全概率公式与贝叶斯公式精品PPT课件

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1.6 全概率公式与贝叶斯公式

P A1 A2 A1 A2 P A1 A2 P A1 A2

P A1 P A2 | A1 P A1 P A2 | A1 2 1 3 2 2 5 4 5 4 5
Henan Polytechnic University §1.6
P A P ( Bi ) P ( A ｜Bi )
i 1
n
全概率公式
Henan Polytechnic University §1.6 全概率公式与贝叶斯公式 10
例：有甲、乙两个抽奖箱，甲箱中有3张无奖票2张有奖票，
乙箱中有4张无奖票1张有奖票，某人先从甲箱中抽出一张奖
票放进乙箱，再从乙箱中任意抽出一张，问最后抽到有奖票
判断到底得了那种疾病若这 n 种疾病都会导致事件 A {体温异常升高 }发生，且 A 已发生，则称 P( Bi | A) (i 1, 2, , n) 为后验概率。
① 后验概率可以通过 Bayes 公式进行计算
P Bi | A P ( Bi ) P ( A | Bi )
Bayes公式的重要
2
Henan Polytechnic University
§1.6
全概率公式与贝叶斯公式
16
问题：某人从三个箱子中任选一个箱子，再从中任取一个球，观察知是红球，则该红球取自1号箱的概率是多少？
1
2
3
Henan Polyte6
全概率公式与贝叶斯公式
17
分析：设 A={ 取得红球 }, Bi ={ 任取的一箱为 i 号箱 } i 1, 2, 3.
B2
A
B3
Henan Polytechnic University

概率论与数理统计课件 5全概率公式和贝叶斯公式

B3
i 1
P(原因) P(结果 | 原因)
A
Bn
Bn1
2019/3/19
概率论与数理统计
14
设Ai ={第i 个人抽到入场券}, i 1, 2, 3, 4, 5
则Ai ={第i 个人未抽到入场券}, i 1, 2, 3, 4, 5 求P(Bi ) ?
2 P( A1 ) 5
P( A2 )=P(A1 )P(A2|A1 ) P( A1 )P( A2|A1 )
A1 A2
2019/3/19
概率论与数理统计
16
说明全概率公式的主要用处在于它可以将一个
复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.
B2
B1
A
B3
Bn1
Bn
2019/3/19
概率论与数理统计
17
例1 次品检验问题箱中装有甲乙丙三个灯泡厂生产的同种型号的
2
S
P( A1 ) 5
A1
A1
PP((AA22)) =P(A2S) =P(A2 A1 A2 A1 )
A2
有限可加性
=P(A2 A1 ) P( A2 A1 )
乘法定理
==PP((AA11))PP((AA22||AA11)) PP((AA11))PP((AA22||AA11))
最简单的全概率公式
2019/3/19
= 1 0.1 1 0.2 1 0.3
2
4
4
=0.175
“执因求果”
2019/3/19
概率论与数理统计
19
已知这个灯泡是次品,现在追究是哪个厂的责任大
甲厂生产原因: B1 “执果索因” P(Bi | A)

2.2全概率公式与贝叶斯公式ppt课件

由贝叶斯公式得：
P( A1
B)
P( A1)P(B
A1)
P( A1)P(B P( A2 )P(B
A1 ) A2 )
P( A3 )P(B
A3 )
0.8 (0.98)3 0.8 (0.98)3 0.15 (0.9)3 0.05 (0.1)3
0.8731
同理， P( A2 B) 0.1268, P( A2 B) 0.1268.
2
由Bayes公式有
P(A | C)
P(A)P(C | A)
0.5 0.05
P(A)P(C | A) P(B)P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
95% 13
例3 某试卷中1道选择题有6个答案，其中只有一个是正确的。考生不知道正确答案的概率为1/4，不知道正确答案而猜对的概率为1/6。现已知某考生答对了，问他猜对此题的概率有多大？
解设 A表示“考生不知道正确答案”，B表示 “考生答对了考题”。则
P( A) 1/ 4, P(B A) 1/ 6, P( A) 3/ 4, P(B A) 1
由全概率公式得：
P(B) P( A)P(B A) P( A)P(B A) 1 1 3 1 19 ,
4 6 4 24
由贝叶斯公式得：
＝0.4825
5
例在对空演习中，某高射炮的目标是正在行进中的
一架飞机. 已知该炮能击中发动机、机舱及其他部位的概率分别是0.10，0.08，0.39.又若击中上述部位而使飞机坠毁的概率分别是0.95，0.89，0.51。试求该炮任意发射一发炮弹使飞机坠毁的概率。
解设B1，B2，B3，B4，分别表示炮弹击中发动机、机
0.362
12

全概率公式—叶贝斯公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册

P(A1)
0.26
13
例如2：试卷中的一道选择题有4个答案可供选择，其中只有1个
答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答
案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该
考生会做这道题的概率为0.85.
(1)求该考生选出此题正确答案的概率；
(2)已知该考生做对了此题，求该考生确实会做这道题的概率．
如果已知事件B已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起
的概率，则用Bayes公式即求 PAi B
P ( B1 | A)

0.397.
P ( A)
P ( A)
0.956
例6 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列. 由于随机因素的干
扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0. 已知发送信号0时，接收
为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为
0.95和0.05. 假设发送信号0和1是等可能的.
i 1
2. 贝叶斯公式：
设A1 ,A2 ,,An是一组两两互斥的事件,A1
A2

An ,且P ( Ai ) 0 ,
i 1,2,,n,则对任意的事件B ,P ( B) 0 ,有
P ( Ai B ) P ( Ai ) P ( B | Ai )
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P(B)
0.475
1
=
19
课堂小结：
1. 全概率公式：
一般地,设A1 ,A2 , ,An是一组两两互斥的事件,A1
A2

An ,且
P ( Ai ) 0,i 1,2, ,n,则对任意的事件B ,有

1.5(全概率公式和贝叶斯公式)

Ａ1,Ａ2,Ａ3是完备事件组．
由贝叶斯公式得P ( A1 | B) P (B | A1 ) P ( A1 )
P ( A ) P (B | A )
i 1 i i
3
其中 P(Ｂ|Ａ1)=2/3, P(Ｂ|Ａ2 )=3/4, P(Ｂ|Ａ3 )=1/2, P(Ａi)=1/3, i=1,2,3．代入数据计算得： P ( A1 | B) 0.348
P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
0.005 0.95 0.087 0.005 0.95 0.995 0.05
1.5.2 贝叶斯公式
本题的结果表明，虽然 P ( B A) 0.95,
P ( B A ) 0.95 这两个概率都很高．但是，即试验
1.5.2 贝叶斯公式
特别有：
设事件A、B为试验E的两事件，由于A和 A
是一个完备事件组，若P(A) > 0， ( A) 0， P
P(B) > 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为
P ( A B)
P ( A) P ( B A) P ( A) P ( B A) P ( A ) P ( B A )
阳性的人有肝炎的概率只有8.7%．如果不注意这一点，将 P( B A) 和 P( A B) 搞混，将会得出错误诊断，造成不良的后果．
1.5.2 贝叶斯公式
在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i = 1， 2，…，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习惯上称其为先验概率．若试验后事件B发生了，在这种信息下考察Ai的概率 P ( Ai | B), i 1,2,...,n
由全概率公式得
P ( B1 B2 ) P ( Ai )P ( B1 B2 Ai )

15全概率与贝叶斯公式(共18张PPT)

|
A2 )
0.75 0.9
0.9
0.75 0.9 0.25 0.3
P(A1), P(A2)通常(tōngcháng)称为验前概率，P(A1|B), P(A2|B)称为验后概率。
第十一页，共十八页。
例5.某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂占35%, 丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%。如果消费者已经买到一个
0.3623
i1
类似(lèi sì)可得 P(A2|B)=0.4058， P(A3|B)=0.2319．
第十二页，共十八页。
例6. 对目标进行(jìnxíng)三次独立射击，设三次命中率分别是0.4，0.5，
0.7．已知目标中一弹、二弹、三弹被击毁的概率分别是0.2，0.6 和0.8．
求（１）炮击三次击毁目标的概率；（２）已知目标被击毁，求目标中二弹的概率．
§１.5 全概率(gàilǜ)公式与贝叶斯公式
一、全概率(gàilǜ)公式引入二、全概率公式推导
三、全概率公式应用
四、贝叶斯公式及其应用
第一页，共十八页。
全概率(gàilǜ)公式与贝叶斯公式
一、全概率公式(gōngshì)问题引入
引例(yǐn lì)1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
袋任取２个球放入乙袋，再从乙袋任取２球，求从乙袋取出２个白球的概率．
②设Ａ、Ｂ、Ｃ三车间生产同一种(yī zhǒnɡ)产品，产量各占25％、35％、40％，次品率分别为5％、4％、6％，现从中任取１件产品，已知取得的是次品，问
它是Ａ、Ｂ、Ｃ车间生产的概率分别是多少？

§16全概率公式与贝叶斯公式_图文

的所有的不同的原因．根据全概率公式，有
29 P B1 P Ai P B1 Ai . 90 i 1
21

3

(2)问题归结为求 P B1 B2 . 由条件概率的定义可得

PB B . (1.7) PB PB B PB B 下面我们先求 P B B . 由条件概率的本来
是 B 发生的所有的不同的原因
A1 A2
An
B
全概率公式解决由因索果问题
原因事件
结果事件
每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式” 之“全”取为此意.
4
自身努力 A1
原
学习环境良好 A2

学生成绩好 B
因
教师教学水平高An
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .

2
1 2 1 3 1 2

6 5 4 6 2 5 2 6 5 2 1 6 3 . 8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 4
9
小结例1.22和例1.23的结果：
3 P A1 P A2 P A3 . 4 ◆从件数一定的正品和次品组成一批产品
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .
i 1
n
A1
A2
A3 B A4 A5
A6 Ω A7
A8
2
证
n n B B B Ai Ai B i 1 i 1
分配律 A1B, A2 B,, An B 两两不相容，
同理可得，

概率公式ppt

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（2）从定理的证明过程来看，B1, B2, Bn互不相容
是必须有的，而 n Bk 是可有可无的，可以改为 k 1 n Bk A 。 k 1 推论2 设 B1, B2, Bn是一列互不相容的事件，对任
一事件A，且有 n Bk A, P(Bk ) 0,(k 1,2, n) ，则有 k 1 P(A) n P(Bk )P(A / Bk ) 。 k 1
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7.1.2全概率公式课件(人教版)

(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产
的可能性大？
学习目标
新课讲授
课堂总结
解：设事件A表示“取到的产品为正品”，B1，B2，B3分别表示“产品由
甲、乙、丙厂生产”，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8，
(1)由全概率公式得：
3
P ( A) P Bi P A∣ Bi
i 1
＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86，
学习目标
新课讲授
课堂总结
(2)由贝叶斯公式得
P B1 P A∣ B1 0.2 0.95
贝叶斯公式：设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1，2，...，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有
P Ai P( B | Ai )
P Ai P( B | Ai )
P( Ai | B)
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
, i 1, 2,, n.
设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，且P(Ai)>0，
i=1，2，...，n，则对任意的事件 ⊆ ，求事件B的概率P(B).
学习目标
课堂总结
新课讲授
概念生成
一般地，设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω，
且P(Ai)>0，i=1，2，...，n，则对任意的事件 ⊆ ，有

全概率公式与贝叶斯公式

可求得:
P( A1) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A2 ) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A3 ) P(H1H2H3 )
将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
10
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)
已知 C
P(C)=0.005,P( )=0C.995,
求 P(C|PA()A.|
P(A|C)=0.95,
)=0.04
20
由贝叶斯公式，可得
P(C | A)
P(C)P( A | C)
P(C)P( A | C) P(C )P( A | C )
代入数据计算得 0.1066
P(C｜A)=
现在来分析一下结果的意义.
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458.
11
【例5】设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中有N只白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？
解：设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”，则
B =“从甲袋中取出一红球放入乙袋”；B、
7
【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04

全概率公式和贝叶斯公式(PPT课件)

则称为 A1, A2 , An
样本空间 S 的一个划分。
BA1
A1
BA2
A2
…... BAn …... An
S
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第一章概率论的基本概念
全概率公式：
§3条件概率
设随机事件 A1, A2 , , An 以及 B
满足：
1．A1, A2, , An 两两互不相容；

第一章概率论的基本概念
§3条件概率
例6 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射
中设目B标的概该率小组．在比赛中射中目标
2． An S 或 B An ；
n 1
n 1
3．PAn 0 n 1, 2,
则有
PB

P
An
PB
An

n1
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全概率公式第的一章概率论的基本概念证明
§3条件概率
由条件：

B An
B = BA1 BA2 BAn
P( A) 0.0125
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第一章概率论的基本概念
例10（续）
§3条件概率
元件制造厂 1
P( A| Bi )
P( Bi )
0.02 × 0.15
2
0.01 × 0.80
3
0.03 × 0.05
P(B1| A)

P( A| B1) P(B1) P( A)

人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件第四章概率与统计第2课时全概率公式与贝叶斯公式

解为若干个简单事件的概率计算问题,最后利用概率的可加性求出最终结
果.用树状图表示如下:
【变式训练2】袋中有大小相同的a个黄球、b个白球.现不放回地摸球两
次,每次摸出1个球,问第2次摸到黄球的概率是多少?
解:设A表示第2次摸到黄球,B表示第1次摸到黄球,则

-1

P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=+ ·
被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,则该飞行物必定被击落,求
该飞行物被击落的概率.
解:设A表示该飞行物被击落,Bi表示该飞行物被i人击中,i=1,2,3,所以
P(A|B1)=0.2,P(A|B2)=0.6,
P(A|B3)=1,且A=B1A+B2A+B3A.
设Hi表示该飞行物被第i人击中,i=1,2,3,
1
1
2
2
2×0.02
3
2×0.02+1×0.01=0.8.
3
3
【规范解答】
全概率公式的应用
【典例】采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是:从一包中
随机抽查3个,若这3个元件都是正品,则他才买下这一包.假定含有4个次品
的包数占30%,而其余包中各含有1个次品.求采购员拒绝购买的概率.
审题策略设出各相关事件,根据题意得到各相关事件的概率,把所求概率
B 表示该员工为女员工,
则
12+24
P(A)= 50
=
18
10+4
,P()=
25
50
=
7
,且
25
12
P(B|A)=12+24

第4讲全概率公式与贝叶斯公式

则由 P( A B ) P( AB)
P(B)
可得 P(AB) P(A B)P(B)
第四节全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式二、贝叶斯公式
一、全概率公式
下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立计算概率的公式。先引入一个例子
例1 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12。两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为 2:3。
证明性质4 P(A B) P(A) P(AB)
证明：因为 A A A(B B) AB AB 且 AB AB 所以 P(A) P(AB) P(AB), 又 P(A- B) P(AB), 于是 P(A- B) P(A) P(AB)
定理2 （乘法公式）
B1 B2 B1B2 故由全概率公式
P(A) P(A B1)P(B1) P(A B2 )P(B2 ) 60%80% 40% 40% 64%
例3 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0， 1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1。一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则，则退回。试求：
技术水平，可以认为机器调整良好的概率为７５％，由机器的性能知，机器调整良好时产品合格率为９０％，调整的不好时，产品合格率为３０％。若生产第一件产品合格，求此时机器调整良好的概率；若生产第一件产品不合格，求此时机器调整不良好的概率。
解记 B { 机器调整良好 }
A { 第一件产品合格 } 且已知
0.5 0.6 0.5 0.6

全概率公式与贝叶斯公式PPT课件

Thomas Bayes
Born: 1702 in London, England
Died: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent,
England
20
例对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时,其合格率为55%. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为95%.试求已知某日早上第一件产品是合格品时 , 机器调整得良好的概率是多少?
或者问:
1红4白
该球取自哪号箱的可能性
最大?
12 3
这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.
14
接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式
15
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .
0.02 0.3 0.01 0.5 0.01 0.2 0.013.
10
例甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.
贝叶斯公式
P(Bi A)
P( A Bi )P(Bi )
29
思考题口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？

1.6全概率公式与贝叶斯公式

加权平均
8
例2 袋中有a个白球b个黑球，不还原摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？解分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，
由全概率公式,
P ( B ) P ( A )P ( B A ) P ( A )P ( B A )

a ab

a1 ab1

b ab
ห้องสมุดไป่ตู้

a ab1

0 . 0004 0 . 95
0 . 0038 .
5

0 . 0004 0 . 95 0 . 9996 0 . 1
因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其它检验手段。
1
公式的理解：
全概率公式：P A
P B P A | B 由因索果 .
i i i
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B a ye s 公式 ( 1 7 6 3 年）： P B i | A
P Bi P A | Bi
P B P A | B
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P ( A B )P (C A B ) P ( A B )P (C A B )

a a
ab ab1 ab2 b a1

a1

a2

b b
ab ab1 ab2 ab ab1 ab2 b1 a

a

a1
ab ab1 ab2 a . ab
P ( B A ) 0 . 90 ，又设人群中患肝癌的比例为

新教材人教B版选择性必修第二册 4.1.2第2课时全概率公式贝叶斯公式课件(51张)

贝叶斯公式及其应用
【例 2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有 95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有 1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的 0.5%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？
[解] 设 A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则 P(A)＝
解题．(易错点)
解题，提升数学运算的素养.
情境导学探新知
有三个罐子，1 号装有 2 红 1 黑球，2 号装有 3 红 1 黑球，3 号装有 2 红 2 黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．
问题：如何求取得红球的概率？
1．全概率公式 (1)P(B)＝__P_(_A_)P__(B__|A_)_＋__P_(_－A__)P__(B__|－A__)____； (2)定理 1 若样本空间 Ω 中的事件 A1，A2，…，An 满足： ①任意两个事件均互斥，即 AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
从而 P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387 5×0.967 7＋0.262 5×0.8＋0.35×0.5≈0.76.
由贝叶斯公式得
P(D1|A)＝PA|DP1AP D1＝0.387
5×0.967 0.76
7≈0.493
4，
P(D2|A)＝PA|DP2APD2＝0.2602.756×0.8≈0.276 3，
(1)一般地，当 0＜P(A)＜1 且 P(B)＞0 时，有
P(A|B)＝PAPPBB |A PAPB|A

全概率公式与贝叶斯公式ppt

全概率公式与贝叶斯公式ppt一、全概率公式P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中，A为所求事件，B1、B2...Bn为多个互斥且完备事件，P(Bi)为事件Bi发生的概率，P(A，Bi)为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。

举个例子来说明全概率公式的应用。

假设一个品牌有三个工厂A、B、C，分别生产产品的比例为0.4、0.3、0.3、在批产品中，A、B、C工厂生产的产品的质量不合格的概率分别为0.02、0.03、0.05、现在要求产品质量不合格的概率。

根据全概率公式，我们可以得到如下计算过程：P(不合格)=P(不合格，A)P(A)+P(不合格，B)P(B)+P(不合格，C)P(C) =0.02*0.4+0.03*0.3+0.05*0.3=0.008+0.009+0.015=0.032二、贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中的另一个重要定理，它描述了在一些已知条件下，计算另一事件的后验概率的方法。

贝叶斯公式的表达式如下：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/(P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn))其中，Bi为已知条件下的事件，A为所求事件，P(Bi)为已知条件下事件Bi发生的概率，P(A，Bi)为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(A，Bj)P(Bj)为全概率。

贝叶斯公式实际上是将全概率公式反过来，通过已知条件下事件的概率计算另一事件的概率。

贝叶斯公式在很多领域都有广泛的应用，尤其在数据分析和机器学习领域。

举个例子来说明贝叶斯公式的应用。

假设在一些城市中，男性和女性的比例为1:1、在这个城市中，对乳腺癌的筛查有个测试方法，该方法可以正确诊断90%的患者，但在健康人中有10%的误判率。

现在有个女性进行了乳腺癌测试，并且测试结果显示为阳性。

现在要求在这个测试结果下，该女性真正患乳腺癌的概率。

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