函数的平均变化率
变化率简介
变化率简介变化率是学习导数的前提，它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用，速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中，对于变化率主要从以下两个方面介绍：1、平均变化率；2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或（00[,]x x x +∆）上的平均变化率是商yx∆∆，其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量，可正可负，但不能为0，y ∆是函数值相应的改变量，即00()()y f x x f x ∆=+∆-（y ∆为正、负、零均可）所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解：当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时，函数的平均变化率为：x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注：此类题目只需要紧扣定义式，注意运算过程就可以了. 评注：⑴函数平均变化率的求法可分两步：①求y ∆；②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化，都会引起函数平均变化率的变化。
拓展：函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即：函数()y f x =的图象为曲线C ，曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆，则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义，可解决一些实际问题，举例如下：例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线，产量S （单位：台）与时间t （单位：天）的关系如图所示，问：（1）0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大？（2）在接近0t 天时，甲、乙两条生产线谁的日产量大？0,)x y y ∆+∆解析：（1） 0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量，即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率，其都为直线OA 的斜率，所以0t 天内，甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
第三章 3.1.1函数的平均变化率
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量 y和平均变化率ΔyΔx； ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量 y和平均变化率ΔyΔx. (2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取 x都为13，哪一点附近的平均变化率 最大？ 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 解 (1)因为f(x)＝2x2＋3x－5， 所以 y＝f(x1＋ x)－f(x1) ＝2(x1＋ x)2＋3(x1＋ x)－5－(2x21＋3x1－5) ＝2[( x)2＋2x1 x]＋3 x ＝2( x)2＋(4x1＋3) x. ΔyΔx＝2Δx2＋4x1＋3ΔxΔx＝2 x＋4x1＋3. ①当x1＝4，x2＝5时， x＝1，
(1)在平均变化率的定义中，自变量x的增量 x＞0.( × ) (2)对于函数f(x)在区间[x1，x2]内的平均变化率也可以表示为fx2－fx1x2－x1.( √ ) (3)ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx是f(x)在区间[x0，x0＋ x]( x＞0)上的平均变化率，也可以 说是f(x)在x＝x0处的变化率．( × )
A．1 B．－1 C．2 D．－2 考点 题点 答案 B 解析 ΔyΔx＝1－33－1＝－1.
3．在曲线y＝f(x)＝x2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋ x,6＋ y)，则ΔyΔx为( )
A． x＋1Δx＋4
B． x－1Δx－4
C． x＋4
D．4＋ x－1Δx
考点
题点
答案 C
(2)当 t＝0.1时，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)． (3)当 t＝0.01时，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s).
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B 解析 s2.1－s22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2. 2．如图，函数y＝f(x)在1到3之间的平均变化率为( )
函数的平均变化率(上课用)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
变题.求函数g(x)=－2x在区间[－3，－1]上 旳 平均变化率。
2
一次函数y=kx+b在区间[m，n]上旳 平均变化率有什么特点？
定值k
练习：求函数 旳平均变化率
y
1 x
在
x0
到
x0x0 x) f (x0 ) x0 x x0
1
x
x
(x0 x)x0
2、y x两点P（1,1）和Q（1 x,1 y） 作割线，求出当x 0.1时割线的斜率
注意各小段旳 y 是不尽相同旳。但不
x
论是哪一小段山坡，高度旳平均变化都能
够用起点、终点旳纵坐标之差与横坐标之 差旳比值 y f (xk1) f (xk ) 来度量。 由此我们引出x 函数平xk均1 变xk化率旳概念。
平均变化率旳概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内 不同旳两点，记△x=x1－x0，
8.6 6.5
解.从出生到第3个月,婴儿体重旳 平均变化率为 6.5 3.5 1(kg /月)
30
从第6个月到第12个月该婴儿体 重旳平均变化率为
3.5
3
6
9 12 T(月)
11 8.6 2.4 0.4(kg /月) 12 6 6
反思:两个不同旳平均变化率旳实际意义是什么？
例4.国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两企业 进行检查，其连续监测结果如图所示 （其中W甲（t），W乙（t）分别表示甲、乙两企业的排污量）
问题1：哪个企业旳治污效果好某些？ 甲
问题2：在区间[t0，t1]上，哪一种企业旳排污平均
变化率大某些？
乙
W
AW（甲（1,t2）0）
B（1,12）
原则
函数的平均变化率课件
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案教学目标：1. 理解函数的平均变化率的定义和意义；2. 学会计算函数的平均变化率；3. 能够应用函数的平均变化率解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的平均变化率的概念1.1 引入函数的平均变化率的概念1.2 解释函数的平均变化率的含义1.3 举例说明函数的平均变化率的应用第二章：函数的平均变化率的计算2.1 引入计算函数的平均变化率的方法2.2 讲解如何计算函数的平均变化率2.3 给出计算函数的平均变化率的例题第三章：函数的平均变化率的性质3.1 引入函数的平均变化率的性质3.2 讲解函数的平均变化率的性质3.3 给出函数的平均变化率的性质的证明第四章：应用函数的平均变化率解决实际问题4.1 引入应用函数的平均变化率解决实际问题的方法4.2 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题4.3 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题第五章：巩固练习5.1 给出巩固练习的题目5.2 讲解巩固练习的解法5.3 给出巩固练习的答案教学资源：1. 教学PPT；2. 教材或教案；3. 练习题。
教学评估：1. 课堂参与度；2. 练习题的完成情况；3. 学生对函数的平均变化率的理解程度。
教学步骤：Step 1：引入函数的平均变化率的概念（10分钟）1. 讲解函数的平均变化率的定义；2. 举例说明函数的平均变化率的应用。
Step 2：讲解计算函数的平均变化率的方法（15分钟）1. 讲解如何计算函数的平均变化率；2. 给出计算函数的平均变化率的例题。
Step 3：讲解函数的平均变化率的性质（15分钟）1. 讲解函数的平均变化率的性质；2. 给出函数的平均变化率的性质的证明。
Step 4：应用函数的平均变化率解决实际问题（10分钟）1. 讲解如何应用函数的平均变化率解决实际问题；2. 给出应用函数的平均变化率解决实际问题的例题。
Step 5：巩固练习（15分钟）1. 给出巩固练习的题目；2. 讲解巩固练习的解法；3. 给出巩固练习的答案。
函数的平均变化率教案
§1.1 导 数1.1.1 函数的平均变化率【学习要求】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.填一填：知识要点、记下疑难点1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ x 1－x 0 ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ，则当Δx ≠0时，商f x 0＋Δx －f x 0Δx＝_Δy Δx ___叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 平均变化率 ．2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx＝_____f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1_____ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 斜率 .研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．探究点一 函数的平均变化率问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值y C －y B x C －x B近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率． 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为6.5－3.53－0＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 问题3 平均变化率有什么几何意义？答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的斜率．x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．跟踪训练1如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 答案 (1)12 (2)34探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率：(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为f 3－f 13－1＝32－122＝4； (2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1＝22－121＝3； 3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为f 1.1－f 11.1－1＝1.12－120.1＝2.1； (4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f 1.001－f 11.001－1＝1.0012－120.001＝2.001. 小结 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．解 自变量x 从0变到1时，函数f (x )的平均变化率为1－3×1－1－01－0＝－3， 自变量x 从m 变到n 时，函数f (x )的平均变化率为1－3n －1－3m n －m＝－3. 问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，则s 1t 0－s 10t 0<s 2t 0－s 20t 0， 所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．小结 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)． 所以乙的经营成果比甲的好．1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__－9 ________．解析 函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1＝5－3×22－5－31＝－9. 2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为__2______．3. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是___乙_____．解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ， 所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．课堂小结：1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f (x )的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
函数平均变化率
函数平均变化率函数平均变化率是数学中的一个重要概念，用来描述函数在一定区间内的平均变化速度。
在实际应用中，平均变化率可以帮助我们理解和分析函数的变化趋势，从而做出合理的决策。
我们来看一下函数平均变化率的定义。
给定一个函数f(x)，在区间[a,b]上的平均变化率可以用以下公式表示：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)其中，f(b)表示函数在点b处的取值，f(a)表示函数在点a处的取值，b和a分别是区间的上限和下限。
这个公式的含义是，函数在区间[a,b]上的平均变化率等于函数在点b和点a处的取值之差除以区间的长度。
平均变化率可以帮助我们理解函数在某个区间内的变化趋势。
如果平均变化率为正，表示函数在该区间内递增；如果平均变化率为负，表示函数在该区间内递减；如果平均变化率为零，表示函数在该区间内保持不变。
举个例子来说明。
假设我们有一个函数f(x)表示某个商品的价格随时间的变化情况。
我们可以选择一个时间段，比如一周，来计算该时间段内商品价格的平均变化率。
如果平均变化率为正，说明商品价格在这一周内上涨；如果平均变化率为负，说明商品价格在这一周内下跌；如果平均变化率为零，说明商品价格在这一周内保持不变。
平均变化率的应用不仅仅局限于函数的变化趋势分析，还可以用来解决实际问题。
比如，我们可以利用平均变化率来计算速度、密度、增长率等。
在物理学中，速度的平均变化率等于位移的变化量除以时间的变化量；在经济学中，增长率的平均变化率等于GDP的变化量除以时间的变化量。
除了平均变化率，还有一个相关概念叫做瞬时变化率。
瞬时变化率是平均变化率的极限情况，即取区间长度趋于0的情况。
瞬时变化率可以用微分来表示，是微积分中的重要概念之一。
瞬时变化率描述了函数在某一点的变化速度，比如速度、加速度等。
总结一下，函数平均变化率是描述函数在一定区间内的平均变化速度的概念。
它可以帮助我们理解函数的变化趋势，解决实际问题。
高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)
高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)， 由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
01函数平均变化率
如果我们用运动员某段 述其运动状态 , 那么
时间内的平均速度
v描
在 0 t 0 . 5 这段时间里 v h 0 .5 h 0 0 .5 0 在 1 t 2 这段时间里 v h 2 h 1 21
,
4 . 05 m / s ; ,
叫函数 y f ( x ) 在 x 0 到 x 0 x 之间的平均变化率
或：令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1 y x
注意：
（1） x 叫做自变量的改变量，也称“增量”
可正、可负、但不可为零。
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
问题: •求函数y=3x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１) =6Δx+3(Δx)2 y f 再求 6 6 3 x 再求 lim
x
x 0
x
例1 物体作自由落体运动,运动方程为：s 1 gt 2 其中位移单位是 2 m,时间单位是s,g=10m/s2.求： (1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度； (2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度； (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
t 0
13.1
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过 取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
• 运动员在某一时刻t0的瞬时速度是：
lim
h (t0 t ) h (t0 ) t
t 0
平均变化率
初中数学 什么是函数的平均变化率 如何计算一个函数在某个区间上的平均变化率
初中数学什么是函数的平均变化率如何计算一个函数在某个区间上的平均变化率
函数的平均变化率是指函数在某个区间上的平均变化速度。
它可以用来描述函数在这个区间内的平均变化程度。
要计算一个函数在某个区间上的平均变化率，可以按照以下步骤进行：
1. 确定区间：首先需要确定函数在哪个区间上计算平均变化率。
区间可以用两个端点来确定，例如$[a, b]$表示从点$a$到点$b$的区间。
2. 计算函数值：在该区间内选择两个不同的$x$值，例如$x_1$和$x_2$。
然后，计算这两个$x$值对应的函数值$f(x_1)$和$f(x_2)$。
3. 计算变化量：计算函数值的变化量，即$f(x_2) - f(x_1)$。
4. 计算区间长度：计算区间的长度，即$b - a$。
5. 计算平均变化率：将变化量除以区间长度，即$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{b - a}$。
这个结果就是函数在给定区间上的平均变化率。
需要注意的是，平均变化率是函数在某个区间上的平均变化速度，它描述的是整个区间内的平均变化程度。
平均变化率可以用来比较不同区间上的变化情况，或者用来估计函数在某个区间内的变化趋势。
希望以上内容能够帮助你理解函数的平均变化率以及如何计算一个函数在某个区间上的平均变化率。
函数的平均变化率
函数的平均变化率一【学习目标】：1.通过实例了解函数平均变化率的意义2.掌握求函数)(x f 在0x 到x x +0之间的平均变化率 二、【学习重难点】：1. 函数平均变化率意义的理解；2. 求函数)(x f 在0x 到x x +0之间的平均变化率三、【自主学习】：1、在教材中，我们利用山坡的陡峭程度来理解函数的平均变化率，即将登山者的水平位置用来表示，竖直位置用来表示，构造出)(x f y =的函数关系。
〔1〕如果山坡是一条直线，则)(x f y =的陡峭程度用直线的来表示,为什么. 〔2〕如果山坡是曲线，则)(x f y =的陡峭程度如何表示. 2、函数的平均变化率一般地，函数)(x f y =，，记作 ，，则当商的平均变化率。
注意〔1〕0)(x x f 在处是否有意义；〔2〕y x ∆∆、的含义、求法及围； 〔3〕平均变化率的大小、符号是由谁决定四、【课探究】问题1 掌握求函数)(x f y =的平均变化率的过程与方法，并注意上述三点。
1、求函数2x y =在以下区间上的平均变化率。
〔1〕],[00x x x x ∆+∈；〔2〕]4,1[∈x变式：求()221y f x x ==+在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，并求当011,2x x =∆=时平均变化率的值。
2、求函数xy 1=在],[00x x x x ∆+∈的平均变化率〔0000≠∆+≠x x x ，且〕， 思考：假设]4,1[∈x ，]4,1[-∈x 是否能求出函数的平均变化 3、求函数x y =在)0(00>=x x x 附近的平均变化率。
五、【当堂检测】1、在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足〔 〕A x ∆>0B x ∆< 0C ≠∆x 0D x ∆= 02、质点运动规律s= 2t +3，则当*=2，x ∆=0.1时，y ∆的值为 〔 〕 A 0.40 B 0.41 C 0.43 D 0.443、在*=1附近，取x ∆=0.3，在四个函数○1y=* ○2y=2x ○3 y= 3x ○4 y=x1中，平均变化率最大的是 〔 〕A ○1B ○2C ○3D ○4 4、函数y=x2、当自变量*由2变到23，函数值的增量y ∆为 。
2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为
［(2 t)2 1］ 22 1 4t (t)2
v
4 t.
t
t
又 v≤5,即4+Δt≤5,
所以Δt≤1.
又Δt>0,
所以Δt的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1]
【易错误区案例】 求解函数的平均变化率问题 【典例】函数y=2x2+3x在[1,2]内的平均变化率为_-_9_.
y x
f x2 f x1
x2 x1
公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.
(3)×.函数值的改变量应是f(x0+Δx)-f(x0).
2.若已知函数f(x)=x2-1的图象上一点(1,0)及附近一 点(1+Δx,Δy),则Δy的值为________. 【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)= (1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx. 答案:(Δx)2+2Δx
33 3
所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
【方法技巧】 比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商),并对差式(或商式)作合理变形,以 便探讨差的符号(或商与1的大小). (3)下结论.
【补偿训练】一质点做直线运动,其位移s与时间t的 关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的 平均速度不大于5,则Δt的取值范围是______.
为 f x1 f x2 ?
x1 x2
提示:能.若从x1变为x2,平均变化率为
若从x2变为x1,平均变化率为
而 f x2 =f x1 f x.1 f x2
f x1 f,
高考数学 导数 知识汇总
知识点1．函数的平均变化率一般地，已知函数y=f(x)，f (x 2)−f(x 1)x 2−x 1称作函数y=f(x)在［x 1，x 2］上的平均变化率. x 2−x 1表示自变量x 的改变量，计作∆x ；y 2−y 1表示函数值的改变量，计作∆y .于是平均变化率也可用Δy Δx表示.这里∆x ，∆y 可为正值，也可为负值，但∆x ≠0，∆y 可以为0.函数的平均变化率f (x 2)−f(x 1)x 2−x 1表示函数值的改变量与对应的自变量的改变量之间的比例，它表示函数图像上(x 1，f(x 1)),( x 2,f(x 2))两点连线的斜率，近似地刻画了曲线在区间［x 1，x 2］上的变化趋势.在式子Δy Δx=f (x 2)−f(x 1)x 2−x 1=f (x 1+Δx )−f(x 1)Δx中，当x 1取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当Δx 取定值，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不同.平均变化率的几何意义：设函数y=f(x)的图像如下图所示.PQ 是曲线的一条割线，其斜率为tan β=∆y ∆x =f (x 0+∆x )−f(x 0)∆x可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.2．平均速度设物体运动路程与时间的关系是s=f(t)，在t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的平均速度是v ̅=f (t 0+Δt )−f(t 0)Δt=ΔsΔt在匀速直线运动中，比值ΔsΔt 是恒定的.在非匀速直线运动中，比值ΔsΔt 是不恒定的.要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度，即瞬时速度.3．瞬时速度作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度.设物体运动的路程与时间之间的关系是s=f(t)，当∆t →0时，函数f(t)在t 0到t 0+∆t 之间的平均变化率f (t 0+Δt )−f(t 0)Δt趋近于常数，我们把这个常数称为t 0时刻的瞬时速度.即V=lim ∆t→0Δs Δt=lim∆t→0f (t 0+∆t )−f(t 0)∆t同理，对于速度函数y=v(t) 其在t 0的瞬时变化率就是在t 0时刻的瞬时加速度，即当t 0→0，v (t 0+∆t )−v(t 0)∆t表示t 0时刻的瞬时加速度.瞬时速度实质是平均速度当Δt →0时的极限值.瞬时速度的计算必须先求出平均速度v ̅=Δs Δt，再对平均速度取极限.Δt →0，是指时间间隔Δt 越来越短，能超过任意小的时间间隔，但始终不能为零. Δt 、Δs 在变化中都趋近月0，但它们的比值却趋近于一个确定的常数. 4．导数的概念 4.1导数设函数y=f(x)在x 0及其附近有定义，当自变量在x=x 0附近改变量为∆x 时，函数值相应地改变∆y=f(x 0+∆x)-f(x 0).当∆x 趋近于0时，平均变化率Δy Δx =f (x 0+∆x )−f(x 0)∆x趋近于一个常数ｌ,那么常数ｌ称为函数f （x ）在点x 0的瞬时变化率，计作当∆x →0时，f (x 0+∆x )−f(x 0)∆x→ｌ，或lim ∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=ｌ.一般地，函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率，称为f(x)在点x0处的导数，并计作，f´(x0)或y′|x=x.这时又称f(x)在点x0处是可导的.于是上述变化过程又可计作当∆x→0时，f(x0+∆x)−f(x0)∆x→f´(x0).或lim ∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x= f´(x0).∆x是自变量x在x0处的改变量，所以∆x可正、可负，但不能为0.当∆x ＞0（或＜0）时，∆x→0表示x0+∆x从右边（或从左边）趋近于x0.∆y是相应函数的改变量，∆y可正、可负、也可为0.求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下：（1）求函数的增量∆y=f(x0+∆x)-f(x0)；（2）求函数的平均变化率：ΔyΔx =f(x0+∆x)−f(x0)∆x；（3）取极限，求得f´(x0)=lim∆x→0∆y∆x.4.2导函数如果f(x)在区间(a,b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a,b)可导，这样对于区间(a,b)内每个值x，都对应一个确定的导数f´(x).于是，在区间(a,b)内，f´(x)构成一个新的函数，叫做y= f (x)的导函数，计作f´(x)或y´.导函数通常简称导数.求函数在某一点处的导数，一般是先求处函数的导函数，再计算这点的导函数值.注意区分函数y=f(x)“在x0处的导数”、“导函数”、“导数”.函数在x0处的导数表示在点x0函数的改变量与自变量的比的极限，它是一个数值，不是变数；导函数是如果函数f(x)在区间(a,b)可导，这样对于区间(a,b)内每个值x，都对应一个确定的导数f´(x)，而构成一个新的函数y= f´(x)；导函数简称导数，于是导数{f (x )在点x 0处的导数导函数.5．导数的几何意义设函数y=f(x)的图像如下图所示.P P 0是曲线的一条割线，其斜率为可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.当点P 0沿曲线趋近于点P 时，其最终位置为曲线在点P 的切线，此时，切线的斜率为由导数意义可知，曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0) )的切线的斜率等于f ´(x 0).我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线是切线”.以前我们学过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线.圆是一种特殊的曲线，如果将圆的切线定义推广到一般曲线，显然是不合适的.观察下图虽然直线l与曲线有唯一公共点，但是我们不能说l与曲线相切；而尽管直线m与曲线有不止一个公共点，我们却可以说直线m与曲线相切.因此，对于一般曲线不能以公共点个数来界定直线与曲线相切与否.6．利用导数的几何意义求曲线的切线方程6.1利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤第一步：求出函数y=f(x)在点x0处的导数f´(x0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-y0=f´(x0)(x-x0).特别地，若切线平行于y轴（即倾斜角为π2），此时导数不存在，曲线在点(x0,f(x0) )处的切线方程是x=x0.观察图像易知，f´(x0)＞0则切线的倾斜角为锐角；f´(x0)＜0则切线与x轴正向的夹角为钝角；f´(x0)=0则切线与x轴平行.函数在某点可导是曲线在该点存在切线的充分不必要条件，如果函数在某一点不可导，则可利用切线的定义来求切线方程.过某一点P的切线与在点P处的切线是不同的概念，过点P的切线不一定以点P为切点，在点P处的切线是以点P为切点的直线，注意不要混淆.6.2几种常见曲线的切线方程（1）过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上过一点P0（x0，y0）的切线方程为(x0-a)(x-a)+( y0-b)(y-b)=r².特例，当a=b=0时，即圆心在坐标原点，此时，过点P0（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r².（2）过椭圆x²a²+y²b²=1上的一点P0（x0，y0）的切线方程为x0xa²+y0yb²=1.（3）过双曲线x²a²−y²b²=1上的一点P0（x0，y0）的切线方程为x0xa²−y0yb²=1.（4）过抛物线y²=2px上的一点P0（x0，y0）的切线方程为y0y=p(x+x0).7．几个常用函数的导数7.1常数函数y=f(x)=c的导数y´=lim∆x→0ΔyΔx=lim∆x→0f (x+∆x )−f(x)∆x=lim∆x→0c−cΔx=0.y ´=0的几何意义为函数y=c 图像上每一点处的切线的斜率都为0,.其物理意义为若y=c 表示路程关于时间的函数，则y´=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.7.2函数y=x 的导数 y´=lim∆x→0Δy Δx=lim∆x→0(x+∆x )−x∆x=lim ∆x→01=1.同理，对于y=2x ，y´=2；对于y=3x ，y´=3……对于y=x ，y´=1表示函数y=x 图像上每一点处的切线斜率都是1.函数y=kx （k ＞0）增加的快慢与k 有关，即与函数的导数有关系.k 越大，函数增加得越快；k 越小，函数增加的越慢.函数y=kx （k ＜0）减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝对值有关系. |k|越大，函数减少得越快；|k|越小，函数减少得越慢.7.3函数y=f(x)=x ²的导数. y´=lim∆x→0Δy Δx =lim∆x→0f (x+∆x )−f(x)∆x=lim∆x→0(x+∆x )²−x ²∆x=lim∆x→0x ²+2x·∆x+(∆x )2−x ²∆x=lim ∆x→0(2x+∆x )+2x7.4函数y=f(x)=1x的导数 y´=lim∆x→0Δy Δx=lim∆x→0f (x+∆x )−f(x)∆x =lim∆x→01x+Δx −1xΔx=lim∆x→0x−(x+∆x )x(x+∆x)∆x =lim ∆x→0[−1x(x+∆x)]=-1x ².函数y=1x的图像如：结合函数图像及其导数y´=-1x²发现，当x＜0时，随着x的增加，函数y=1x减少的越来越快；当x＞0时，随着x的增加，函数减少得越来越慢;7.5函数y=√x的导数设y=f(x)=√x(x＞0),y´=lim∆x→0ΔyΔx =lim ∆x→0f(x+∆x)−f(x)∆x=lim∆x→0√x+Δx−√xΔx=limΔx(√x+Δx+√x)=lim√x+Δx+√x=2√x（x＞0）由y´=2√x可知，函数y=√x的图像上没一地啊n的切线斜率都大于零（不包括原点）.以上公式是进行导数运算的基础，务必要熟练掌握.上述公式可划分为四类，第一类是幂函数y ´=(x μ )´ =μx μ−1；第二类为指数函数y ´=(a x )′a x ln a ，(e x )′=e x 是一个特例；第三类为对数函数y ´=(log a x)′=1x ln a ，(ln x)′=1x 是对数函数的一个特例；第四类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数.对于公式（ln x ）´=1x 和（e x ）´=e x 很好记，但对于（log a x ）´=1x log a e 和 （a x ）´=a x ln a 的记忆就比较难，应从以下几个方面加深对公式的理解和记忆：（1）区分公式的结构特征，从纵的方面区分（ln x ）´与（log a x ）´，和（e x ）´与（a x ）´，找出差异，记忆公式；（2）对公式（log a x ）´，用（ln x ）´和复合函数求导法则证明来帮助记忆，即求证对数函数求导公式（log a x ）´=1x log a e证明如下： （log a x ）´=（ln x ln a）´=1ln a ·1x=1xlog a e这样知道了（log a x ）´=1x log a e 中log a e 的来历，对于公式的记忆和区分是很有必要的.9．导数的四则运算9.1函数和或差的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))´=f ´(x) ±g ´(x).即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）.这个法则可以推广到任意有限个函数，即(f 1±f 2±⋯±f n )′=f 1′±′f 2′±⋯±f n ′.9.2函数积的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，则(f(x) g(x))´= f ´(x) g(x)+ f(x) g ´(x).即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数.另，［Cf(x)］´=Cf ´(x).(C 为常数)切忌与函数和（或差）的公式混淆，(f(x) g(x))´≠f ´(x)g ´(x)，与(f(x)±g(x))´=f ´(x) ±g ´(x)要分清.9.3函数的商的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，g(x) ≠0，则［f(x)g(x)］′=g (x )f ′(x )−f (x )g ′(x)g ²(x).特别地，当f(x) ≡1时，有［1g(x)］′=g ′(x)g ²(x).注意f ´(x 0)与(f (x 0)) ´的区别.f ´(x 0)代表函数f(x)在x= x 0处的导数值，不一定为0；而(f(x 0)) ´是函数值f(x 0)的导数，而f(x 0)是一个常量，其导数值一定为0，即(f(x 0))´=0.9.4复合函数的求导法则由几个函数复合而成的函数，叫做复合函数.由函数y=f(u)与u=φ(x)复合而成的函数一般形式是y=f(φ(x)),其中，u 称为中间变量.设函数u=φ(x)在点x 处可导，函数y=f(u)在点x 对应点u 处也可导，则复合函数y=f(φ(x))在点x 处也可导，且y´x =y´u ·u´x 或f´x (φ(x))=f ´(u) φ′(x).注意：（1）要弄清复合函数的结构关系，分清它是由哪些基本函数复合而成的，选择合适的中间变量；判断复合函数复合关系时，一般是从外向里分析，最外层的主题函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，直到最里层应是关于自变量的基本函数或关于自变量的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数.（2）复合函数求导方法：①将复合函数的复合关系一一分解；②分步计算，每一步都要清楚是对哪个变量求导，特别要注意中间变量的导数；③根据基本初等函数的求导公式以及运算法则求出个函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；④熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可以省略不写.（3）上述复合函数的求导公式可以推广到有限次的复合函数求导，如：y=f(u),u=u(t),t=t(w),w=w(x),则y´x =f´u ·u´t ·t´w ·w´x .复合函数求导法则的应用.利用复合函数的求导法则可以求出抽象函数的导数.例：求证存在导函数的奇函数的导数是偶函数.证明：设f(x)是奇函数，即f(-x)=f(x).两边分别对x求导数，得f´(-x)·(-x)´=-f´(-x),即-f´(x)= -f´(-x),∴f´(x)= f´(-x),故命题成立.10．利用导数判断函数的单调性10.1对于函数f(x),在区间(a,b)内，如果f′(x)>0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在这个区间内单调递减.注意：（1）用曲线的切线的斜率来理解法则，当切线斜率非负时，切线的倾斜角小于90°，函数曲线呈向上增加趋势；当切线斜率为负时，切线的倾斜角大于90°，小于180°，函数曲线呈向下减少趋势；（2）如果在某个区间内恒有f(x)=0.则f(x)在这个区间内等于常数；（3）对于可导函数f(x)来说，f′(x)>0是f(x)在(a,b)上单调递增的充分不必要条件，f′(x)<0是f(x)在(a,b)上单调递减的充分不必要条件.例如f(x)=x3在R 上为增函数，但f′(0)=0，所以在x=0处不满足f′(x)>0.函数单调性的必要条件是：函数f(x)在(a,b)内可导，若f(x)在(a,b)上单调递增（或递减），则f′(x)≥0（或f′(x)≤0）且f′(x)在(a,b)的任意子区间上都不恒为0.10.2求可导函数单调区间的一般步骤和方法：第一步，确定函数f(x)的定义域；第二步，求f′(x)；第三步，在定义域内，f′(x)>0的解集对应的区间为f(x)的增区间；f′(x)<0的解集对应的区间为f(x)的减区间.注意：（1）利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间；（2）除了讨论f′(x)>0或f′(x)<0外，还要注意定义域内不连续和不可导点.10.3用导数判断函数单调性的应用（1）证明不等式若证明不等式f(x)＞g(x),x∈(a,b),可以转化为证明f(x)-g(x)＞0.如果（f(x)-g(x)）´＞0，说明函数F(x)=f(x)-g(x)在(a,b)上是增函数.若f(a)-g(a)≥0,由增函数的定义可知，当x∈(a,b)时，f(x)-g(x)＞0，即f(x)＞g(x).（2）证明有关函数根的问题用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定函数的图像与x轴的交点个数，最简单的一种是只有一个交点（即一个根）的情况，即函数在整个定义域内是单调函数，再结合某一个特殊值来确定f(x)=0.（3）求函数的值域有些函数的值域用以前学的方法有时不简便，这时我们可以考虑研究函数的单调性，特别是函数的自变量定义在某一区间上时，这时可用单调性来研究值域.（4）求参数的值（或取值范围）求函数y=f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f´(x)＞0，f´(x)＜0所得的x的取值集合.反过来，若已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中的参数值的问题，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f´(x)≥0在D上恒成立，求f(x)中的参数值.11．利用导数研究函数的极值11.1函数的极值已知函数y=f(x)，设点a是定义域(a,b)内任一点，如果对a附近的所有点=f(a).并把a x，都有f(x)<f(a)，则称函数f(x)在点a处取极大值，计作y极大称为函数f(x)的一个极大值点.同样，如果在点b附近都有f(x)>f(b)，则称函=f(b).并把b称为函数f(x)的一个极小值数f(x)在点b处取极小值，计作y极小点. 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.对于极大值点a，f′(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.类似地，对于小值点b，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.注意：（1）极值必须在区间内的连续点处取得.一个函数的定义域内可能出现许多个极小值和极大值点，某一点的极小值可能大于另一点的极大值，也即极小值和极大值之间没有必然的大小关系.极值是一个局部性概念.（2）函数的极值点的导数为0，但导数为0的点可能不是函数的极值点.即，f′(c)=0是f(x)在x=c处取极值的必要条件，但不是充分条件.（3）若f(x)在（a，b）内有极值，那么f(x)在（a，b）内一定不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值.（4）如果函数y=f(x)在区间［a，b］内有极值，则极值点的分布是有规律的.相邻两个极大值点之间必然会有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必然会有一个极大值点.通常当函数y=f(x)在区间［a，b］内有有限个极值点时，其极大值点与极小值点是交替出现的.11.2函数y=f(x)极值的求解方法第一步：求导数f′(x)；第二步：求方程f′(x)=0的根；第三步：检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.注意：（1）对于使f′(x)无意义的点也可能是极值点，因此和f′(x)=0的根对应的点一样，都是可疑点，也要进行讨论.（2）极大值点可以看做函数单调递增区间与单调递减区间的分界点，同样极小值点是函数单调递减区间与单调递增区间的分界点.12．利用导数研究函数的最值12.1函数的最大值与最小值对于函数y=f(x)，如果在其定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数在定义域I上的最大值.如果在其定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数在定义域I上的最小值.函数的最大值与最小值是一个整体性概念，是比较整个定义区间的函数值得出.一般地，若函数f(x)在闭区间上的图像是一条连续不间断的曲线，那么它必有最大值与最小值，且最值必在极值点或端点处取得.函数的极值可以有多个.对于最值，若存在最大值，则最大值唯一；若存在最小值，则最小值唯一；极值有可能是最值，最值只要不在端点处必定是极值.在开区间(a,b)内连续的函数不一定存在最大值与最小值.如函数y=tan x,在区间（-π2，π2）内连续，但没有最大值与最小值. 12.2函数最值的求解方法求可导函数f(x)在区间［a ，b ］上的最大值与最小值的步骤：第一步：求f(x)在(a,b)内的极值；第二步：将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值.如果函数f(x)在［a ，b ］上是单调时，可利用函数的单调性求得函数的最值，即，若f(x)在［a ，b ］上单调递增，则其最大值为f(b),最小值为f(a)；若f(x)在［a ，b ］上单调递减，则其最大值为f(a)，最小值为f(b).与求函数极值不同，求最值时不需要对各导数为零的点讨论其是最大值还是最小值，只需将导数为零的点的函数值和端点的函数值进行比较就行了.13．函数极值的应用：（1）确定参数的值，这里一般用待定系数法（2）求参数的取值范围（3）判断方程的根的变化，这里一般是利用数形结合的思想来讨论方程的根，即先根据函数的极值情况画出函数f （x ）的图像，再观察方程的根（4）证明不等式，这里一般是先构造函数，再根据函数的最值来证明不等式（5）求含参数的值域问题时，通常对参数进行分类讨论，然而当函数有极值，需要确定参数值或其范围时，利用逆向思维较容易解决问题.14．导数的实际应用——最优问题14.1解决优化问题的基本思路（1）在解决实际最优化问题时，不难发现基本思路是：上述解决最优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.（2）实际应用问题的解题程序：读题（文学语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答） 函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系式，确定自变量的定义域.14.2用导数解决最优问题的一般步骤：第一步：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)；第二步：求函数的导数f ′(x ),解方程f ′(x )=0；第三步：比较函数在区间端点和使f ′(x )=0的点的数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.第四步：将结果代回原问题中，根据实际问题的现实意义判断取舍.注意：应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系）.函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系式，并确定自变量的定义区间以及其他限制条件.如果函数在定义区间内只有一个点使f ′(x )=0，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较也可以知道这就是最大（小）值.在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.15．曲边梯形的面积以及变速直线运动行驶的路程曲边梯形面积的求法主要是用了“以直代曲”的思想，即用直边图形（如矩形）代替曲边梯形的面积，再用求极限的方法求曲边梯形的面积.求曲边梯形的面积可分为四步：分割→近似代替→求和→取极限.把变速直线运动的路程问题划归为求匀速直线运动的路程问题，采用的方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，它与曲边梯形的面积可以归纳为求一个特定形式和的极限.分割的目的在于更精确地“以直代曲”.以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等分越来越多，这种“代替”就越精确，所有小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积.16．定积分的概念设函数y=f(x)定义在区间［a ，b ］上，用分点a=x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n <b .把区间［a ，b ］分为n 个小区间，其长度依次为∆x i =x i+1-x i ，i=0,1,2，…，n-1.计λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n =∑f(ξi )n−1i=0∆x i .当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式I n 的极限叫做函数f(x)在区间［a ，b ］上的定积分，计作∫f (x )dx ba， 即∫f (x )dx b a =lim λ→0∑f(ξi )n−1i=0∆x i . 其中，f(x)叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，f(x)dx 叫做被积式.此时称函数f(x)在区间［a ，b ］上可积.注意：（1）定积分∫f (x )dx ba 是一个常数.它的数值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即∫f (x )dx b a =∫f (u )du b a =∫f (t )dt b a =……（称为积分形式不变性）； 另外，定积分∫f (x )dx b a 与积分区间［a ，b ］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值也不同.（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割，将区间［a ，b ］n 等分；②近似替代，取点ξi ∈［x i−1，x i ］；③求和，∑f(ξi )n i=0b−a n ;④取极限，∫f (x )dx b a =lim n→∞∑f(ξi )b−a n i=0;（3）函数f(x)在区间［a ，b ］上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限（定积分）的存在（实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件）.17．定积分的性质（1）∫kf (x )dx b a =k ∫f (x )dx b a（k 为常数）； （2）∫［f 1(x )±f 2(x )］dx b a =∫f 1(x )dx b a ±∫f 2(x )dx b a；（3）∫f (x )dx b a =∫f (x )dx c a +∫f (x )dx b c （其中a<c<b ）.注意：（1）性质（1）、（2）称为定积分的线性性质，性质（3）称为定积分对积分区间的可加性.（2）性质（2）对于有限个函数（两个以上）也成立，性质（3）对于把区间［a ，b ］分成有限个（两个以上）区间也成立.18．定积分的几何意义当函数f(x)在区间［a ，b ］上恒为正时，定积分∫f (x )dx b a的几何意义是由直线x=a,x=b,y=f(x),y=0围成的曲边梯形的面积.一般情况下，定积分∫f (x )dx b a 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图像以及x=a ，x=b 之间的部分面积的代数和，在x 轴上方的取正好，在x 轴下方的取负号.如上图所示，321)(A A A dx x f ba +-=⎰则（1A 、2A 、3A 表示各阴影部分的面积）.注意：（1）定积分∫f (x )dx b a 不一定表示面积，也可能是面积的相反数；定积分也可以是体积，可以是功，可以是路程、压力等，总之定积分还有更多的实际意义.（2）∫f (x )dx b a 、∫|f (x )|dx b a 、|∫f (x )dx ba | 在几何意义上有不同的含义.由于被积函数f(x)在［a ，b ］上可正可负，即它的图像可以在x 轴上方，也可以再x 轴下方，还可以在x 轴的上、下两侧，所以∫f (x )dx ba表示由x 轴，函数f(x)的曲线以及直线x=a ，x=b （a ≠b ）围成的图像各部分面积的代数和；而|f (x )|是非负的，所以∫|f (x )|dx ba表示在区间［a ，b ］上所有以|f (x )|为曲边的正曲边梯形的面积；而|∫f (x )dx b a |则是∫f (x )dx ba 的绝对值.三者的值一般情况下是不同的.19．微积分基本定理如果F ′(x )=f (x )，且f(x)在［a ，b ］上可积，则其中F （x ）叫做f(x)的一个原函数.由于［F （x ）+c ］′=f(x), F （x ）+c 也是f(x)的原函数，其中c 为常数.一般，原函数在［a ，b ］上的改变量F(b)-F(a)简记作因此微积分基本定理（又称牛顿——莱布尼兹公式）可以写成注意：（1）利用微积分基本定理计算定积分的关键是找到满足F ′(x )=f (x )的函数F(x).通常我们用基本初等函数的求导公式和倒数的四则运算法则从反方向求出F(x).（2）这项定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求积分与求导数是互为逆运算，这也是计算定积分的重要方法，是微积分学中最重要的定理.（3）若F （x ）是f(x)的一个原函数，则F （x ）+c 也是f(x)的原函数，即f(x)的原函数有无数个.一般只写最简单的一个，不用再加任意常数c 了.20．定积分的简单应用20.1几种典型平面图形面积的计算（1）求由一条曲线y=f(x)和直线x=a ，x=b(a ＜b)及y=0所围成的平面图形的面积S .常见有以下三种类型： ()ba F x①②③如图①，f(x)＞0，∫f (x )dx b a ＞0，∴S =∫f (x )dx b a如图②，f(x)＜0, ∫f (x )dx b a＜0，∴S =|∫f (x )dx b a |=-∫f (x )dx b a . 如图③，当a ≤x ≤c 时，f(x)＜0，∫f (x )dx c a＜0；当c ≤x ≤b 时，f(x)＞0，∫f (x )dx bc ＞0， ∴S =|∫f (x )dx c a |+|∫f (x )dx b c |=-∫f (x )dx c a +∫f (x )dx bc . （2）由两条曲线f(x)和g(x)，直线x=a ，x=b ，（a ＜b ）所围成的平面图形的面积S .①②如图①，当f(x)＞g(x)＞0时，S =∫［f (x )−g(x)］dx b a; 如图②，当f(x)＞0,g(x)＜0时，S =∫f (x )dx b a +|∫g (x )dx ba |=∫［f (x )−g(x)］dxb a . 求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤：第一步：画出图形；第二步：确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，确定积分上、下限；第三步：确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置； 第四步：写出平面图形面积的定积分表达式；第五步：运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.20.2作变速直线运动的物体所经过路程S ，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间［a ，b ］上的定积分，即S=∫v (t )dt b a. 20.3变力做功物体在恒力F （单位：N ）的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s （单位：m ），则力F 所做的功为：W=Fs.如果物体在变力F （x ）的作用下作直线运动，并且物体沿着与F （x ）相同的方向从x=a 移动到x=b （a ＜b ），那么变力F （x ）所做的功为：W=∫f (x )dx b a .求变力做功的步骤：第一步：根据物理学的实际意义求出变力F(x)的表达式；第二步：求出起始位置与终止位置；第三步：根据变力做功公式W=∫f (x )dx b a 求出变力F(x)所做的功.。
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
1.1.1函数的平均变化率
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx， x0])的平均变化率．
1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域
本 课
内不同的两点，记Δx＝ x1－x0 ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－
A. 2Δt＋4 B. －2Δt＋4 C. 2Δt－4 D. －2Δt－4
解析：ΔΔst＝4－21＋ΔtΔ2t－4＋2×12
＝－4Δt－Δt 2Δt2
＝－2Δt－4. 答案：D
例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月 该婴儿体重的平均变化率．
本 课 时
y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x) 的平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1
栏 目
为割线 AB 的斜率．
开 关
x1，x2 是定义域内不同的两点，因此 Δx≠0，但 Δx 可正也可
负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应 Δx＝x2－x1 的改变量，Δy 的值可
你能从数学的角度来反映山坡的 平缓和陡峭程度吗？
怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A 是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在 的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
(3)实质： 函数值 的改变量与 自变量 的改变量 之比 .
(4)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上变化的快慢.
人教B版高中数学【选修1-1】第3章-3.1-3.1.1函数的平均变化率-课件
课 标 解 读
1.通过实际例子理解平均变化率的概念． 2．会求函数的平均变化率．(重点) 3．理解平均变化率在实际问题中的意义．(难点)
函数的平均变化率
【问题导思】 1．函数 f(x)＝2x 在 x1＝1 到 x2＝2 的平均变化率是多少？
fx2－fx1 2×2－2×1 【提示】 ＝ ＝2. x2－x1 2－1
Δy 【思路探究】 先求 Δx＝x2－x1，再求 Δy，化简 即可． Δx
【自主解答】
(1)①∵Δx＝－1－(－3)＝2，
Δy＝f(－1)－f(－3) ＝[3× (－1)＋1]－[3× (－3)＋1]＝6， Δy 6 ∴ ＝ ＝3， Δx 2 即 f(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为 3.
②∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δy＝g(－1)－g(－3) ＝[2× (－1)2＋1]－[2× (－3)2＋1]＝－16， Δy －16 ∴ ＝ ＝－8， Δx 2 即 g(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为－8.
试分析 f(x)与 g(x)在－3 到－1 之间的平均变化率大小， 并说明 其含义．
【解】 显然 3>－8，但是|3|<|－8|， 这说明函数 f(x)在[－3， －1]上缓慢上升， 而函数 g(x)在区间[－ 3，－1]上迅速下降．
平均变化率的比较
π 试比较正弦函数 y＝sin x 在 x＝0 和 x＝ 附近的平均变 2 化率的大小．
(2)①∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝[3× (1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3Δx， Δy 3Δx ∴ ＝ ＝3， Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3. ②∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1) ＝[2× (1＋Δx)2＋1]－(2×12＋1)＝4Δx＋2(Δx)2，
导数的概念、导数公式与应用
导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率（1）概念：函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。
若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。
注意：①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。
函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（2）平均变化率的几何意义函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。
若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）注意：①增量可以是正数，也可以是负数；②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P(x0，y)及其附近一点Q(x+△x,y+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y+△y)沿曲线无限接近于点P(x，y)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即：。
(2)导数的几何意义：函数在点x的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。
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RB . 数学 . 选修2-2
求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g (x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率． 【思路探究】 后代入公式求解． 先求自变量的增量和函数值的增量，然
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f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表
示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐 标为(x1，y1)．
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RB . 数学 . 选修2-2
图 1－1－1
1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变 量x和函数值y的改变量分别是多少？
【思路探究】 因为Δs 是质点在Δt 这段时间内的位移， Δs 所以 就是质点在Δt 这段时间内的平均速度． Δt
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RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 (1)由题设知，Δt＝3 s， Δs＝s(3)－s(0)＝24 m， Δs ∴平均速度为 v＝ ＝8 m/s. Δt (2)由题设知：Δt＝3－2＝1 s，Δs＝s(3)－s(2)＝12 m. Δs ∴平均速度为 v＝ ＝12 m/s. Δt
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两
点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平
均变化率．
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RB . 数学 . 选修2-2
Δy 4．能用 刻画山路陡峭程度的原因是什么？ Δx
Δy 【提示】 因 表示 A，B 两点所在直线的斜率 k，显 Δx 然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说， Δy 竖直位移与水平位移之比 越大，山坡越陡，反之，山坡 Δx 越缓．
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RB . 数学 . 选修2-2 平均变化率的大小比较
Hale Waihona Puke 求函数 f(x)＝x2 在 x＝1，2，3 附近的平均变化率， 1 取Δ x 的值为3，哪一点附近平均变化率最大？ Δy 【思路探究】 先求出平均变化率 ，再把 x0，Δ x Δx
代入比较大小即可．
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差的符号(商与1的大小)．
(3)下结论．
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RB . 数学 . 选修2-2
本例中的“函数f(x)＝x2”变为“f(x)＝x2＋a”和“f(x)＝
－x2”，则结论如何？
【解】 当 f(x)＝x2＋a 时， f(x) 在 x ＝ 1 附 近 的 平 均 变 化 率 为
k1 ＝
由于k1>k2>k3， ∴函数f(x)＝－x2在x＝1附近的平均变化率最大.
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RB . 数学 . 选修2-2 平均变化率的应用
已知某质点按规律 s＝(2t2＋ 2t)(单位：m)作直线运动，
求： (1)该质点在前3 s内的平均速度； (2)质点在2 s到3 s内的平均速度．
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RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 在 x ＝ 1 附近的平均变化率为 k1 ＝
f（1＋Δx）－f（1） （1＋Δx）2－1 ＝ ＝2＋Δx； Δx Δx 在 x＝2 附近的平均变化率为 f（2＋Δx）－f（2） （2＋Δx）2－22 k2＝ ＝ ＝4＋Δx； Δx Δx 在 x＝3 附近的平均变化率为 f（3＋Δx）－f（3） （3＋Δx）2－32 k3＝ ＝ ＝6＋Δx. Δx Δx
已知函数 f(x) ＝ x2 ＋ x ，分别计算 f(x) 在区间 [1 ， 3] ， [1 ， 2]，[1，1.5]，[1，1＋Δx]的平均变化率．
【解】 函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 3] 的 平 均 变 化 率 为
f（3）－f（1） 32＋3－（12＋1） ＝ ＝5； 2 3－1 f（2）－f（1） 函数 f(x)在区间[1，2]的平均变化率为 ＝ 2－1 22＋2－（12＋1） ＝4； 1
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RB . 数学 . 选修2-2
f（1.5）－f（1） 函数 f(x)在区间[1， 1.5]的平均变化率为 ＝ 1.5－1 1.52＋1.5－（12＋1） ＝3.5. 0.5 函 数 f(x) 在 区 间 [1 ， 1 ＋ Δ x] 的 平 均 变 化 率 为 f（1＋Δx）－f（1） （1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1） ＝ （1＋Δx）－1 Δx 3Δx＋（Δx）2 ＝ ＝3＋Δx. Δx
【解】 (1)运动员在第一个 0.5 s 内高度 h 的平均变化 h（0.5）－h（0） 率为 ＝4.05(m/s)； 0.5－0 (2) 在 1≤t≤2 这段时间内，高度 h 的平均变化率为 h（2）－h（1） ＝－8.2(m/s)． 2－1
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RB . 数学 . 选修2-2
课标 解读
1.通过实例了解函数平均变化率的意义.
2.掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 的方法与步骤．(重点、难点)
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率 【问题导思】 假设图1－1－1是一座山的剖面示意图，并建立如图所示 平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝
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RB . 数学 . 选修2-2
【自主解答】 (1)①∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δ y＝ f(－ 1)－ f(－ 3)＝ [3×(－ 1)＋ 1]－ [3×(－ 3)＋ 1]＝ 6， Δy 6 ∴ ＝ ＝3，即 f(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为 Δx 2 3. ②∵Δx＝－1－(－3)＝2， Δy＝g(－1)－g(－ 3)＝ [2×(－1)2＋1]－ [2×(－3)2＋1]＝ －16， Δy －16 ∴ ＝ ＝－8， 2 Δx 即 g(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为－8.
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RB . 数学 . 选修2-2
用定义法求平均变化率的基本步骤是： (1)作差求Δx； (2)求出Δy，对Δy 进行变形，通常用到的变形有：通分、配 Δy 方、分母(子)有理化等；(3)作商求出 . Δx
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f（1＋Δx）－f（1） [（1＋Δx）2＋a]－（1＋a） ＝ ＝2＋Δ Δx Δx x；
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f（2＋Δx）－f（2） 在 x＝2 附近的平均变化率为 k2＝ Δx [（2＋Δx）2＋a]－（22＋a） ＝ ＝4＋Δx； Δx f（3＋Δx）－f（3） 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝ Δx [（3＋Δx）2＋a]－（32＋a） ＝ ＝6＋Δx. Δx 1 1 7 1 13 1 若Δx＝ ，则 k1＝2＋ ＝ ，k2＝4＋ ＝ ，k3＝6＋ ＝ 3 3 3 3 3 3 19 . 3
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由于 k1<k2<k3， ∴函数 f(x)＝x2＋a 在 x＝3 附近的平均变化率最大． 当 f(x)＝－x2 时， f（1＋Δx）－f（1） f(x)在 x＝1 附近的平均变化率为 k1＝ ＝ Δx [－（1＋Δx）2]－（－1） ＝－2－Δx； Δx f（2＋Δx）－f（2） 在 x ＝ 2 附近的平均变化率为 k2 ＝ ＝ Δx [－（2＋Δx）2]－（－4） ＝－4－Δx； Δx
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教 学 教 法 分 析 易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 选 资 源
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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1． 1 1．1.1
●三维目标 1．知识与技能
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1．求质点运动的平均速度，实质与求函数的平均变化率
相同．
2．解答此类问题，首先要明确自变量与函数值的实际意 义，弄清楚函数的单调性，然后利用定义求平均变化率，并 结合题意回答有关问题．
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变量作差顺序不对应致误
已知曲线y＝－2x3＋2和这条曲线上的两个点P(1，
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高 度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－ 4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率．
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f（3＋Δx）－f（3） 在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝ Δx [－（3＋Δx）2]－（－9） ＝ ＝－6－Δx. Δx 1 1 7 1 13 若Δx＝3，则 k1＝－2－3＝－3，k2＝－4－3＝－ 3 ，k3 1 19 ＝－6－3＝－ 3 .