电动力学静磁场解读

1 ( A J e Ae J )dV 2 相互作用能Wi
1 1 相互作用能 Wi Ae JdV A J e dV 2 2
由
J ( x )dV A x 4 r A ( x ) J e x dV e 4 r
相互作用能量
Wi J Ae dV J e AdV
Idl r L 由对称性分析，空间中P 点，矢势只有 f 分量（选择球坐标）。
xz 面上的P 点，矢势沿y 方向。
P : x R sin , 0, R cos P 点和Q点的直角坐标分别为 Q : x a cos f , a sin f , 0
规范条件 A 0
2 A 0
３、矢势的不唯一性
二．矢势满足的方程及方程的解
1． A满足的方程
B H
1 1 B 1 2 B ( A) [( A) A] J
H2t 0, H2 H2n
在该磁性物质外面，H2与表面垂直，因而表面为等磁势面。
例 求磁化矢量为M0的均匀磁化铁球产生的磁场。(P83例2)
解：
铁球内和铁球外为两均匀区域，在铁球 外没有磁荷，铁球内均匀磁化， 因此磁荷只分布于铁球表面上，球外磁势φ1 和球内磁势φ2都满足拉普拉斯方程：
球外磁势随距离增大而减小：1
注意：在处理同一问题时， 磁荷观点与分子电流观点不能同时使用。
③ 虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物 理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相 当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。
E
f p , B 0 J f 0 J m 0
例 证明μ ∞的磁性物质表面为等磁势面。(P83例1)
(a)
n ( B2 B1 ) 0 n ( A2 A1 ) 0
n
2 h Δl 1

L
A dl ( A2t A1t )l
L
A dl B dS
S
A2t A1t
0
A=0
A1n A2n
A1 A2
第三章第二节
磁标势
§2. 磁标势
H = J 1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。
一．引入磁标势的两个困难
2．在电流为零区域引入磁标势可能非单值。
原因：静电力作功与路径无关， E dl 0 L 引入的电势是单值的；而静磁场 H dl 一 L 般不为零，即静磁场作功与路径有关，即使 在能引入的区域标势一般也不是单值的。
1 均匀介质中总能量为 W B HdV 2 1 1．在稳恒场中有 W A JdV 2 ( f g ) ( f ) g f ( g )
三．稳恒电流磁场的能量
B H ( A ) H ( A H ) A ( H ) ( A H ) A J
0 A( x ) 4
且
dl y a cos f df
r x x R 2 a 2 2 x x R 2 a 2 2 Ra sin cos f
0 Idl y 0 Ia 2 cos f ' df ' Af 4 r 4 R 2 a 2 2 Ra sin cos f ' 0
第三章
静磁场
本章重点：
1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁 场的能量
2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程
与静电势方程的比较
本章难点：利用磁标势解决具体来自百度文库题
§1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程 稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不 随时间变化的磁场。 H J n ( H 2 H1 ) 基本方程 边值关系 B 0 n ( B2 B1 ) 0 这时静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。 实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时， 在这个参照系中观测，只有静电场。

V
J ( x)dV r
1 4 V
( x )dV r
2

与静电场类比
2 Ai J i
J i ( x)dV Ai 4 V r
已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与 磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。
J ( x) 1 B A ( )dV J ( x)dV 4 V r 4 V r Idl r J ( x) r （线电流） dV B 3 3 4 V r 4 L r

这正是毕奥-- 萨伐尔定律
4． A 的边值关系
S L
其中S 为回路L 为边界的任一曲面
L
（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关
B dS B dS 0 1 2 S S1 S2 (dS2 dS1 dS ) B dS B dS
B dS 0
dS1
B
S1
m 0
0 M 0 ( H M ) m
m 0
静电势与磁标势的差别：
① 静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要 求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。 ② 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。 因为到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形 式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具 有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。
n
m 0 M0 0
21 0, 22 0
bn Pn cos R n 1
球内磁势R=0处有限： 铁球表面的边值关系
2 an Rn Pn cos
B1R B2R , H1 H2 , 1 2
A Ae
e
z
1 1 1 [ (rA1 ) (rA2 )] r 1 r 2 r
A
y
x
5*．矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给定V内传导电流 J 和V边界S上的 At 或 Bt 2 V 内稳恒电流磁场由 A J 和边界 条件唯一确定。
H J
A 0
2 A J
Ai J i , i 1, 2,3
2
（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程
（2）与静电场形式相同 （3）矢势为无源有旋场
2
2．矢势的形式解
A x 4
3．B 的解
S2
（c）物理意义
dS 2 沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一 曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。
A
A
L A dl S B dS
L
A A A A () A B 令 A 0可减少矢势的任意性 满足的方程？


二．引入磁标势的条件
显然只能在 H 0 区域引入，且在引入区域中 任何回路都不能与电流相链环。 语言表述： 无自由电流分布的单连通区域可引入磁标势。 公式表示
讨论：

L
H dl 0
L
1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域；
2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。
1 1 W B HdV 2 2 1 A JdV 2
V ( A H )dV ( A H ) dS 0 S


1 ( A H )dV A JdV 2

1 A J 不是能量密度。 2
能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
2. 电流分布在外磁场中的相互作用能 设 J e 为外磁场电流分布， 为外磁场的矢 A e 势； J 为处于外磁场 Be中的电流分布，它激 发的场的矢势为 A 。总能量： 1 W ( A Ae ) ( J J e )dV 2 1 ( A J )dV 2 1 ( Ae J e )dV 2
0
4．边值关系 n ( H 2 H1 ) 0 n ( B2 B1 ) 0
0
m1 S m2 S
1 ( 1m ) 2 ( 2m ) ( B H ) n S n S
四．静电场与静磁场方程的比较

静电场

静磁场
本节仅讨论 B H 情况，即非铁磁的均匀介质。
2．矢势的引入及意义 静电场
E 0
稳恒电流磁场
H J B 0
A
B A
dS
（a） B 与 A的关系
物理意义：
B

S
B dS ( A) dS A dl
(b)*
n ( H 2 H1 ) 1 1 n( A2 A1 )
z
A
y
特殊情况：
2
1
① 分界面为柱面，柱坐标系中，若
x
A Aez ez
② 分界面为球面，若
1 A1 1 A2 1 r 2 r
0
H E 0 H E f P 0 m P P B D 0E P H E 2 2 f P f ( , D E ) m 0
3． m 满足的泊松方程 B 0 (H M ) 0 H 0 M 0 2 H m M 2 m M 与静电场类比 2 m 0 M 0 m 2 m m H
可得
J e x dV J x dV Ae JdV 4 r
Je x 4 J x dV dV J e x A x dV A J e dV r
证明： 磁场边值关系
μ μ0 1
n ( B2 B1 ) 0 n ( H 2 H1 ) 0
B2 0 H2
n
2
B1 H1
0 H2n H1n , H2t H1t
H 2t 0 H1t 0 H 2 n H1n
实际意义： 磁极设计，软铁磁材料
三．磁标势满足的方程
1．引入磁标势区域磁场满足的场方程
H 0 B 0 B H M f ( H ) 0 0
不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可 讨论铁磁介质或非线性介质。
2．引入磁标势 m
H m