2.1-2.3一元二次方程的解法与根系关系专题

知识点一：一元二次方程的解法

一、用直接开平方法解一元二次方程

1、2(2)3y -=

2、02522=-+）（x

3、27)2(32

=+x

二、用配方法解一元二次方程

1、0542=-+x x

2、28103x x +=

3、0232212=++x x

三、用公式法解一元二次方程

1、01722=+-x x

2、212308x x -+=．

3、y y 8122-=

四、用因式分解法解一元二次方程；

1、23520x x --= 2

、23470x x +-=

3、0)21()12(2=---x x x

4、0)13(2)31(2=-+-y y

5、x x 3232=+

6、)7(5)7(2+=+x x x

7、223)(x 3)-(4x += 8、06)23(2=---x x

知识点二：一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系 1.求证：如果关于x 的方程

没有实数根，那么，关于y 的方程 一定有两

个不相等的实数根.

2.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况. （1）

；（2） ；（3） .

3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根.

求证：（1）方程 有两个不相等的实数根；

（2）设方程

的两个实数根为 ，若 ，则 .

知识点三：一元二次方程的根与系数的关系

1（利用根系关系求解常见代数式的值）、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）2221x x + （2）

2111x x +

（3）

1221x x x x +)3)(3(21--x x ； （4）)3)(3(21--x x

（5） 2221)1()1(+++x x （6）||21x x -

（7）

112112+++x x x x （8）)31)(31(1

221x x x x ++

2、已知1x ，2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根，且满足02221=-x x ，求m 的

值；

3、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和，方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ，求m 和n 的值。

4、已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比它们的积大21，求m 的值.

5（利用根系关系直接构造方程）、解方程0242=+-x x ，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数。

6（利用根系关系解决特殊根问题）、m 为何值时，关于x 的一元二次方程0)5()1(22=-++--m m x m x 的两个根互为倒数；

7（错解问题）、在解方程02=++q px x 时，小张看错了p ，解得方程的根为1与3-；小王看错了q, 解得方程的根为4与2-。这个方程的根应该是什么？

8（设k 法）.已知关于x 的方程01)1(2=-+++b x a x 的两根之比是3:2，判别式的值为1，求方程的根．

9（利用根系关系判断根的符号）、已知一元二次方程021102=++-a x x 。（1）当a 为何值时，方程有一正、一负两个根？（2）此方程会有两个负根吗？为什么？

10(降次法)、已知m ，n 是一元二次方程0522=--x x 的两个实数根，求m n m 23222++的值。