立体几何(向量法)—找点难(定比分点公式)

立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式）

例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱

ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,

E 为棱AA 1的中点. (Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;

(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.

(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.

【答案】解：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)．

(1)证明：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE →

＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C →

＝(1，－2，－1)，

设平面B 1CE 的法向量＝(x ，y ，z )，

则⎩⎪⎨⎪⎧·B 1C →＝0，m ·

CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量

为＝(－3，－2，1)．

由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→

＝(1，0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．

于是cos 〈，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→

|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－2 77，从而sin 〈，B 1C 1→

〉＝217.

所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为

21

7

. (3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →

＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．

设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →

〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝

2λλ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1

.

于是

λ3λ2＋2λ＋1＝26

，解得λ＝1

3(负值舍去)，所以AM ＝ 2.

方法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从

而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E .又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E

＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .

(2)过B 1 作B 1G ⊥CE 于点G ，联结C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE .故CE ⊥平面B 1C 1G ，得

CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E

中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝2 63.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝21

7，即二面角

B 1－CE －

C 1的正弦值为

21

7

. (3)联结D 1E, 过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，联结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．

设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝

26x ，AH ＝346

x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝1

3x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－

2AE ·EH cos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋2

3

x .

整理得5x 2－2 2x －6＝0，解得x ＝2(负值舍去)，所以线段AM 的长为 2.

例2（2013年高考北京卷（理））如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形,平

面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ;

(Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;

(Ⅲ)证明:在线段BC 1存在点D,使得AD ⊥A 1B ,并求

1

BD

BC 的值.

【答案】解:

(I)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1 ⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA 1 ⊥AC,AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),

设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,则1110

A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r n n ,即34040y z x -=⎧⎨

=⎩, 令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =.

同理可得,平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =,所以16

cos 25

⋅=

=n m n,m |n ||m |. 由题

知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角,所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为

1625

.