高中数学北师大版 必修知识点

数学必修1知识点

1.集合的基本运算

；；

2.集合的包含关系:；

；

3.识记重要结论： A B A =⇔A B ⊆; A B A A B =⇔⊇; ()U U U A B C C A C B =; ()U U U A B C C A C B = 4．对常用集合的元素的认识

①{}2340A x x x =+-=中的元素是方程2340x x +-=的解，A 即方程的解集； ②}06|{<-=x x B 中的元素是不等式06<-x 的解，B 即不等式的解集；

③{}221,05C y y x x x ==+-≤≤中的元素是函数221,05y x x x =+-≤≤的函数值， C 即函数的值域；

④(){}

22log 21D x y x x ==+-中的元素是函数()22log 21y x x =+-的自变量，

D 即函数的定义域；

⑤(){},23M x y y x ==-中的元素可看成是关于,x y 的方程的解集，也可看成以方程23y x =-的解为坐标的点，M 为点的集合，是一条直线。

5. 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 非空的真子集有2n –2个.

6.方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21

<, 或0)(2=k f 且221k b k k <-<+. 7.闭区间上的二次函数的最值问题：

二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的 最值只能在a

b

x 2-

=处及区间的两端点处取得。 8.()()max a f x a f x ≥⇔≥⎡⎤⎣⎦；()(min a f x a f x ≤⇔≤⎡⎤⎣ 9. 由不等导相等的有效方法：若a b ≥且a b ≤，则a b =.

函 数

一、函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．

注：1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；（3)对数式对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5指数为零底不可以等于零， 2.相同函数的判断：①定义域一致 ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） 3.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法

1方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． 2、函数零点的求法：

○

1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； 二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题

○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

3、二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．

（1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个零点．

（3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数 无零点．

1.函数的单调性 （1）设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔<--上是减函数. （2）单调性性质：

①增函数+增函数=增函数； ②减函数+减函数=减函数； ③增函数-减函数=增函数； ④减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 2. 复合函数单调性的判断方法：

⑴如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数（增函数）,则在公共定义域内, 和函数)()(x g x f +也是减函数（增函数）; ⑵

3．函数的奇偶性（注：奇偶函数大前提：定义域必须关于原点对称）

⑴若()f x 是偶函数，则()()()f x f x f x =-=；偶函数的图象关于y 轴对称；

偶函数在对称区间上的单调性相反。 ⑵如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =；奇函数的图象关于原点对称； 奇函数在对称区间上的单调性相同。

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或者()()

()()10f x f x f x -=±≠ ⑷奇偶函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于

y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． （5）两个奇函数之和（差）为奇函数；之积（商）为偶函数。 （6）两个偶函数之和（差）为偶函数；之积（商）为偶函数。 （7）一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。

（8）两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

4.函数()y f x =的图象的对称性：函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.

5.两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.

的单调性。的单调性，从而得出与的单调性，必须考虑对于复合函数)]([)()()]([x g f y x g u u f y x g f y ====增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数

减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 ()y f u =()u g x =()y f g x =⎡⎤⎣⎦

小结：同增异减。 研究函数的单调性，定义域优先考