中考数学函数综合讲义 附答案
专题四 二次函数综合题(含答案)2025年中考数学一轮题型专练(陕西)
专题四 二次函数综合题题型1 二次函数的实际应用二次函数的实际应用问题,在陕西中考2022,2023,2024年连续三年进行考查,其考查本质为二次函数表达式的应用,其主要为顶点式的考查,在表达式的基础上进行实践应用的考查,知x求y或知y求x,利用二次函数性质求最值,感受数学在实际问题中的应用.类型1 抛物线运动轨迹问题(2024·西安市莲湖区模拟)如图,在一场校园羽毛球比赛中,小华在点P选择吊球进行击球,当羽毛球飞行的水平距离是1 m时,达到最大高度3.2 m,建立如图所示的平面直角坐标系.羽毛球在空中的运行轨迹可以近似地看成抛物线的一部分,队友小乐则在点P选择扣球进行击球,羽毛球的飞行高度y1(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似地满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8.(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式.(2)在(1)的条件下,已知球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,且点A,C都在x轴上,实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式?解题指南 (1)抓住最大高度这一特征,设出顶点式:y=a(x-h)2+k,然后将点P的坐标代入即可.(2)分别令一次函数与二次函数的y为0,对比两种方式在x轴的交点的横坐标到点C的横坐标的距离大小即可.类型2 以建筑为背景的“过桥”问题(2024·西工大模拟)陕北窑洞,具有十分浓厚的民俗风情和乡土气息.如图,某窑洞口的下部近似为矩形OABC,上部近似为一条抛物线.已知OA=3 m,AB=2 m,m.窑洞的最高点M(抛物线的顶点)离地面OA的距离为258(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的表达式.(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户DEFG,使得点D,E在矩形OABC的边BC上,点F,G在抛物线上,那么这个正方形窗户DEFG的边长为多少米?解题指南 (1)借助点M为顶点,设出顶点式,然后将点B坐标代入顶点式即可.(2)设出小正方形DEFG的边长,然后用所设边长表示出点G的横坐标、纵坐标,最后代入(1)中抛物线的表达式解方程即可.(2024·西安新城区模拟)某地想将新建公园的正门设计为一个抛物线型拱门,设计部门给出了如下方案:将拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,抛物线型拱门的跨度ON=24 m,拱高PE=8 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)现要在拱门中设置矩形框架,其周长越小越好(框架粗细忽略不计).设计部门给出了两个设计方案:方案一:矩形框架ABCD的周长记为C1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上,其中AB=6 m.方案二:矩形框架A'B'C'D'的周长记为C2,点A',D'在抛物线上,边B'C'在ON上,其中A'B'=4 m.求这两个方案中,矩形框架的周长C1,C2,并比较C1,C2的大小.类型3 以“悬挂线”为背景解决高度问题如图,在一个斜坡上架设两个塔柱AB,CD(可看作两条竖直的线段),塔柱间挂起的电缆线下垂可以近似地看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足AB=CD=27 m,塔柱AB与CD之间的水平距离为60 m,且两个塔柱底端点D与点B的高度差为12 m.以点A为坐标原点,1 m为单位长度构建平面直角坐标系. (1)求点B,C,D的坐标.x2一样,且电(2)经过测量,AC段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线y=1100缆线距离斜坡面竖直高度至少为15.5 m时,才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆线的架设是否符合安全要求?并说明理由.(2024·陕师大附中模拟)在元旦来临之际,学校安排各班在教室进行联欢.八(2)班同学准备装点一下教室.他们在屋顶对角A,B两点之间拉了一根彩带,彩带自然下垂后呈抛物线形状.若以两面墙交线AO为y轴,以点A正下方的墙角点O为原点建立平面直角坐标系,此时彩带呈现出的抛物线表达式为y=ax2-0.6x+3.5.已知屋顶对角线AB长12 m.(1)a= ,该抛物线的顶点坐标为.(2)小军想从屋顶正中心C(C为AB的中点)系一根绳子CD.将正下方彩带最低点向上提起,这样两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物线形状(如图所示).要使两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m.求这根绳子的下端D到地面的距离.题型2 图形面积探究类型1 面积、线段最值探究二次函数中面积问题,基本上都可以转化为线段相关问题,线段的三种表示方式:①水平型,②垂直型,③斜型.以边为分类标准,可采取不同方法进行面积的求解,现对不同类型线段的表示作以说明.(1)线段AB∥y轴时,点A,B横坐标相等,则AB=|y1-y2|=|y2-y1|=y1-y2.(2)线段BC∥x轴时,点B,C纵坐标相等,则BC=|x2-x1|=|x1-x2|=x2-x1.(3)线段AC与x轴,y轴不平行时,在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2.第一步,过动点向x轴作垂线,与定边产生交点第二步,设动点坐标,表示交点坐标第三步,表示纵向线段长度|y上-y下|第四步,利用水平宽铅垂高表示三角形面积:S=12(y 上-y 下)(x 右-x 左)【原创好题】“水平宽”与“铅垂高”的运用:已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(x C ,y C ),用含有A,B,C 坐标的方式表示出△ABC 的面积.解题指南 (1)在平面直角坐标系中作△ABC,要求点A,B 在点C 的左、右两侧,经过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D,则△ABC 被分成两部分,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .(2)过点A 作△ADC 的高h 1,过点B 作△DBC 的高h 2,所以△ACD 与△BCD 的面积表示为S △ADC =12CD·h 1,S △BCD =12CD·h 2.(3)所以S △ABC =S △ADC +S △BCD =12CD·h 1+12CD·h 2=12CD·(h 1+h 2).(4)其中h 1与h 2的和可以看作点A 与点B 的水平间的距离,因此称之为“水平宽”,h 1+h 2=|x B -x A |,CD 是点C 与点D 的竖直间的距离,称之为“铅垂高”,即CD=|y D -y C |,故S △ABC =S △ACD +S △BCD =12|y D -y C |·|x B -x A |.1.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y=x+4与坐标轴分别交于A,B 两点,抛物线y=-x 2+bx+c 过A,B 两点,D 为线段AB 上一动点,过点D 作CD ⊥x 轴于点C,交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式.(2)求△ABE 面积的最大值.2.如图,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)若P为线段BC上的一点(不与点B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N.当线段PM的长度最大时,求点M的坐标.类型2 面积关系探究(2018.T24)x2+bx与x轴交于O,A 【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-43两点,B(1,4)在抛物线上.若P是抛物线上一点,且在直线AB的上方,且满足△OAB 的面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标.解题指南 (1)第一步,将点B的坐标代入抛物线的表达式,求出b的值,根据A,B两点的坐标,求出直线AB的表达式;(2)第二步,借助三角形的面积公式,求出△OAB的面积,根据△OAB与△PAB的面积关系求出△PAB的面积;(3)第三步,设点P的坐标为t,-43t2+163t,过点P作x轴的垂线,与AB交于点N,并结合直线AB的表达式,表示出点N的坐标;(4)第四步,借助“水平宽,铅垂高”,求出PN的长度,用含有t的式子表示出PN的长度,构造方程求解即可.1.如图,抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为x+3交于C,D两点,连接BD,AD.(3,0),抛物线与直线y=-32(1)求m的值.(2)求A,D两点的坐标.(3)若抛物线上有一点P,满足S△ABP=4S△ABD,求点P的坐标.2.如图,在平面直角坐标系中,点A(0,-1),抛物线y=-x2+bx+c经过点B(4,5)和C(5,0).(1)求抛物线的表达式.(2)连接AB,BC,求∠ABC的正切值.(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点D,使得S△ABD=S△ABC?若存在,直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.3.已知抛物线y=-x2+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,是否存在M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由.解题指南 (1)由交点式可直接得出抛物线的解析式.(2)设P(1,m),根据列出方程,进而求得点P的坐标.(3)作PQ∥BC交y轴于点Q,作MN∥BC交y轴于点N,先求出PQ的解析式,进而求得MN的解析式,进一步求得结果. 借助“同底等高”找等面积的方法在平面直角坐标系中有△ABC,分别在BC所在直线的两侧找出一点P和Q,使得S△PBC=S△QBC=S△ABC.操作方式:(1)根据要求可知△PBC和△QBC均与△ABC具有共同的底边BC,要使它们的面积相等,只需要它们的高相等即可,因此可以设△PBC与△QBC的高均为h;(2)确定高以后,过点A作BC的平行线,则在所作平行线上存在一点P满足S△PBC=S△ABC;(3)如图,将BC所在直线向下平移AO'个单位长度,过A'作BC的平行线,则该直线上存在一点Q满足S△QBC=S△ABC;(4)运用“同底等高”法时,务必考虑不同位置的情况;(5)进行面积计算时,可以直接利用三角形面积公式求解.题型3 特殊三角形问题探究类型1 等腰三角形问题探究等腰三角形存在问题,可以分为两个方向来解决,几何法和代数法,其中几何法的优势在于比较直观地得到结果,对几何图形要求较高;代数法以解析几何为背景可更快地找到等量关系,方法较为单一,等腰三角形问题做完之后一定要验证是否出现三点共线的情况.方法一 几何法(1)两圆一线找出点;(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长,由线段长求得点坐标方法二 代数法(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB=AC;②AB=BC;③AC=BC;(4)列出方程求解(2024·铁一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L的顶点E的坐标为(-2,8),且过点B(0,6),与x轴交于M,N两点.(1)求该抛物线L的表达式.(2)设抛物线L关于y轴对称后的抛物线为L',其顶点记为点D,连接MD,在抛物线L'对称轴上是否存在点Q,使得以点M,D,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·西咸新区模拟)如图,抛物线L:y=ax2+bx-3(a、b为常数,且a≠0)与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.将抛物线L向右平移1个单位长度得到抛物线L'.(1)求抛物线L的函数表达式.(2)连接AC,探究抛物线L'的对称轴直线l上是否存在点P,使得以点A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型2 直角三角形问题探究直角三角形存在问题,菱形中对角线垂直,矩形中的内角为直角,有下列两个方向可以帮助解决问题,不同的方法适用不同方向的题目,注意区分其方法.一、勾股定理若AC2+BC2=AB2,则△ABC为直角三角形二、构造“K”字型相似过直角顶点作坐标轴的平行线,过其他两点向平行线作垂直,出现“一线三等角”模型,利用“一线三等角”的相似模型,构建方程解决问题已知抛物线L:y=ax2-2ax-8a(a≠0)与x轴交于点A,点B,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C.(1)求出点A与点B的坐标.(2)当△ABC是以AB为斜边的直角三角形时,求抛物线L的表达式.如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)交x轴于点A(-5,0),B(-1,0),交y轴于点C(0,5).(1)求抛物线C1的表达式和顶点D的坐标.(2)将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2,E为抛物线C2上一点,若△DOE是以DO为直角边的直角三角形,求点E的坐标. 直角三角形中的找点方法和计算方法找点方法:示例:如图,在平面内有A,B两点,试着找出一点C,使得A,B,C三点构成的三角形为直角三角形.分两种情况讨论:当AB为直角边时,{过点A作AB的垂线l1,过点B作AB的垂线l2;当AB为斜边时,以AB为直径作圆.如图,在直线l1,l2上的点C满足△ABC为直角三角形,但要注意一点:点C不与A,B两点重合.我们将这种找点C的方法称为“两线一圆”.计算方法:(1)利用勾股定理构造方程求解;(2)以“K”字型搭建相似三角形,列比例式构造方程求解.类型3 等腰直角三角形问题探究等腰直角三角形相关问题,以等腰直角三角形和正方形问题,主要解题方法相对统一,注意如何构图能直观得到“K”字全等是解决问题的关键之处.(1)过直角顶点作坐标轴平行线,构造“K”字全等(2)方法一:设某小边长度.方法二:设点坐标,表示直角三角形中的直角边(3)利用某纵向或横向线段构建等式(x+1)(x-5)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.如果P是如图,抛物线y=-25抛物线上一点,M是该抛物线对称轴上的点,当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时,求点P的坐标.解题指南 第一步,过直角顶点作平行y轴的垂线,分别过另两个顶点作垂直,构造“K”字全等;第二步,利用坐标分别表示两直角三角形的直角边;第三步,利用某边相等构造方程.(2024·高新一中模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线L:y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求出抛物线L的表达式和顶点的坐标.(2)P是抛物线L的对称轴右侧图象上的一点,过点P作x的垂线交x轴于点Q,作抛物线L关于直线PQ对称抛物线L',则C关于直线PQ的对称点为C',若△PCC'为等腰直角三角形,求出抛物线L'的表达式.题型4 三角形关系问题类型1 与相似三角形结合问题三角形的关系问题是陕西考试中非常常见的一个类型,中考中多次连续出现,相似问题的处理方法也相对较为固定,以固定三角形为参照,找到定角,以边为分类标准,进行分类讨论.主要有两个方法.方法一:利用一角相等,邻边成比例证明相似方法二:两组角相等的三角形相似分析目标三角形:第一类:找一角相等,用邻边成比例.第二类:找一角相等(多为90°问题),找另一角相等.方法总结:(1)分动、定三角形;(2)找等角;(3)表示边或者找另一角相等.(2024·曲江一中模拟)如图,抛物线y=ax 2+bx 经过坐标原点O 与点A(3,0),正比例函数y=kx 与抛物线交于点B 72,74.(1)求该抛物线的函数表达式.(2)P 是第四象限抛物线上的一个动点,过点P 作PM ⊥x 轴于点N,交OB 于点M,是否存在点P,使得△OMN 与以点N,A,P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(2024·陕师大附中模拟)已知抛物线L 1:y=x 2+bx+c 与x 轴交于点A,B(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C(0,-3),对称轴为直线x=1.(1)求此二次函数表达式和点A,B 的坐标.(2)P 为第四象限内抛物线L 1上一动点,将抛物线L 1平移得到抛物线L 2,抛物线L 2的顶点为点P,抛物线L 2与y 轴交于点E,过点P 作y 轴的垂线交y 轴于点D.是否存在点P,使以点P,D,E 为顶点的三角形与△AOC 相似?如果存在,请写出平移过程,并说明理由.类型2 与全等三角形结合问题1.全等为特殊的相似,相似比为1,方法与相似一致.2.注意相等角的邻边分类情况.【改编】如图,抛物线y=-23x 2+103x+4的图象与x 轴交于A,B 两点,与y 轴的正半轴交于点C,过点C 的直线y=-43x+4与x 轴交于点D.若M 是抛物线上位于第一象限的一动点,过点M 作ME ⊥CD 于点E,MF ∥x 轴交直线CD 于点F,当△MEF ≌△COD 时,求出点M 的坐标.解题指南 当△MEF ≌△COD 时,(1)找准对应角、边.结合关系式可知,∠MEF=∠COD,∠MFE=∠CDO,MF=CD.(2)根据直线CD 的表达式求出线段CD 的长度.由点M 在抛物线上,可以设点M的坐标为m,-23m 2+103m+4,再由MF ∥x 轴,得点F 的纵坐标.根据全等三角形的对应边相等可以得出点F 的横坐标为m-5.(3)由点F 在直线CD 上,将点F 的坐标代入直线CD 的表达式中,求出m 的值.已知经过原点O 的抛物线y=-x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A.(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴.(2)B 是OA 的中点,N 是y 轴正半轴上一点,在第一象限内的抛物线上是否存在点M,使得△OMN 与△OBM 全等,且点B 与点N 为对应点?若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. 与全等三角形结合问题的求解步骤(1)全等三角形的问题与相似三角形的问题步骤类似,均是先列出三角形的对应关系式,再根据关系式找出对应边相等;(2)借助对应边相等,将边与边的长度关系用点的坐标进行表示,然后运用“两点间距离公式”构造方程求解.题型5 特殊四边形问题探究类型1 平行四边形问题探究平行四边形问题,一般分为三定一动,两定两动问题,选取固定的两个点为分类标准,①以某边为边时;②以某边为对角线时.第一步,寻找分类标准;第二步,平移点,找关系(注意:从A到B和从B到A);第三步,代入关系求值(2024·西工大附中模拟)如图,抛物线y=ax2-2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,3),B(-3,0)两点,该抛物线的顶点为C.(1)求此抛物线和直线AB的表达式.(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N.使点M,N,C,E是平行四边形的四个顶点?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【改编】已知点A(-1,0)在抛物线L:y=x2-x-2上,抛物线L'与抛物线L关于原点对称,点A的对应点为点A',是否在抛物线L上存在一点P,在抛物线L'上存在一点Q,使得以AA'为边,且以A,A',P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 平行四边形中坐标的计算如图1,在平行四边形ABDC 中,关于坐标的计算——平移法则:x B -x A =x D -x C ,y B -y A =y D -y C ,x A -x C =x B -x D ,y A -y C =y B -y D .如图2,在平行四边形ADBC 中,关于坐标的计算——中点坐标公式:x M =x A +x B 2=x C +x D 2,y M =y A +y B 2=y C +y D 2.类型2 菱形问题探究菱形存在问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线垂直或邻边相等即可得菱形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A +x C 2=x B +x D 2;y A +y C 2=y B +y D 2.(3)对角线垂直:可参照直角存在问题.邻边相等:可参照等腰存在问题.(4)平移型:先平行四边形,再菱形.翻折型:先等腰,再菱形.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为等腰存在问题,可以利用等腰存在问题策略解决问题如图,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC 和BC.(1)求抛物线的函数表达式.(2)若M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.类型3 矩形问题探究矩形存在性问题,主要分两类. 第一类:以平行四边形为背景,在平行四边形的基础上增加对角线相等或一内角为90°即可得到矩形.(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)方向一 对角线相等:(x A-x C)2+(y A-y C)2=(x B-x D)2+(y B-y D)2.方向二 有一角为90°.第二类:若出现在平面内任意一点存在性问题,则去掉此点,转化为直角存在问题,可以利用直角存在问题策略解决问题已知抛物线L:y=ax2+bx(a≠0)经过点B(6,0),C(3,9).(1)求抛物线L的表达式.(2)若抛物线L'与抛物线L关于x轴对称,P,Q(点P,Q不与点O,B重合)分别是抛物线L,L'上的动点,连接PO,PB,QO,QB,问四边形OPBQ能否为矩形?若能,求出满足条件的点P和点Q的坐标;若不能,请说明理由.已知抛物线L:y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标.(2)抛物线L平移后得到抛物线L',点A,C在抛物线L'上的对应点分别为点A',C',若以A,C,A',C'为顶点的四边形是面积为20的矩形,求平移后的抛物线L'的表达式.类型4 正方形问题探究(在菱形的基础上增加对角线相等)(1)选一定点,再将这一定点与另外点的连线作为对角线,分类讨论.(2)利用中点坐标公式列方程:x A+x C=x B+x D;y A+y C=y B+y D.(3)平行四边形题基础上加等腰直角三角形问题.,正方形ABCD的边AB 如图,一条抛物线y=ax2+bx(a≠0)的顶点坐标为2,83落在x轴的正半轴上,点C,D在这条抛物线上.(1)求这条抛物线的表达式.(2)求正方形ABCD的边长.解题指南 (1)已知顶点,可直接设抛物线的顶点式:y=a(x-h)2+k,将点的坐标代入计算即可.(2)①在正方形中,四条边均相等;②设出正方形的边长,并根据所设边长表示出正方形ABCD的顶点坐标;③注意观察正方形ABCD的顶点C,D在抛物线上;④代入相应点的坐标求出所设的边长即可.x2+bx+c的图象L经过原点,且与x轴的另一个交点为(8,0).已知二次函数y=-13(1)求该二次函数的表达式.(2)作x轴的平行线,交L于A,B两点(点A在点B的左侧),过A,B两点分别作x 轴的垂线,垂足分别为D,C.当以A,B,C,D为顶点的四边形是正方形时,求点A的坐标. 借助抛物线判定正方形的思路步骤1.明确在抛物线上的正方形的两个顶点;2.借助抛物线表达式y=ax2+bx+c(a≠0),设出其中一个顶点坐标为(x,ax2+bx+c),然后利用抛物线对称轴表示出另一个顶点坐标;3.根据正方形四条边相等构造一元二次方程求解即可.题型6 角度问题探究角相关问题是二次函数中相对较为综合性的问题,在近几年中考中也常出现在各个省市的中考题中,问题最终都会落到以下问题上来.等角问题,可直接用等角的性质来处理问题.解决策略:(1)寻找相似,出现等角;(2)利用三角函数找等角;(3)利用轴对称来找等角.【改编】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-x2+4x-3与x轴分别交于A,B两点,且点A在点B的左侧.在抛物线上是否存在一点D,使得∠DOA=45°?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.解题指南 以平面直角坐标系为背景来探究角度问题,常用的思路为借助三角函数构造方程求解.本题具体步骤如下:第一步,根据∠DOA=45°,联想tan∠DOA=1;第二步,根据点D在抛物线上,可以过点D作x轴的垂线,记垂足为H,在△DOH中,tan∠DOH=DH OH;第三步,由点D在抛物线上,设点D的坐标为(t,-t2+4t-3);第四步,根据DH=|y D|=|-t2+4t-3|,OH=|t|,构造方程求解即可.已知抛物线L:y=-23x2+bx+c,与y轴的交点为C(0,2),与x轴的交点分别为A(3,0),B(点A在点B右侧).(1)求抛物线的表达式.(2)将抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位长度,所得的抛物线与x轴的左交点为M,与y轴的交点为N,若∠NMO=∠CAO,求m的值.参考答案题型1 二次函数的实际应用类型1 抛物线运动轨迹问题例1 解析:(1)在y 1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y 1=2.8,∴P (0,2.8).根据题意,二次函数图象的顶点坐标为(1,3.2).设二次函数的表达式为y=a (x-1)2+3.2,把P (0,2.8)代入y=a (x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4,∴吊球时羽毛球满足的二次函数表达式y=-0.4(x-1)2+3.2.(2)吊球时,令y=0,则-0.4(x-1)2+3.2=0,解得x 1=1+22,x 2=1-22(舍去),扣球时,令y=0,则-0.4x+2.8=0,解得x=7.∵OA=3 m,CA=2 m,∴OC=OA+AC=5.∵7-5=2,|22+1-5|=4-22<2,∴选择吊球时,球的落地点到点C 的距离更近.类型2 以建筑为背景的“过桥”问题例2 解析:(1)由题意得点M ,B 的坐标分别为32,258,(3,2).设抛物线的表达式为y=a x-322+258,将点B 的坐标代入上式得2=a 3-322+258,解得a=-12,∴抛物线的表达式为y=-12x-322+258.(2)设正方形的边长为2m.把点G 32-m ,2+2m 代入抛物线表达式,得2+2m=-1232-m-322+258,解得m=12(负值已舍去),∴正方形窗户DEFG 的边长为1 m .变式设问 解析:(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(12,8),N (24,0).设y=a (x-12)2+8,把N (24,0)代入表达式中,得a=-118,∴该抛物线的函数表达式为y=-118(x-12)2+8.(2)方案一:令y=6,即6=-118(x-12)2+8.解得x 1=6,x 2=18,∴BC=AD=12.又∵AB=CD=6,∴矩形ABCD 的周长C 1=2×12+2×6=36(m).方案二:令y=4,即4=-118(x-12)2+8,解得x 1=12-62,x 2=12+62,∴B'C'=A'D'=12+62-(12-62)=122.又∵A'B'=C'D'=4,∴矩形A'B'C'D'的周长C 2=2×122+2×4=(242+8)m .∵C 1=36=28+8=4×7+8,C 2=242+8=4×62+8,∴36<242+8,即C 1<C 2.类型3 以“悬挂线”为背景解决高度问题例3 解析:(1)如图,过点C 作CE ⊥y 轴,垂足为E ,过点D 作DF ⊥y 轴,垂足为F.记CD 与x 轴相交于点G.根据题意,得点B 的坐标是(0,-27).∵FB=12,则GD=OF=OB-FB=27-12=15,OG=FD=EC=60,CG=CD-GD=27-15=12,∴点C 的坐标是(60,12),点D 的坐标是(60,-15).(2)符合安全要求.理由:设AC 段所挂电缆线对应的抛物线的函数表达式为y=1100x 2+bx ,将点C (60,12)代入表达式中,得12=1100×602+60b ,解得b=-25,∴y=1100x 2-25x.由点B (0,-27),D (60,-15)可知直线BD 的表达式为y=15x-27.记M 为抛物线上一点,过点M 作x 轴的垂线与BD 交于点N.设点M m ,1100m 2-25m ,则点N m ,15m-27,故MN=1100m 2-25m-15m-27=1100(m-30)2+18≥18>15.5,∴电缆线距离斜坡面竖直高度的最小值为18 m,高于安全需要的距离15.5 m,故符合安全要求.变式设问 解析:(1)0.05;(6,1.7).提示:由题意得抛物线的对称轴为直线x=6,则A (0,3.5),B (12,3.5),∴144a-7.2+3.5=3.5,解得a=0.05,∴抛物线的表达式为y=0.05x 2-0.6x+3.5.当x=6时,y=0.05x 2-0.6x+3.5=1.7,即该抛物线的顶点坐标为(6,1.7),(2)∵两个新抛物线彩带最低点之间的水平距离为5 m,且比之前的最低点提高0.3 m,∴左边新抛物线的顶点坐标为(3.5,2).设左边新抛物线的表达式为y=a'(x-3.5)2+2,将点A 的坐标代入上式得3.5=a'(0-3.5)2+2,解得a'=649,∴左侧抛物线的表达式为y=649(x-3.5)2+2.当x=6时,y=649(6-3.5)2+2=27198,∴这根绳子的下端D 到地面的距高为27198m .题型2 图形面积探究类型1 面积、线段最值探究例1 解析:如图,过点C 作垂直于x 轴的直线,与AB 交于点D ,分别过点A ,B 作CD 的垂线段h 1,h 2,即S △ABC =S △ACD +S △BCD .∵S △ADC =12CD ·h 1,S △BCD =12CD ·h 2,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12CD ·(h 1+h 2).又∵CD=|y D -y C |,h 1+h 2=|x B -x A |,∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12(y D -y C)(x B -x A ).变式设问 1.解析:(1)在一次函数y=x+4中,令x=0,得y=4,令y=0,得x=-4,∴A (-4,0),B (0,4).∵点A (-4,0),B (0,4)在抛物线y=-x 2+bx+c 上,∴{-16-4b +c =0,c =4,解得{b =-3,c =4,∴抛物线的表达式为y=-x 2-3x+4.(2)设点C 的坐标为(m ,0)(-4≤m ≤0),则点E 的坐标为(m ,-m 2-3m+4),点D 的坐标为(m ,m+4),。
全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案解析
全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案解析一、二次函数1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．【答案】（1）y=-2x-3；（2）．【解析】试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴线段FH的长．考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴2点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，2，∴2或OP=PC ﹣2﹣3∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752 【解析】【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b a=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解；（2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可； （3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2b a=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论： ①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m 10，即点C 坐标为：（10，0）或（﹣10，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5222±，即：点C 坐标为（5222+，0）或（5﹣220）；③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=9710，则点C坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时△DAC的周长最小；（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：FE＝2：1，求E点坐标；（4）点M、N同时从B点出发，分别沿BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点N停止运动后，在x轴上是否存在点P ，使得△PBN 是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++（2）81,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点P 的坐标P 1（﹣1，0）或P 2（7，0）或P 3（﹣95，0）或P 4（13，0）． 【解析】【分析】 （1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点，先求出直线BC ，然后D 点横坐标是1，直接代入直线BC 求出纵坐标即可 （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，易证△ABF ∽△EHF ，得AB AF 2EH EF ==,得EH=2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+），y E ＝y H ，解出方程x ＝1或x ＝2，得到E 点坐标 （4）△PBN 是等腰三角形，分成三种情况，①BP ＝BC 时，利用等腰三角性质直接得到P 1（﹣1，0）或P 2（7，0），②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，易得△NHB ∽△COB ，利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH ＝BH ，BP ，进而得到OP ，即得到P 点坐标，③当PN ＝PB 时，取NB 中点K ，作KP ⊥BN ，交x 轴于点P ，易得△NOB ∽△PKB ，利用比例式求出PB ，进而得到OP ，即求出P 点坐标【详解】解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+4，得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a ＝43-，b ＝83， ∴抛物线的解析式248433y x x =-++； （2）22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x ＝1，∴D 的横坐标为1，由（1）可得C （0，4），∵B （3，0），∴直线BC ：4 y 43x =-+ ∵DA ＝DB ， △DAC 的周长＝AC+CD+AD ＝AC+CD+BD ，连接BC ，与对称轴交于点D ，此时CD+BD 最小，∵AC 为定值，∴此时△DAC 的周长，当x ＝1时，y ＝﹣43×1+4＝83， ∴D （1，83）； （3）作EH ∥AB 交BC 于H ，则∠FAB ＝∠FEH ，∠FBA ＝∠FHE ，∴△ABF ∽△EHF ，∵AF ：FE ＝2：1，∴AB AF 2EH EF==， ∵AB ＝4，∴EH ＝2，设E （x ，248x x 433-++），则H （x ﹣2，420x 33-+） ∵EH ∥AB ，∴y E ＝y H ， ∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x ＝1或x ＝2， y ＝163或4， ∴E （1，163）或（2，4）； （4）∵A （﹣1，0）、B （3，0），C （0，4）∴AB ＝4，OC ＝4，点M 运动到点A 时，BM ＝AB ＝4，∴BN ＝4，∵△PBN 是等腰三角形，①BP ＝BC 时，若P 在点B 左侧，OP ＝PB ﹣OB ＝4﹣3＝1，∴P 1（﹣1，0），若P 在点B 右侧，OP ＝OB+BP ＝4+3＝7，∴P 2（7，0）；②当NB ＝NP 时，作NH ⊥x 轴，△NHB ∽△COB ，∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH ＝45OC ＝445⨯＝165， BH ＝45BC ＝125，∴PH＝BH＝125，BP＝245，∴OP＝BP﹣OB＝249355-=，∴P3（﹣95，0）；③当PN＝PB时，取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，∴△NOB∽△PKB，∴PB BKBN OB=∴PB＝83，∴OP＝OB﹣PB＝3﹣83＝13P4（13，0）综上，当△PBN是等腰三角形时，点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣95，0）或P4（13，0）．【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点，综合程度比较高，对综合能力要求比较高. 第一问比较简单，考查待定系数法；第二问最短距离，找到D点是解题关键；第三问证明出相似是关键；第四问能够分情况讨论是解题关键5．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝12x+3（2≤x≤10）．①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？②该公司买入杨梅吨数在范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x ＝8时，此时W 最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x ≤8．【解析】【分析】（1）设其解析式为y ＝kx +b ，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ，根据二次函数的性质即可得到结论；（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．【详解】（1）由图象可知，y 是关于x 的一次函数．∴设其解析式为y ＝kx +b ，∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，∴21289k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得k ＝﹣12，b ＝13， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣12x +13， 当x ＝6时，y ＝10，答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）根据题意得，w ＝（y ﹣4）x ＝（﹣12x +13﹣4）x ＝﹣12x 2+9x ， 当x ＝﹣2b a＝9时，x ＝9不在取值范围内， ∴当x ＝8时，此时W 最大值＝﹣12x 2+9x ＝40万元； （3）①由题意得：﹣12x 2+9x ＝9x ﹣（12x +3）解得x＝﹣2（舍去），x＝3，答该公司买入杨梅3吨；②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．故答案为：3＜x≤8．【点睛】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．6．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE 面积最大，并求出其最大值；（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=52时，四边形AOPE面积最大，最大值为758.（3）P点的坐标为：P13+515-），P2（35-1+5P35+51+5P4（552-，152）.【解析】分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=12×3×3+12PG•AE，=92+12×3×（-m2+5m-3），=-32m2+152m，=32（m-52）2+758， ∵-32＜0， ∴当m=52时，S 有最大值是758； （3）如图3，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∵△OPF 是等腰直角三角形，且OP=PF ，易得△OMP ≌△PNF ，∴OM=PN ，∵P （m ，m 2-4m+3），则-m 2+4m-3=2-m ，解得：m=5+5或55-， ∴P 的坐标为（5+5，1+5）或（55-，15-）； 如图4，过P 作MN ⊥x 轴于N ，过F 作FM ⊥MN 于M ，同理得△ONP ≌△PMF ，∴PN=FM ，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=3+5或35 -；P的坐标为（3+5，15-）或（35-，1+52）；综上所述，点P的坐标是：（5+52，1+52）或（552-，152-）或（3+5，15-）或（35-，1+5）．点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．7．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．【解析】试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；（2）联立两解析式可得：，解得：，或．故可得点A的坐标为（，）；（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××=4+﹣=；（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，∵P的坐标为（2，4），∴4=×2+b，解得b=3，∴直线PM的解析式为y=x+3．由，解得，， ∴点M 的坐标为（，）．考点：二次函数的综合题8．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）.（2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0）， ∴2a 1b 12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=，∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3).又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<-∴线段QD 长度的最大值为94. 9．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。
中考一次函数复习讲义
一次函数复习一讲义小结1 概述主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示方法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质以及应用举例，用函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组，课题学习“选择方案”． 函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际，又服务于客观实际，而一次函数又是函数中最简单、最基本的函数，它是学习其他函数的基础，所以理解和掌握一次函数的概念、图象和性质至关重要，应认真掌握．小结2 学习重难点【重点】理解函数的概念，特别是一次函数和正比例函数的概念，掌握一次函数的图象及性质，会利用待定系数法求一次函数的解析式．利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力，初步体会方程与函数的关系及函数与不等式的关系，从而建立良好的知识联系． 【难点】1．根据题设的条件寻找一次函数关系式，熟练作出一次函数的图象，掌握一次函数的图象和性质，求出一次函数的表达式，会利用函数图象解决实际问题．2．理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程组的关系． 小结3 学法指导1．注意从运动变化和联系对应的角度认识函数．2．借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，通过函数应用举例，体会数学建模思想．3．注重数形结合思想在函数学习中的应用．4．加强前后知识的联系，体会函数观点的统领作用．5．结合课题学习，提高实践意识和综合应用数学知识的能力．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 函数自变量的取值范围一次函数定义：在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么x 是 自变量，y 是x 的函数函数的三种表示法：列表法、图象法、解析法变量与函数一次函数正比例函数定义：形如y ＝kx (k ≠0)的函数性质：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小一次函数定义：形如y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)的函数 性质：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小待定系数法求函数关系式函数与方程(组)、不等式之间的关系：当函数值是一个具体数值时，函数关系式就转化为方程(组)：当函数值是一个范围 时，函数关系式就转化为不等式；两直线 的交点坐标就是二元一次方程组的解一次函数的实际应用【专题解读】 一般地，求自变量的取值范围时应先建立自变量满足的所有不等式，通过解不等式组下结论． 例1 函数21+=x y 中，自变量x 的取值范围是 ( )A ．x ≠0B ．x ≠1C ．x ≠2D ．x ≠－2例2 函数xx y -+=21中，自变量x 的取值范围是 ( )A ．x ≥－1B ．－1＜x ＜2C ．－1≤x ＜2D ．x ＜2专题2 一次函数的定义【专题解读】 一次函数一般形如y ＝kx ＋b ，其中自变量的次数为1，系数不为0，两者缺一不可．例3 在一次函数y ＝(m －3)x m －1＋x ＋3中，符x ≠0，则m 的值为 ．专题3 一次函数的图象及性质【专题解读】 一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为⎪⎭⎫⎝⎛-0,k b ，(0，b )．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置． 例4 已知一次函数的图象经过(2，5)和(－1，－1)两点．(1)画出这个函数的图象；(2)求这个一次函数的解析式．二、规律方法专题专题4 一次函数与方程(或方程组或不等式)的关系【专题解读】 可根据一次函数的图象求出一元一次方程或二元一次方程(组)的解或一元一次不等式的解集，反之，由方程(组)的解也可确定一次函数表达武．例5 如图14－105所示，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是 ．例6 假定拖拉机耕地时，每小时的耗油量是个常最，已知拖拉机耕地2小时油箱中余油28升，耕地3小时油箱中余油22升．(1)写出油箱中余油量Q (升)与工作时间t (小时)之间的函数关系式； (2)画出函数的图象；(3)这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地几小时?三、思想方法专题专题6 函数思想【专题解读】 函数思想就是应用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，抽象升华为函数模型，进而解决有关问题的方法，函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数思想可以解决许多数学问题．例7 利用图象解二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=-②.5①,22y x y x例8 我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0．05 mL ．小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明离开x 小时后，水龙头滴了y mL 水．(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；(2)当滴了1620 mL 水时，小明离开水龙头几小时?专题7 数形结合思想【专题解读】 数形结合思想是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思想方法．数形结合思想在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．例9 如图14－108所示，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，如果A 点的坐标为(2，0)，且OA ＝OB ，试求一次函数的解析式．专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论思想是在对数学对象进行分类的过程中寻求答案的一种思想方法．分类讨论思想既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学方法．分类的关键是根据分类的目的，找出分类的对象．分类既不能重复，也不能遗漏，最后要全面总结．例10 在一次遥控车比赛中，电脑记录了速度的变化过程，如图14－109所示，能否用函数关系式表示这段记录?专题9 方程思想【专题解读】 方程思想是指对通过列方程(组)使所求数学问题得解的方法．在函数及其图象中，方程思想的应用主要体现在运用待定系数法确定函数关系式．例11 已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过点A (－3，－2)及点B (1，6)，求此函数关系式，并作出函数图象．2011中考真题精选一、选择题1. （2011新疆乌鲁木齐，5，4）将直线y ＝2x 向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析式为（ ）A 、y ＝2x －1B 、y ＝2x －2C 、y ＝2x ＋1D 、y ＝2x ＋2考点：一次函数图象与几何变换。
2024年中考数学总复习：一次函数(附答案解析)
②每分钟出水3.75L；
③容器中水为25L的时间是8min或 min；
④第2或 min时容器内的水恰为10升；
错误的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
25．甲、乙两人同时从家里出发，沿同一条笔直的公路向公园进行跑步训练，乙的家比甲的家离公园近100米，5分钟后甲追上乙．此时乙将速度提高到原来的速度的2倍，又经过15分钟后，乙先到达公园并立即返回，但因体力不支，乙返回时的速度又降低到原来的速度，甲跑到公园后也立即掉头回家，整个过程中，甲的速度始终保持不变，甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则当乙回到家时，甲离自己的家还有（ ）
A．30元B．20元C．15元D．10元
19．把y＝2x+1的图象沿y轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（ ）
A．y＝2x+5B．y＝2x+6C．y＝2x﹣4D．y＝2x+4
20．正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y＝﹣x﹣k的图象是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．3
6．已知一次函数y＝kx﹣2，若y随x的增大而减小，则它的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
7．A，B两地相距30km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图，反映的是两人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了4.5个小时到达目的地；③乙比甲迟出发0.5小时；④甲在出发5小时后被乙追上，以上说法正确的个数有（ ）
中考数学复习---二次函数之二次函数综合知识点总结与练习题(含答案解析)
中考数学复习---二次函数之二次函数综合知识点总结与练习题（含答案解析） 知识点总结1. 二次函数与一元二次方程：①若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点⇔一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根⇔042＞ac b −=∆。
②若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴只有一个交点⇔一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根⇔042=−=∆ac b 。
③若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴没有交点⇔一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根⇔042＜ac b −=∆。
④若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与直线m y =相交，则一元二次方程为m c bx ax =++2。
交点情况与方程的解的情况同与x 轴相交时一样。
2. 二次函数与不等式（组）若二次函数()02≠++=a c bx ax y 与一次函数()0≠+=k b kx y 存在交点，则不等式：b kx c bx ax +++＞2的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；b kx c bx ax +++＜2的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。
3. 二次函数的一些特殊的自变量的函数值：①当1=x 时所对应的函数值为c b a y ++=。
②当1−=x 时所对应的函数值为c b a y +−=。
③当2=x 时所对应的函数值为c b a y ++=24。
④当2−=x 时所对应的函数值为c b a y +−=24。
4. 对称轴的特殊值：①若对称轴为直线1=x 时，则02=+b a 。
②若对称轴为直线1−=x 时，则02=−b a 。
③判断b a +2与0的大小关系时，看对称轴与1=x 的位置关系。
④判断b a −2与0的大小关系时，看对称轴与1−=x 的位置关系。
练习题1、（2022•巴中）函数y ＝|ax 2+bx +c |（a ＞0，b 2﹣4ac ＞0）的图像是由函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0，b 2﹣4ac ＞0）的图像x 轴上方部分不变，下方部分沿x 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）①2a +b ＝0；②c ＝3；③abc ＞0；④将图像向上平移1个单位后与直线y ＝5有3个交点．A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①③④【分析】根据函数图像与x 轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得2a +b ＝0，由图像可得抛物线y ＝ax 2+bx +c 与y 轴交点在x 轴下方，由抛物线y ＝ax 2+bx +c 的开口方向，对称轴位置和抛物线与y 轴交点位置可得abc 的符号，求出二次函数y ＝ax 2+bx +c 的顶点式，可得图像向上平移1个单位后与直线y ＝5有3个交点【解答】解：∵图像经过（﹣1，0），（3，0），∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，∴﹣＝1，∴b ＝﹣2a ，即2a +b ＝0，①正确．由图像可得抛物线y ＝ax 2+bx +c 与y 轴交点在x 轴下方，∴c＜0，②错误．由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，③正确．设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图像向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；故选：D．2、（2022•资阳）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图像，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】①：根据二次函数的对称轴，c＝1，即可判断出abc＞0；②：结合图像发现，当x＝﹣1时，函数值大于1，代入即可判断；③：结合图像发现，当x＝1时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图像，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），∴，c＝1，∴ab＞0，∴abc＞0，故①正确；从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2⋅a+（﹣1）⋅b+c＞1，即a﹣b+c＞1，故②正确；∵，∴b＝2a，从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，∴a+b+c＜0，∴3a+c＜0，故③正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，将（0，1）代入得，1＝a+2，解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，∴当x＝1时，y＝﹣2；∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，故选A．3、（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图像经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c ﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），从而得到x1＝﹣3，x2＝1，则可对③进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴b ＝2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0，所以①正确；∵x ＝﹣1时，y 有最小值，∴a ﹣b +c ≤at 2+bt +c （t 为任意实数），即a ﹣bt ≤at 2+b ，所以②正确；∵图像经过点（1，3）时，得ax 2+bx +c ﹣3＝0的两根为x 1，x 2（x 1＜x 2），∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝3的一个交点为（1，3），∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝3的另一个交点为（﹣3，3），即x 1＝﹣3，x 2＝1，∴x 1+3x 2＝﹣3+3＝0，所以③正确．故选：D ．4、（2022•日照）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图像如图所示，对称轴为x ＝23，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a +b ＝0；②若点（21，y 1），（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；③10b ﹣3c ＝0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由对称轴为x＝即可判断①；根据点（，y1），（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，对称轴x＝﹣＝，得出a＝﹣b，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣3a，∴3a+b＝0，①正确；∵抛物线开口向上，点（，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，∴y1＜y2，故②正确；∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∵对称轴x＝﹣＝，∴a＝﹣b，∴﹣b﹣b+c＝0，∴3c＝4b，∴4b﹣3c＝0，故③错误；∵对称轴x＝，∴点（0，c）的对称点为（3，c），∵开口向上，∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；故选：C．5、（2022•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，∴函数的最大值为4a﹣2b+c，∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∴16a+c＞4b，故③正确；∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），∵抛物线开口向下，∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；故选：B．6、（2022•绵阳）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像关于直线x＝1对称，与x轴交于A （x1，0），B（x2，0）两点．若﹣2＜x1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x2＜4；②3a+2b ＞0；③b2＞a+c+4ac；④a＞c＞b，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点以及x＝﹣1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a﹣b+c＜0，即可判断④．【解答】解：∵对称轴为直线x＝1，﹣2＜x1＜﹣1，∴3＜x2＜4，①正确，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a，∵a＞0，∴3a+2b＜0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，由题意可知x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，∵a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴a+c＜0，∴b2﹣4ac＞a+c，∴b2＞a+c+4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c＜0，∴a＞c，∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，∴3a+c＜0，∴c＜﹣3a，∴b＝﹣2a，∴b＞c，所以④错误；故选：B．7、（2022•牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x 轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c ＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据函数图像的开口方向、对称轴、图像与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x ＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y ＝0即可判断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④；【解答】解：①观察图像可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误；②∵对称轴为直线x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，∴点A（﹣5，0），点B（1，0），∴当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a+c﹣b）＝0，故②正确；③抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，即﹣＝﹣2，∴b＝4a，∵a+b+c＝0，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴9a+4c＝﹣11a，∵a ＞0，∴9a +4c ＜0，故③正确；④当x ＝﹣2时，函数有最小值y ＝4a ﹣2b +c ，由am 2+bm +c ≥4a ﹣2b +c ，可得am 2+bm +2b ≥4a ，∴若m 为任意实数，则am 2+bm +2b ≥4a ，故④正确；故选：C ．8、（2022•烟台）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图像如图所示，其对称轴为直线x ＝﹣21，且与x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc ＞0；②a ＝b ；③2a +c ＝0；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③【分析】根据对称轴、开口方向、与y 轴的交点位置即可判断a 、b 、c 与0的大小关系，然后将由对称轴可知a ＝b ．图像过（﹣2，0）代入二次函数中可得4a ﹣2b +c ＝0．再由二次函数最小值小于0，从而可判断ax 2+bx +c ＝1有两个不相同的解．【解答】解：①由图可知：a ＞0，c ＜0，＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b ＝a ，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y ＝ax 2+bx +c ，∴4a ﹣2b +c ＝0，∵a ＝b ，∴2a +c ＝0，故③符合题意．④由图像可知：二次函数y ＝ax 2+bx +c 的最小值小于0，令y ＝1代入y ＝ax 2+bx +c ，∴ax 2+bx +c ＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D ．9、（2022•广安）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝1，与x 轴正半轴的交点为A （3，0），其部分图像如图所示，有下列结论：①abc ＞0； ②2c ﹣3b ＜0； ③5a +b +2c ＝0；④若B （34，y 1）、C （31，y 2）、D （﹣31，y 3）是抛物线上的三点，则y 1＜y 2＜y 3．其中正确结论的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】①正确，根据抛物线的位置，判断出a ，b ，c 的符号，可得结论；②③错误，利用对称轴公式，抛物线经过A （3，0），求出b ，c 与a 的关系，判断即可； ④正确．利用图像法判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴1＝﹣，∴b＝﹣2a，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过（3，0），∴9a﹣6a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，故②错误，5a+b+2c＝5a﹣2a﹣6a＝﹣3a＜0，故③错误，观察图像可知，y1＜y2＜y3，故④正确，故选：B．10、（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y 1）与（21，y 2）是抛物线上的两个点，则y 1＜y 2；④方程ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1＝﹣3，x 2＝1；⑤当x ＝﹣1时，函数y ＝ax 2+（b ﹣k ）x 有最大值．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】利用图像的信息与已知条件求得a ，b 的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a ＜0．∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b ＝2a ，b ＜0．∵a ＜0，b ＜0，∴ab ＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣3，0），∴9a ﹣3b +c ＝0，∴9a ﹣3×2a +c ＝0，∴3a +c ＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．11、（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x 的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＝3＞0，故abc＜0，故①正确，符合题意；②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴②正确，符合题意；③由图像知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，∴③错误，不符合题意；④从图像看，当x＝﹣2时，y1＜0，当x＝2时，y2＞0，∴有y1＜0＜y2，故④正确，符合题意；故选：C．12、（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）图像的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图像他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图像上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有.（填序号，多选、少选、错选都不得分）【分析】由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①正确；∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，②正确．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，∵﹣＝﹣1，∴b ＝2a ，∴3a +c ＝0，⑤错误．故答案为：①②③．13、（2022•内江）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于两点（x 1，0）、（2，0），其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③2a ﹣c ＞0；④不等式ax 2+bx +c ＞﹣1x c x +c 的解集为0＜x ＜x 1．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】利用二次函数的图像和性质依次判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右边，与y 轴交于正半轴， ∴a ＞0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＜0，∴①正确．∵当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，∴②错误．∵抛物线过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2a﹣，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a﹣+c＜0，∴2a﹣c＞0，∴③正确．如图：设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，故④错误．故选：C．14、（2022•鄂州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可．【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确；②∵抛物线的顶点为P（1，m），∴﹣＝1，b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故②错误；③∵抛物线经过点A（2，1），∴1＝a•22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；⑤∵a＜0，∴at2+bt﹣（a+b）＝at 2﹣2at ﹣a +2a＝at 2﹣2at +a＝a （t 2﹣2t +1）＝a （t ﹣1）2≤0，∴at 2+bt ≤a +b ，则⑤正确综上，正确的共有4个．故选：C ．15、（2022•达州）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图像如图所示，与y 轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x ＝1．下列结论：①abc ＞0；②a ＞31；③对于任意实数m ，都有m （am +b ）＞a +b 成立；④若（﹣2，y 1），（21，y 2），（2，y 3）在该函数图像上，则y 3＜y 2＜y 1；⑤方程|ax 2+bx +c |＝k （k ≥0，k 为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）个．A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】①正确，判断出a ，b ，c 的正负，可得结论；②正确．利用对称轴公式可得，b ＝﹣2a ，当x ＝﹣1时，y ＞0，解不等式可得结论； ③错误．当m ＝1时，m （am +b ）＝a +b ；④错误．应该是y 2＜y 3＜y 1，；⑤错误．当有四个交点或3个时，方程|ax 2+bx +c |＝k （k ≥0，k 为常数）的所有根的和为4，当有两个交点时，方程|ax 2+bx +c |＝k （k ≥0，k 为常数）的所有根的和为2．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴抛物线与y轴交于点（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵y＝ax2﹣2ax﹣1，当x＝﹣1时，y＞0，∴a+2a﹣1＞0，∴a＞，故②正确，当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误，∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，∵点（，y2）到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y3＞y2，∴y2＜y3＜y1，故④错误，∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的解，是抛物线与直线y＝±k的交点，当有3个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为3，当有4个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，当有2个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，故选：A．。
初三中考数学函数综合题含答案
初三中考数学函数综合题含答案一、单选题1．函数32x y x +=-中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．3x >-B ．3x ≥-且2x ≠C ．2x ≠D ．3x >-且2x ≠2．如图，函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组0ax y b kx y -+=⎧⎨-=⎩的解是（ ）A ．42x y =-⎧⎨=-⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =-⎧⎨=-⎩D ．24x y =⎧⎨=⎩3．若反比例函数1k y x-=，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（） A ．1k >B ．1k <C ．1k >-D ．1k <-4．将抛物线()2321y x =-+先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得的抛物线解析式是（） A ．()2341y x =-- B ．()2343y x =-+ C ．233y x =+D ．231y x =-5．抛物线213y x =的开口方向、对称轴分别是（ ）A ．向上，x 轴B ．向上，y 轴C ．向下，x 轴D ．向下，y 轴 6．二次函数y ＝x 2＋6x ＋4的对称轴是（ ） A ．x ＝6B ．x ＝﹣6C ．x ＝﹣3D ．x ＝47．下列y 关于x 的函数中，一次函数为（ ） A ．()2y a x b =-+B ．()211y k x =++C ．2y x=D ．221y x =+8．一次函数y kx b =+的图象与直线23y x =+平行，且与y 轴的交点为(0,2)，则一次函数的表达式为（ ） A ．23y x =+B ．22y x =+C ．23y x =-+D ．22y x =-+9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（2，4），有以下结论：①当a >0时，b 2－4ac >0；②当a >0时，ax 2＋bx ＋c≥4；③若点（-2，m ）,（3，n ）在抛物线上，则m <n ；④若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一根为－1，则另一根为5．其中正确的是（ ） A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④10．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）都在反比例函数y kx=（k ＜0）的图象上，且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 2＞y 1＞y 3 B ．y 3＞y 2＞y 1 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 3＞y 1＞y 211．已知y =kx +b ，当x =2时，y =-2；当x =3时，y =0．则（ ）A ．k =2，b =-6B ．k =-6，b =2C ．k =-2，b =6D ．k =-2，b =-612．抛物线y ＝﹣2（x ﹣3）2﹣4的顶点坐标是（ ）A ．（﹣3，4）B ．（﹣3，﹣4）C ．（3，﹣4）D ．（3，4）13．将一次函数23y x =-的图象沿y 轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（ ） A ．2y x = B ．26y x =- C ．53y x =- D ．3y x =-- 14．二次函数22(3)1y x =-+-的顶点坐标是（ ）A ．(31)， B ．(13)-， C ．(3,1)-D ．(3,1)--15．已知A （﹣11,3y ），B （﹣21,2y ），C （1，y 3）是一次函数y ＝b ﹣3x 的图象上三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 1＜y 3二、填空题16．一次函数(27)2y k x =-+中，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___________． 17．将直线213y x =-+向上平移3个单位后所得直线解析式为_______．18．已知点(2,)A m 在一次函数53y x =+的图象上，则m 的值是__．19．已知一次函数(1)2y m x m =-+-的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么m 的取值范围是______．20．若函数y ＝（m ﹣2）x +|m |﹣2是正比例函数，则m ＝_____．三、解答题21．如图，抛物线y ＝ax 2+3x +c 经过A (﹣1，0)，B (4，0)两点，并且与y 轴交于点C ．(1)求此抛物线的解析式； (2)直线BC 的解析式为 ；(3)若点M 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t ，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，设MN 的长为h ，求h 与t 之间的函数关系式及h 的最大值；(4)在x 轴的负半轴上是否存在点P ，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在；如果不存在，说明理由．22．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，抛物线的对称轴l 与x 轴交于M 点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求PA +PC 长；(3)已知点N （0，﹣1），在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N 、Q 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数222y x x m =-+-的图象与x 轴有交点，求非负整数m 的值． 24．已知抛物线y ＝12x 2﹣x ﹣32与x 轴交于点A ，点B （点A 在点B 左侧）． (1)求点A ，点B 的坐标；(2)用配方法求该抛物线的顶点C 的坐标，判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使以点O 、点C 、点P 为顶点的三角形构成等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知抛物线222y x mx m =--．(1)求证：对任意实数m ，抛物线与x 轴总有交点． (2)若该抛物线与x 轴交于1,0A ，求m 的值．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A3．A 4．A 5．B 6．C 7．B 8．B 9．D 10．A 11．A 12．C 13．A 14．D 15．A 二、填空题16．72k < 17．243y x =-+18．1319．2m >20．-2三、解答题21．(1)234y x x =-++ (2)4y x =-+(3)h 与t 之间的函数关系式为：()2404h t t t =-+<<，h 的最大值为4(4)在x 轴的负半轴上存在点()4,0P -或()4P -，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）把A (﹣1，0)，B (4，0) 代入抛物线解析式，即可求解；（2）根据抛物线解析式求出点C 的坐标，再利用待定系数法，即可求解；（3）根据题意可得点()2,34M t t t -++，点(),4N t t -+，从而得到24MN t t =-+，再根据二次函数的性质，即可求解；（4）分三种情况：当PC =BC 时，当PB =BC 时，当PC =PB 时，即可求解． (1)解：∵抛物线y ＝ax 2+3x +c 经过A (﹣1，0)，B (4，0)两点，∴3016340a c a c -+=⎧⎨+⨯+=⎩， 解得：14a c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为234y x x =-++； (2)解：当0x =时，4y =， ∴点()0,4C ，设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠， 把点B (4，0)，()0,4C 代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为4y x =-+； (3) 解：如图，∵点M 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t ，∴点()2,34M t t t -++，∵MN ⊥x 轴， ∴点(),4N t t -+，∴()()223444MN t t t t t =-++--+=-+，∴()()2242404h t t t t =-+=--+<<， ∴当2t =时，h 的值最大，最大值为4； (4)解：在x 轴的负半轴上存在点P ，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下： 当PC =BC 时， ∵OC ⊥BP ， ∴OP =OB ，∵点B (4，0)，点P 在x 轴的负半轴上， ∴点()4,0P -； 当PB =BC 时， ∵B (4，0)，()0,4C ， ∴OC =4，OB =4，∴BP BC ==∴4OP BP OB =-=， ∵点P 在x 轴的负半轴上，∴点()4P -；当PC =PB 时，点P 位于BC 的垂直平分线上， ∵OB =OC =4，∴点O 位于BC 的垂直平分线上， ∴此时点P 与点O 重合，不合题意，舍去；综上所述，在x 轴的负半轴上存在点()4,0P -或()4P -，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 22．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)PA +PC 的长为(3)存在，点Q 的坐标为()0,2或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，理由见解析【解析】 【分析】（1）当x ＝0时，y ＝3，可得C （0，3）．再设设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）（a ≠0），利用待定系数法，即可求解；（2）连接PA 、PB 、PC ，根据轴对称性可得PA ＝PB ．从而得到PA +PC ＝PC +PB ．进而得到当点P 在线段BC 上时，PC +AP 有最小值．即可求解；（3）先求出抛物线的对称轴，可得点()1,0M ，再由点N （0，﹣1），B （3，0），C （0，3）．可得2,45,45MN BC BM CBM MNO ===∠=︒∠=︒，可得∠CBM =∠MNO ，然后分三种情况讨论，即可求解． (1)解：把x ＝0代入得：y ＝3， ∴C （0，3）．设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）（a ≠0）， 将点C 的坐标代入上式得：3＝﹣3a ，解得：a ＝﹣1．∴抛物线的解析式为y ＝-（x +1）（x -3）=﹣x 2+2x +3． (2)解：如图，连接PA 、PB 、PC ，∵点A 与点B 关于直线l 对称，点P 在直线l 上， ∴PA ＝PB ． ∴PA +PC ＝PC +PB ． ∵两点之间线段最短，∴当点P 在线段BC 上时，PC +AP 有最小值． ∵OC ＝3，OB ＝3， ∴BC ＝32∴PA +PC 的最小值＝32 (3)解：存在，理由： 抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2ba＝1． ∵抛物线的对称轴l 与x 轴交于M 点． ∴点()1,0M ，∵点N （0，﹣1），B （3，0），C （0，3）． ∴OM =ON =1，OB =OC =3，∴2,32,2,45,45MN BC BM CBM MNO ===∠=︒∠=︒， ∴∠CBM =∠MNO ，当点Q 在点N 下方时，∠MNQ =135°，不符合题意， ∴点Q 在点N 上方，设点Q 的坐标为（0，n ）．则QN =n +1， ∵以M 、N 、Q 为顶点的三角形与△BCM 相似， ∴∠QMN =∠CMB 或∠MQN =∠CMB ， 当1Q MN CMB ∠=∠时，1Q MNCMB ，如图（2），∴1Q N MNBC BM=， ∴12232n +=，解得：2n =， ∴点()10,2Q ；当2MQ N CMB ∠=∠时，2MQ NCMB ，如图（3），∴2Q N MN MB BC=， ∴12232n +=13n =-，∴点210,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述，点Q 的坐标为()0,2或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，待定系数法求二次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 23．0或1或2或3 【解析】【分析】根据二次函数y =x 2-2x +m -2的图象与x 轴有交点，根据Δ≥0列出m 的不等式，求出m 的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数y =x 2-2x +m -2的图象与x 轴有交点， ∴Δ=4-4（m -2）≥0， ∴m ≤3， ∵m 为非负整数， ∴m =0或1或2或3． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴交点的知识，解答本题的关键是根据二次函数y =x 2-2x +m -2的图象与x 轴有交点列出m 的不等式，此题难度不大． 24．(1)A （-1，0），B （3，0）(2)点C 的坐标为（1，-2），ABC 为等腰直角三角形，理由见解析(3)点P 的坐标为（1，2），2)，(1,2)或3(1,)4-【解析】 【分析】（1）把0y =代入到21322y x x =--得，213022x x --=，解得13x =，21x =-，又因为点A 在点B 的左侧，即可得； （2）21322y x x =--配方得21(1)22y x =--，即可得点C 的坐标为（1，-2），根据点A ，B ，C 的坐标得4AB =，AC ，BC =AC =BC ，又因为2224+=，所以222AC BC AB +=，即可得90ACB ∠=︒，从而得出ACB △是等腰直角三角形；（3）当点P 与点C 关于x 轴对称时，OC =OP ，OCP △为等腰三角形，即可得点P 的坐标（1，2），当CO CP =时，CP =，即可得点P 的坐标为2)或(1,2)，当OP CP =时，点P 在OC 的垂直平分线上，设点(1,)P a ，点P 交x 轴于点D ，在Rt ODP 中，根据勾股定理得，222(2)1a a +=+，解得34a =-，即可得点P 的坐标为3(1,)4-，综上，即可得． (1)解：把0y =代入到21322y x x =--得， 213022x x --= 2230x x --= (3)(1)0x x -+=解得13x =，21x =-， ∵点A 在点B 的左侧，∴A （-1，0），B （3，0）． (2) 解：21322y x x =-- =21(3)2x x -- =21(1)22x x -+- =21(1)22x --∴点C 的坐标为（1，-2），ABC 为等腰直角三角形，理由如下：∵A （-1，0），B （3，0），C （1，-2）， ∴3(1)4AB =--=，22(11)(02)8AC =----=， 22(31)(02)8BC =---=，∴AC =BC ， ∵222(8)(8)4+=， ∴222AC BC AB +=， ∴90ACB ∠=︒，∴ACB △是等腰直角三角形． (3)解：当点P 与点C 关于x 轴对称时，OC =OP ，OCP △为等腰三角形， ∴点P 的坐标为（1，2）；当CO CP =时，22(10)(20)5CP =-+-=， ∴点P 的坐标为(1,52)-或(1,52)--；当OP CP =时，点P 在OC 的垂直平分线上，设点(1,)P a ， 如图所示，点P 交x 轴于点D ，在Rt ODP 中，根据勾股定理得，222(2)1a a +=+，22441a a a ++=+34a =- ∴点P 的坐标为3(1,)4-；综上，点P 的坐标为（1，2），2)，(1,2)或3(1,)4-． 【点睛】本题考查了二次函数与三角形的综合，解题的关键是掌握二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质．25．(1)见解析(2)122,1m m =-=【解析】【分析】（1）令0y =，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）令1x =，0y =，解一元二次方程即可求得m 的值(1)令0y =，则有2220x mx m --=222890m m m ∆=+=≥即，对于任意实数方程2220x mx m --=总有两个实数根，∴对任意实数m ，抛物线与x 轴总有交点．(2)解：∵抛物线222y x mx m =--与x 轴交于1,0A ，∴202m m =--解得122,1m m =-=【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，掌握一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程是解题的关键．。
(中考数学真题复习)第18讲 二次函数综合应用 基础例题 附答案解析
中考数学复习二次函数综合应用一、选择题1．(2012·济宁)一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A) A．5元B．10元C．0元D．3600元2．(2012·北海)为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是(B) A．600m2B．625m2C．650m2D．675m23．(2012·河北)竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是(C) A．第3秒B．第3.5秒C．第4.2秒D．第6.5秒4．如图18－1所示，抛物线y ＝12(x－2)2－8与x轴交于A、B两点，顶点为C，为使△ABC成为直角三角形，必须将抛物线向上平移几个单位(D)A．7B．6C．5D．4二、填空题5．已知抛物线y＝x2＋x＋b2经过点a，－14和(－a，y1)，则y1的值是__34__．6．飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)与滑行时间t(s)的函数关系式是s＝60t－1.5t2，飞机着陆后滑行的最长时间是__20__s.7．如图18－2所示，已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P图18－1图18－2从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E .若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当y＝13时，x 的值等于__23或53__．8．甲乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s (m)与其距地面高度h (m)之间的关系式为h ＝－112s 2＋23s ＋32.如图18－3所示，已知球网AB 距原点5m ，乙(用线段CD 表示)扣球的最大高度为94m ，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是__5＜m ＜4＋7__．三、解答题9．用长为12m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃如图18－4所示，围出的苗圃是五边形ABCDE ，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∠C ＝∠D ＝∠E .设CD ＝DE ＝x m ，五边形ABCDE 的面积为S m 2.问当x 取什么值时，S 最大？并求出S 的最大值．解：连接EC ，作DF ⊥EC ，垂足为F ，∵∠DCB ＝∠CDE ＝∠DEA ，∠EAB ＝∠CBA ＝90°，∴∠DCB ＝∠CDE ＝∠DEA ＝120°，∵DE ＝CD ∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∴∠CEA ＝∠ECB ＝90°，∴四边形EABC 为矩形，∵DE ＝x m ，∴AE ＝6－x ，DF ＝12x ，EC ＝3x ，S ＝－334x 2＋63x (0<x <6)．当x ＝4m 时，S 最大＝123m 2.10．(2011·成都)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图18－5所示的长方形ABCD .已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．当x 为何值图18－3图18－4图18－5时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)？并求出这个最值．解：∵AB＝x，∴BC＝120－2x，∴S＝x(120－2x)＝－2x2＋120x；当x＝120 2×2＝30时，S有最大值为0－12024×（－2）＝1800.(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图18－5所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(1)中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．解：设圆的半径为r，路面宽为a，根据题意得4r＋2a＝60，2r＋2a＝30，解得r＝15，a＝0.∵路面宽至少要留够0.5米宽，∴这个设计不可行．B组能力提升11．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B) A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒12．(2013·兰州)如图18－6所示，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为(B) 13．(2011·泸州)如图18－7所示，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，图18－6图18－7它的下底AB 是圆的直径，上底CD 的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是__10__．14．如图18－8所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向AB 作垂线PQ ，Q 为垂足．图18－8延长QP 与AC 的延长线交于R ，设BP ＝x (0≤x ≤1)，△BPQ 与△CPR 的面积之和为y ，把y 表示为x 的函数是__y ＝338x 2－32x ＋34__．15．(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm ，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)．解：已知抽屉底面宽为x cm ，则底面长为180÷2－x ＝(90－x )cm.由题意得y ＝x (90－x )×20＝－20(x 2－90x )＝－20(x －45)2＋40500当x ＝45时，y 有最大值，最大值为40500.答：当抽屉底面宽为45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm 3.16．(2013·潍坊)为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图18－9所示的休闲文化广场．在Rt △ABC 内修建矩形水池DEFG ，使顶点D 、E 在斜边AB 上，F 、G 分别在直角边BC 、AC 上；又分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆，设计了两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中AB ＝243米，∠BAC ＝60°.设EF ＝x 米，DE ＝y 米．图18－9(1)求y 与x 之间的函数解析式；解：在Rt △ABC 中，由题意得AC ＝123米，BC ＝36米，∠ABC ＝30°，∴AD ＝DG tan60°＝x 3＝33x ，BE ＝EF tan30°＝3x ，又AD ＋DE ＋BE ＝AB ，∴y ＝243－33x －3x ＝243－433x (0＜x ＜8)．(2)当x 为何值时，矩形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？解：矩形DEFG 的面积S ＝xy ＝243－433x ＝－433x 2＋243x ＝－433(x －9)2＋108 3.所以当x ＝9时，矩形DEFG 的面积最大，最大面积为1083平方米．(3)求两弯新月(阴影部分)的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的13？解：记AC 为直径的半圆、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为S 1、S 2、S 3，两弯新月面积为S ，则S 1＝18πAC 2，S 2＝18πBC 2，S 3＝18πAB 2，由AC 2＋BC 2＝AB 2可知S 1＋S 2＝S 3，∴S 1＋S 2－S ＝S 3－S △ABC ，故S ＝S △ABC ，所以两弯新月的面积S ＝12×123×36＝2163(平方米)由－433(x －9)＋1083＝13×2163，即(x －9)2＝27，解得x ＝9±33，符合题意，所以当x ＝9±33米时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的13.。
初三数学函数基础知识试题答案及解析
初三数学函数基础知识试题答案及解析1.函数y=中，自变量x的取值范围是【答案】x≠2．【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．试题解析：要使分式有意义，即：x-2≠0，解得：x≠2．【考点】1.函数自变量的取值范围；2.分式有意义的条件．2.函数中自变量x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x≠2【答案】C.【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和的条件，要使在实数范围内有意义，必须.故选C.【考点】1.函数自变量的取值范围；2.二次根式有意义的条件.3.函数y=的自变量x的取值范围为．【答案】x≥﹣1【解析】由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【考点】函数自变量的取值范围4.如图1，在平面直角坐标系中，将□ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y=－x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，那么ABCD面积为（）A．4B．4C．8D．8【答案】C．【解析】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB=8-4=4，当直线经过D点，设交AB与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M．∵y=-x与x轴形成的角是45°，又∵AB∥x轴，∴∠DNM=45°，∴DM=DN•sin45°=2×=2，则平行四边形的面积是：AB•DM=4×2=8．故选C．【考点】动点问题的函数图象．5.如图，在平面直角坐标系中，以点A（2，3）为顶点任作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴、y轴的正半轴交于点P、Q，连接PQ，过点A作AH⊥PQ于点H，设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】应用特殊元素法和排他法求解：如图1，当点P与点O重合时，x=0，y=2.故可排除选项C；如图2，当点Q与点O重合时， y=3.故可排除选项A；如图3，当x=2时，∵AH⊥PQ，∴，即，故可排除选项B.故选D．【考点】1.动态问题的函数图象分析；2.勾股定理；3.相似三角形的判定和性质；户4.特殊元素法和排他法的应用．6.函数y=＋3中自变量x的取值范围是（）A．x＞1B．x≥1C．x≤1D．x≠1【答案】B.【解析】根据题意知：x-1≥0解得：x≥1.故选B.【考点】1.自变量的取值范围；2.二次根式有意义的条件.7.函数中，自变量x的取值范围是_________【答案】.【解析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和的条件，要使在实数范围内有意义，必须.【考点】1.函数自变量的取值范围；2.二次根式有意义的条件.8.如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点.一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程.设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y 与t的函数关系的图象如图2所示，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【解析】D．应用排他法分析求解：若微型记录仪位于图1中的点M，AM最小，与图2不符，可排除A.若微型记录仪位于图1中的点N，由于AN=BM，即甲虫从A到B时是对称的，与图2不符，可排除B.若微型记录仪位于图1中的点P，由于甲虫从A到OP与圆弧的交点时甲虫与微型记录仪之间的距离y逐渐减小；甲虫从OP与圆弧的交点到A时甲虫与微型记录仪之间的距离y逐渐增大，即y与t的函数关系的图象只有两个趋势，与图2不符，可排除C.故选D．【考点】1.动点问题的函数图象分析；2.排他法的应用.9.如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（）A．B．C．当0＜t≤10时，D．当时，△PBQ是等腰三角形【答案】D【解析】（1）结论A正确，理由如下：分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm.（2）结论B正确，理由如下：如图，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，由函数图象可知，BC=BE=10cm，，∴EF=8。
2020年中考数学函数专题(附答案)
2020年中考数学函数专题(附答案)2020年中考数学函数专题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.在函数中，自变量的取值范围是（）。
A。
未给出B。
全体实数C。
正实数D。
负实数2.已知抛物线y=－x^2+2x－3，下列判断正确的是（）。
A。
开口方向向上，y有最小值是－2B。
抛物线与x轴有两个交点C。
顶点坐标是（－1，－2）D。
当x＜1时，y随x增大而增大3.长方形的周长为24 cm，其中一边长为x cm（其中＜x ＜12），面积为y cm^2，则该长方形中y与x的关系式可以写为（）。
A。
y＝x^2B。
y＝(12－x)^2C。
y＝(12－x)·xD。
y＝2(12－x)4.已知将二次函数y=x^2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x^2－4x－5，则b，c的值为（）。
A。
b=0，c=6B。
b=0，c=－5C。
b=0，c=－6D。
b=0，c=55.下列四个函数中，自变量的取值范围为≥1的是（）。
A。
y=2xB。
y=√xC。
y=－xD。
y=x^26.已知二次函数y=a(x－2)^2+c，当x=x1时，函数值为y1；当x=x2时，函数值为y2，若|x1－2|＞|x2－2|，则下列表达式正确的是（）。
A。
y1+y2＞0B。
y1－y2＞0C。
a(y1－y2)＞0D。
a(y1＋y2)＞07.从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为h=30t－5t^2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（）。
A。
6sB。
4sC。
3sD。
2s8.已知一元二次方程：①x^2＋2x＋3＝0，②x^2－2x－3＝0.下列说法正确的是（）。
A。
①②有实数解B。
①无实数解，②有实数解C。
①有实数解，②无实数解D。
①②都无实数解9.如图，在边长4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△CDE沿直线DE折叠后，点C落在点F处，连接BF、EF，将其打开、展平，得折痕DE。
初中数学 函数模块3-4 二次函数讲义(含答案解析)
二次函数题型练题型一：二次函数的定义1.二次函数的概念：一般地，形如²y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b ，c 可以为零，二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数²y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2（2）a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．①二次函数的识别例1.1下列函数中，是二次函数的是（）A .261y x =+B .61y x =+C .8y x =D .281y x=-+【详解】解：A ．是二次函数，故本选项符合题意；B ．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C ．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D ．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．变式1.11.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A.31y x =-B.21y x =C.231y x x =+- D.212y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的定义：形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数求解可得．【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，不符合题意；B 、21y x =中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；C 、y =3x 2+x -1是二次函数，符合题意；D 、212y x x=+中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．②根据二次函数的定义求参数例1.2如果函数22(2)27my m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（）A .2m =±B .2m =C .2m =-D .m 为全体实数【详解】解：由题意得：20m -≠，222m -=，解得：2m =-，故选：C ．变式1.22.已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足__．【答案】k ≠2【解析】【分析】利用二次函数定义可得2﹣k ≠0，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：2﹣k ≠0，解得：k ≠2，故答案为：k ≠2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．题型二：二次函数表达式的图像和性质①2y ax =方的图像和性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0,0y 轴0x >时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x的增大而减小；0x =时，y 有最小值00a <向下()0,0y 轴0x >时，y 随着x 的增大而减小；0x <时，y 随着x的增大而增大；0x =时，y 有最大值0例2.1抛物线22y x =-的对称轴是（）A .直线12x =B .直线12x =-C .直线0x =D .直线0y =【详解】解：对称轴为y 轴，即直线0x =．故选C ．变式2.13.抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是（）A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 的增大而增大【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质解题．【详解】抛物线y ＝2x 2，y ＝12x 2开口向上，对称轴是对称轴是y 轴，有最低点，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而增大，y ＝－2x 2，开口向下，对称轴是对称轴是y 轴，有最高点，在y 轴的左侧，y 随x 的增大而增大，故抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是对称轴是y 轴，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．②2y ax c =+方的图像和性质a 的符开口顶点坐对称性质号方向标轴a >向上()0,c y 轴0x >时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x的增大而减小；0x =时，y 有最小值c0a <向下()0,c y 轴0x >时，y 随着x 的增大而减小；0x <时，y 随着x的增大而增大；0x =时，y 有最大值c例2.24.将抛物线y ＝x 2＋3向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是_______________．【答案】(2，3)【解析】【分析】根据题目给出的二次函数顶点式，以及“左加右减”的平移原则写出平移后的顶点式，再写出对应的顶点坐标．【详解】解：根据“左加右减”的平移原则，向右平移两个单位，平移后解析式应该是2(2)3y x =-+，∴顶点坐标是()2,3．故答案是：()2,3．【点睛】本题考查二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移的方法．【详解】解：根据“左加右减”的平移原则，向右平移两个单位，平移后解析式应该是2(2)3y x =-+，∴顶点坐标是()2,3．故答案是：()2,3．变式2.25.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：222111,2,2222y x y x y x ==+=-．【答案】见解析【解析】【分析】利用描点法可画出这三个函数的图象．【详解】解：列表：描点：见表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的线连接，如图所示：【点睛】本题主要考查二次函数图象的画法，掌握基本的描点法作函数图象是解题的关键．③顶点式()2y a x h k =-+的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上(),h k 直线x h=x h >时，y 随着x 的增大而增大；x h <时，y 随着x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k0a <向下(),h k 直线x h >时，y 随着x 的增大而减小；x h <时，y 随x h =着x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k例2.3若二次函数2()1y x m =--．当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A .3m =B .3m >C .3m ≥D .3m ≤【详解】解：由题知二次函数对称轴为x m =，开口向上，根据二次函数图像的性质：只需满足3x m ≤≤即可满足题意，故选C ．变式2.36.已知点P （m ，n ）在抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a ≠0）上，当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，则a 的值为（）A.1B.﹣1C.2D.﹣2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的解析式可以确定抛物线的顶点和增减性，再根据已知条件确定a 的符号和关于a 的不等式，从而得到a 的值．【详解】解：∵抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a ≠0），∴抛物线的顶点为（5，9），∵当7＜m ＜8时，总有n ＜1，∴a 不可能大于0，则a ＜0，∴x ＜5时，y 随x 的增大而增大，x ＞5时，y 随x 的增大而减小，∵当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，且x ＝3与x ＝7对称，∴m ＝3时，n≥1，m ＝7时，n≤1，∴491491a a +≥⎧⎨+≤⎩,∴4a+9＝1，∴a ＝﹣2，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系是解题关键．④一般式2y ax bx c=++a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线2bx a=-2bx a >-时，y 随着x 的增大而增大；2b x a <-时，y 随着x 的增大而减小；2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -0a <向下24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线2bx a=-2bx a>-时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x 的增大而增大；2b x a=-时，y 有最小值244ac b a -例2.4若()1–3.5,A y 、()2–1,B y 、()31,C y 为二次函数2––45y x x =+的图象上三点，则123,,y y y 的大小关系是__________．（用＞连接）【详解】对称轴为直线4222(1)b x a -==-=⨯-，∵–10a =<，∴当–2x <时，y 随x 的增大而增大，当–2x >时，y 随x 的增大而减小，∵2( 3.5)2 3.5 1.5,1(2)121,1(2)123---=-+=---=-+=--=+=，∴213y y y >>．故答案为：213y y y >>．变式2.47.某同学利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：序号①②③④⑤x 01234y3﹣23经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据_____．（只填序号）【答案】③．【解析】【分析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；设抛物线的解析式为y=a （x-1）（x-3），则有：a （0-1）（0-3）=3，a=1；∴y=（x-1）（x-3）=x 2-4x+3．当x ＝2时，y ＝22﹣4×2+3＝﹣1≠﹣2，所以③数据计算错误．故答案为：③．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．⑤一般式与顶点式的转换将一般式进行配方变形得到224y 24b ac b a x a a -⎛⎫=±+⎪⎝⎭可以根据上述公式，实现二次函数的一般式与顶点式之间的转换．例2.5对于抛物线243y x x =-+．（1）将抛物线的一般式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x……y ……（3）结合图象，当03x <<时，求出y 的取值范围．【详解】（1）()222434443(2)1y x x x x x =-+=-+-+=--．∴抛物线的顶点式为2(2)1y x =--．（2）x (012)34…y…31-03…函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知，当03x <<时，y 的取值范围是13y -≤<．变式2.58.将抛物线223y x x =--变成顶点式为________．【答案】()214y x =--【解析】【分析】由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解：223y x x =--2214x x =-+-()214x =--．故答案为：()214y x =--．【点睛】本题主要考查的是二次函数的顶点式，正确配方是解题的关键．⑥二次函数图象的平移例2.6将抛物线2y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，它的解析式为（）A .2(1)3y x =++B .2(1)3y x =-+C .2(1)3y x =+-D .2(1)3y x =--【详解】解：将抛物线2y x =图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象解析式为2(1)3y x =-+故选择：B ．变式2.69.把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A.()2y 211x =-++ B.()2y 211x =--+C.()2y 211x =--- D.()2y 211x =-+-【答案】B【解析】【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．题型三：各项系数与函数图像的关系a 决定二次函数图象的开口方向，a ，b 决定对称轴的位置，（左同右异，即a 与b 同号，则对称轴在y 轴左侧，反之在y 轴右侧）c 决定抛物线与y 轴交点的位置．例3已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①0,0b c <>；②0a b c ++<；③方程的两根之和大于0；④0a b c -+<，其中正确的个数是（）A .4个B .3个C .2个D .1个【详解】试题分析：∵抛物线开口向下，∴0a <，∵抛物线对称轴0x >，且抛物线与y 轴交于正半轴，∴0,0b c >>，故①错误；由图象知，当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②正确，令方程20ax bx c ++=的两根为1x 、2x ，由对称轴0x >，可知1202x x +>，即120x x +>，故③正确；由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：10x -<<，∴当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确．故选B ．变式310.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b 2，③2a+b=0，④a －b+c>2，其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【详解】①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x ==﹣1，∴b =2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；②∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，∴4ac <b 2，所以②正确；③∵b =2a ，∴2a ﹣b =0，所以③错误；④∵x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞2，所以④正确．故选C ．视频题型四：待定系数法求二次函数解析式一般用待定系数法求解二次函数的解析式，再求解过程中需要注意其使用的形式，1.已知抛物线上的三点坐标，一般用一般式求解析式2.已知抛物线顶点或对称轴或最值，一般用顶点式进行求解，3.已知抛物线与x 轴的交点横坐标，一般用交点式进行求解，4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，一般用顶点式进行求解．例4已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过(1,0),(0,5)-两点，则这个二次函数的解析式为_______．【详解】解：把()1,0、()0,5代入2y x bx c =-++，得105b c c --+=⎧⎨=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩，所以二次函数的解析式为245y x x =-++．故答案为：245y x x =-++．变式411.若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________．【答案】223y x x =+-．【解析】【分析】设出二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将三点坐标代入二次函数解析式求出a ，b ，c 的值，即可确定出解析式．【详解】设二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．则二次函数解析式为223y x x =+-．故答案为：223y x x =+-．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．题型五：二次函数与一元二次方程1.一元二次方程20ax bx c ++=，是二次函数2y ax bx c =++当0y =，即与x 轴相交的特殊情况2.二次函数与x 轴的交点个数当0∆>是，抛物线与x 轴有两个交点；当0∆=是，抛物线与x 轴有一个交点；当∆<0是，抛物线与x 轴没有交点；①抛物线与X 轴Y 轴的交点问题例5.1抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为（）A .()3,0B .()0,3C .D .【详解】当0x =时，3y =，则抛物线23y x =+与y 轴交点的坐标为()0,3，故选B ．变式5.112.抛物线y ＝2x 2﹣2x 与x 轴的交点坐标为___．【答案】（0，0），（1，0）．【解析】【分析】解方程2x 2﹣2x ＝0，即可求出抛物线与x 轴的交点坐标.【详解】当y ＝0时，2x 2﹣2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0），（1，0）．故答案为（0，0），（1，0）．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标与一元二次方程解的关系，二次函数与x 轴的交点横坐标是ax 2+bx +c =0时方程的解，纵坐标是y =0.②根据二次函数图象确定相应方程根的情况例5.2已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则关于x 的方程240ax bx c ++-=的根的情况是（）A .有两个相等的实数根B .有两个异号的实数根C .有两个不相等的实数根D .没有实数根【详解】∵函数的顶点的纵坐标为4，∴直线4y =与抛物线只有一个交点，∴方程240ax bx c ++-=有两个相等的实数根，故选A ．变式5.213.如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为______．【答案】12x =-，21x =【解析】【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，于是易得关于x 的方程ax 2-bx-c=0的解．【详解】解：∵抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，∴方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，即关于x 的方程20ax bx c --=的解为12x =-，21x =．故答案为x 1=-2，x 2=1．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴直线x=-2b a ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．③用图象求一元二次方程的近似根例5.3如表是一组二次函数23y x x =--的自变量和函数值的关系，那么方程230x x --=的一个近似根是（）x1234y 3-1-39A ．1.2B .2.3C .3.4D .4.5【解析】【分析】根据二次函数的图象特征解答．【详解】解：观察表格得：方程230x x --=的一个近似根在2和3之间，故选：B ．变式5.3.114.如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）．A.23x << B.34x << C.45x << D.56x <<【答案】C【解析】【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．变式5.3.215.若m 、n （n ＜m ）是关于x 的一元二次方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两个根，且b ＜a ，则m ，n ，b ，a 的大小关系是（）A.m＜a＜b＜nB.a＜m＜n＜bC.b＜n＜m＜aD.n＜b＜a＜m【答案】D【解析】【详解】试题分析：如图抛物线y=（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴交于点（a ，0），（b ，0），抛物线与直线y=1的交点为（n ，1），（m ，1），由图象可知，n ＜b ＜a ＜m ．故选D ．考点：抛物线与x 轴的交点．③利用图象求不等式的取值范围例5.3如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分．当0y <时，自变量x 的范围是___【详解】解：∵由函数图象可知，函数图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴为直线2x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()5,0，∴当0y <时，15x -<<．故答案为：15x -<<．变式5.316.二次函数2y x bx c =-++的部分图象如图所示，由图象可知，方程20x bx c -++=的解为___________________；不等式20x bx c -++<的解集为___________________．【答案】①.11x =-，25x =②.1x <-或5x >【解析】【分析】根据抛物线的对称轴和抛物线与x 轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数与不等式解集的关系求得答案．【详解】∵抛物线的对称轴为2x =，抛物线与x 轴一个交点为（5，0）∴抛物线与x 轴另一个交点为（-1，0）∴方程20x bx c -++=的解为：11x =-，25x =由图像可知，不等式20x bx c -++<的解集为：1x <-或5x >．故答案为：11x =-，25x =；1x <-或5x >．【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问题的关键．④求x 轴与抛物线的截线长例5.4已知二次函数24y x x m =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，且点A 的坐标为()1,0，则线段AB 的长为（）A .1B .2C .3D .4【详解】将点()1,0A 代入24y x x m =-+，得到3m =，所以243y x x =-+，与x 轴交于两点，设()()1122,,,A x y b x y ∴2430x x -+=有两个不等的实数根，∴12124,3x x x x +=⋅=，∴122AB x x =-==；故选B ．变式5.417.已知方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，则抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点间距离为_________．【答案】72【解析】【详解】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x 轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.解：∵方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，∴抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点的横坐标分别为52，﹣1，∴两个交点间距离为57(1)22--=.故答案为72.题型六：实际问题与二次函数①图形问题例6.1如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（由两个小矩形花圃组成）．设花圃的一边AB 为m x ，面积为2m S ．（1）求S 与x 之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）．（2）如果要围成面积为245m 的花圃，那么AB 的长是多少米？（3）能围成面积比245m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【详解】解：（1）∵024310x <-≤，∴1483x ≤<∴()21424332483S x x x x x ⎛⎫=-=-+≤< ⎪⎝⎭．（2）当45S =时，有232445x x -+=．解得123,5x x ==．∵1483x ≤<，∴5x =，即AB 的长为5m ．（3）能围成面积比245m 更大的花圃．∵()223243448S x x x =-+=--+，其函数图象开口向下，对称轴为直线4x =，当4x >时，y 随x 的增大而减小，∴在1483x ≤<的范围内，当143x =时，S 取得最大值，1403S =最大值．即最大面积为2140m 3，此时14m,10m 3AB BC ==．变式6.1设等边三角形的边长为()0x x >，面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（）A .212y x =B .214y x =C .22y x =D .24y x =【详解】解：作出BC 边上的高AD ．∵ABC 是等边三角形，边长为x ，∴12CD x =，∴高为2=h x ，∴2124y x h x =⨯=．故选：D ．②图形运动问题例6.2如图，矩形ABCD 中，6cm,3cm AB BC ==，动点P 从A 点出发以1cm /秒向终点B 运动，动点Q 同时从A 点出发以2cm /秒按A D C B →→→的方向在边,,AD DC CB 上运动，设运动时间为x （秒），那么APQ 的面积()2cmy 随着时间x （秒）变化的函数图象大致为（）A .B .C .D .【详解】根据题意可知：,2AP x AQ x ==，①当点Q 在AD 上运动时，211222y AP AQ x x x =⋅⋅=⋅=，为开口向上的二次函数；②当点Q 在DC 上运动时，1133222y AP DA x x =⋅=⨯=，为一次函数；③当点Q 在BC 上运动时，211(122)622y AP BQ x x x x =⋅⋅=⋅⋅-=-+，为开口向下的二次函数．结合图象可知A 选项函数关系图正确．故选：A ．变式6.218.如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，12BC cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，分别到达B ，C 两点就停止运动，则△PQB 的面积最大时，所用时间为（）A.2sB.3sC.4sD.5s【答案】B【解析】【分析】表示出PB ，BQ 的长，根据三角形面积公式列出函数关系式，然后配方求解即可.【详解】解：由题意得：AP=tcm ，则PB=(6-t)cm ，BQ=2tcm ，故S △PQB =221(6)26(3)92t t t t t ??-+=--+，∴当t=3s 时，△PQB 的面积最大，故选B.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，根据题意表示出三角形的两直角边长是根本，得出面积并配方找最大值是关键．③拱桥问题例6.3如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．【详解】抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图．（仅举两例）①如图1建立坐标系，∵顶点在原点，∴设函数解析式为2y ax =，∵图像过()20,6，∴2620a =⨯，解得：3200a =-，∴抛物线的表达式为23200y x =-．②如图2建立坐标系，∵图像相当于图1的图像向上平移6，∴抛物线的表达式为236200y x =-+．故正确，抛物线表达式为23200y x =-或236200y x =-+．变式6.319.如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.【答案】1.2【解析】【详解】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，求得a=-12，即抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.故答案为：1.2.④销售问题例6.4我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价时200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）求出月销售量y （单位：台）与售价x （单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当售价x 定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w （单位：元）最大？最大利润是多少？【详解】解：（1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，当售价为x 时，降了()400x -，所以月销售多了()10400x -台，则月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式；()10400200104200y x x =-+=-+∵空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台∴300104200450x x ≥⎧⎨-+≥⎩解得300375x ≤≤（2）由题意有：(200)w x y=-(200)(104200)x x =--+2106200840000x x =-+-210(310)121000x =--+∴当售价x 定为310元时，w 有最大值，为121000变式6.420.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．【答案】（1）20元；（2）每件衬衫应降价15元，商场盈利最多，共1250元．【解析】【分析】（1）总利润=每件利润×销售量，根据题意可得利润表达式，再求当1200w =时x 的值；（2）根据函数关系式，运用二次函数的性质求最值．【详解】解：设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+（1）当1200w =时，22608001200x x -++=，解之得121020x x ==，．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）解：商场每天盈利w=()()40202x x -+()22151250x =--+．∵-2＜0∴抛物线开口向下∴当x=15时，w 有最大值，w 的最大值为1250，所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查二次函数应用的销售问题的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．⑤投球问题例6.5如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式()2y a x k h =-+．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（）A .球不会过网B .球会过球网但不会出界C .球会过球网并会出界D .无法确定【详解】分析：（1）将点()0,2A 代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出9x =和18x =时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意，将点()0,2A 代入2(6) 2.6y a x =-+，得：362.62a +=，解得：160a =-，∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+；当9x =时，21(96) 2.6 2.45 2.4360y =--+=>，∴球能过球网，当18x =时，21(186) 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界．故选C ．变式6.521.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（）A. 4.6mB. 4.5mC.4mD.3.5m【答案】B【解析】【分析】根据题意将篮圈高度y =3.05代入函数21 3.55y x =-+解得x ，再加上3即可求得L .【详解】如图，把y =3.05代入函数21 3.55y x =-+，解得：x ＝1.5或x ＝﹣1.5（舍），则L ＝3+1.5＝4.5m.故选B.⑥喷水问题例6.6如图，花坛水池中央有一喷泉，水管3m OP =，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A .1B .1.5C .2D .3【详解】如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是()1,4，设抛物线的解析式是()214y a x =-+，把()0,3代入解析式得：43a +=，解得：1a =-，则抛物线的解析式是：()214y x =--+，当0y =时，()2140x --+=，解得：123,1x x ==-（舍去），则水池的最小半径是3米．故选：D ．变式6.622.如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用53y x =-+表示，点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B 处，抛物线可用213y x bx c =-++表示．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求水柱离坡岗AB的最大高度．【答案】（1）21533y x x =-++；（2）254【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）水柱离坡面的距离d=21553x x ⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理成一般式，再配方成顶点式即可得.【详解】解：（1）∵AB=10、∠OAB=30°，∴OB=12AB=5、OA=ABcos ∠OAB=10×2=，则A（，0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入213y x bx c =-++，得175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：35b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21533y x x =-++；（2）水柱离坡面的距离d=21553x x ⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭，=2125324x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴当254.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质等知识点，难度不大.⑦增长率问题例6.7共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（）A .2y x a=+B .()21y a x =+C .()21y x a=-+D .()21y a x =-【详解】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，依题意得第三个月第三个月投放单车()21a x +辆，则()21y a x =+．故选：B ．变式6.723.某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x ，预计今年比去年的年增长率仍为x ，今年的总产值为y 万元．（1）求y 关于x 的函数关系式．（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？【答案】（1）210(1)y x =+；（2）14.4万元；（3）36.4万元．【解析】【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)把x 的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可.【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)²=14.4万元；(3)依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+10(1＋x)²=36.4(万元).【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解．⑧其他问题例6.8小明和小丽先后从A 地出发同一直道去B 地，设小丽出发第min x 时，小丽、小明离B 地的距离分别为1y m 、2y m ，1y 与x 之间的数表达式11802250y x =-+，2y 与x 之间的函数表达式是22101002000y x x =--+．（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为m ．（2）小丽发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？【详解】解（1）当0x =时，122250,2000y y ==∴1222502000250(m)y y -=-=故答案为：250（2）设小丽出发第min x 时，两人相距m S ，则()21802250101002000S x x x =-+---+即21080250S x x =-+其中010x ≤≤因此，当8042210b x a -=-=-=⨯时S 有最小值，224410250(80)904410ac b a -⨯⨯--==⨯也就是说，当小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m变式6.824.如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m ，两侧距底面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个隧道入口的最大高度为_________m ．。
中考数学函数综合讲义 附答案
函数综合篇一、综述函数综合问题，以考查存在性问题为主．通常从研究坐标、表达式入手，结合背景图形的几何信息，通过函数特征与几何特征的相互转化解决问题．二、能力储备1.函数处理框架➢研究坐标、表达式，分析背景图形．➢梳理条件、整合信息．通常需要借助横平竖直线段长将函数特征与几何特征结合在一起进行研究．➢设计方案求解．常见处理思路：①根据几何特征表达点坐标，代入函数表达式求解；②由函数表达式设出点坐标，借助几何特征求解；③函数表达式联立求解．2.存在性问题——平行四边形①三定一动②两定两动以定线段作边或对角线，确定分类；常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解．③三动点或四动点往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可．3.存在性问题——等腰直角三角形从直角入手，确定分类．常构造弦图模型解决问题．4.存在性问题——菱形通常转化为等腰三角形存在性处理，亦可借助菱形性质解决．5.存在性问题——梯形①等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式；两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解．②直角梯形存在性关键是利用好直角．6.存在性问题——相似三角形①目标三角形确定：先研究目标三角形的边角关系，根据对应关系分类，借助比例关系建等式．②目标三角形不确定：从角度、对应关系入手，结合不变特征分析，根据对应关系分类，借助比例关系建等式．7.存在性问题——全等三角形[6]①目标三角形确定：先研究目标三角形的边角关系，根据对应关系分类，借助边、角相等建等式．②目标三角形不确定：从角度、对应关系入手，结合不变特征分析，根据对应关系分类，借助边、角相等建等式．图25. 如图，抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点C (0，-2)，与直线y x =交于点A (-2，-2)，B (2，2)． （1）求抛物线的解析式．（2）线段MN 在线段AB 上移动（点M 不与点A 重合，点N 不与点B 重合），且MN =M 的横坐标为m ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N作x 轴的垂线与抛物线交于点Q ，则以P ，M ，Q ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【参考答案】1．（1）(30)(02)B C ，，，；224233y x x =-++（2）①23(03)S m m m =-+<<，； 存在最大值，S 的最大值为94，△OBE 是等腰三角形．②存在，12311(10)(0)(0).23R R R -，；，；，2．（1）2142y x x =-++（2）(01)D ，（3）存在，12((22N N ----+；．3．（1）234y x x =-++（2）存在，1237(2(22P P --；， （3）①不存在点P 使四边形PMNQ 为菱形．②存在点P 使四边形PMNQ 为等腰梯形，此时59()22P ，． 4．（1）22y x x =-（2）四边形ODAB 为正方形，证明略．（3）15388或m m ==5．（1）2122y x x =+-（2）能，此时2m m ==-函数综合（一）（随堂测试）1. 如图，抛物线y =x 2-2x +a （a <0）与y 轴相交于点A ，顶点为M ．直线12y x a =-分别与x 轴、y 轴相交于B ，C 两点，并且与直线AM 相交于点N ．（1）填空：试用含a 的代数式分别表示点M ，N 的坐标，则M （______，______），N （______，______）． （2）在抛物线y =x 2-2x +a （a <0）上是否存在一点P ，使得以P ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．1.（1）(11)M a -，，4(33aa N -，（2）存在，117()28P -，，255()28P -，；函数综合（一）（作业）1. 已知抛物线2y x bx c =++交y 轴于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B (3，-4)，直线14y x =与抛物线在第一象限的交点为C ，连接OB ． （1）求抛物线的解析式．（2）如图1，点P 在射线．．OC ．．上运动，连接BP ，设点P 的横坐标为x ，△OBP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．（3）如图2，点P 在直线．．OC ．．上运动，点Q 在抛物线上运动，试问点P ，Q 在运动过程中，是否存在以O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】 1.（1）234y x x =--（2）y 与x 之间的函数关系式为19(0)8≥y x x = （3）155()416P ，，2(82)P ，，31111(416P ，，41111()416P --， 2.（1）219(1)22y x =--； （2）502m <<；（3）AM =2或AM =10 3.（1）223y x x =--+；（2）①315(24P -，时，△PDE 周长最大；②1P ，2(12)P -，函数综合（二）（讲义）1. 如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在x 轴上，点C ，D 在y 轴上，且OB =OC =3，OA =OD =1，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过A ，B ，C 三点，直线AD 与抛物线交于另一点M ． （1）求这条抛物线的解析式．（2）P 为抛物线上一动点，E 为直线AD 上一动点，是否存在点P ，使以A ，P ，E 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．AD 个单位后得到的抛物线的解析2. 如图，二次函数2y ax bx c =++的图象交x 轴于A (-1，0)，B (2，0)两点，交y轴于点C (0，-2)，过A ，C 画直线． （1）求二次函数的解析式．（2）点P 在x 轴正半轴上，且PA =PC ，求OP 的长．（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ． ①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC ，求点M 的坐标； ②若⊙M M 的坐标．3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △AOB 的直角边OA 在x 轴正半轴上，OB 在y轴负半轴上，且OA =OB =1，以点B 为顶点的抛物线经过点A ．（1）求该抛物线的解析式．（2）点P 是经过点B 且与坐标轴不平行的直线l 上一点．请你探究：当直线l 绕点B 任意旋转（不与坐标轴平行或重合）时，是否存在这样的直线l ，在直线l 上能找到点P ，使△PAB 与Rt △AOB 相似（相似比不为1）？若存在，求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由．4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，以AB 所在直线为x 轴，过点C 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，此时，A 点坐标为(-1，0)，B 点坐标为(4，0)． （1）若抛物线2y ax bx c =++过△ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式． （2）点D (1，m )在抛物线上，过点A 的直线1y x =--交（1）中的抛物线于点E ，那么在x 轴上点B 的左侧是否存在点P ，使以P ，B ，D 为顶点的三角形与△ABE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5. 如图，抛物线2y ax bx c =++经过A(0)，B(0)，C (0，3)三点，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ．设抛物线的顶点为P ，连接PA ，AD ，DP ，线段AD 与y 轴相交于点E ． （1）求该抛物线的解析式．（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将∠CED 绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边ED 旋转后与对称轴l 相交于点N ，连接PM ，DN ，若PM =2DN ，求点N 的坐标．【参考答案】1．（1）223y x x =+-（2）存在，12(23)(30)P P ---，，，（3）241y x x =++ 2．（1）22y x x =--（2）32OP =（3）①710()(12)39或M M -，，②1211(3(322M M -+-；3．（1）2113y x =-（2）存在，1:1l y =-；2:13l y x =--；3:1l y =- 4．（1）213222y x x =-++（2）存在，121322(0)(0)75P P -，；5．（1）2133y x x =-+（2）存在，1234(07)(1)2)4)Q Q Q Q --，；；（3）N【参考答案】1.（1）248+433y x x =-+（2）244(03)3PM m m m =-+<< （3）当2316m =时，△PCM 为直角三角形，当1m =时，△PCM 为等腰三角形2.（1）215222y x x =-+-（2）max (21),4D S =，（3）存在，12(21)(52)P P -，，， 3.（1）2k =（2）(32)E ，（3）1238(2)(2)83E E ，，，每日一练（一）1. 如图，已知直线y =kx -1与抛物线y =ax 2+bx +c 交于A (-3，2)，B (0，-1)两点，抛物线的顶点为C (-1，-2)，对称轴交直线AB 于点D ，连接OC ． （1）求k 的值及抛物线的解析式．（2）若P 为抛物线上的点，且以P ，A ，D 为顶点的三角形是以线段AD 为一条直角边的直角三角形，请求出满足条件的点P 的坐标．（3）在（2）的条件下所得到的三角形是否与△OCD 相似？请你直接写出判断结果，不必写出证明过程．2. 如图，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于点A (-2，0)，B (4，0)，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式．（2）T 是抛物线对称轴上的一点，且△ACT 是以AC 为底的等腰三角形，求点T 的坐标．（3）点M ，Q 分别从点A ，B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴相向而行．当点M 到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线l ⊥x 轴，交AC 或BC 于点P ．求△APQ 的面积S 与点M 的运动时间t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．3.如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +4与坐标轴分别交于A ，B 两点，过A ，B 两点的抛物线为y =-x 2+bx +c ．D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式．（2）当DE =4时，求四边形CAEB 的面积．（3）连接BE ，是否存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出此时点D 的坐标；若不存在，说明理由．4.有一副直角三角板，在三角板ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =6，在三角板DEF 中，∠FDE =90°，DF =4，43DE ．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B 与点F重合，直角边BA 与FD 在同一条直线上．现固定三角板ABC ，将三角板DEF 沿射线BA 方向平行移动，当点F 与点A 重合时停止 运动．（1）如图2，当三角板DEF 运动到点D 与点A 重合时，设EF 与BC 相交于点M ，则∠EMC =_______度；（2）如图3，在三角板DEF 运动的过程中，当EF 经过点C 时，求FC 的长； （3）在三角板DEF 运动的过程中，设BF =x ，两块三角板重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并求出对应的x 的取值范围．ECB xOyA D 第3题图5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1，0)，C (3，0)，D (3，4)，以A 为顶点的抛物线yax 2+bx +c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P ，Q 的运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ． （1）求点A 的坐标及抛物线的解析式．（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C ，Q ，E ，H 为顶点的四边形为菱形？求出t 的值．ABC DEF G PQOxy第5题图6.如图，抛物线y =-(x -1)2+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A (-1，0)． （1）求点B ，C 的坐标；（2）判断△CDB 的形状并说明理由；（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0<t <3）得到△QPE ，△QPE 与△CDB 重叠部分（图中阴影部分）的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．7.如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB ，OD 在x 轴上．已知点A (1，2)，过A，C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E ，F ．抛物线2y ax bx c =++经过O ，A ，C 三点． （1）求该抛物线的函数解析式．（2）点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若将△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移过程中与△COD 重叠部分的面积记为S ．试探究S 是否存在最大值．若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．10.如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =3，AB =5．点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿B →C →A →B 的方向运动；点Q 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿C →A →B 的方向运动，到达点B 后立即原速返回．P ，Q 两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t 秒．（1）当t =_________时，点P 与点Q 相遇．（2）在点P 从点B 到点C 的运动过程中，当t 为何值时， △PCQ 为等腰三角形？（3）在点Q 从点B 返回点A 的运动过程中，设△PCQ 的面积为S 平方单位． ①求S 与t 之间的函数关系式；②当S 最大时，过点P 作直线交AB 于点D ，将△ABC 沿直线PD 折叠，使点A 落在直线PC 上，求折叠后的△APD 与△PCQ 重叠部分的面积．11.已知顶点为A (1，5)的抛物线y =ax 2+bx +c 经过点B (5，1)． （1）求抛物线的解析式．（2）如图1，设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点，求四边形ABCD 周长的最小值．（3）在（2）中，当四边形ABCD 的周长最小时，作直线CD ．设点P (x ，y )（x >0）是直线y =x 上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边，按图2所示构造等腰直角三角形PRQ ．①当△PRQ 与直线CD 有公共点时，求x 的取值范围；②在①的条件下，记△PRQ 与△COD 重叠部分的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并求S 的最大值．12.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，OC=6，在OC上取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在AB边上的点E处．将一个足够大的直角三角板的顶点P 从点D出发沿折线DA-AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在的直线与直线DE，BC分别交于点M，N．（1）点D的坐标是__________，点E的坐标是___________．（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设点P的坐标为(x，2)，△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x的增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．【参考答案】1.（1）k =-1；221y x x =++（2）123(21)(12)(27)，；，；，P P P -- （3）1△∽△PDA ODC 易证，2P 不满足，3P 不满足； 2.（1）2142y x x =-++（2）T (1，1) （3）226(02)343(23)4t t t S t t t ⎧-+<≤⎪=⎨-++<≤⎪⎩；max 253S =3.（1）234y x x =--+（2）12四边形CAEB S =（3）存在，12(31)(2，；D D --4.（1）15（2）FC =3）22248(02)318(264(66)2≤≤≤x x x y x x x x ⎧++<⎪⎪⎪+⎪=-+-⎨-+-<<⎪⎪⎩ 5.（1）A (1，4)；223y x x =-++（2）t =2时，S 的最大值为1（3）202013；t t ==-6.（1）B (3，0)，C (0，3)（2）△CDB 是直角边之比为1:3的直角三角形（3）22333(0)221933(3)222t t t S t t t ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤7.（1）23722y x x =-+（2）存在，21()33P ，（3）存在，S 的最大值为38 8.（1）D (1，-4)（2）∠E =45°（3）117()24，；Q --2(23)，Q -9.（1）2123y x x =--（2）相切（3）存在，1(61)P --；2(61)P -- 10.（1）7（2）t =1；t =3917；（3）①2363655S t t =-+-②1211S =11.（1）21119424y x x =-++（2）最小值为3）①2≤x ≤4 ②227844(2)831824(4)43≤≤≤x x x S x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩；S 的最大值为4712.（1）D (2，0)；E (2，2)（2）存在，12(24)(24)，；M M（3）22812(02)812(26)x x x S x x x ⎧-+<<⎪=⎨-+-<<⎪⎩；0<x <2或4<x <6。
2023年中考数学重难点专题复习-特殊三角形问题(二次函数综合)【有答案】
2023年中考数学重难点专题复习-特殊三角形问题（二次函数综合）1．综合与探究如图，抛物线2y ax bx c =++经过()1,0A -，()3,0B ，()0,3C 三点，与y 轴交于点C ，作直线BC ．(1)求抛物线和直线BC 的函数解析式．(2)D 是直线BC 上方抛物线上一点，求BDC 面积的最大值及此时点D 的坐标．(3)在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．3．已知，如图，抛物线2y x bx c =-++经过直线3y x =-+与坐标轴的两个交点A ，B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．(1)求此抛物线的解析式；(2)设点Q 是线段AB 上的动点，作QM x ⊥轴交抛物线于点M ，求线段QM 长度的最大值；(3)在x 轴上是否存在点N 使ADN △为直角三角形？若存在，确定点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在直线BC 下方的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，过点P 作x 轴的垂线l ，垂线l 交BC 于点E ，AD ∥垂线l ，求证ADM PEM ∽；当PM AM 最大时，求点P 的坐标及PM AM的最大值； (3)在(2)的条件下，在l 上是否存在点D ，使BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -．(1)求此抛物线的解析式；(2)点M 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴下方的抛物线上，当MAQ 是以AQ 为斜边的等腰直角三角形时，求点M 的坐标．6．如图，抛物线223y ax x =++与x 轴的一个交点是()3,0A ，与y 轴交于B 点，点P 在拋物线上．(1)求a 的值；(2)过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，设点P 的横坐标为(03)m m <<，PE l =，求l 关于m 的函数关系式；(3)当PAB 是直角三角形时，求点P 的坐标．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2143y x bx =-++经过()13A -,，与y 轴交于点C ，经过点C 的直线与抛物线交于另一点()6,E m ，点M 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求直线CE的解析式；(2)如图2，点P为直线CE上方抛物线上一动点，连接PC，PE，当PCE的面积最大时，求点P的坐标以及PCE 面积的最大值；(3)如图3，将点D右移一个单位到点N，连接AN，将（1）中抛物线沿射线NA平移得到新抛物线y'，y'经过点N，y'的顶点为点G，在新抛物线y'的对称轴上是否存在点H，使得MGH是等腰三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标：若不存在，请说明理由．30，，8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=-++的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为()y x bx cB 点坐标为10，，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求b、c的值．(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点9．如图，已知直线y ＝x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过A 、B 两点，与x 轴交于另一个点C ，对称轴与直线AB 交于点E ，抛物线顶点为D ．(1)点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ．(2)①求抛物线的解析式；② 点M 是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M ，使得△MAB 的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 从点D 出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t 值．10．如图，抛物线1C ：()2120y ax ax a =+>与x 轴交于点A ，顶点为点P ．(1)直接写出抛物线1C 的对称轴是______，用含a 的代数式表示顶点P 的坐标______；(2)把抛物线1C 绕点(),0M m 旋转180°得到抛物线2C （其中0m >），抛物线2C 与x 轴右侧的交点为点B ，顶点为点Q ．②在①的条件下，是否存在ABP 为等腰三角形，若存在请求出a 的值，若不存在，请说明理由．11．如图，关于x 的二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．(1)求二次函数的解析式．(2)有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．(3)在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在请说明理由．12．如图，抛物线212y ax x c =-+的图象与x 轴交点为A 和B ，与y 轴交点为()0,3D ，与直线23y x =--交点为A 和C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线23y x =--上是否存在一点M ，使得ABM 是等腰直角三角形，如果存在，求出点M 的坐标，如果不存在请说明理由．(3)若点E 是x 轴上一个动点，把点E 向下平移4个单位长度得到点F ，点F 向右平移4个单位长度得到点G ，点G 向上平移4个单位长度得到点H ，若四边形EFGH 与抛物线有公共点，请直接写出点E 的横坐标E x 的取值范围．。
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题(含答案)
2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P 抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．2024年福建中考数学专题复习：二次函数综合题（答案）一．定点问题（共3小题）1．已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣3（m为常数）．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）当m≥1时，求抛物线顶点到x轴的最小距离；（3）当m＝0时，点A，B为该抛物线上的两点，顶点为D，直线AD的解析式为y1＝k1x+b1，直线BD的解析式为y2＝k2x+b2，若k1k2＝﹣，求证：直线AB过定点．【答案】（1）（m，﹣m2﹣3）；（2）抛物线顶点到x轴的最小距离为4；（3）直线AB过定点（0，﹣）．2．已知抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝1对称，且过点（2，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）过D（m，﹣1）的直线DE：y＝k1x+b1（k＞0）和直线DF：y＝k2x+b2（k2＜0）均与抛物线有且只有一个交点．①求k1k2的值；②平移直线DE，DF，使平移后的两条直线都经过点R（1，0），且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点，若M、N分别为GH，PQ的中点，求证：直线MN必过某一定点．【答案】（1）y＝x2﹣2x+1；（2）①k1k2＝﹣4；②证明见解答过程．3．在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．【答案】（1）m＝1；（2）点G的坐标为；（3）见解析．二．定值问题（共2小题）4．过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，且抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点E是直线AB上方抛物线上一点，连接AB，BE，AE，若△ABE的面积为4，求点E的坐标；（3）如图（2），设直线y＝kx﹣2k（k≠0）与抛物线交于C，D两点，点D关于直线x＝2的对称点为D'，直线CD'与直线x＝2交于点P，求证：BP的长为定值．【答案】（1）解析式为：y＝x2﹣2x；（2）E1（0，0），E2（6，6）；（3）证明见解答过程．5．已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；（3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣1；（2）；（3）定值1．三．线段之积（共2小题）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧，其中A点坐标（﹣1，0）；交y轴负半轴于点C，C点坐标（0，﹣3）．（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1，若抛物线上有一点D，∠ACD＝45°，求点D的坐标．（3）如图2，点P是第一象限抛物线上一点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线交于另外一点Q，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点．若OM•ON＝2，试探究m、n之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）D（4，5）；（3）m、n之间的数量关系为n+3m＝2．理由间接性．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣1）．（1）求抛物线的解析式；（2）D为抛物线y＝ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A，B重合的动点．①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F，与直线BD交于点G，点F关于x轴的对称点为F′，求证：GF′的长度为定值；②当∠BAD＝45°时，过线段AD上的点H（不含端点A，D）作AD的垂线，交抛物线于P，Q两点，求PH•QH的最大值．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）①F′G＝为定值；②PH•QH的最大值为：．四．线段数量关系（共5小题）8．抛物线C：y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出点A，B的坐标；（2）如图1，直线y＝x+1经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足△DAN的面积与△CAN的面积相等，求点D的横坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线C1，P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线C1上两点（P点在Q点左侧），直线PQ交抛物线C1对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F，H两点，EH交x轴于点G，求证：EG＝GH．【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）3或；（3）见解析．9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若抛物线经过点（﹣1，1）且对称轴为直线x＝1，求a，c所满足的数量关系；（2）抛物线与y轴交于点，顶点为Q（2，0），过点的直线与抛物线交于E，F两点（点E在点F的左侧）．①求△EQF面积的最小值；②过点E作x轴的垂线，垂足为M，直线EM与直线FQ交于点N，连接PM，求证：PM∥QN．【答案】（1）3a+c＝1；（2）①4；②见解答．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2．求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N．设点D的横坐标为m，且2＜m＜4，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）S1﹣S2的最大值为，点P的坐标为：（，）；（3）m＝．11．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），与y轴交于点B，对称轴为，点P是x轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F．（1）求二次函数的表达式；（2）若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）时，求点P的坐标；（3）分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点M、N，矩形EMNF与此抛物线相交，抛物线被截得的部分图象记作G，G的最高点的纵坐标为m，最低点纵坐标为n，当m﹣n＝2OP时，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）（﹣1，0），，；（3）P（6，0）．12．已知抛物线y＝﹣﹣2x+3n（n＞0）与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧）；与y轴交于点C，顶点为D．（1）如图1，若n＝1．①则D的坐标为（﹣1，4）；②当m≤x≤0时，抛物线的最小值为3，最大值为4，则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 ．（2）如图2，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2nd．①求证：AC∥PB．②连接AP、OD、OQ、DQ，若AP＝QB，PQ＝4n，试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化？并说明理由．【答案】（1）①（﹣1，4）；②﹣2≤m≤﹣1；（2）①证明见解析过程；②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化，理由见解析过程．五．面积问题（共5小题）13．已知抛物线C1：y＝﹣x2﹣2x﹣1，抛物线C2经过点A（﹣1，0），B（m+1，0）（m＞0），E为抛物线C2的顶点，M（x M，0）是x轴正半轴上的点．（1）若E在抛物线C1上，求点E的坐标；（用含m的式子表示）（2）若抛物线C2：y＝x2﹣mx+n，与y轴交于点C．①点D（m，y D）在抛物线C2上，当AM＝AD，x M＝5时，求m的值；②若m＝2，F是线段OB上的动点，过F作GF⊥CF交线段BC于点G，连接CE，GE，求△CGE面积的最小值．【答案】（1）E（m，﹣m2﹣m﹣1）；（2）①m＝3﹣1；②6﹣6．14．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A的坐标为（﹣2，0）和原点O，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求抛物线解析式，判断点B是否在抛物线上；（2）连接AB，作点O关于AB的对称点O′，求四边形AOBO′的面积；（3）点P（n，0）是x轴上一个动点，过P点作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点N，将△ANB的面积记为S，若≤S≤，求n的取值范围．【答案】（1）y＝x2+x；点B在抛物线上，理由见解答过程；（2）2；（3）≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤．15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）连接AC，BC，点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点（不与B，C重合），①求△BCD面积的最大值；②若∠ACO+∠BCD＝∠ABC，求点D的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①△BCD面积的最大值为；②D（，﹣）．16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点B（4，0），与y轴交于点C，点P抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作PH⊥AB，垂足为H，作PE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F，设△PHF的面积为S1，△BEF的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）；（3）存在点N，使得直线BC垂直平分线段PN；N的坐标是或．17．抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当OP＝OA时，D是点C关于抛物线对称轴的对称点，M是抛物线上的动点，它的横坐标为m（﹣1＜m＜4），连接DM，CM，DM与直线AC交于点N．设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2，求的最大值．（3）如图2，直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为n．求的值．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）．。
2019中考数学冲刺讲义：第3讲函数图象的分析与作图(含答案)
第3讲、函数图象的分析与作图（讲义）1.已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=-x2+bx+c经过点A(2，2)，对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，连接AM，用含m的代数式表示∠AMB 的正切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．2.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，1)，取一点B(b，0)，连接AB，作线段AB的垂直平分线l1，过点B作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．（1）当b=3时，在图1中补全图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）小慧多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来发现：这些点P竟然在一条曲线L上．①设点P的坐标为(x，y)，试求y与x之间的关系式，并指出曲线L是哪种曲线；②设点P到x轴、y轴的距离分别是d1，d2，求d1+d2的范围，当d1+d2=8时，求点P的坐标；③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点，直接写出k的取值范围．图13.已知二次函数y=ax2-2ax+c（a＜0）的最大值为4，且抛物线过点79()24，，点P(t，0)是x轴上的动点，抛物线与y轴交点为C，顶点为D．（1）求该二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）求|PC-PD|的最大值及对应的点P的坐标；（3）设Q(0，2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a|x|2-2a|x|+c的图象只有一个公共点，请直接写出t的取值．4. 如图，抛物线L ：1()(4)2y x t x t =---+（常数t ＞0）与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP ⊥x 轴，交双曲线ky x=（k ＞0，x ＞0）于点P ，且12OA MP ⋅=．（1）求k 的值；（2）当t=1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；（3）把L 在直线MP 左侧部分的图象（含与直线MP 的交点）记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标； （4）设L 与双曲线有个交点的横坐标为x 0，且满足4≤x 0≤6，通过L 位置随t 变化的过程，直接写出t 的取值范围．【参考答案】1. （1）抛物线的表达式为y=-x 2+2x+2；点B(1，3)；（2）tan ∠AMB=12m -；（3）点Q 的坐标为3)2-，3)2-． 2. （1）作图略；（2）①21122y x =+，曲线L 是抛物线； ②d 1+d 2≥12；P 1(3，5)，P 2(-3，5)；③k 的取值范围为k <<． 3. （1）二次函数的解析式为y=-x 2+2x+3；顶点D(1，4)；（2）|PC-PD|，对应的点P 坐标为(-3，0)； （3）32≤t ＜3，72t =或t ≤-3．4. （1）k 的值为6；（2）直线MP 与L 对称轴之间的距离为32； （3）图象G 最高点的坐标为2()28t t t -+，；（4）t 的取值范围为5≤t ≤8，7≤t ≤8．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x ＋c的图象可能是（）A. B. C. D.2．如图，矩形ABCD，AD＝1，CD＝2，点P为边CD上的动点（P不与C重合），作点P关于BC的对称点Q，连结AP，BP和BQ，现有两个结论：①若DP≥1，当△APB为等腰三角形时，△APB和△PBQ一定相似；②记经过P，Q，A三点的圆面积为S，则4π≤S＜254．下列说法正确的是（）A.①对②对B.①对②错C.①错②对D.①错②错3．如图，在四边形中，分别是，，，边上的点，某同学探索出如下结论，其中不正确．．．的是（）A.当是各边中点且时，四边形为菱形B.当是各边中点且时，四边形为矩形C.当不是各边中点时，四边形不可能为菱形D.当不是各边中点时，四边形可以为平行四边形4．某几何体的平面展开图如图所示，则该几何体是（）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱5．四位同学在研究函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）时，甲发现当x=-1时函数的最小值为-1；乙发现4a-2b+c=0成立；丙发现当x<1时，函数值y 随x 的增大而增大；丁发现当x=5时，y=-4．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁6．若代数式和的值相等，则x 的值为（ ） A ．x ＝﹣7B ．x ＝7C ．x ＝﹣5D ．x ＝37．如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD ，E 、F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ．若CE ＝8，BF ＝6，AD ＝10，则EF 的长为（ ）A ．4B ．72C ．3D ．528．若不等式组无解，则m 的取值范围是（ ）A.B.C.D.9．如图，在⊙O 中，∠BOD ＝120°，则∠BCD 的度数是（ ）A ．60°B ．80°C ．120°D ．150°10．如图直线y ＝mx 与双曲线y=kx交于点A 、B ，过A 作AM ⊥x 轴于M 点，连接BM ，若S △AMB ＝2，则k 的值是( )A．1 B．2 C．3 D．411．在某校选拔毕业晚会主持人的决赛中，参与投票的每名学生必须从进入决赛的四名选手中选1名，且只能选1名，根据投票结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，则选手B的得票为（）A．300 B．90 C．75 D．8512．下列运算正确的是（）A．a3•a4＝a12B．a5÷a﹣3＝a2C．（3a4）2＝6a8D．（﹣a）5•a＝﹣a6二、填空题13．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,A B均在格点上，12,l l是一条小河平行的两岸. (Ⅰ)AB的距离等于_____；(Ⅱ)现要在小河上修一座垂直于两岸的桥MN(点M在1l上，点N在2l上，桥的宽度忽略)，使++最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出MN，并简要说明点M，N的位AM MN NB置是如何找到的(不要求证明)_________________________________.14．正比例函数的图像与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A(2，n)，且n>0，当时，的取值范围是___________________.15．如图，l1∥l2，∠1=56°，则∠2的度数为______．16．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是°．17．请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．18．关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+(a2-1)=0的一个根是0，则a的值是________．三、解答题19．如图，在方格纸中每个小正方形的边长均为l，线段AB的端点在小正方形的顶点上，（所画图形顶点必须在小正方形的顶点上）．（1）在如图中画一个以AB为边的四边形ABCD是中心对称图形，且四边形面积是12；（2）在如图中画一个以AB为边的四边形ABMN是轴对称图形，且只有一个角是直角，面积为15．20．尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）如图，已知∠a和线段a、b求作：（1）△ABC，使∠A＝∠α，AB＝a，AC＝b．（2）在（1）的条件下，作AB边上的中线CD．21．如图,直线l 1 在平面直角坐标系中,直线l 1与y 轴交于点A,点B(-3,3)也在直线1上,将点B 先向右平移1个单位长度、再向下平移2个单位长度得到点C ，点C 恰好也在直线l 1上。
沪科版九年级数学中考复习二次函数综合应用(含答案)
二次函数综合应用1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax-bc的图象大致是( )2.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+b与一次函数y=bx+a的图象可能是( )3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1.下列四个结论:①abc<0;②2a-c>0;③a+2b+4c>0;④4ab +ba<-4.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.44.已知某二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,求这个二次函数的表达式.5.如图,△OAB的边OA在x轴上,其中点B的坐标为(3,4),且OB=BA.(1)求经过A,B,O三点的抛物线的表达式;(2)将(1)中的抛物线沿x轴平移,设A,B的对应点分别为点A',B'.若四边形ABB'A'为菱形,求平移后的抛物线的表达式.6.我们规定:若抛物线的顶点在坐标轴上,则称该抛物线为“数轴函数”.例如抛物线y=x2和y=(x-2)2都是“数轴函数”.(1)抛物线y=x2-4x+4和抛物线y=x2-6x是“数轴函数”吗?请说明理由.(2)若抛物线y=2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”,求该抛物线的表达式.7.(甘肃中考节选)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的表达式;(2)若P为抛物线上的一点,F为对称轴上的一点,且以A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.8.已知二次函数y=x2-(m+2)x-m-5(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个不同公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?9.(安徽中考)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)C是该二次函数图象上A,B两点之间的一个动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.10.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和B(0,3).(1)求此抛物线和直线AB的函数表达式.(2)P是直线AB上方的抛物线上一个动点(不与点A,B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.动点P在什么位置时,△PDE的面积最大?求出面积的最大值,并求出此时点P的坐标.11.(安徽中考)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(1)求y与x之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W元,求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?12.(安徽中考)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距点O的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.13.某超市以每件20元的价格新进一批商品,经市场调研发现:该商品每天的销售量y(件)与销售价格x(元/件,20≤x≤60)的关系如图所示.(1)试确定y与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围);(2)若超市一天销售该商品的利润为w元,写出w(元)与商品的售价x(元/件)之间的函数表达式;(3)求(2)中当销售价格x定为多少时,一天的利润w最大,最大利润是多少?答案：1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax-bc的图象大致是(A)2.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+b与一次函数y=bx+a的图象可能是(C)3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点(x1,0),(2,0),其中0<x1<1.下列四个结论:①abc<0;②2a-c>0;③a+2b+4c>0;④4ab +ba<-4.其中正确结论的个数是(C)A.1B.2C.3D.44.已知某二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,求这个二次函数的表达式.解:由题可知,抛物线与x轴交于点(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.∵顶点在函数y=2x的图象上,∴y=2×(-1)=-2,∴顶点坐标为(-1,-2).设二次函数的表达式为y=a (x+1)2-2, 把(2,0)代入,得0=9a-2,解得a=29,∴y=29(x+1)2-2=29x 2+49x-169.5.如图,△OAB 的边OA 在x 轴上,其中点B 的坐标为(3,4),且OB=BA.(1)求经过A ,B ,O 三点的抛物线的表达式;(2)将(1)中的抛物线沿x 轴平移,设A ,B 的对应点分别为点A',B'.若四边形ABB'A'为菱形,求平移后的抛物线的表达式. 解:(1)y=-49x (x-6)=-49x 2+83x.(2)∵点B 的坐标为(3,4),点A 的坐标为(6,0),∴BA=√32+42=5.∵四边形ABB'A'为菱形,∴BB'=BA=5. ①若抛物线沿x 轴向右平移,则B'(8,4), ∴平移后抛物线的表达式为y=-49(x-8)2+4; ②若抛物线沿x 轴向左平移,则B'(-2,4), ∴平移后抛物线的表达式为y=-49(x+2)2+4.综上所述,平移后的抛物线的表达式为y=-49(x-8)2+4或y=-49(x+2)2+4.6.我们规定:若抛物线的顶点在坐标轴上,则称该抛物线为“数轴函数”.例如抛物线y=x 2和y=(x-2)2都是“数轴函数”.(1)抛物线y=x 2-4x+4和抛物线y=x 2-6x 是“数轴函数”吗?请说明理由. (2)若抛物线y=2x 2+4mx+m 2+16是“数轴函数”,求该抛物线的表达式. 解:(1)抛物线y=x 2-4x+4是“数轴函数”,抛物线y=x 2-6x 不是“数轴函数”.理由:∵y=x2-4x+4=(x-2)2,∴抛物线的顶点坐标为(2,0),在x轴上,∴抛物线y=x2-4x+4是“数轴函数”.∵y=x2-6x=(x-3)2-9,∴抛物线的顶点坐标为(3,-9),在第四象限,∴抛物线y=x2-6x不是“数轴函数”.(2)y=2x2+4mx+m2+16=2(x+m)2-m2+16,顶点坐标为(-m,-m2+16).由于抛物线y=2x2+4mx+m2+16是“数轴函数”,分两种情况:①当顶点在x轴上时,-m2+16=0,m=±4,抛物线的表达式为y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32;②当顶点在y轴上时,-m=0,m=0,抛物线的表达式为y=2x2+16.综上,抛物线的表达式为y=2x2+16x+32或y=2x2-16x+32或y=2x2+16.7.(甘肃中考节选)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求二次函数的表达式;(2)若P为抛物线上的一点,F为对称轴上的一点,且以A,B,P,F为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标.解:(1)用交点式得函数表达式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.(2)①当AB为平行四边形的一条边时,如图1,则AB=PF=2,由(1)知y=x2-4x+3=(x-2)2-1,则对称轴为直线x=2.当点P在对称轴右侧时,点P的坐标为(4,3);当点P在对称轴左侧时,即点C的位置,点P的坐标为(0,3).②当AB是四边形的对角线时,如图2,则AB和PF的交点坐标为(2,0),∴点P的坐标为(2,-1).综上,点P的坐标为(4,3)或(0,3)或(2,-1).8.已知二次函数y=x2-(m+2)x-m-5(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个不同公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?解:(1)当y=0时,x2-(m+2)x-m-5=0.Δ=[-(m+2)]2-4(-m-5)=m2+8m+24=(m+4)2+8,无论m取何值,(m+4)2+8>0,所以关于x的一元二次方程x2-(m+2)x-m-5=0总有两个不相等的实数根,所以不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个不同公共点.(2)当x=0时,y=-m-5,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是-m-5.当-m-5>0时,解得m<-5,即m<-5时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.9.(安徽中考)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)C是该二次函数图象上A,B两点之间的一个动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.解:(1)a=-12,b=3.(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CA,CB,CD,过点C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F.S△OAD =12OD·AD=12×2×4=4;S△ACD =12AD·CE=12×4×(x-2)=2x-4;S△BCD =12BD·CF=12×4×(-12x2+3x)=-x2+6x.∴S=S△OAD +S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6).∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.10.如图,已知抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A (-3,0)和B (0,3).(1)求此抛物线和直线AB 的函数表达式.(2)P 是直线AB 上方的抛物线上一个动点(不与点A ,B 重合),过点P 作x 轴的垂线,垂足为F ,交直线AB 于点E ,作PD ⊥AB 于点D.动点P 在什么位置时,△PDE 的面积最大?求出面积的最大值,并求出此时点P 的坐标. 解:(1)所求抛物线的函数表达式为y=-x 2-2x+3. 所求直线AB 的函数表达式为y=x+3.(2)∵A (-3,0),B (0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°.∵PF ⊥x 轴,∴∠AEF=90°-45°=45°,又∵PD ⊥AB ,∴△PDE 是等腰直角三角形,∴PE 越大,△PDE 的面积越大. 设点P (m ,-m 2-2m+3),∴点E (m ,m+3),∴PE=-m 2-2m+3-(m+3)=-(m +32)2+94(-3<m<0).∵-1<0,∴抛物线开口向下,∴当m=-32时,PE 有最大值94,此时△PDE 的面积最大,最大面积为12PD 2=14PE 2=14×(94)2=8164,此时点P 的坐标为(-32,154).11.(安徽中考)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y (千克)与每千克售价x (元)满足一次函数关系,部分数据如下表:(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)设商品每天的总利润为W 元,求W 与x 之间的函数表达式(利润=收入-成本);(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?解:(1)y=-2x+200(40≤x≤80).(2)根据题意,得W=y·(x-40)=(-2x+200)(x-40)=-2x2+280x-8000(40≤x≤80).(3)由(2)可知W=-2(x-70)2+1800,所以当40≤x≤70时,利润W随着x的增大而增大;当70<x≤80时,利润W随着x的增大而减小.所以当x=70时,利润W取得最大值,最大值为1800元.(2)体育问题12.(安徽中考)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距点O的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.解:(1)当h=2.6时,y=a(x-6)2+2.6,∵点(0,2)在该抛物线上,∴2=a(0-6)2+2.6,解得a=-1,∴y与x的关系式是y=-601(x-6)2+2.6.60(2)球能越过球网,球会出界.×(9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过球网.理由:当x=9时,y=-160(x-6)2+2.6=0,解得x1=6+2√39>18,x2=6-2√39(舍去),∴球会出界.当y=0时,-160(3)∵点(0,2)在y=a(x-6)2+h的图象上,∴2=a(0-6)2+h,a=2-ℎ,函数可写成36y=2-ℎ(x-6)2+h.36+h>2.43,①由球能越过球网,得x=9时,y=2-ℎ4由球不出边界,得x=18时,y=8-3h ≤0, ②联立①②解得h ≥83,∴h 的取值范围是h ≥83. 13.某超市以每件20元的价格新进一批商品,经市场调研发现:该商品每天的销售量y (件)与销售价格x (元/件,20≤x ≤60)的关系如图所示.(1)试确定y 与x 之间的函数表达式(写出自变量的取值范围);(2)若超市一天销售该商品的利润为w 元,写出w (元)与商品的售价x (元/件)之间的函数表达式;(3)求(2)中当销售价格x 定为多少时,一天的利润w 最大,最大利润是多少? 解:(1)y={20x -200 (20≤x ≤30),-10x +700 (30<x ≤60).(2)当20≤x ≤30时,w=(x-20)(20x-200)=20x 2-600x+4000;当30<x ≤60时,w=(x-20)(-10x+700)=-10x 2+900x-14000.综上,w={20x 2-600x +4000 (20≤x ≤30),-10x 2+900x -14000 (30<x ≤60).(3)当20≤x ≤30时,w=20x 2-600x+4000=20(x-15)2-500,抛物线开口向上.x>15时,y 随x 的增大而增大,又∵20≤x ≤30,∴当x=30时,w 最大值=20×(30-15)2-500=4000;当30<x ≤60时,w=-10x 2+900x-14000=-10(x-45)2+6250,抛物线开口向下,∴当x=45时,w 最大值=6250.综上所述,当定价为45元/件时,一天的利润w 最大,最大值为6250元.。
初三数学讲义（二次函数）（含答案）
初三数学讲义（二次函数）（含答案）（含答案） 知识梳理：知识梳理：一、二次函数概念：二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ¹，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．次函数的定义域是全体实数．二、二次函数的基本形式1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ¹）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ¹，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -³时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ¹．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；轴；当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．轴交点的位置． 二次函数解析式的确定：三个独立条件 四、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a æö--ç÷èø，． 当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a æö--ç÷èø，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y有最大值244ac b a-．注意：当定义域是m x n ££时，要判断对称轴是否在定义域内时，要判断对称轴是否在定义域内..若对称轴在定义域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值. . 五、二次函数图象的平移1. 平移步骤：平移步骤：方法一：⑴方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．六、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：轴的交点个数：① 当240b ac D =->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ¹，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0D =时，图象与x 轴只有一个交点；轴只有一个交点； ③ 当0D <时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++¹本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：内在联系：0D > 抛物线与x 轴有两个交点两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负可零、可负一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个不相等实根 0D =抛物线与x 轴只有一个交点有一个交点二次三项式的值为非负二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根 0D < 抛物线与x 轴无交点交点二次三项式的值恒为正二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 图1 重要题型： 1.1.基本问题：基本问题：1. 已知函数26(2)my m x-=-是二次函数，则m 值为（值为（ ）A.2 B. ±2C. ﹣ 2 D 6±2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a b c ><>000，， B ．a b c <<>000，， C ．a b c <><000，， D ．a b c <>>000，，3. 抛物线()223y x =+-可以由抛物线2y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位个单位 4. 已知二次函数223y x x =--．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（围是（ ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3 5. 已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（） A ．第四象限．第四象限 B ．第三象限．第三象限 C ．第二象限．第二象限 D ．第一象限．第一象限6. 若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m =l B ．m >l C ．m ≥l D ．m ≤l 7. 已知二次函数y=﹣x 22﹣7x+，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是________________.8.二次函数y=ax 2+bx+c +bx+c（a≠0）中的（a≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：的部分对应值如下表： x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3 ﹣4 ﹣ 3 0512给出了结论：给出了结论：（1）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣有最小值，最小值为﹣33； （2）当时，时，y y ＜0；（3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧． 则其中正确结论的个数是（则其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B B．．2个C C．． 3个D D．．0个9.9.已知二次函数已知二次函数y ＝ax2＋bx bx＋＋c 图象的一部分如图，图象的一部分如图， 则a 的取值范围是的取值范围是______________________________．．10. 二次函数y =ax 2+bx +1（a ≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t =a +b +1，则t 值的变化范围是（值的变化范围是（ ）A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．﹣1＜t ＜0 11. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ¹)的图象如图的图象如图所示，有下列结论：（ ）①240b ac ->；②0abc >； ③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是其中，正确结论的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠ 0）满足条件：（1）4a -b =0；（2）a -b +c >0；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①a <0；②c >0；③a +b +c <0；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是其中所有正确结论的序号是 ．13. 函数2(2)5(1)y x x m =-+££中y 的范围是56y ££，则m 的取值范围是_____. 3.3.易错易做题：易错易做题：14.已知22224+3=12x y x x y +，则的最大值是（ ） A.9 B.10 C.12 D.15 15. 某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次这种提高2元的方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高_________元．元．16. 设二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋1(32x -££)有最大值4，则实数a 的值为________. Ox y 1x =1-2-17. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣（﹣33，0），B （0，3），C （1，0）． （1）求此抛物线的解析式．）求此抛物线的解析式． （2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点，（不与点A 、B 重合），过点P作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB 于点E ，作PD⊥AB 于点D ． ①动点P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P 点的坐标；点的坐标； ②连接PA PA，以，以AP 为边作图示一侧的正方形APMN APMN，随着点，随着点P 的运动，的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M 或N 恰好落在抛物线对称轴上时，恰好落在抛物线对称轴上时， 求出对应的P 点的坐标．（结果保留根号）（结果保留根号）18. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C . （1）求点B 的坐标的坐标 (用含m 的代数式表示)；求证：无论m 取何值时，取何值时， B 都在直线y x =-上；（2）D 为BO 中点，中点，直线直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛求抛 物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的 坐标. 备用图备用图x x m y 222-=CAOBxyCAOBxy课后作业：课后作业：1. 如图为抛物线2yax bx c =++的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是则下列关系中正确的是A ．a ＋b =－1 B ． a －b =－1 C ． b <2aD ． ac <0 2. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数ay x=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（在同一坐标系中的大致图象是（ ）. 3. 已知二次函数)0(2¹++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为21-=x 。
初中数学 函数模块3-2-正反比例函数讲义(含答案解析)
正反比例函数题型练题型一：正比例函数的定义一般的，形如()0y kx k =≠的函数被称为正比例函数．其中x 表示自变量，y 表示因变量．例1若函数()()2261y m x m x =++-是正比例函数，则m 的值是（）A .3m =-B .1m =C .3m =D .3m >-【详解】由题意可知：260m +=∴3m =-故选：A变式11.若函数y =（k +1）x +k 2-1是正比例函数，则k 的值为________．【答案】1．【解析】【分析】根据正比例函数的定义列式计算即可；【详解】解：∵函数为正比例函数，∴k +1≠0且k 2-1=0，∴k =1．故答案是1．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，准确分析计算是解题的关键．题型二：正比例函数的图象和性质正比例函数的图象是一根直线．当0k >时，函数图象经过一三象限，此时y 随着x 的增大而增大；当0k <时，函数图象经过二四象限，此时y 随着x 的增大而减小；例2.在正比例函数(8)y m x =-中，如果y 随自变量x 的增大而减小，那么正比例函数(8)y m x =-的图象在第________象限．【详解】解：∵在正比例函数(8)y m x =-中，y 随自变量x 的增大而减小，∴80m -<，∴80m ->，∴正比例函数(8)y m x =-的图象在一、三象限．故答案为：一、三．变式22.y ＝12x ，下列结论正确的是（）A.函数图象必经过点（1，2）B.函数图象必经过第二、四象限C.不论x 取何值，总有y ＞0D.y 随x 的增大而增大【答案】D 【解析】【分析】根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可．【详解】解：A 、当x =1时，12y =，所以函数图象必过点（1，12），故本选项结论错误，不符合题意；B 、∵102k =>，∴函数图象必过第一、三象限，故本选项结论错误，不符合题意；C 、当x ＜0时，y ＜0，故本选项结论错误，不符合题意；D 、∵102k =>，∴y 随x 的增大而增大，故本选项结论正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键．题型三：反比例函数定义一般的，形如k(0,0)y k x x=≠≠的函数被称为正比例函数．其中x 表示自变量，y 表示因变量．反比例函数的变形式有两个：1,xy k y kx -==．①根据定义判断是否是反比例函数例3.1下列问题中的两个变量成反比例关系的是（）A .汽车以80千米/时的速度行驶s 千米，用时t 时B .正方形的周长C 与它的面积SC .有一水池的容量为100立方米，每小时的灌水量q （立方米）与灌满水池所需要的时间t（小时）D .圆的面积S 与它的半径r 【详解】解：A 、汽车以80千米/时的速度行驶s 千米，用时t 时，则80s t =，s 是t 的正比例函数，故本选项错误；B 、正方形的面积22416C CS ⎛⎫== ⎪⎝⎭，S 是C 的二次函数，故本选项错误；C 、有一水池的容量为100立方米，每小时的灌水量q （立方米）与灌满水池所需要的时间t （小时）的函数关系为：100q t=，所以q 是t 的反比例函数，故本选项正确；D 、圆的面积S 与它的半径r 的函数关系为：2S r π=，所以S 是r 的二次函数，故本选项错误．故选：C ．变式3.13.设x ，y 表示两个变量，在下列关系式：（l ）2x y =-；（2）2y x=；（3）2y x =；（4）12xy =-，其中是y 关于x 的反比例函数的是（）A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（3）D.（2）（4）【答案】D 【解析】【分析】根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式是y=kx（k ≠0）．【详解】（1）2xy =-，该函数属于正比例函数，故本关系式不合题意；（2）2y x=，该函数属于反比例函数，故本关系式符合题意；（3）2y x =，该函数属于正比例函数，故本关系式不合题意；（4）12xy =-，该函数属于反比例函数，故本关系式符合题意；故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的定义．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y=kx（k 为常数，k ≠0）或y=kx -1（k 为常数，k ≠0）．②根据反比例函数的定义求参数．例3.2若函数231(1)mm y m x ++=+是反比例函数，则m 的值为（）A .2m =-B .1m =C .2m =或1m =D .2m =-或1m =-【解析】根据反比例函数定义可知231110m m m ⎧++=-⎨+≠⎩解得11m m =-⎧⎨≠-⎩或2m =-，∴2m =-．故选A ．变式3.24.若函数y=（3﹣k ）231k k x --是反比例函数，那么k 的值是（）A.0 B.3C.0或3D.不能确定【答案】A 【解析】【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出答案．【详解】解：∵函数y=（3﹣k ）231k k x --是反比例函数，∴k 2﹣3k ﹣1=﹣1，3﹣k ≠0，解得：k 1=0，k 2=3，（不合题意舍去）那么k 的值是：0．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题的关键．③求函数关系例3.3已知121,y y y y =-与2x 成正比例，2y 与1x -成反比例，当1x =-时，3y =；当2x =时，3y =-．（1）求y 与x 之间的函数关系；（2）当x =时，求y 的值．【详解】解：（1）设212,1by ax y x ==-，则21b y ax x =--，把1,3x y =-=；2,3x y ==-分别代入得：13243a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，解得125a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以y 与x 之间的函数关系为21521y x x =--；（2）当x =时，2215111)4212y x x =-=⨯-=-+=---变式3.35.已知12y y y =+，1y 与2x 在正比例关系，2y 与x 成反比例函数关系，且x 1=时，y 3=，x 1=-时，y 1=(1)求y 与x 的关系式.(2)求当2x =-时，y 的值.【答案】（1）212y x x =+；（2）152【解析】【分析】（1）根据正比例关系与反比例关系设出比例式，然后把两组数据代入关系式，解方程组即可；（2）把x 的值代入所求函数关系式，计算即可得解．【详解】(1)∵1y 与2x 在正比例关系，2y 与x 成反比例函数关系，∴211y k x =，∵2y 与x 成反比例函数关系，∴22k y x=，∴22121k y y y k x x=+=+，代入数据可得121231k k k k +=⎧⎨-=⎩，解得1221k k =⎧⎨=⎩，所以，y 与x 之间的函数关系式为212y x x=+(2)当x =−2时，()211522.22y =⨯-+=-【点睛】考查待定系数法求函数解析式，能够正确的设出y 与x 的关系式，进而用待定系数法求得解析式是解题的关键.变式3.46.已知y 是x 的反比例函数，下表列出了x 与y 的一些对应值．x …－4－3－2－123…y…1856－18…(1)写出这个反比例函数的表达式；(2)根据表达式完成上表．【答案】（1）18y x=-；（2）见解析【解析】【分析】（1）设反比例函数的表达式为y =kx，找出函数图象上一个点的坐标，然后代入求解即可；（2）将x 或y 的值代入函数解析式求得对应的y 或x 的值即可．【详解】解：（1）设反比例函数的表达式为y =k x，把3,6x y =-=代入得18k =-，18,y x∴=-（2）将y =185代入得：5x =-；将4x =-代入得：y =92；将2x =-代入得：y =9；将1x =-代入得：y =18，将18y =-代入得：x =1；将x =2代入得：9y =-，将x =3代入得：6y =-．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的定义、函数图象上点的坐标与函数解析式之间的关系，求得函数的解析式是解题的关键．题型四：反比例函数图象和性质反比例函数的图象是两条双曲线，x 轴，y 轴是这两条线的渐近线．当0k >时，函数图象经过一三象限，此时y 随着x 的增大而减小；当0k <时，函数图象经过二四象限，此时y 随着x 的增大而增大；4.反比例函数图象例4.1若函数k y x =的图象经过点()3,8-，则下列各点中不在ky x=图象上的是（）．A .()4,6B .()3,8-C .()4,6-D .()4,6-【详解】∵函数ky x=的图象经过点()3,8-，∴()3824k xy ==-⨯=-，A .4624⨯=，故不在该函数图象上；B ．()3824⨯-=-，在该函数图象上；C ．4(6)24⨯-=-，在该函数图象上；D ．(4)624-⨯=-，在该函数图象上．故选A ．变式4.17.对于反比例函数4y x=，下列说法错误的是（）A.它的图象与坐标轴永远不相交B.它的图象绕原点旋转180°能和本身重合C.它的图象关于直线y x =±对称D.它的图象与直线y x =-有两个交点【答案】D 【解析】【分析】当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A .∵反比例函数4y x=中，4＞0，∴此函数图象在一、三象限，故本选项正确；B .∵反比例函数4y x=的图象双曲线关于原点对称，故本选项正确；C .反比例函数的图象可知，图象关于直线y x =±对称，故本选项正确；D .∵反比例函数4y x=的图象位于第一、三象限，直线y x =-经过第二、四象限，所以直线y x =-与双曲线4y x=无交点，故本选项错误；故选D ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．②函数图象的对称性求点的坐标例4.2如图，已知直线y mx =与双曲线ky x=一个交点坐标为()3,4，则它们的另一个交点坐标是_____．【详解】解：因为直线y mx =过原点，双曲线ky x=的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为()3,4，则另一个交点的坐标为()3,4--．故答案是：()3,4--．变式4.28.已知直线1y k x =与双曲线2k y x=交于(2, )A a -和(,3)B b -两点，则a=________，b=________.【答案】①.3②.2【解析】【分析】反比例函数的图象是中心对称图形,则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，根据关于原点对称的性质即可解答.【详解】解：直线1y k x =与双曲线2k y x=都是关于原点对称图形，两图象交于(2, )A a -和(,3)B b -两点，∴点(2, )A a -和点(,3)B b -关于坐标原点对称，∴3a =，2b =.故答案为3；2.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性,，掌握反比例函数图象是关于原点中心对称的性质是解题关键，③已知双曲线分布的象限求参数取值范围．例4.3函数25(1)ny n x -=+是反比例函数，且图象位于第二、四象限内，则n =____．【详解】根据反比函数的解析式(0)ky k x=≠，故可知10n +≠，即1n ≠-，且251n -=-，解得2n =?，然后根据函数的图象在第二、四三象限，可知10n +<，解得1n <-，所以可求得2n =-．故答案为：2-变式4.39.若反比例函数2k y x-=的图象经过第一、三象限，则k 的取值范围是______________．【答案】2k >【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质即可得．【详解】由题意得：20k ->，解得2k >，故答案为：2k >．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．④函数的增减性．例4.4下列关于反比例函数6y x=的说法正确的是（）A .y 随x 的增大而增大B .0x >时，y 随x 的增大而增大C .y 随x 的增大而减小D .0x >时，y 随x 的增大而减小【详解】解：∵60k =>，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，故B 错误，D 正确，A 、C 表述片面，故错误，故选：D ．变式4.410.下列函数中，y 随x 的增大而减小的是（）A.2y x= B.2y x =C.2y x=- D.2y x =-【答案】C【解析】【分析】反比例函数的增减性有限制条件（即范围），一次函数当一次项系数为负数时，y 随着x 增大而减小．【详解】解：A 、函数y=2x 的图象是y 随着x 增大而增大，故本选项错误；C 、函数y ＝−2x 中的k ＜0，y 随着x 增大而减小，故本选项正确；B 、D 两个答案考虑其增减性时，需要考虑自变量的取值范围，故B 、D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性．关键是明确各函数的增减性的限制条件．⑤比较反比例函数值或自变量大小例4.5已知点()()1,,2,A m B n 在反比例函数2y x=-图象上，则m 与n 的大小关系为_____．【详解】解：∵反比例函数2y x=-中，20k =-<，∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵012<<，∴A 、B 两点均在第四象限，∴m n <．故答案为：m n <．变式4.511.点()12()1,1,a y a y -+在反比例函数()0k y k x=>的图像上.若12y y <，则a 的范围是_________________.【答案】-1＜a ＜1【解析】【分析】反比例函数中k ＞0，则同一象限内y 随x 的增大而减小，由于y 1＜y 2，而a-1必小于a+1，则说明两点应该在不同的象限，得到a-1＜0＜a+1，从而得到a 的取值范围．【详解】解：∵在反比例函数y=k x中，k ＞0，∴在同一象限内y 随x 的增大而减小，∵a-1＜a+1，y 1＜y 2∴这两个点不会在同一象限，∴a-1＜0＜a+1，解得-1＜a ＜1故答案为：-1＜a ＜1．【点睛】本题考察了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k ＞0，在每一象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0，在每一象限内y 随x 的增大而增大．题型五：比例系数k 的几何含义在反比例函数k y x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k ．例5如图，点A 是反比例函数k y x=的图象上的一点，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，点C 为y 轴上的一点，连接,AC BC ，若ABC 的面积为3，则k 的值是_________．【详解】解：连结OA ，如图，∵AB x ⊥轴，∴OC //AB ，∴3OAB CAB S S == ，而12OAB S k =△，∴132k =，∵0k <，∴6k =-．故答案为6-．变式512.如图，已知点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，OAB 的面积是2．则k 的值是_________．【答案】4【解析】【分析】根据△OAB 的面积等于2即可得到线段OB 与线段AB 的乘积，进而得到A 点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k 值．【详解】解：设点A 的坐标为(,A A x y )，AB y ⊥，由题意可知：11==222⋅⋅= OAB A A S OB AB y x ，∴4⋅=A A y x ，又点A 在反比例函数图像上，故有4=⋅=A A k x y ．故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键．题型六：函数解析式实际问题①反比例函数与的物理应用例6.1某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()kPa P 是气体体积()3m V 的反比例函数，其图象如图所示．（1）求该反比例函数的表达式．（2）当气体体积为31m 时，气球内气体的气压是多少？（3）当气球内的气压大于200kPa 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球内气体的体积应不小于多少？【详解】解：（1）设=k v ρ，由题意知1200.8=k ，所以96k =，故96(0)v V ρ=>；（2）当31m v =时，96961==p ，∴气球内气体的气压是96kPa ；（3）当200kPa p =时，961220025v ==．所以为了安全起见，气体的体积应不少于312m 25．变式6.113.实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x （时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y 与x 成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求一般成人喝半斤低度白酒后，y 与x 之间的两个函数关系式及相应的自变量x 取值范围；（2）依据人的生理数据显示，当80y ≥时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，肝部被严重损伤持续多少小时？【答案】（1）()100,(0 1.5);225, 1.5x x y x x≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（2）2.0125小时【解析】【分析】1）直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；（2）根据题意得出y =80时x 的值进而得出答案．【详解】解：（1）由题意可得：当0≤x ≤1.5时，设函数关系式为：y =kx ，则150=1.5k ，解得：k =100，故y =100x ，当1.5≤x 时，设函数关系式为：,a y x=则a =150×1.5=225，解得：a =225，故225( 1.5)y x x=≥综上所述：y 与x 之间的两个函数关系式为：()100,(0 1.5);225, 1.5x x y x x≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩（2）当y =80时，80=100x ，解得x =0.8，当y =80时，22580x＝，解得x =2.8125，由图象可知，肝部被严重损伤持续时间=2.8125-0.8=2.0125（小时）【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题．②反比例函数与销售问题例6.2某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克15元，通过一段时间的销售情况发现，该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量y （千克）与每千克售价x （元）的关系如表所示每千克售价x （元）253040每周销售量y （千克）240200150（1）写出每周销售量y （千克）与每千克售价x （元）的函数关系式；（2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于300千克的任务，则该种水果每千克售价最多定为多少元？（3）在（2）的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利1200元？说明理由．【详解】（1）由表格中数据可得：k y x=，把()30,200代入得：6000y x =；（2）当300y =时，6000300x=，解得：20x =，即该种水果每千克售价最多定为20元；（3）由题意可得：6000(15)(15)1200 w y x xx=-=-=，解得：754 x=经检验：754x=是原方程的根，答：超市销售该种水果能到达每周获利1200元．变式6.214.某公司有某种海产品2104千克，寻求合适价格，进行8天试销，情况如下：第几天12345678销售价格（元/千克）400A250240200150125120销售量（千克）304048B608096100观察表中数据，发现可以用某种函数刻画这种海产品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系.现假设这批海产品的销售中，每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系.（1）猜想函数关系式：.（不必写出自变量的取值）并写出表格中A=，B=；（2）试销8天后，公司决定将售价定为150元/千克.则余下海产品预计天可全部售出；（3）按（2）中价格继续销售15天后，公司发现剩余海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新价格销售，那么新确定的价格最高不超过多少元/千克才能完成销售任务？【答案】（1）y=12000x，A=300，B=50；（2）余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出；（3）新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务.【解析】【分析】（1）根据图中数据求出反比例函数，再分别将y=40和x=240代入求出相对应的x和y；（2）先求出8天销售的总量和剩下的数量m，将x=150代入反比例函数中得到一天的销售量y，my即为所需要的天数；（3）求出销售15天后剩余的数量除2得到后两天每天的销售量y，将y的值代入反比例函数中即可求出x．【详解】（1）∵xy=12000，函数解析式为y=12000x，将y=40和x=240代入上式中求出相对应的x=300和y=50，∴A=300，B=50；（2）销售8天后剩下的数量m=2104-（30+40+48+50+60+80+96+100）=1600（千克），当x=150时，y=12000 150=80.∴my=1600÷80=20（天），∴余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出；（3）1600-80×15=400（千克），400÷2=200（千克/天），即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克.当y=200时，x=12000 200=60.所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务.【点睛】考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．③一次函数与反比例函数综合例6.3为了做好新冠肺炎疫情期间开学工作，我区某中学用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，y 与x 之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟？【详解】（1）当015x ≤≤时，设()0y ax a =≠；当15x >时，设(0)k y k x=≠．将()15,20代入y ax =，2015a =，解得：43a =，∴4(015)3y x x =≤≤．将()15,20代入k y x =，2015k =，解得：300k =，∴300(15)y x x =>，∴4(015)3300(15)x x y x x⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩；（2）把8y =代入43y x =得，6x =；把8y =代入300y x=得，37.5x =，37.5631.5-=（分钟）．答：有效消毒时间是31.5分钟．变式6.315.已知12y y y =+，1y 是x 的反比例函数，2y 是x 的正比例函数，当2x =时，6y =-；当1x =时，3y =.（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当4x =-时，求y 的值.【答案】（1）85y x x=-；（2）18.【解析】【分析】（1）首先根据正比例与反比例函数的定义分别设出函数解析式，用待定系数法求出y 与x 的函数关系式，然后再代入求值．（2）将4x =-，代入解析式即可.【详解】（1）设11k y x =，22y k x =，则121226,2 3.k k k k ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩解得128,5.k k =⎧⎨=-⎩故85y x x =-.（2）当4x =-时，()854184y =-⨯-=-【点睛】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，解题关键在于利用待定系数法求解.④反比例函数与面积例6.4某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m 的墙，用篱笆围一个面积为212m 的矩形园子．（1）如图，设矩形园子的相邻两边长分别为()m x 、()m y ．①求y 关于x 的函数表达式；②当4y ≥时，求x 的取值范围；（2）小凯说篱笆的长可以为9.5m ，洋洋说篱笆的长可以为10.5m ．你认为他们俩的说法对吗？为什么？【详解】（1）①由题意12xy =，∴1265y x x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭②4y ≥时，124x≥，解得3x ≤所以635x ≤≤．（2）当1229.5x x +=时，整理得：2419240,Δ0x x -+=<，方程无解．当12210.5x x+=时，整理得2421240,Δ570x x -+==>，符合题意；∴小凯的说法错误，洋洋的说法正确．变式6.416.如图所示，P 是反比例函数y ＝kx的图象上任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N.(1)求k 的值；(2)求证：矩形OMPN 的面积为定值．【答案】（1）4；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由反比例函数y=kx的图象上一点的坐标为（1，4），即可得到结论；（2）根据反比例函数系数k 的几何意义得到：矩形PAOB 的面积为|k|．【详解】解：（1）如图，∵反比例函数ky x=的图象上一点的坐标为()1,4，∴414k =⨯=；（2）∵4k =，∴反比例函数的解析式为：4y x=，(2)∵P 是反比例函数ky x=的图象上任意一点，PM x ⊥轴，PN y ⊥轴，∴矩形OMPN 的面积4k ==，∴矩形OMPN 的面积为定值【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．实战练：17.经过以下一组点可以画出函数2y x =图象的是（）A.(0,0)和(2,1)B.(1,2)和(1,2)-- C.(1,2)和(2,1)D.(1,2)-和(1,2)【答案】B 【解析】【分析】分别把各点坐标代入函数y=2x 进行检验即可．【详解】解：A 项， 当2x =时，41y =≠，∴点(2,1)不符合，故本选项错误；B 项， 当1x =时，2y =；当1x =-时，2y =-，∴两组数据均符合，故本选项正确；C 项， 当2x =时，41y =≠，∴点(2,1)不符合，故本选项错误D 项， 当1x =-时，22y =-≠，∴点(1,2)-不符合，故本选项错误.故选B.【点睛】本题考查的是正比例函数的图象，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18.下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是（）A.y ＝4xB.y x＝3 C.y ＝﹣1xD.y ＝x 2﹣1【答案】C 【解析】【分析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．【详解】A 、y ＝4x 是正比例函数；B 、yx＝3，可以化为y ＝3x ，是正比例函数；C 、y ＝﹣1x是反比例函数；D 、y ＝x 2﹣1是二次函数；故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解题的关键．19.反比例函数6y x =的图像上点的坐标为整数的点的个数是（）.A.2B.4C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】分别求出满足x 、y 均为整数时的对应值，再根据反比例函数图象的特点求出符合条件的点的个数即可．【详解】∵当x=1、2、3、6时y 的对应值为6、3、2、1，∴在第一象限内有四个点符合条件，∵此函数的图象关于原点对称，∴在第三象限内必有四个点符合此条件，∴横坐标和纵坐标都是整数的点的个数是8个.故选D.【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握其性质定义.20.若某正比例函数过(2,3)-，则关于此函数的叙述不．正确的是（）．A.函数值随自变量x 的增大而增大B.函数值随自变量x 的增大而减小C.函数图象关于原点对称D.函数图象过二、四象限【答案】A 【解析】【详解】解：设正比例函数解析式(0)y kx k =≠，∵正比例函数过(2,3)-，∴32k -=，∴32k =-，∴正比例函数解析式为32y x =-，∵302k =-<，∴图象过二、四象限，函数值随自变量x 增大而减小，图象关于原点对称，∴四个选项中，只有A 选项中的不正确，其余三个选项中的结论都是正确的.故选A ．21.若反比例函数32my x-=的图象在二、四象限，则m 的值可以是（）A.1-B.2C.1D.0【答案】B 【解析】【分析】根据反比例函数32my x -=的图象在二、四象限，可知3-2m ＜0，从而可以求得m 的取值范围，然后即可解答本题．【详解】解：∵反比例函数32my x-=的图象在二、四象限，∴3-2m ＜0，解得，32m >，故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．22.若正比例函数y ＝(1－2m)x 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（）A.m ＜0B.m ＞0C.m ＜12D.m ＞12【答案】D 【解析】【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k 的符号．【详解】解：根据题意，知：y 随x 的增大而减小，则k ＜0，即1-2m ＜0，m ＞12．故选：D ．【点睛】本题考查正比例函数的性质．根据正比例函数的大小变化规律判断k 的符号：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．23.下列关于反比例函数8y x=-,结论正确的是（）A.图象必经过()2,4B.图象在二，四象限内C.在每个象限内，y 随x 的增大而减小D.当1x >-时，则8y >【答案】B 【解析】【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】∵2488⨯=≠-，∴A 错误，∵k=-8＜0，即：函数8y x=-的图象在二，四象限内，∴B 正确，∵k=-8＜0，即：在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∴C 错误，∵当1x >-时，则8y >或0y <，∴D 错误，故选B ．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握比例系数k 的意义与增减性，是解题的关键．24.已知在函数()232my m x-=-中，当m=_________时，它是正比例函数．【答案】2m =-【解析】【分析】根据正比例函数的定义得到231m -=，20m -≠，即可求解．【详解】解：由题意得231m -=，20m -≠，∴2m =±，且2m ≠，∴2m =-．故答案为：-2【点睛】本题考查了正比例函数的定义，形容()0y x k =≠的函数叫正比例函数，故自变量指数为1，正比例系数不等于0．25.已知正比例函数y=（3k ﹣1）x ，若y 随x 的增大而增大，求k 的取值范围．【答案】k 的取值范围为k ＞13．【解析】【分析】根据正比例函数图象的增减性可求出k 的取值范围．【详解】解：根据y 随x 的增大而增大，知：3k ﹣1＞0，解得k ＞13．故k 的取值范围为k ＞13．【点睛】本题考查了正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．26.已知正比例函数图象上一个点A 在x 轴的下侧，y 轴的右侧，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．【答案】该正比例函数的表达式为y=﹣2x ．【解析】【分析】根据已知条件得到点A 的坐标为（2，﹣4），设正比例函数的表达式为y=kx （k ≠0），然后将点（2，﹣4）代入y=kx 中求解即可．【详解】∵点A 在x 轴的下侧，y 轴的右侧，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴2个单位长度，∴点A 的坐标为（2，﹣4）．设正比例函数的表达式为y=kx （k ≠0），将点（2，﹣4）代入y=kx 中，﹣4=2k ，解得：k=﹣2，∴该正比例函数的表达式为y=﹣2x ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，根据已知条件得到点A 的坐标是解题关键．27.已知y 是x 的正比例函数，当x=﹣3时，y=12．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）当12x =-时的函数值．【答案】（1）y=﹣4x ；（2）当12x =-时的函数值是2．【解析】【分析】（1）由题意可设y=kx （k ≠0）．把x 、y 的值代入该函数解析式，通过方程来求k 的值即可；（2）把x 的值代入（1）中的函数式即可求得相应的y 值．【详解】（1）由题意可设y=kx （k ≠0）．则12=﹣3k ，解得，k=﹣4，所以y 关于x 的函数解析式是y=﹣4x ；（2）由（1）知，y=﹣4x ，当x=﹣12时，y=﹣4×（﹣12）=2．即当12x =-时的函数值是2．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．此题实际上是利用代入法求得的系数k 的值28.已知正比例函数图象上一个点A 到x 轴的距离为4，点A 的横坐标为-2，请回答下列问题：（1）求这个正比例函数；（2）这个正比例函数图象经过哪几个象限？（3）这个正比例函数的函数值y 是随着x 的增大而增大？还是随着x 的增大而减小？【答案】（1）2y x =或2y x =-；（2）当2y x =时，图象经过第一、三象限；当2y x=-。
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函数综合篇 一、综述
函数综合问题，以考查存在性问题为主．通常从研究坐标、表达式入手，结合背 景图形的几何信息，通过函数特征与几何特征的相互转化解决问题． 二、能力储备 1. 函数处理框架
研究坐标、表达式，分析背景图形． 梳理条件、整合信息．
通常需要借助横平竖直线段长将函数特征与几何特征结合在一起进行研究． 设计方案求解．常见处理思路： ①根据几何特征表达点坐标，代入函数表达式求解； ②由函数表达式设出点坐标，借助几何特征求解； ③函数表达式联立求解． 2. 存在性问题——平行四边形 ①三定一动②两定两动 以定线段作边或对角线，确定分类；常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标 公式建等式求解． ③三动点或四动点往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可． 3. 存在性问题——等腰直角三角形 从直角入手，确定分类．常构造弦图模型解决问题． 4. 存在性问题——菱形 通常转化为等腰三角形存在性处理，亦可借助菱形性质解决． 5. 存在性问题——梯形 ①等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式； 两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解． ②直角梯形存在性关键是利用好直角． 6. 存在性问题——相似三角形 ①目标三角形确定：先研究目标三角形的边角关系，根据对应关系分类，借助比 例关系建等式． ②目标三角形不确定：从角度、对应关系入手，结合不变特征分析，根据对应关 系分类，借助比例关系建等式． 7. 存在性问题——全等三角形[6] ①目标三角形确定：先研究目标三角形的边角关系，根据对应关系分类，借助边、 角相等建等式． ②目标三角形不确定：从角度、对应关系入手，结合不变特征分析，根据对应关 系分类，借助边、角相等建等式．
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函数综合（一）（讲义）
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y 2 x 2 与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点， 3
经过 B，C 两点的抛物线与 x 轴的另一交点为 A(-1，0)． （1）求 B，C 两点的坐标及该抛物线的函数关系式． （2）P 是线段 BC 上的一个动点（与点 B，C 不重合），过点 P 作直线 l∥y 轴，交该抛物线于点 E，交 x 轴于点 F，设点 P 的横坐标为 m，△BCE 的面积为 S． ①求 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；说明 S 是否存在最大值， 若存在，请求出 S 的最大值，并判断此时△OBE 的形状． ②Q 是线段 AC 上的一个动点（与点 A，C 不重合），且 PQ∥x 轴，试问在 x 轴上是否存在点 R，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在， 求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．
-2)，B(2，2)． （1）求抛物线的解析式． （2）线段 MN 在线段 AB 上移动（点 M 不与点 A 重合，点 N 不与点 B 重合），且
MN 2 ．若点 M 的横坐标为 m，过点 M 作 x 轴的垂线与 x 轴交于点 P，过点 N
作 x 轴的垂线与抛物线交于点 Q，则以 P，M，Q，N 为顶点的四边形能否为平行四 边形？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由．
第 1 题图
2. 如 图 ， 已 知 实 数 m 是 方 程 x2 8x 16 0 的 一 个 实 数 根 ， 抛 物 线 y 1 x2 bx c 交 x 轴于点 A(m，0)和点 B，交 y 轴于点 C(0，m)． 2
（1）求抛物线的函数关系式． （2）设点 D 为线段 AB 上的一个动点，过 D 作 DE∥BC 交
P ( 4 m ，1 m) 在直线 MG 上．当 m 为何值时，在抛物线 C3 上存在点 Q，使得以 M， 33
N，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形？
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5. 如图，抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交于点 C(0，-2)，与直线 y x 交于点 A(-2，
AC 于 E，又过 D 作 DF∥AC 交 BC 于 F，当四边形 DECF 的面积最大时，求点 D 的坐 标． （3）设△AOC 的外接圆为⊙G，若 M 是⊙G 的优弧 ACO 上的一个动点，连接 AM，OM， 则在 y 轴左侧的抛物线上是否存在点 N，使得∠NOB=∠AMO？若存在，求出点 N 的 坐标；若不存在，请说明理由．
第 3 题图
4. 已知抛物线 C1： y x2 ．如图 1，平移抛物线 C1 得到抛物线 C2，C2 经过 C1 的顶点 O
和 A(2，0)，C2 的对2 的解析式． （2）探究四边形 ODAB 的形状并证明你的结论． （3）如图 2，将抛物线 C2 向下平移 m 个单位（m>0）得到抛 物线 C3，C3 的顶点为 G，与 y 轴交于点 M．点 N 是点 M 关于 x 轴的对称点，点
第 5 题图
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【参考答案】
1．（1） B(3，0)，C (0，2) ； y 2 x2 4 x 2 （2）① S m2 3m，(0 m 3) ； 33
存 在 最 大 值 ， S 的 最 大 值 为 9 ， △ OBE 是 等 腰 三 角 形 ． ② 存 在 ， 4
第 2 题图
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3. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 在 x 轴上，点 D，E 在 y 轴上，OA=OD=2， OC=OE=4，DB⊥DC，直线 AD 与经过 B，E，C 三点的抛物线交于 F，G 两点，与其对 称轴交于点 M，P 为线段 FG 上的一个动点（与 F，G 不重合）， PQ∥y 轴与抛物线交于点 Q． （1）求经过 B，E，C 三点的抛物线的解析式． （2）是否存在点 P，使得以 P，Q，M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出 满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线的顶点为 N，连接 QN，试探究四边形 PMNQ 的形状：①能否成为菱形？ ②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．