母函数与递推关系习题

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母函数与递推关系习题

1、 有n 阶台阶,一人从下往上走,每次走一或两级,求他走这n 级台阶的方法数。

2、 {1,2,3,}n S n = 的一个子集为交替的:如果按递增次序列出该子集的元素时,它们的

奇偶性为:奇、偶、奇、偶、 。空集也算作交替的。求n S 的交替自己的树木。

3、 某人有n 元钱,他一天买一样东西,或一元钱的甲、或二元钱的乙、或二元钱的丙,问他用完这n 元钱有多少种方法?

4、 求{,,}S a b c =∞⋅的n 排列数,要求在排列中a 与a 不相邻。

5、 设40n n i a i ==

∑,0n ≥,求n a 。 6、 求1003102-⎛⎫ ⎪⎝⎭。

7、 平面上有n 条直线,其中任意两条都相交于一点,但没有三条相交于同一点,求这n 条直线将平面分成的区域数。

8、 空间中有n 个平面,其中任意两个都有唯一交线,任意三个都有唯一一个交点,但没有四个相交于同一点。求这n 个平面将空间分成的区域数。

9、 在平面上画一个圆,然后再依次画n 条与圆都相交的直线,其中当k 是大于1的奇数时,第k 条直线只与前面(1)k -条直线中的一条在圆内相交,当k 是偶数时,第k 条直线与前面(1)k -条直线都在圆内相交,又没有三条直线在圆内相交于同一点。求这n 直线将圆分成的区域数。

10、

求{1,2,3}S =∞⋅的k 排列的个数,要求在排列中同一元素至多连续出现两次。 11、 将一个凸(1)n +边形用它的对角线划分成三角形,要求所用的对角现在多边形内部无交点,求划分的方法数。

12、 设一克、三克、七克重的砝码分别有1枚、3枚、2枚。问用这些砝码能称出哪些重量?称每一重量又各有几种方案?

13、 有两种拆分:(1)1{1,12,3,14,}S =∞⋅⋅∞⋅⋅ ;(2)23{1,2,3,}S =⋅ 。证明对

同一正整数n ,这两种拆分的拆分数相等。

14、 证明:周长为2n ,边长为整数的三角形的个数等于将n 拆分成恰好三项的拆分数。

15、

证明:将n 拆分成k 项,并且要求考虑各项次序的个数为11k n C --。 16、 设n a 为多重集{1,2,,}S m =∞⋅ 的n -组合数,要求在组合当中,每一元素出现

偶数次。求n a 的母函数,进而求n a 。 17、

求多重集{53S =⋅⋅黑,红,⋅2白}的5-组合数和5-排列数。 18、 求下列两个方程的整数解的个数:

123123123123()5;05,03,02;

()8;16,03,2 4.a x x x x x x b x x x x x x ++=≤≤≤≤≤≤++=≤≤≤≤≤≤ 19、

求n 位四进制数的个数,要求在其中2和3都出现偶数次。 20、 把1到n 按顺序排成一圈,然后从中取出k 个数,要求两两之间另有至少两个数。

求方法数。

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