(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第4课时 函数的奇偶性及周期性

第二章 函数与导数第4课时 函数的奇偶性及周期性

第三章 (对应学生用书(文)、(理)13～14页

)

1. (必修1P 45习题8改编)函数f(x)＝mx 2

＋(2m －1)x ＋1是偶函数，则实数m ＝________． 答案：12

解析：由f(－x)＝f(x)，知m ＝1

2

.

2. (必修1P 43练习5改编)函数f(x)＝x 3

－x 的图象关于________对称. 答案：原点

解析：由f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x 3

＋x ＝－f(x)，知f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称．

3. (原创)设函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)＝－1，则f(2 015)＝________． 答案：1

解析：由条件，f(2 015)＝f(671×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝1. 4. (必修1P 43练习4)对于定义在R 上的函数f(x)，给出下列说法： ① 若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)； ② 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数； ③ 若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； ④ 若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数． 其中，正确的说法是________．(填序号) 答案：①③

解析：根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函

数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x －2，x>0，

x ＋2，x<0，由于f(－2)＝f(2)，所以②④都错误．

5. (必修1P 54练习测试10)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x

3

＋x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________．

答案：x 3

＋x －1

解析：若x<0，则－x>0，f(－x)＝－x 3

－x ＋1，由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－

f(x)，所以f(x)＝x 3

＋x －1.

1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．

2. 判断函数的奇偶性

判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称．

(2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．

若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数．

若存在x 使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．

3. 函数的图象与性质

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系

(1) 注意函数y ＝f(x)与y ＝kf(x)的单调性与k(k≠0)有关．

(2) 注意函数y ＝f(x)与y ＝

1

f （x ）

的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a ，b]和[－b ，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a ，b]和[－b ，－a]上有相反的单调性． 5. 函数的周期性

设函数y ＝f(x)，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x∈D，都有f(x ＋T)＝f(x)，

则称函数f(x)为周期函数，T 为函数f(x)的一个周期．(D 为定义

域)

题型1 判断函数的奇偶性

例1 判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝x 3

－1x ；

(2) f(x)＝1－x

2

|x ＋2|－2；

(3) f(x)＝(x －1)

1＋x

1－x

； (4) f(x)＝3－x 2＋x 2

－3.

解：(1) 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，由f(－x)＝－f(x)，所以

f(x)是奇函数．

(2) 去掉绝对值符号，根据定义判断．

由⎩

⎪⎨⎪⎧1－x 2

≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，x ≠0且x≠－4. 故f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，且有x ＋2＞0. 从而有f(x)＝1－x 2

x ＋2－2＝1－x 2

x

，

这时有f(－x)＝1－（－x ）2

－x ＝－1－x

2

x

＝－f(x)，

故f(x)为奇函数．

(3) 因为f(x)定义域为[－1，1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(4) 因为f(x)定义域为{－3，3}，所以f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数． 备选变式（教师专享） 判断下列函数的奇偶性：

(1) f(x)＝x 4

＋x ；

(2) f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2

＋x （x<0），

－x 2

＋x （x>0）； (3) f(x)＝lg(x ＋x 2

＋1)．

解：(1) 定义域为R ，f(－1)＝0，f(1)＝2，由于f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数；

(2) 因为函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x ＜0时，－x ＞0，所以

f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－(x 2

＋x)＝－f(x)(x ＜0)．当x ＞0时，－x ＜0，所以f(－x)

＝(－x)2＋(－x)＝－(－x 2

＋x)＝－f(x)(x ＞0)．故函数f(x)为奇函数．

(3) 由x ＋x 2

＋1>0，得x∈R ，由f(－x)＋f(x)＝lg(－x ＋x 2

＋1)＋lg(x ＋x 2

＋1)＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．

题型2 函数奇偶性的应用

例2 (1) 设a∈R ，f(x)＝a·2x

＋a －2

2＋1(x∈R )，试确定a 的值，使f(x)为奇函数； (2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a －2)－f(4－a 2

)<0，求实数a 的取值范围．

解：(1) 要使f(x)为奇函数，

∵ x ∈R ，∴ 需f(x)＋f(－x)＝0.

∵ f(x)＝a －2

2x ＋1

，

∴ f(－x)＝a －22－x ＋1＝a －2

x ＋12x ＋1

.

由⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2x ＋1

2x ＋1＝0，得2a －2（2x

＋1）2x

＋1＝0， ∴ a ＝1.

(2) 由f(x)的定义域是()－1，1，知⎩

⎪⎨⎪⎧－1

－1<4－a 2

<1，解得3