单指标正交试验设计 电子教材
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一、正交试验设计的基本概念
正交试验设计法，就是利用规格化的正交表合理地安排试验，运 用数理统计原理分析试验结果，从而通过代表性很强的少数次试验摸 清各因素对结果的影响情况，并根据影响的大小确定因素主次顺序， 找出较好的生产条件或较优的参数组合。
1．试验指标
试验中用来衡量试验结果的特征量叫试验指标。产品的质量、成 本、产量等都可以作为试验指标。能够用数量表示的指标为定量指标， 如尺寸、合格率等；不能用数量表示的指标为定性指标，如颜色、光 泽等。在正交试验中，总是把定性指标定量化，以便分析试验结果， 一般采用的定量化方法是评分法。
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在制定因素水平表时，必须挑选那些对指标可能影响较大，但又
没有把握好的因素。因素水平的间隔要适当，在可能范围内尽可能拉 大差距。
（3）选择正交表。首先根据水平数的多少选择正交表的类型。由 于本例 3 个因素有 3 个水平，所以选择水平相等的正交表。又因本例 有 3 个因素，所以选择的正交表至少有 3 列。综上所述，在常见的 正交表中选择 L9(34)来设计试验方案。
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计的基础上，开发了被称为日本式设计质量管理技术的 3 次设计，充 分利用产品或系统中存在的非线性效应，以取得高质量、低成本的综 合效果，因而在国际上得到广泛应用。
试验设计的方法很多，如单因素优选法、多因素单指标正交试验 设计、多因素多指标正交试验设计、水平不等的正交试验设计、存在 交互作用的正交试验设计等。由于在生产实际中经常遇到的是多因素 试验设计的问题，因此单因素优选法就不在这里介绍了。本节将介绍 多因素单指标正交试验设计。
1 2 3 1 2 3
用碱量 C
1（5%） 2（6%） 3（7%）
2 3 1 3 1 2
转换率/% D
y
1
31
2
54
3
38
3
53
1
49
2
42
2
57
3
62
1
64
2．对试验结果进行分析
（1）试验结果的直观分析。试验结果的直观分析就是比较正交表 中 9 次试验当中最好的试验条件，本例考察的是化工产品的转换率， 要求转换率越高越好。第九号试验的转换率为 64%，是 9 次试验当中 最高的，这样就得到好条件 A3B3C2。但是该试验条件只是这 9 次试 验当中最好的，3 个因素各有 3 个水平总共可以安排 27 次试验，通
但各次试验的因素水平组合不能改变。每一号试验都有化工产品的转 换率 y，填写在表 3.3 中的最后一栏。
因素 试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
表 3.3 试验设计方案
反应温度 A
1（80℃） 1 1
2（85℃） 2 2
3（90℃） 3 3
反应时间 B
1（90 分） 2（120 分） 3（150 分）
④ 画趋势图预测下批试验的适宜条件。为了进一步提高指标转换
率，以每个因素的实际水平为横坐标，其试验结果总和为纵坐标，画
出各因素的趋势图，如图 3.2 所示。
图 3.2 趋势图 从趋势图上可以大致看出试验结果随水平变化的关系，为进一步
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试验提供了新的信息。 ⑤ 确定适宜生产条件。从直接比较看，提高转换率的好条件是
异只反映因素 A 的 3 个水平之间的差异，因为这 3 组试验条件除了 因素 A 的水平有差异外，因素 B 与因素 C 的条件是一致的，因此可 以通过比较这 3 个指标和的大小看出因素 A 的水平的好坏。在因素 A 中 3 个水平的指标和中，3 水平的指标和最大，也就是 3 水平的转换 率最高，所以因素 A 应该选取 3 水平。同理，因素 B 应该选取 2 水 平，因素 C 应该选取 2 水平。综上所述，可以使转换率指标最高的 试验条件是 A3B2C2，即反应温度 90℃，反应时间 120 分钟，用碱量 6%。
2．因素
对试验指标有影响的参数称为因素，又叫因子。在试验中，可进 行人为的调节和控制的因素是可控因素，如温度、时间等；由于试验 技术限制暂时还不能人为地加以调控的因素是不可控因素，如机床的 振动、刀具磨损等。正交试验中所考察的因素都是可控因素，一般用 英文字母 A、B、C、…表示因素。
3．水平 因素在试验中所处的状态和条件的变化可能引起指标的变动，把
（1）每个纵列的字码“1”、“2”、“3”各出现 3 次。
（2）任意两个纵列当中，每一行都形成一个有序数对，如（1，1）、
（1，2）等出现的次数相等，说明任意两列的字码“1”、“2”、“3”
间的搭配是均匀的。
这些特点对于其他任何正交表来说也是具备的。因此，概括起来
正交表具有以下特点：
（1）均匀分散性，是指正交表中不同因素之间的水平搭配均匀。
反应温度 A
1（80℃） 1 1
2（85℃） 2 2
3（90℃） 3 3 123 144 183 60
反应时间 B
1（90 分） 2（120 分） 3（150 分）
1 2 3 1 2 3 141 165 144 24
用碱量 C
1（5%） 2（6%） 3（7%）
2 3 1 3 1 2 135 171 144 36
转换率/% D
y
1
31
2
54
3
38
3
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1
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2
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2
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3
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1
64
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T 总=450
153
153
9
② 最佳试验条件的确定。本例中，只有一个指标，而且不考虑存
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在交互作用的情况，所以选取好的试验条件只需要考察各因素不同水
平试验结果的指标值的大小。 由上面的计算结果可知，对于因素 A 来说，T1、T2、T3 之间的差
（2）整齐可比性，是指各个因素的水平由于搭配均匀而可以直接
对比。
三、用正交表安排试验
本节用一个实例说明正交试验设计的一般步骤和基本原理。 【例 3.1】 为提高某化工产品的转换率请应用正交表进行正交试 验设计，并确定最适宜的因素水平给合。
1．试验方案的设计
（1）明确目的、确定指标。试验目的是提高转换率。试验指标是 转换率越大越好。
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因素变化的各种状态和条件称为因素的水平，又叫位级。一个因素 往往要考察几个水平，如采用不同的淬火温度、不同的反应时间等， 一般用阿拉伯数字 1、2、3、…表示水平，如 A1 表示 A 因素 1 水 平。
二、正交表
1．正交表的格式 正交表是一套已经制作好的规格化表格，是正交试验设计的基本 工具。正交表的表示形式，如图 3.1 所示。
2．正交表的特点
正交表的特点可以从正交表 L9（34）中看出，如表 3.1 所示。
表 3.1 L9（34）
试验号
列号
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
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4
2
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3
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3
2
这张正交表有 9 个横行，4 个纵列，其特点是：
续表
2 3 1
（2）制定因素水平表。根据生产实践和专业知识，影响该化工 产品转换率的因素有 A——反应温度；B——反应时间；C——用碱 量。每个因素都取 3 个水平，其因素水平如表 3.2 所示。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
因素 水平
1 2 3
表 3.2 因素水平
反应温度/℃ A 80 85 90
反应时间/分钟 B 90 120 150
用碱量/% C 5 6 7
（4）用选好的正交表安排试验。可以把 3 个因素分别放在 3 个纵 列，每列放一个因素，第四列没有放置因素，可用来估计误差。然后 采用对号入座的方法将实际水平填入正交表 L9(34)中，便得到试验设 计方案表，如表 3.3 所示。试验方案一经确定，试验的先后顺序可以 改变，不必按表中的试验号进行，有条件时可以将各号试验同时进行，
T1=31+54+38=123 以此类推。同时计算各因素 3 个水平试验结果的极差。例如因素 A 的 3 个水平的极差是因素 A 的 3 个水平在 3 次试验当中最大值与最 小值之差，即
R=183－123=60 以此类推，计算的结果如表 3.4 所示。
表 3.4 试验结果极差分析
因素
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 T1 T2 T3 R
A3B3C2，这个条件的转换率为 64%。通过计算知道，提高转换率的好 条件是 A3B2C2。这个条件是否一定就比 A3B3C2 好呢？当因素之间不 存在交互作用时，一般来说直接比较不如通过计算。但存在交互作用 时，情况就比较复杂了，所以不能肯定哪个更好。为了慎重起见，在 确定适宜的因素水平组合时，应当通过工艺验证。对两个好的试验条 件进行对比验证性试验。工艺验证表明：A3B2C2 的转换率为 74%， A3B3C2 的 转 换 率 为 64% 。 从 而 可 以确 认 适 宜 的 因 素 水平 组 合 为 A3B2C2。
③ 判断各因素的影响大小。极差 R 的大小可用来衡量试验中相应 因素对指标作用的显著性。极差 R 大的因素，意味着它的 3 个水平对 于转换率所造成的差别大，是显著的重要因素。极差 R 小的因素则往 往是次要因素。本例中，RA>RC>RB，所以各因素对试验结果的影响 程度从主到次分别为 A→C→B。故影响转换率的重要因素是反应温 度，当温度为 90℃时转换率得到提高，若再要提高转换率，则应对 反应温度再作详细考察。而反应时间与用碱量的极差相近，均较小， 可不对这两个因素的作用再作进一步的考察，都取 2 水平，即反应时 间 120 分钟，用碱量 6%。
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过直观比较只能找到这 9 次试验当中最好的试验条件，会不会有更好 的试验条件就需要通过更详细的分析。
（2）试验结果的极差分析。所谓极差分析，就是通过极差的大小 来判断因素的主次，并探索最佳试验方案的过程。其具体步骤如下：
① 计算各因素不同水平的指标和。本例中共安排了 9 次试验，每 个因素的不同水平各做了 3 次试验，分别计算各因素的不同水平指标 和。例如，对于因素 A1 水平的指标和是第一号、第二号、第三号 3 次试验的指标和，因为这 3 个试验都采用 A 因素的 1 水平进行试验， 但因素 B 的 3 个水平各参加了一次试验，因素 C 的 3 个水平也各参 加了一次试验，所以有
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第三章 设计质量管理
第一节 单指标正交试验设计
设计阶段的质量管理是企业进行全面质量管理的重要组成部分。 在设计阶段可以采用很多的质量管理方法，如试验设计、田口方法、 质量功能展开等。本章主要介绍试验设计和质量功能展开。
科技人员在进行科研开发工作、产品与工艺设计工作时，常常遇 到多因素试验分析的问题。究竟哪些因素与自己设想的方案的目标值 关系密切？哪些因素仅仅引起目标值的偶然波动？企业实际工作涉 及的系统容量之大，研究对象涉及的因素如此之多，因素之间的交 互作用如此复杂，仅仅依靠直觉经验与专业技术知识，往往是不能 作出正确判断并得到正确的结论。
从质量管理角度看，上面的问题实际上联系着技术革新、产品开 发设计与科学试验等开发性质的领域。当然人们希望能找到一种实证 的方式来进行正确的判断。实践证明，正交试验设计方法就是达到 这些要求的强有力的质量管理统计技术。
试验设计法，早在 1920 年就由英国著名统计学家费希尔（R. A. Fisher）发展起来。他先在农业试验上采用多因素配置方式，对不同 因素的每一种位级组合进行试验，并用方差分析方法分析因素对指标 的影响。但是，采用这种方法进行试验时，当因素与位级增加时，试 验次数将急剧增加。从而导致试验周期长，成本上升，甚至根本无法 进行试验。20 世纪 40 年代，芬尼（D. J. Finney）提出多因素试验的 部分实施方法，奠定了减少试验次数的正交试验设计法的基础。50 年代初期，日本电讯研究所的田口玄一博士，又在此基础上开发了正 交试验设计技术，应用一套规格化的正交表来安排试验，采用一种程 序化的计算方法来分析试验结果。由于这种方法的试验次数少、分析 方法简便、重复性好、可靠性高、适用面广，因此在日本获得迅速的 普及，成为质量管理的重要工具。以后田口玄一博士又在正交试验设
图 3.1 正交表的表示形式 例如，正交表 L9（34）的含义为作 9 次试验，最多可以安排 4 个 因素，每个因素有 3 个水平。常见的正交表有 L4（23）、L9（34）、 L8（27）、L27（313）、L8（41×24）等。其中 L8（41×24）表示可以 安排水平不等的正交试验设计的正交表，可安排 1 个 4 水平的因素和 4 个 2 水平的因素，试验次数为 8 次。
正交试验设计法，就是利用规格化的正交表合理地安排试验，运 用数理统计原理分析试验结果，从而通过代表性很强的少数次试验摸 清各因素对结果的影响情况，并根据影响的大小确定因素主次顺序， 找出较好的生产条件或较优的参数组合。
1．试验指标
试验中用来衡量试验结果的特征量叫试验指标。产品的质量、成 本、产量等都可以作为试验指标。能够用数量表示的指标为定量指标， 如尺寸、合格率等；不能用数量表示的指标为定性指标，如颜色、光 泽等。在正交试验中，总是把定性指标定量化，以便分析试验结果， 一般采用的定量化方法是评分法。
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在制定因素水平表时，必须挑选那些对指标可能影响较大，但又
没有把握好的因素。因素水平的间隔要适当，在可能范围内尽可能拉 大差距。
（3）选择正交表。首先根据水平数的多少选择正交表的类型。由 于本例 3 个因素有 3 个水平，所以选择水平相等的正交表。又因本例 有 3 个因素，所以选择的正交表至少有 3 列。综上所述，在常见的 正交表中选择 L9(34)来设计试验方案。
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计的基础上，开发了被称为日本式设计质量管理技术的 3 次设计，充 分利用产品或系统中存在的非线性效应，以取得高质量、低成本的综 合效果，因而在国际上得到广泛应用。
试验设计的方法很多，如单因素优选法、多因素单指标正交试验 设计、多因素多指标正交试验设计、水平不等的正交试验设计、存在 交互作用的正交试验设计等。由于在生产实际中经常遇到的是多因素 试验设计的问题，因此单因素优选法就不在这里介绍了。本节将介绍 多因素单指标正交试验设计。
1 2 3 1 2 3
用碱量 C
1（5%） 2（6%） 3（7%）
2 3 1 3 1 2
转换率/% D
y
1
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2
54
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3
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2
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2
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2．对试验结果进行分析
（1）试验结果的直观分析。试验结果的直观分析就是比较正交表 中 9 次试验当中最好的试验条件，本例考察的是化工产品的转换率， 要求转换率越高越好。第九号试验的转换率为 64%，是 9 次试验当中 最高的，这样就得到好条件 A3B3C2。但是该试验条件只是这 9 次试 验当中最好的，3 个因素各有 3 个水平总共可以安排 27 次试验，通
但各次试验的因素水平组合不能改变。每一号试验都有化工产品的转 换率 y，填写在表 3.3 中的最后一栏。
因素 试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
表 3.3 试验设计方案
反应温度 A
1（80℃） 1 1
2（85℃） 2 2
3（90℃） 3 3
反应时间 B
1（90 分） 2（120 分） 3（150 分）
④ 画趋势图预测下批试验的适宜条件。为了进一步提高指标转换
率，以每个因素的实际水平为横坐标，其试验结果总和为纵坐标，画
出各因素的趋势图，如图 3.2 所示。
图 3.2 趋势图 从趋势图上可以大致看出试验结果随水平变化的关系，为进一步
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试验提供了新的信息。 ⑤ 确定适宜生产条件。从直接比较看，提高转换率的好条件是
异只反映因素 A 的 3 个水平之间的差异，因为这 3 组试验条件除了 因素 A 的水平有差异外，因素 B 与因素 C 的条件是一致的，因此可 以通过比较这 3 个指标和的大小看出因素 A 的水平的好坏。在因素 A 中 3 个水平的指标和中，3 水平的指标和最大，也就是 3 水平的转换 率最高，所以因素 A 应该选取 3 水平。同理，因素 B 应该选取 2 水 平，因素 C 应该选取 2 水平。综上所述，可以使转换率指标最高的 试验条件是 A3B2C2，即反应温度 90℃，反应时间 120 分钟，用碱量 6%。
2．因素
对试验指标有影响的参数称为因素，又叫因子。在试验中，可进 行人为的调节和控制的因素是可控因素，如温度、时间等；由于试验 技术限制暂时还不能人为地加以调控的因素是不可控因素，如机床的 振动、刀具磨损等。正交试验中所考察的因素都是可控因素，一般用 英文字母 A、B、C、…表示因素。
3．水平 因素在试验中所处的状态和条件的变化可能引起指标的变动，把
（1）每个纵列的字码“1”、“2”、“3”各出现 3 次。
（2）任意两个纵列当中，每一行都形成一个有序数对，如（1，1）、
（1，2）等出现的次数相等，说明任意两列的字码“1”、“2”、“3”
间的搭配是均匀的。
这些特点对于其他任何正交表来说也是具备的。因此，概括起来
正交表具有以下特点：
（1）均匀分散性，是指正交表中不同因素之间的水平搭配均匀。
反应温度 A
1（80℃） 1 1
2（85℃） 2 2
3（90℃） 3 3 123 144 183 60
反应时间 B
1（90 分） 2（120 分） 3（150 分）
1 2 3 1 2 3 141 165 144 24
用碱量 C
1（5%） 2（6%） 3（7%）
2 3 1 3 1 2 135 171 144 36
转换率/% D
y
1
31
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3
53
1
49
2
42
2
57
3
62
1
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T 总=450
153
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② 最佳试验条件的确定。本例中，只有一个指标，而且不考虑存
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在交互作用的情况，所以选取好的试验条件只需要考察各因素不同水
平试验结果的指标值的大小。 由上面的计算结果可知，对于因素 A 来说，T1、T2、T3 之间的差
（2）整齐可比性，是指各个因素的水平由于搭配均匀而可以直接
对比。
三、用正交表安排试验
本节用一个实例说明正交试验设计的一般步骤和基本原理。 【例 3.1】 为提高某化工产品的转换率请应用正交表进行正交试 验设计，并确定最适宜的因素水平给合。
1．试验方案的设计
（1）明确目的、确定指标。试验目的是提高转换率。试验指标是 转换率越大越好。
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因素变化的各种状态和条件称为因素的水平，又叫位级。一个因素 往往要考察几个水平，如采用不同的淬火温度、不同的反应时间等， 一般用阿拉伯数字 1、2、3、…表示水平，如 A1 表示 A 因素 1 水 平。
二、正交表
1．正交表的格式 正交表是一套已经制作好的规格化表格，是正交试验设计的基本 工具。正交表的表示形式，如图 3.1 所示。
2．正交表的特点
正交表的特点可以从正交表 L9（34）中看出，如表 3.1 所示。
表 3.1 L9（34）
试验号
列号
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
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1
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1
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2
这张正交表有 9 个横行，4 个纵列，其特点是：
续表
2 3 1
（2）制定因素水平表。根据生产实践和专业知识，影响该化工 产品转换率的因素有 A——反应温度；B——反应时间；C——用碱 量。每个因素都取 3 个水平，其因素水平如表 3.2 所示。
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因素 水平
1 2 3
表 3.2 因素水平
反应温度/℃ A 80 85 90
反应时间/分钟 B 90 120 150
用碱量/% C 5 6 7
（4）用选好的正交表安排试验。可以把 3 个因素分别放在 3 个纵 列，每列放一个因素，第四列没有放置因素，可用来估计误差。然后 采用对号入座的方法将实际水平填入正交表 L9(34)中，便得到试验设 计方案表，如表 3.3 所示。试验方案一经确定，试验的先后顺序可以 改变，不必按表中的试验号进行，有条件时可以将各号试验同时进行，
T1=31+54+38=123 以此类推。同时计算各因素 3 个水平试验结果的极差。例如因素 A 的 3 个水平的极差是因素 A 的 3 个水平在 3 次试验当中最大值与最 小值之差，即
R=183－123=60 以此类推，计算的结果如表 3.4 所示。
表 3.4 试验结果极差分析
因素
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 T1 T2 T3 R
A3B3C2，这个条件的转换率为 64%。通过计算知道，提高转换率的好 条件是 A3B2C2。这个条件是否一定就比 A3B3C2 好呢？当因素之间不 存在交互作用时，一般来说直接比较不如通过计算。但存在交互作用 时，情况就比较复杂了，所以不能肯定哪个更好。为了慎重起见，在 确定适宜的因素水平组合时，应当通过工艺验证。对两个好的试验条 件进行对比验证性试验。工艺验证表明：A3B2C2 的转换率为 74%， A3B3C2 的 转 换 率 为 64% 。 从 而 可 以确 认 适 宜 的 因 素 水平 组 合 为 A3B2C2。
③ 判断各因素的影响大小。极差 R 的大小可用来衡量试验中相应 因素对指标作用的显著性。极差 R 大的因素，意味着它的 3 个水平对 于转换率所造成的差别大，是显著的重要因素。极差 R 小的因素则往 往是次要因素。本例中，RA>RC>RB，所以各因素对试验结果的影响 程度从主到次分别为 A→C→B。故影响转换率的重要因素是反应温 度，当温度为 90℃时转换率得到提高，若再要提高转换率，则应对 反应温度再作详细考察。而反应时间与用碱量的极差相近，均较小， 可不对这两个因素的作用再作进一步的考察，都取 2 水平，即反应时 间 120 分钟，用碱量 6%。
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（2）试验结果的极差分析。所谓极差分析，就是通过极差的大小 来判断因素的主次，并探索最佳试验方案的过程。其具体步骤如下：
① 计算各因素不同水平的指标和。本例中共安排了 9 次试验，每 个因素的不同水平各做了 3 次试验，分别计算各因素的不同水平指标 和。例如，对于因素 A1 水平的指标和是第一号、第二号、第三号 3 次试验的指标和，因为这 3 个试验都采用 A 因素的 1 水平进行试验， 但因素 B 的 3 个水平各参加了一次试验，因素 C 的 3 个水平也各参 加了一次试验，所以有
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第三章 设计质量管理
第一节 单指标正交试验设计
设计阶段的质量管理是企业进行全面质量管理的重要组成部分。 在设计阶段可以采用很多的质量管理方法，如试验设计、田口方法、 质量功能展开等。本章主要介绍试验设计和质量功能展开。
科技人员在进行科研开发工作、产品与工艺设计工作时，常常遇 到多因素试验分析的问题。究竟哪些因素与自己设想的方案的目标值 关系密切？哪些因素仅仅引起目标值的偶然波动？企业实际工作涉 及的系统容量之大，研究对象涉及的因素如此之多，因素之间的交 互作用如此复杂，仅仅依靠直觉经验与专业技术知识，往往是不能 作出正确判断并得到正确的结论。
从质量管理角度看，上面的问题实际上联系着技术革新、产品开 发设计与科学试验等开发性质的领域。当然人们希望能找到一种实证 的方式来进行正确的判断。实践证明，正交试验设计方法就是达到 这些要求的强有力的质量管理统计技术。
试验设计法，早在 1920 年就由英国著名统计学家费希尔（R. A. Fisher）发展起来。他先在农业试验上采用多因素配置方式，对不同 因素的每一种位级组合进行试验，并用方差分析方法分析因素对指标 的影响。但是，采用这种方法进行试验时，当因素与位级增加时，试 验次数将急剧增加。从而导致试验周期长，成本上升，甚至根本无法 进行试验。20 世纪 40 年代，芬尼（D. J. Finney）提出多因素试验的 部分实施方法，奠定了减少试验次数的正交试验设计法的基础。50 年代初期，日本电讯研究所的田口玄一博士，又在此基础上开发了正 交试验设计技术，应用一套规格化的正交表来安排试验，采用一种程 序化的计算方法来分析试验结果。由于这种方法的试验次数少、分析 方法简便、重复性好、可靠性高、适用面广，因此在日本获得迅速的 普及，成为质量管理的重要工具。以后田口玄一博士又在正交试验设
图 3.1 正交表的表示形式 例如，正交表 L9（34）的含义为作 9 次试验，最多可以安排 4 个 因素，每个因素有 3 个水平。常见的正交表有 L4（23）、L9（34）、 L8（27）、L27（313）、L8（41×24）等。其中 L8（41×24）表示可以 安排水平不等的正交试验设计的正交表，可安排 1 个 4 水平的因素和 4 个 2 水平的因素，试验次数为 8 次。