高考数学(文通用)一轮复习课件：专题讲座四立体几何在高考中的常见题型与求解策略

专题讲座四立体几何在高考中的常见题型与求解策略

专题讲座四立体几何在高考中的常见题型与求解策略

考情概述通过近三年的高考命题可以发现，高考对本部分内容的命题主要集中在空间线面平行关系、垂直关系的证

明以及几何体体积的计算等问题，考题设置通常是先证明后计算，题型有折叠问题和探索性问题，主要考查考生的空间想象能力和推理论证能力以及语言表达能力，难度中等.

如图，四边形为菱形，G 为4C 与BD 的交点，BE 丄 平面

ABCD.

⑴证明：平面AEC 丄平面BED ；

(2)若ZABC=120。，AE 丄EC,三棱锥耳ACD 的体积为半,

求该三棱锥的侧面积.

厂专题探究▼突破热点+

专题一 空间位置关系的证明和体积的计算

團例1 (2015•高考全国卷I)

热点透析轻巧夺冠

［解］⑴证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC丄BD 因为BE丄平面ABCD,所以AC丄BE.

故AC丄平面BED 又ACU平面AEC,

所以平面AEC丄平面BED.

⑵设AB=x f在菱形ABCD中，由ZABC= 120° , 可得AG=GC=申兀，GB=GD=^.

因为AE丄EC,所以在RtAAEC中，可得EG=*r・

由BE丄平面4BCD,知AEBG为直角三角形，可得3£=¥兀・

1 1

由已知得,三棱锥E^ACD的体积V三棱锥E.ACD=3X5 GD田E =当兀3=普,故兀=2.

从而可得AE=EC=ED=需・

所以△E4C的面积为3, AEAD的面积与ZkECD的面积均为^5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2需・

(1)空间线面位置关系的证明主要是以几何体为载体考査线

面平行、垂直的论证. 般将面面的平行或垂直转化为线面

的平行或垂直，再转化为线线的平行或垂直，体现了转化思想的应用，解答时表述要严谨规范、有理有据.

(2)计算问题主要是体积的计算，求解的关键是确定几何体的高，当几何体的高不易确定时可进行体积的转化求解.

银踪训练 1.(2016-南昌调研测试)

如图，四棱锥P-ABCD

的底面是平行四边形，平面PAB 丄

平面 PA=PB=AB=-AD=19 ZBAD=60°, E, F 2

分别为40, FC 的中点.

(1)求证：EF 〃平面P4B ； U!

银踪训练 1.(2016-南昌调研测试)⑵求三棱锥P-ABD的体积V P-ABZ).

解⑴取PB的中点G,连接AG FG,又F为PC的中点, 所以GF是APBC的中位线，即GF也*C・又四边形ABCD是平行四边形，E为AD的中点, 所以AE生*C,所以GF也AE, 即四边形AEFG是平行四边形, 所以EF//AG,又AGU平面RLB, EFQ平面P4B,

所以EF〃平面PAB.

(2)在平面PAB中，过P作丄AB,垂足为H.

因为平面MB丄平面ABCD,平面PABQ平面ABCD=AB, PHU平面PAB, PH丄AB9

所以PH丄平面ABCD9所以PH是三棱锥P^ABD的高.

因为在等边三角形P4B中，PA=PB=AB=19

所以PH=^・

因为在△ABD 中，AB= 19 AD=29 ZBAD=6Q°9 所以2X IX sin 60° ==~~f

l x^x^=l.

所以y^ABD=^HABD • PH=_X

3 2 2 4

专题二立体几何中的折叠问题

典例2 (2014-高考广东卷)如图⑴,四边形ABCD为矩形, PD丄平面ABCD f AB=l f BC=PC=2,作如图(2)折叠，折痕EF〃DC•其中点E F分别在线段PD PC上，沿EF

折叠后点P叠在线段AD上的点记为并且MFL CF.

⑴证明:CF丄平面MDF；

(2)求三棱锥M-CDE的体积.

A B A B

(1)

(2)

［解］

A

(1)证明：如图，因为PD丄平面ABCD9 ADU平面ABCD, 所以PD丄4D・

又因为ABCD是矩形，CD丄AD, PD与CD交于点D, 所以AD丄平面PCD.

又CFU平面PCD,

所以AD丄CF,即MD丄CF.

又MF1CF, MDQMF=M9所以CF丄平面DMF・

(2)因为 PD 丄DC, PC=2, CD=l f 所以ZPCD=6Q° , 所以加=书，由⑴知FD 丄CF, 在直角三角形DCF 中，CF=\CD = \. 过点 F 作 FG 丄CD,得 FG= FCsin 60° =-X^=^,

2 2

4 所以 DE=FG=申,故 ME=PE=\^1 洋,

4 4 4

膺）2 心.

=严・S’DE =¥

普禺=普 折叠问题的求解策略

所以 MD =\I ME 2^D ^=^ S 厶

CDE =#^E • DC=~y.~~ 故

"M CDE

(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量

和不变量.一般情况下，长度是不变量，而位置关系往往会发生变化

(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折

叠后的图形，也要分析折叠前的图形，进而将其转化为立体

几何的常规问题求解.

2.(2016-武汉调研)如图，已知正方形4BCD的边长为2, AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿对角线劝折起，得到三棱锥A-BCD.

(1)求证：平面AOC丄平面BCD； (2)若三棱锥A-BCD的体积为半，且ZAOC是钝角，求4C

的长.

解(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以BD丄AO9