初二-第06讲-直角三角形(提高)-教案

学科教师辅导讲义

学员编号：年级：八年级(下)课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

授课主题第06讲-直角三角形

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

教学目标

①掌握直角三角形的性质与判定方法；

②进一步掌握推理证明的方法，培养演绎推理能力；

授课日期及时段

T（Textbook-Based）——同步课堂

一、知识梳理

1、直角三角形的性质和判定方法

定理：直角三角形的两个锐角互余。

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

2、勾股定理

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

4、逆命题、逆定理

互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个体系搭建

命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。

5、斜边、直角边定理

定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。

考点一：直角三角形全等的判定

例1、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）

A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等

C．一条直角边和它所对的锐角对应相等D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等

【解析】选B．

例2、下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（）

A．斜边相等B．面积相等

C．两对锐角对应相等D．两对直角边对应相等

【解析】选：D．

例3、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下

列结论中不正确的是（）

A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上

C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点

【解析】选D．

例4、如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A

运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，

运动4分钟后△CAP与△PQB全等．

【解析】∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，

设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；

则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，

分两种情况：

①若BP=AC，则x=4，AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，∴△CAP≌△PBQ；

②若BP=AP，则12﹣x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时△CAP与△PQB不全等；

综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；故答案为：4．

例5、如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．

（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；

（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．

【解析】（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，

∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；

（2）是直角三角形，理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3=∠4，

∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE是直角三角形．

考点二：直角三角形的性质

例1、如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（）

A．60°B．70°C．50°D．40°

【解析】如图所示：根据题意得：∠1=∠2=∠3，

∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠AOB=20°，

∴∠3=90°﹣20°=70°，∴∠1=70°；故选：B．

例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD=50°．

【解析】如图，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，∴∠A=50°．

∵D为线段AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A=50°．故答案是：50°．

例3、如图，已知∠AOD=30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程

中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为60°或90°°．

【解析】∵在△AOC中，∠AOC=30°，∴△AOC恰好是直角三角形时，分两种情况：①如果∠A是直角，那么∠A=90°；②如果∠ACO是直角，那么∠A=90°﹣∠AOC=60°．故答案为60°或90°．

例4、如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，求∠EBF与∠FBC的度数．

【解析】在Rt△ABF中，∠A=70，CE，BF是两条高，

∴∠EBF=20°，∠ECA=20°，

又∵∠BCE=30°，∴∠ACB=50°，∴在Rt△BCF中∠FBC=40°．

考点三：含30度角的直角三角形

例1、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）

A．6 B．6C．6D．12

【解析】∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=AB=12×=6，选A．

例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，CD为AB边

上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形

时，BP的长度为4或6．

【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AD⊥AB，

∴∠ACD=∠ABC=30°，∴AC=BC=2，∴AD=AC=，

①当AP=AB=4时，∴PD==3，

∵BD=BC=3，∴PB==6，

②当PB=AB=4，综上所述：PB=4或6．故答案为：4或6．

例3、如图，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于E，

作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=5cm．

【解析】过M作MF⊥AC于F，∵AM是∠BAC的角平分线，

∴MD=MF，∠BAM=∠CAM，∵ME∥BA，∴∠AME=∠BAM，

∴∠CAM=∠AME=∠BAC=×30°=15°，

∵∠CEM是△AME的外角，∴∠CEM=∠CAM+∠AME=15°+15°=30°，

在Rt△MEF中，∠FEM=30°，∴MF=ME=×10=5cm，∴MD=MF=5cm．故答案为5cm．考点四：直角三角形斜边上的中线

例1、Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则其斜边上的中线长为（）