格 凸函数（,此 逆时 命题不成立）
2 f (x)称为Hess矩 e 阵，
2 f (x)
2
f
(x)
x1x1 ...
...
2 f (x)
缩短 比 51 例 0.618
2
0.618法
前一页 后一页 退27出
➢0.618法解题步骤：
确定[a,b],计算探索点 t1=a+0.382(b-a) t2=a+0.618(b-a)
(t1) (t2)
是
否
否 以[t1,b]为新的搜索区间
t2a
是
bt1 是
否
停止，输出t2
停止，输出t1 以[a,t2]为新的搜索区间
x1xn
...
2 f (x)
xnx1
...
2 f (x)
xnxn
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2、凸规划及其性质：
➢凸规划定义：
minf（x）
s.t. g（ i x） 0 i1,,p
h（ j x） 0 j1,,q
X x R nh g （ （ ij x x ） ） 0 0ij 1 1 , , ,,p q
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定义
设 X R n ,x X ,p R n ,p 0 ,若t 存 0 ，在 使
xtpX
则称向量p是点x处 关于X的可行方向。
解非线性规划问题，关键在于 找到某个方向，使得在此方向 上，目标函数得到下降，同时 还是可行方向。 这样的方向称为可行下降方向。
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第二节 凸函数和凸规划
1、凸函数及其性质： 定义
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➢一维搜索问题的算法分类： ☺精确一维搜索（最优一维搜索） ☺非精确一维搜索（可接受一维搜索）
➢本节内容： ☺两种精确一维搜索方法：0.618法，Newton法。 ☺两种非精确一维搜索方法：Goldstein法,Armijo法。
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1、0.618法（近似黄金分割法） ➢单谷函数
如果 t[a,b]使 , 得函 (t)在 [数 a,t]上严格 , 递减 且[t在 ,b]上严格 ,称 递 (t)为 [a 增 ,b]上的单谷函
模型建立 设该容器的底边长和高分别为 x1, x2
则问题的数学模型为
m f(X i)n 4x 1 x 0 2 2x 1 2 0
1x212xx12x2122x12 68 x1, x2 0
3
问题 2 营业计划的制定 问题提出 某公司经营两种设备，第一种设备每件 售价 30 元，第二种设备每件售价 450 元。据统计， 售出一件第一种设备所需要的营业时间平均是 0.5 小
时，第二种设备是 (2 0.25x2 ) 小时，其中 x2 是第二
种设备的售出数量。已知该公司在这段时间内的总营 业时间为 800 小时。试决定使其营业额最大的营业计 划。
模型建立 设该公司计划经营第一种设备 x1件，第 二种设备 x2 件。其数学模型为
max f ( X ) 30 x1 450 x2
X X* 时，若fX *fX ，则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值
点（严格全局最优解）．
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三. 非线性规划的图解法
用图解法求解下面的 线非 性规划问题：
min
f (x1，x2)x12x22
s.t.
1-x1x2 0
x110
x210
9
➢三角形表示的是可行域。
➢同心圆表示的是目标函数的等值 线。
则f称 是 S上的严格凸 f在Βιβλιοθήκη BaiduS 函 上数 是， 严或 格
若 f是 S 上 (严 的 )凸 格函 f是 数 S 上 (严 ， 的 )格 称 凹,函 或 f在 S 上 数 (严 是 )凹 格的。
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➢关于凸函数的一些结论
定理: 设SRn是非空凸集
(1 )若 f是 S 上的 凸 0 ， 函 f是 则 S 数 上， 的凸
设 S R n是非空 f:S 凸 R 1,若 集 对 （ ， 0 ， 1 ）
fX 1 1 X 2 fX 1 1 fX 2
X， 1 S X2 S
则f称 是 S上的凸函 f在 S数 上， 是或 凸的。
若 f ( x 1 ( 1 ) x 2 ) f ( x 1 ) ( 1 ) f ( x 2 ) , x 1 , x 2 S