2019上第1次课数学建模概述
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2020/4/22
第二节 为什么要学？
• 1、数学建模可对研究的对象提供分析、预报、 决策或控制、优化等定量结果。
• 例：美国国家导弹防御系统。 • 数据处理。 • 确定弹道导弹的轨道， • 再确定拦截导弹的轨道， • 使两颗导弹的轨道曲线在空中相交，且交角越小越好
。 • 这种拦截原理要求精确测算、控制和制导，其中大部
• 为此，英军请来一些数学家专门研究这一问题。结果 发现，潜艇从发现英军飞机开始下潜到深水炸弹爆炸 为止，只下潜了7.6米，而英军飞机的深水炸弹却已 下沉到21米处爆炸，从而对潜艇的毁伤效果低下。
• 经过科学论证，英军果断调整了深水炸弹的引信，爆 炸深度由21米调整到9.1米，结果轰炸效果提高了4倍 ，德军还以为英军有了什么新式武器。
• 例如调查的可靠性问题、抽样方法问题、误差的问题 、人口分布的问题、赌博的分点问题等各种具有不确 定性的随机问题；科学方法论中科学实验数据的处理 问题；观察误差的分析问题等。
• 由于这三方面都涉及到人们直接的功利，统计数学相 应就产生了。
2020/4/22
二 数学是一切科学的得力助手
• 例3 非欧几何帮助爱因斯坦建立相对论。
。 • 土木工程师说:数学使他能高效率地建造桥梁。 • 数2学020/4/家22 说:数学的有用在数学内部，一部分数学的有用
一 数学应用促进数学发展
• 几何学 ，微积分，统计学，运筹学等； • 例2 统计数学的建立。 • 统计思想产生于以下三方面的实践：
• ①人口调查；②随机游戏（如赌博）；③科学方法论 。
• 据说爱因斯坦用了几年时间构思出一个理论框架,最基本的思想是把引力看 作空间的曲率,但是令他十分苦恼的是他无法表达清楚他的思想, 数学家格 罗斯曼建议他去学一下非欧几里德几何学。爱因斯坦找到了表达他的理论 的语言,建立起了现代物理学基本理论:相对论和广义相对论。
• 广义相对论不像当时的非欧几何那样难以触摸，它是对大范围客观世界的 描述，可以用试验和观察去检验。水星的“运动”和光线在大质量物体附 近的“弯曲”两个事实，证明了广义相对论是正确的。
分是数学问题，涉及到大量的数学模型。
2020/4/22
生活实例：
在一次乘船游览中，母亲、妻子和儿子同 时落水，应该先救谁？ 问题抽象: 将母亲、妻子和儿子抽象地看成三个人， 提炼问题的结果：救人。 寻求答案：先救谁？
解决办法：救谁最“方便”就先救
谁如。何界定“方便”？ 距离
一个相对理性的答案：救离自己最近的人
2020/4/22
第一节 数学应用认知
• 老学究说:数学的有用在于教给如何精确地思考和推理 。
• 建筑师或雕塑家说:数学的有用在于导致对视觉美的理 解和创造。
• 哲学家说:数学的有用在于使人们能够回避日常的现实 生活。
• 数学教师说:数学的有用在于为他提供面包和黄油。 • 出版商说:数学的有用在于使他能卖出很多教科书。 • 天文学家和物理学家说:数学有用在于它是科学的语言
入只有12150元。因此假设160元最高是合理 的。 • 线2020性/4/22 以及每间客房定价一样也是合理的。
数学建模与应用题的差异
• ①问题的条件是否充分； • ②问题是否需要假设； • ③问题的讨论与验证不同； • ④问题解决表达形式不同。
2020/4/22
实例：牙膏出厂价的定价问题(P49)
距离成奇数比1:3:5:7…，一个小球在上面滚 动，看通过连续的钉子所需时间是否相同。 • 实验结果表明：通过每个相同时间时降落的 距离线性递增，由此可知距离和时间是平方 关系。
2020/4/22
归纳：数学建模含义
• 据具体问题，在一定的假设下，找出 这个问题的数学模型，求出模型的解 ，并对它进行验证的全过程。
2020/4/22
二、数学建模
——建立数学模型的全过程
• 案例：伽利略研究自由落体过程 • 假设：不考虑空气阻力。 • 自由落体运动与什么参数有关呢？
2020/4/22
研究1：自由落体运动与物体 轻重（或体积）有关吗？
• 1.假设自由落体运动与物体的轻重有关， • 即“重的物体比轻的下落快”（亚里士多德） • 现有物体A和B，不妨设A比B重，则A比B下落快 • 2.把A与B拴在一起，记为物体C, • 由C比A重，知C比A下落快（1） • 又A把C加快,而B把C拖慢， • 故C比A下落慢却比B下落快（2） • （1）（2）矛盾。 • 3.由此证明了“自由落体运动与物体的轻重无关”。 • 用反证法就解决了，需要在比萨斜塔上做实验吗？
• [求解模型]
• 当x=25时，y取最大值。 • 即最大收入对应的住房定价为135元， • 相应住房率为0.55+0.005×25=67.5%， • 最大收入为150×135×67.5%=13668.75(元)。
2020/4/22
[讨论与验证]
• 1．怎么定价？ • 可验证此收入在已知各种定价中收入最大。 • 若为管理方便，定价140元（天·间）也可以， • 因为此时它与最高总收入之差仅为18.75元。 • 另外，138元、139元也较符合习惯。 • 2．假设合理吗？ • 若定价180元(天·间)，住房率为45%,其相应收
• 建模是“迭代”的过程 ： 准备→简化假设→建立模型→求解→ 分析→检验→应用
2020/4/22
四、数学建模与数学应用题的差异
• 客房的定价问题：
• 一星级旅馆有150个客房。经过一段时间的 经营，旅馆经理得到了一些数据：
• 每间客房定价为160元，住房率为55%； • 每间客房定价为140元，住房率为64%； • 每间客房定价为120元，住房率为75%； • 每间客房定价为100元，住房率为86%。 • 欲使每天收入最高，每间住房应如何定价？
• 数学的力量！！ 2020/4/22
研究2：物体下落的距离h 随下落时间t的函数关系
收集数据 函数模拟 h=gt2/2
2020/4/22
研究3:模型检验: h=gt2/2
• 利用h=gt2/2算出：自由落体从开始下落起， 连续相等时间间隔内下落的距离之比为1：3 ：5：7…。
• 用实验验证(伽利略): • 设计一个钉有钉子的光滑斜面，钉子之间的
定性关系：跳板越宽、越厚，承受的重量就 越大；跳板越长，承受的重量则相反越小。 •问题：建立跳板的承受重量P与跳板的长d、 宽w和厚t之间的函数关系呢？
2020/4/22
问题解决思路：固定长d、宽w和厚t 中的其中两个变 量，考察另一个变量与承受重量P之间的关系。 1固定d=10，t=2 2固定d=10，w=3。 3固定w=3，t=2。
• (1)模型准备.
• 在日常生活中我们知道，在商店买一种商品时，买大包 装比小包装合算，这是由出厂价决定的。
• 例如，某工厂生产某牙膏60g装的出厂价为1.15元/支。 150g装的牙膏出厂价为2.50元/支，显然二者单位质量 的价格比为1.15:１，现在该厂据市场需求要生产180g 装的这种牙膏，请你确定这种牙膏的合理出厂价格。
公式、图形或算法。
2020/4/22
鸡兔同笼问题
• 今鸡兔同笼，上有35头，下有94足 ，问鸡兔各几何？《孙子算经》 A
• 答：鸡 ，兔 。
每只 鸡2足 F
• 注：假定35只全是兔子，应该有
鸡数Байду номын сангаас
140只脚。可实际只有94只脚，多
算了46只脚，为什么呢？
E
总头 数6
• 因为把鸡当成兔子算了，到底多少
，则y1=k1·w， • 包装成本y2与牙膏壳的表面积Sw的比例系
数为k2，则y2=k2·Sw。 • 于是y=y1+y2=k1·w+k2·Sw即为wg装的牙膏
出厂价格， • 显然y是一个与w有关的变量。 • 本题即求解当w=180时y的值。
2020/4/22
(4)模型求解
S1
(v1
2
)3
(
w1
2
)3
2020/4/22
四 应公正地看待“数学应用”
• 数学在客观上具有社会的重要性,在主观上又有不可 见性。
• 数学的应用常常是难以预料的。 • 例9 古希腊的素数理论在密码学中的应用 • 例10阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论在开普勒三定律中
的应用 • 在公元前二百多年，希腊数学家阿波罗尼奥斯就已
经有关于圆锥曲线的大量研究。但是，圆锥曲线真 正有价值的应用，是17世纪发现的开普勒三定律， 用椭圆来描述行星运动的规律，这开创了人类研究 太阳系行星运动规律的新纪元。
• 例4 群论帮助温伯格建立统一守恒定律。
• 诺贝尔物理奖获得者温伯格等物理学家读到群论时,吃惊地发现 这正是他们所需要用于统一能量守恒定律 、动量宁恒定律、自 旋守恒定律、电荷守恒定律……的工具(语言).
• 这些定律反映了我们周围世界的优美的对称性.群论也就成为了 认识晶体结构的基本方法，成为研究量子论的基本工具。
2020/4/22
模型假设
• 1、设旅馆每间客房定价相等； • 2、据经理提供的数据，设随着房价的下
降，住房率呈线性增长，每20元10%； • 3、不妨设每间客房的最高定价为160元
。
2020/4/22
• [建立模型]：
• 设y为一天总收入，与160元相比每间客房降了x元。 • 由假设，房价每降低1元，住房率增加0.5%。 • 因此y=150(160-x)(0.55+0.005x)， • 由于0.55+0.005x≤1,可知0≤x≤90. • 问题：当0≤x≤90时，y的最大值点是多少？
合成：P=kwt2/d
承受重量P与 宽w成正比
2020/4/22
承受重量P与
承受重量P与
厚t的平方成正比 长d成反比
第三节 数学建模概述
•一、数学模型 •二、数学建模 •三、数学模型方法 •四、数学建模与数学应用题
2020/4/22
一、什么是数学模型
• 原型： • ——实际对象。 • 模型： • ——原型的替代物。 • 数学模型： • ——描述现实对象数量规律的数学
2020/4/22
第一节 为什么要学？2
• 2、训练人——促进思维能力及问题解决 能力的培养
• “数学最大的应用是教育”（谷超豪院士 ）
• 数学建模回复了数学研究的本来面目： • 收集数据、建立模型、求取答案、解释验
证。
2020/4/22
案例：跳板承受力问题
•问题背景：建筑工地为施工需要，在脚手架间 搭上跳板。此时需考虑跳板承受的最大重量。
2020/4/22
三 数学应用是推动社会发展的加速器
• 例8 精计算使深水炸弹弱变强。
• 二战期间，英美运输船队在大西洋航行时经常受到德 国潜艇的袭击。当时，英美两国的海军实力有限，一 时间，德军的潜艇战搞得盟军焦头烂额。英国空军经 常派出轰炸机利用深水炸弹对德军潜艇实施打击，但 轰炸效果总不理想。
• (2)模型假设. • (yi2)决牙定膏；的出厂价格y只由生产牙膏的成本y1和包装成本 • (ii)假设生产成本与牙膏(不包括牙膏皮)的质量成正比； • (iii)假设生产成本与牙膏壳的表面积成正比； • (iv)牙膏壳里的牙膏都是满装。
2020/4/22
实例：牙膏出厂价的定价问题
• (3)模型建立. • 设生产成本y1与牙膏质量w的比例系数为k1
S2 v2
w2
2.50k115 0S150(15)03 2 1.15k160 S60 60
yk1180S180(18)032 1.15k160 S60 60
2020/4/22
实例：牙膏出厂价的定价问题
• (5)模型分析 • （i）牙膏的实际出厂价格除了生产牙膏成本和包装成
本外，还应包括外包装盒等其他部分的成本，此模型只 考虑这两部分主要成本，与实际情况有一定的差距。 • （ii）此模型假设是一种理想情况，是为了简化模型便 于求解，它们间的实际关系还应通过具体调查分析得到 。 • （iii）在此模型合理成分的基础上，还可以考虑运输成 本及销售商品的利润等因素，进一步改进模型，从而确 定这种牙膏的一个合理市场售价。 • （6）模型检验 • 将计算结果2.93元与180g装的实际出厂价格进行比较 ， • 在一定误差范围内检验此模型是否合乎实际， • 若合乎，应用此结果，还可以利用此模型确定250g装 ，230200/4/202 g装等这种牙膏的出厂价。
鸡算成兔？
• 术：鸡数=(头数×4-足数)÷(4-2)
• 数学模型： • 算法（凑齐；取半）;
B
每只 兔4足
• 图示;
• 方程
2020/4/22
D 兔数 C
总结：数学模型的含义
• 一般地，数学模型是指： • 对于现实世界的一个特定对象， • 为了一个特定目的， • 根据特有的内在规律， • 做出一些必要的简化假设， • 运用适当的数学工具， • 得到的一个数学结构。
第二节 为什么要学？
• 1、数学建模可对研究的对象提供分析、预报、 决策或控制、优化等定量结果。
• 例：美国国家导弹防御系统。 • 数据处理。 • 确定弹道导弹的轨道， • 再确定拦截导弹的轨道， • 使两颗导弹的轨道曲线在空中相交，且交角越小越好
。 • 这种拦截原理要求精确测算、控制和制导，其中大部
• 为此，英军请来一些数学家专门研究这一问题。结果 发现，潜艇从发现英军飞机开始下潜到深水炸弹爆炸 为止，只下潜了7.6米，而英军飞机的深水炸弹却已 下沉到21米处爆炸，从而对潜艇的毁伤效果低下。
• 经过科学论证，英军果断调整了深水炸弹的引信，爆 炸深度由21米调整到9.1米，结果轰炸效果提高了4倍 ，德军还以为英军有了什么新式武器。
• 例如调查的可靠性问题、抽样方法问题、误差的问题 、人口分布的问题、赌博的分点问题等各种具有不确 定性的随机问题；科学方法论中科学实验数据的处理 问题；观察误差的分析问题等。
• 由于这三方面都涉及到人们直接的功利，统计数学相 应就产生了。
2020/4/22
二 数学是一切科学的得力助手
• 例3 非欧几何帮助爱因斯坦建立相对论。
。 • 土木工程师说:数学使他能高效率地建造桥梁。 • 数2学020/4/家22 说:数学的有用在数学内部，一部分数学的有用
一 数学应用促进数学发展
• 几何学 ，微积分，统计学，运筹学等； • 例2 统计数学的建立。 • 统计思想产生于以下三方面的实践：
• ①人口调查；②随机游戏（如赌博）；③科学方法论 。
• 据说爱因斯坦用了几年时间构思出一个理论框架,最基本的思想是把引力看 作空间的曲率,但是令他十分苦恼的是他无法表达清楚他的思想, 数学家格 罗斯曼建议他去学一下非欧几里德几何学。爱因斯坦找到了表达他的理论 的语言,建立起了现代物理学基本理论:相对论和广义相对论。
• 广义相对论不像当时的非欧几何那样难以触摸，它是对大范围客观世界的 描述，可以用试验和观察去检验。水星的“运动”和光线在大质量物体附 近的“弯曲”两个事实，证明了广义相对论是正确的。
分是数学问题，涉及到大量的数学模型。
2020/4/22
生活实例：
在一次乘船游览中，母亲、妻子和儿子同 时落水，应该先救谁？ 问题抽象: 将母亲、妻子和儿子抽象地看成三个人， 提炼问题的结果：救人。 寻求答案：先救谁？
解决办法：救谁最“方便”就先救
谁如。何界定“方便”？ 距离
一个相对理性的答案：救离自己最近的人
2020/4/22
第一节 数学应用认知
• 老学究说:数学的有用在于教给如何精确地思考和推理 。
• 建筑师或雕塑家说:数学的有用在于导致对视觉美的理 解和创造。
• 哲学家说:数学的有用在于使人们能够回避日常的现实 生活。
• 数学教师说:数学的有用在于为他提供面包和黄油。 • 出版商说:数学的有用在于使他能卖出很多教科书。 • 天文学家和物理学家说:数学有用在于它是科学的语言
入只有12150元。因此假设160元最高是合理 的。 • 线2020性/4/22 以及每间客房定价一样也是合理的。
数学建模与应用题的差异
• ①问题的条件是否充分； • ②问题是否需要假设； • ③问题的讨论与验证不同； • ④问题解决表达形式不同。
2020/4/22
实例：牙膏出厂价的定价问题(P49)
距离成奇数比1:3:5:7…，一个小球在上面滚 动，看通过连续的钉子所需时间是否相同。 • 实验结果表明：通过每个相同时间时降落的 距离线性递增，由此可知距离和时间是平方 关系。
2020/4/22
归纳：数学建模含义
• 据具体问题，在一定的假设下，找出 这个问题的数学模型，求出模型的解 ，并对它进行验证的全过程。
2020/4/22
二、数学建模
——建立数学模型的全过程
• 案例：伽利略研究自由落体过程 • 假设：不考虑空气阻力。 • 自由落体运动与什么参数有关呢？
2020/4/22
研究1：自由落体运动与物体 轻重（或体积）有关吗？
• 1.假设自由落体运动与物体的轻重有关， • 即“重的物体比轻的下落快”（亚里士多德） • 现有物体A和B，不妨设A比B重，则A比B下落快 • 2.把A与B拴在一起，记为物体C, • 由C比A重，知C比A下落快（1） • 又A把C加快,而B把C拖慢， • 故C比A下落慢却比B下落快（2） • （1）（2）矛盾。 • 3.由此证明了“自由落体运动与物体的轻重无关”。 • 用反证法就解决了，需要在比萨斜塔上做实验吗？
• [求解模型]
• 当x=25时，y取最大值。 • 即最大收入对应的住房定价为135元， • 相应住房率为0.55+0.005×25=67.5%， • 最大收入为150×135×67.5%=13668.75(元)。
2020/4/22
[讨论与验证]
• 1．怎么定价？ • 可验证此收入在已知各种定价中收入最大。 • 若为管理方便，定价140元（天·间）也可以， • 因为此时它与最高总收入之差仅为18.75元。 • 另外，138元、139元也较符合习惯。 • 2．假设合理吗？ • 若定价180元(天·间)，住房率为45%,其相应收
• 建模是“迭代”的过程 ： 准备→简化假设→建立模型→求解→ 分析→检验→应用
2020/4/22
四、数学建模与数学应用题的差异
• 客房的定价问题：
• 一星级旅馆有150个客房。经过一段时间的 经营，旅馆经理得到了一些数据：
• 每间客房定价为160元，住房率为55%； • 每间客房定价为140元，住房率为64%； • 每间客房定价为120元，住房率为75%； • 每间客房定价为100元，住房率为86%。 • 欲使每天收入最高，每间住房应如何定价？
• 数学的力量！！ 2020/4/22
研究2：物体下落的距离h 随下落时间t的函数关系
收集数据 函数模拟 h=gt2/2
2020/4/22
研究3:模型检验: h=gt2/2
• 利用h=gt2/2算出：自由落体从开始下落起， 连续相等时间间隔内下落的距离之比为1：3 ：5：7…。
• 用实验验证(伽利略): • 设计一个钉有钉子的光滑斜面，钉子之间的
定性关系：跳板越宽、越厚，承受的重量就 越大；跳板越长，承受的重量则相反越小。 •问题：建立跳板的承受重量P与跳板的长d、 宽w和厚t之间的函数关系呢？
2020/4/22
问题解决思路：固定长d、宽w和厚t 中的其中两个变 量，考察另一个变量与承受重量P之间的关系。 1固定d=10，t=2 2固定d=10，w=3。 3固定w=3，t=2。
• (1)模型准备.
• 在日常生活中我们知道，在商店买一种商品时，买大包 装比小包装合算，这是由出厂价决定的。
• 例如，某工厂生产某牙膏60g装的出厂价为1.15元/支。 150g装的牙膏出厂价为2.50元/支，显然二者单位质量 的价格比为1.15:１，现在该厂据市场需求要生产180g 装的这种牙膏，请你确定这种牙膏的合理出厂价格。
公式、图形或算法。
2020/4/22
鸡兔同笼问题
• 今鸡兔同笼，上有35头，下有94足 ，问鸡兔各几何？《孙子算经》 A
• 答：鸡 ，兔 。
每只 鸡2足 F
• 注：假定35只全是兔子，应该有
鸡数Байду номын сангаас
140只脚。可实际只有94只脚，多
算了46只脚，为什么呢？
E
总头 数6
• 因为把鸡当成兔子算了，到底多少
，则y1=k1·w， • 包装成本y2与牙膏壳的表面积Sw的比例系
数为k2，则y2=k2·Sw。 • 于是y=y1+y2=k1·w+k2·Sw即为wg装的牙膏
出厂价格， • 显然y是一个与w有关的变量。 • 本题即求解当w=180时y的值。
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(4)模型求解
S1
(v1
2
)3
(
w1
2
)3
2020/4/22
四 应公正地看待“数学应用”
• 数学在客观上具有社会的重要性,在主观上又有不可 见性。
• 数学的应用常常是难以预料的。 • 例9 古希腊的素数理论在密码学中的应用 • 例10阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论在开普勒三定律中
的应用 • 在公元前二百多年，希腊数学家阿波罗尼奥斯就已
经有关于圆锥曲线的大量研究。但是，圆锥曲线真 正有价值的应用，是17世纪发现的开普勒三定律， 用椭圆来描述行星运动的规律，这开创了人类研究 太阳系行星运动规律的新纪元。
• 例4 群论帮助温伯格建立统一守恒定律。
• 诺贝尔物理奖获得者温伯格等物理学家读到群论时,吃惊地发现 这正是他们所需要用于统一能量守恒定律 、动量宁恒定律、自 旋守恒定律、电荷守恒定律……的工具(语言).
• 这些定律反映了我们周围世界的优美的对称性.群论也就成为了 认识晶体结构的基本方法，成为研究量子论的基本工具。
2020/4/22
模型假设
• 1、设旅馆每间客房定价相等； • 2、据经理提供的数据，设随着房价的下
降，住房率呈线性增长，每20元10%； • 3、不妨设每间客房的最高定价为160元
。
2020/4/22
• [建立模型]：
• 设y为一天总收入，与160元相比每间客房降了x元。 • 由假设，房价每降低1元，住房率增加0.5%。 • 因此y=150(160-x)(0.55+0.005x)， • 由于0.55+0.005x≤1,可知0≤x≤90. • 问题：当0≤x≤90时，y的最大值点是多少？
合成：P=kwt2/d
承受重量P与 宽w成正比
2020/4/22
承受重量P与
承受重量P与
厚t的平方成正比 长d成反比
第三节 数学建模概述
•一、数学模型 •二、数学建模 •三、数学模型方法 •四、数学建模与数学应用题
2020/4/22
一、什么是数学模型
• 原型： • ——实际对象。 • 模型： • ——原型的替代物。 • 数学模型： • ——描述现实对象数量规律的数学
2020/4/22
第一节 为什么要学？2
• 2、训练人——促进思维能力及问题解决 能力的培养
• “数学最大的应用是教育”（谷超豪院士 ）
• 数学建模回复了数学研究的本来面目： • 收集数据、建立模型、求取答案、解释验
证。
2020/4/22
案例：跳板承受力问题
•问题背景：建筑工地为施工需要，在脚手架间 搭上跳板。此时需考虑跳板承受的最大重量。
2020/4/22
三 数学应用是推动社会发展的加速器
• 例8 精计算使深水炸弹弱变强。
• 二战期间，英美运输船队在大西洋航行时经常受到德 国潜艇的袭击。当时，英美两国的海军实力有限，一 时间，德军的潜艇战搞得盟军焦头烂额。英国空军经 常派出轰炸机利用深水炸弹对德军潜艇实施打击，但 轰炸效果总不理想。
• (2)模型假设. • (yi2)决牙定膏；的出厂价格y只由生产牙膏的成本y1和包装成本 • (ii)假设生产成本与牙膏(不包括牙膏皮)的质量成正比； • (iii)假设生产成本与牙膏壳的表面积成正比； • (iv)牙膏壳里的牙膏都是满装。
2020/4/22
实例：牙膏出厂价的定价问题
• (3)模型建立. • 设生产成本y1与牙膏质量w的比例系数为k1
S2 v2
w2
2.50k115 0S150(15)03 2 1.15k160 S60 60
yk1180S180(18)032 1.15k160 S60 60
2020/4/22
实例：牙膏出厂价的定价问题
• (5)模型分析 • （i）牙膏的实际出厂价格除了生产牙膏成本和包装成
本外，还应包括外包装盒等其他部分的成本，此模型只 考虑这两部分主要成本，与实际情况有一定的差距。 • （ii）此模型假设是一种理想情况，是为了简化模型便 于求解，它们间的实际关系还应通过具体调查分析得到 。 • （iii）在此模型合理成分的基础上，还可以考虑运输成 本及销售商品的利润等因素，进一步改进模型，从而确 定这种牙膏的一个合理市场售价。 • （6）模型检验 • 将计算结果2.93元与180g装的实际出厂价格进行比较 ， • 在一定误差范围内检验此模型是否合乎实际， • 若合乎，应用此结果，还可以利用此模型确定250g装 ，230200/4/202 g装等这种牙膏的出厂价。
鸡算成兔？
• 术：鸡数=(头数×4-足数)÷(4-2)
• 数学模型： • 算法（凑齐；取半）;
B
每只 兔4足
• 图示;
• 方程
2020/4/22
D 兔数 C
总结：数学模型的含义
• 一般地，数学模型是指： • 对于现实世界的一个特定对象， • 为了一个特定目的， • 根据特有的内在规律， • 做出一些必要的简化假设， • 运用适当的数学工具， • 得到的一个数学结构。