概率论与数理统计论文剖析
概率论与数理统计结课论文
概率论的发展与应用摘要：概率论与数理统计是一门研究随机现象及其规律性的数学学科。
通过实验来观察随机现象，揭示其规律性，或根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律。
它起源于17世纪中叶，法国数学家帕斯卡、费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究利用古典概型解决赌博中提出的一些问题。
由于社会的发展和工程技术问题的需要，促使概率论不断发展，许多科学家进行了研究。
发展到今天，概率论与数理统计在自然科学，社会科学，工业生产，金融及日常生活实际等诸多领域中起着不可替代的作用。
关键词：概率论与数理统计；起源与发展；应用1.概率论的起源与发展概率论的起源概率论的起源与赌博有关，在17世纪中叶，一位名叫德·梅尔的赌徒向帕斯卡提出了“分赌注问题”即两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得s局便算赢家。
如果在一个人赢a(a<s) 局，另一人赢b(b<s) 局时因故终止赌博，应如何分赌本。
帕斯卡将这一问题和他的解法寄给费马，他们频频通信，互相交流，围绕赌博中的数学问题开始了深入的研究。
这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。
帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。
而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。
年，他将自己的研究成果写成了专着《论掷骰子游戏中的计算》。
这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论着。
因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。
这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。
概率论的发展到了18，19世纪，随着科学的发展，人们注意到社会科学和自然科学中许多随机现象与机会游戏之间十分相似，如人口统计、误差理论、产品检验和质量控制等，从而由机会游戏起源的概率论被应用于这些领域中，同时也大大促进了概率论本身的发展，瑞士数学家伯努利作为使概率论成为数学的一个分枝的奠基人之一，建立了概率论中第一个极限定理（即伯努利大数定律），阐明了事件发生的频率稳定于它的概率。
概率论期末论文
概率论期末论文《概率论与数理统计》期末论文题目：关于《概率论与数理统计》学习的收获学院：专业:班级：姓名：学号：2012年12月【摘要】：通过对概率论与数理统计发展历程的概述与学习方法的探讨，总结数理统计思想在生活中的应用，体会开设这门课的意义。
【关键字】：概率论与数理统计发展历程学习方法思想经过了一学期概率论与数理统计的学习，我发现概率论与数理统计与其他学科相比，既有同为数学学科的相似性，也有其特殊性。
学好这门课有助于锻炼我的逻辑思维能力，也加强了我对抽象事物的理解能力。
一、概率论与数理统计的起源与发展说及概率论的起源，离不开随机现象的探讨。
我们都知道，人们在实践活动中所遇到的所有现象，一般来说可分为两类：一类是必然现象，或称为确定性现象；另一类就是随机现象，或称不确定性现象。
科学家经过实践证明，如果同类的随见现象大量重复出现，它的总体就会呈现出一定的规律性。
这种由随机现象呈现出来的规律性，会随着我们的观察次数而变得明显。
举个很常见的例子，扔硬币时，每一次投掷都不知道哪一面会朝上，但是如果多次重复地投掷，就会发现它们朝上的次数大致相同。
这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，就叫做统计规律性。
概率论与数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。
早在16世纪的时候，一个叫做卡丹的意大利数学家，由于他沉溺于赌博，用来的钱可以补贴收入。
他为此撰写了《论赌博》，提出系统的概率计算。
书中计算了掷两颗或者三科骰子时，在一切可能方法中有多少方法得到某总点数。
但到了17世纪，这本书才得以出版。
在17世纪中叶，法国数学家帕斯卡与荷兰数学家惠更斯基于排列组合方法，研究利用古典概型解决赌博中的“分赌注问题”与“赌徒输光问题”等，到了18，19世纪，又出现了对人口统计与误差理论等的探究。
之后，瑞士数学家伯努利建立了概率论中第一个极限定理，阐明了时间发生频率稳定与它的概率。
后来，棣莫弗和拉普拉斯提出了“棣莫弗-拉普拉斯定理”，为概率论中第二个基本极限定理定下雏形。
概率论期末论文
概率论期末论文
《概率论与数理统计》期末论文
题目：关于《概率论与数理统计》学习的收获
学院：
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姓名：
学号：
2012年12月【摘要】：通过对概率论与数理统计发展历程的概述与学习方法的探讨，总
学等领域。
接下来我们联系实际问题，探讨一下概率论与数理统计思想在解决实际问题时所体现出来的高效性与便捷性。
用古典概型与正太分布举例，古典概率是指随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数，都可以由演绎法或者外推法得知，而无需经过任何统计实验即可计算各种发生结果的概率。
古典概率也是最早的一中最简单的概率模型，也是应用最广泛的概率。
而正太分布也有及其广泛的实际背景，生产与科学试验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正太分布来描述。
例如在生产条件不变的情况下，产品的长度，质量等指标；同一种生物的身长，体重等指标；某个地区的降水量等。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正太分布。
从理论上看，正太分布具有很多靓号的性质，许多概率分布可以用它来近似，还有一些常用的概率分布是由它直接导出来的。
正因概率论与数理统计能联系到各种形形色色的实际问题，才激发了我们对这门课学习的兴趣，让我们有更大的动力去学好他。
参考文献
[1]王勇，概率论与数理统计
[2]龚光鲁，概率论与数理统计
[3]张立卓，概率与数理统计解题方法与技巧
[4]王家生，宋占杰，梁冯珍等，概率论与数理统计学习方法指导
[5]维基百科。
概率论与数理统计论文之.j
概率论与数理统计论文之关于随机变量数字特征的应用与意义的分析【摘要】在这学期的的概率统计的知识的学习中，我们接触非常多的就是随机变量了，通过对随机变量的分布函数、概率密度和分布律的学习，我们已经能完整地随机变量。
但是在某些实际或理论问题中，人们感兴趣与某些能描述随机变量某一种特征的常数，这些常数即我们即将要讨论的随机变量的数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。
我们所要了解的几个重要的数字特征有：数学期望、方差、相关系数和矩，下面将结合理论与实例对其性质、应用和意义加以分析。
【关键词】随机变量；离散型；连续型；期望；方差；协方差；相关系数；矩一.数学期望与方差1.数学期望与方差的含义数学期望简称期望，又称均值，，,。
方差是实际值与期望值之差平方的期望值,求方差的通用公式，即D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 。
2.数学期望与方差的性质及应用（1）设c是常数，则E(X)=C,D(c)=0;（2）设X是随机变量，c是常数，则E(CX)=CE(X),D(cX)=(c^2)D(X)；（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y),D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]};(4)设X，Y是两个相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y),D(X+Y)=D(X)+D(Y)；（5）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值E(X)，即P{X=c}=1；（6）D（aX+bY）=a^2DX+b^2DY+2abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。
（7）对于二维随机变量，有，，。
例1经预测，国际市场每年对我国某种出口产品的需求量（以吨计）在上服从均匀分布，每出口一吨可获利3万元，若积压一吨，则亏损2万元，现由某公司独家经营此出口业务，问该公司应储备多少吨该种产品，才能使所获利润的数学期望最大？解设该公司储备吨该种产品，显然有则该公司所获利润为的概率密度为于是，，令，得。
概率论总结论文
概率论总结论文第一篇：概率论总结论文概率论与数理统计在生活中的应用摘要：随机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。
生活中买彩票显示了小概率事件发生的几率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中越来越重要。
数理统计在人们的生活中也不断的发挥重要的作用，如果没有统计学，人们在收集资料和进行各项的大型的数据收集工作是非常困难的，通过对统计方法的研究，使得我们处理各种数据更加简便，所以统计也是一门很实用的科学，应该受到大家的重视。
关键字：概率、保险、彩票、统计、数据、应用概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学。
随着社会的不断发展，概率论与数理统计的知识越来越重要,运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思考方式。
目前，概率论与数理统计的很多原理方法已被越来越多地应用到交通、经济、医学、气象等各种与人们生活息息相关的领域。
本文将就概率论与数理统计的方法与思想，在日常生活中的应用展开一些讨论，,推导出某些表面上并非直观的结论，从中可以看出概率方法与数理统计的思想在解决问题中的高效性、简捷性和实用性。
一、彩票问题“下一个赢家就是你！”这句响亮的具有极大蛊惑性的话是大英帝国彩票的广告词。
买一张大英帝国彩票的诱惑有多大呢？只要你花上1英镑，就有可能获得2200万英镑！一点小小的投资竟然可能得到天文数字般的奖金，这没办法不让人动心，很多人都会想：也许真如广告所说，下一个赢家就是我呢！因此，自从1994年9月开始发行到现在，英国已有超过90%的成年人购买过这种彩票，并且也真的有数以百计的人成为百万富翁。
如今在世界各地都流行着类似的游戏，在我国各省各市也发行了各种福利彩票、体育彩票，各地充满诱惑的广告满天飞，而报纸、电视上关于中大奖的幸运儿的报道也热闹非凡，因此吸引了不计其数的人踊跃购买。
概率论与数理统计假设检验论文（1）
概率论与数理统计的假设检验发展与应用举例摘要：通过本学期概率论与数理统计这门课的学习，我基本掌握了基本的概率知识，这对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。
本文将根据自己的学习心得，概率论的历史、发展和主要内容，经典习题三个方面来阐述我对本门课的总结。
关键词：概率论，数理统计，生产发展，主要内容，经典习题概率论与数理统计是研究随机现象规律性的一门科学。
前者是从数学观点研究随机现象的基本性质，后者从搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特性。
一：概率论与数理统计的起源与发展1、概率论概率论的研究始于意大利文艺复兴时期，当时赌博盛行，而且赌法复杂，赌注量大，一些职业赌徒，为求增加获胜机会，迫切需要计算取胜的思路，研究不输的方法，十七世纪中叶，帕斯卡和当时一流的数学家费尔马一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题，这就是概率论的萌芽。
1657年荷兰物理学家惠更斯发表了“论赌博中的计算”的重要论文，提出了数学期望的概念，伯努利把概率论的发展向前推进了一步，于1713年出版了《猜测的艺术》，指出概率是频率的稳定值，他第一次阐明了大数定律的意义。
1718年法国数学家棣莫弗发表了重要著作《机遇原理》，书中叙述了概率乘法公式和复合事件概率的计算方法，并在1733年发现了正态分布密度函数，但他没有把这一结果应用到实际数据上，直到1924年菜被英国统计学家K·皮尔森在一家图书馆中发现。
德国数学家高斯从测量同一物体所引起的误差这一随机现象独立的发现正态分布密度函数方程，并发展了误差理论，提出了最小二乘法。
法国数学家拉普拉斯也独立的导出了该方程，对概率的意义如何抽象化做出了杰出的贡献，提出了概率的古典定义。
到19世纪末，概率论的主要研究内容已基本形成。
1933年苏联数学家柯尔莫科洛夫总结前人之大成，提出了概率论公理体系，即概率的公理化定义。
概率论里所说的极限定理，主要研究独立随机变量序列的各种收敛性问题，其中包括两种类型定理：一类是大数定律，一类是中心极限定理。
概率论与数理统计论文
概率论与数理统计概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。
更深层次上的规律性。
概率是随机事件发生的可能性的数量指标。
在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。
就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。
对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。
间。
有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。
具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。
在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。
如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。
随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。
一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。
机变量就叫做非离散型随机变量。
在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。
如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。
正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。
平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。
是标准方差。
数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。
抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。
究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。
的理论。
适线问题也叫曲线拟和。
有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到了解。
但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？……就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。
概率论与数理统计剖析
《概率论与数理统计》课程论文浅谈概率论的思想发展及应用能源科学与工程学院于晓滢1130240415哈尔滨工业大学摘要概率论是一门历史悠久的学科，关于它的起源众说纷纭，不过大家都承认的是，概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理论,它拥有着自己独立的研究问题和有代表性的思想方法，并在现代生活的多个方面发挥着作用，拥有着不可替代的地位。
本文将总结概率论中所应用的几种典型思想方法及演变，并陈述概率论在当代生活中的几种必要应用，让我们对这一学科有一个更深刻的了解。
目录摘要 (I)第1章概率论的诞生 (1)1.1前言 (1)1.2诞生与发展 (1)第2章概率论的思想 (2)2.1古典概型思想 (2)2.2几何概型思想 (2)2.3分析概率论 (2)2.4分析研究的深入 (3)2.5公理化思想 (3)第3章概率论思想的应用 (4)3.1前言 (4)3.2与数学建模思想的融合 (4)3.3临床诊断的应用 (4)3.4不等式的证明 (5)结论 (7)参考文献 (8)1.1前言英国数学家格雷舍(Glaisber,1848一1928)曾经说过: “任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。
”每一种理论的产生都有其历史背景与历史渊源，了解概率论的产生的历史背景，有助于了解对该学科研究对象、研究方法的深入理解，有利于总结成功和失败的经验教训，为后人的研究奠定坚实的基础，方便对这一学科做出更大的贡献。
1.2诞生与发展人们对偶然现象的规律性探求，经历了很长的时期，但因受到生产力水平和科技水平的限制，研究很难继续进行下去，速度缓慢，以至人们一直认为偶然现象的规律性是“神秘且难以捉摸”的，直到唯物辩证法产生,人们才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识。
在文艺复兴时期，工业革命逐步蔓延，随着工业、航海等事业的不断发展，各类问题随之出现，急需一门分析研究随机现象的数学学科，这时概率论应时应景地出现了。
概率论课程小论文
概率论与数理统计课程设计关于正态分布的几点讨论经过一个学期的学习，我对概率论有了更为深刻地理解，高中阶段的概率只是简单的古典概型和几何概型，而这个学期，我们对概率论有了进一步的认识，接触了泊松分布、贝努力分布、超几何分布、正态分布等等。
纵观全书，我感觉到正态分布在概率论这门课程中有很高的地位，而且正态分布在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用，进而我也对正态分布产生了浓厚的兴趣。
所以在课程设计中，我想讨论一下正态分布的有关问题。
一、正太分布的由来、发展及重要性正态分布是最重要的一种概率分布。
正态分布概念是由德国的数学家和天文学家德莫佛于1733年首次提出的，但由于德国数学家高斯率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。
在随机变量的各种分布中，正态分布占有特殊重要的地位，在高斯以后，人们又发现在实际问题中，许多随机变量都近似服从正态分布。
20世纪前半期，概率论研究的中心课题之一就是寻求独立随机变量和的极限分布式正态分布的条件。
因此，把这一方面的定理统称为中心极限定理。
较一般的中心极限定理表明：若被研究的随机变量是大量独立随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可以认为这个随机变量近似于正态分布。
这就揭示了正太分布的重要性。
因为现实中许多随机变量都具有上述性质，例如测量误差、射击弹着点的横坐标、人的身高等都是由大量随机因素综合影响的结果，因而是近似服从正态分布的。
数理统计中有常用的三大分布占有极重要的地位，分别是2χ分布，t 分布和F 分布，这三大分布都与正态分布有着密切的关系，由此更能看出正态分布的重要性。
二、正态分布的含义正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N (μ，σ2)。
服从正态分布的随机变量的概率规律为：取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大分布越分散。
数学系概率论数理统计毕业论文
数学系概率论数理统计毕业论文概率论与数理统计是所有高等院校的理工、经济管理、金融类专业本科阶段开设的一门必修数学课程。
下文是店铺为大家整理的关于数学系概率论数理统计毕业论文的范文，欢迎大家阅读参考!数学系概率论数理统计毕业论文篇1概率论与数理统计教学浅谈摘要：随着本科院校近年来不断扩大招生规模，在一定程度上影响了生源质量。
与此同时，普通高等院校在精简课程方面也做了较大调整。
在此新形势下，作为一名的教师，针对普通高等院校概率论与数理统计课程的教学改革提出相关见解，认为目前普通高等院校，尤其是一些偏应用型的工科院校，在概率论与数理统计课程的教学中，不应该死守教师满堂讲解的教学模式，而是应该提供给学生应用的机会，设立教学实验课;教学中应突出实际应用，与数学建模相揉合，以达到更好的教学以及学习效果。
关键词：概率论与数理统计教学实验SAS软件揉合数学建模概率论与数理统计是工科院校的重要课程，但是由于课程自身的特点决定了学生在学习过程中常常会感觉概念太抽象，理解起来相当费劲。
如果不能很好地理解概念，那么后续学习就很可能会出现一系列的问题。
大多数的时候，在处理习题以及在考试中就会出现很多不必要的错误，根源在于没有很好地理解概念，思维没有得到相应地拓展。
教师在整个教学环节，包括课前备课中必须要思考的，包括如何安排教学，使得学生在学习过程中，能够愿意学习这门课程，能够接受该课程的理论体系。
通过近十年来对概率论与数理统计课程的教学，笔者认为可以从以下几个方面来把握。
1 建立良好开端概率论与数理统计作为一门数学学科，会让大多数学生在心理上产生莫名的抵触。
在以前的教学过程中，遇到过一些学生，自己认为数学就是很难，很难，太抽象，从开始上课就觉得自己肯定学不好。
很显然，这并不是一个好预兆。
我们都知道，兴趣是最好的老师。
一件事情难或者易，都是和做这件事情的人的主观意愿有很大关系。
如果愿意去做，有兴趣，那么难题会变得简单。
同样，如果不愿意去做，迫于外界压力不得不去做，即使是很简单的问题，也不见得就会得到圆满的解决。
关于《概率论与数理统计》教学创新论文
关于《概率论与数理统计》教学的创新探讨摘要：本文作者以提高《概率论与数理统计》的教学效果为目的，结合教学实践，就如何设计授课内容和教学方法，培养学生分析问题和解决问题的能力等方面提出了本课程教学创新的建议和措施。
关键词：讨论教学法；案例教学法；多媒体教学法；教学方法；考试方法中图分类号：g623.5概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是高等学校公共课的一门基础数学课程。
其理论和方法在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、产品质量控制、生命科学和公共事业等方面得到了重要应用，有越来越多的概率方法被引入经济、金融和管理科学，成为它们的有力工具。
因此，概率论与数理统计的教学显得非常重要。
但是学生在学习掌握这门知识的过程中普遍感到概念难懂，思维难于开展，问题难于入手，方法难于掌握。
基于这一现象，在教学中，更新教学方法，充分体现以人为本的教学理念成为提高教学质量的必然选择。
教师应准确把握这门课与学生所学专业的结合点，突出其应用性。
激发学生对这门课程的学习兴趣，提高教学质量，使学生更好地掌握处理随机现象的基本理论和方法，培养他们解决实际问题的能力。
对此，笔者结合教学实践和经验，从以下几个方面来阐述：1. 更新教学内容，提高学生的应用能力《概率论与数理统计》课程包括概率论和数理统计两大部分，主要应用部分在数理统计。
由于这部分内容学时少内容多，教师不可能把所有内容都详尽讲解。
因此，在不影响课程体系完整性的条件下，教师可以适当地减少概率论部分的理论性，降低难度，从直观性、趣味性和易于理解的角度把概率论作为数理统计的基础知识加以介绍，并引进有关概率起源的一些经典案例，即以“概率适度，统计加强，引入案例”为基本思路，真正使学生的数学实践能力得到培养和提高。
在概率部分，教师可以多举例生活中有意义的实际例子强化概率知识的重要。
教师在讲数理统计部分时应该注重常用统计方法的思想和原理的分析和讲解，尽量以直观的、通俗的方法重点阐述数理统计方法的思想，应用的背景以及应用中应注意的问题。
概率论数数理统计论文1
2.1.1 随机事件内涵 随机事件是指在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种 规律性的事件叫做随机事件(简称事件)。随机事件通常用大写英文字母 A、B、C 等表示。 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验： (1) 可以在相同的条件下重复地进行 (2) 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现. 2.1.2 随机现象 自然界所观察到的现象叫做随机现象， 随机现象可分为确定性现象和随机现象。 其中确 定性现象是指在一定条件下必然发生的现象，比如太阳不会从西边升起，人一定会死等。显 著特征是出现的结果取决于条件； 随机现象是指在一定条件下可能出现也可能不出现的现象， 比如在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况：P（A）=正面或者 P（A） =反面 2.2 古典概型 17世纪，随着赌博在西欧的盛行，的正是源自赌博的问题。 研究这些赌博问题的意义， 并不在于解决了这些问题 本身，而在于人们借助对这些问题的研究，开始逐步深入理解概率的某些性质，并最终导致 概率论的诞生。 最著名的是帕斯卡与费马的通信， 他们之间的通信开创了用数学方法研究和 思考 概率问题的先河，他们被认为是概率论的启幕者。尤其是帕斯卡的工作蕴涵了概 率论“数学期望”的重要思想。这种思想成为后来惠更斯概率论工作中的一个基本思想，并 在以后相当长的时间里在古典概率论的研究中起着重要的作用。 因此读概率论发展历史的研 究既有着重要意义， 也充满了乐趣， 于是笔者对概率论几个重要时期的发展进行了简要总结 归纳。 2.2.1 古典概型内涵 古典概型是指（1）试验的样本空间只包含有限个样本点;(2)试验中每个基本事件发生 的可能性相同；同时具备以上条件的试验叫做古典概型。其样本空间可以表示为： Ω ={a1,a2,a3,a4„„an},他的每一个基本事件发生的概率都相同，为 1/n。 2.2.2 几种典型的古典概型
概率论与数理统计 课程论文
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正如世界知名概率学家、华裔数学家钟开莱于1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科。
”概率论与数理统计学应用于自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理、军事和工农业生产等领域.经过不断的发展,学科本身的理论和方法日趋成熟,在社会生活中,就连面试、赌博、彩票、体育和天气等等也都会涉及到概率学知识。
近年来,概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学、信息论等学科当中。
尤其在电子信息通信方面尤为重要，甚至是通信原理的基础课程。
可以说,概率统计是当今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一。
在此文中，进一步讨论概率统计在电子信息方面的应用。
关键词：信息论概率论统计目录1 对早期概率论的发展有过重要贡献的数学家2 概率统计在电子专业中的应用3致谢4参考文献1 对早期概率论的发展有过重要贡献的数学家莱布尼兹（Leibniz，1646—1716）于1672—1676年侨居巴黎时读到帕斯卡概率方面的研究成果，深刻地认识到这门“新逻辑学”的重要性，并且进行了认真的研究。
在帕斯卡与费马通信讨论赌博问题的那一年，雅各·伯努利（Jacob Bernoulli，1654—1705）诞生了。
概率论与数理统计论文(优秀3篇)
概率论与数理统计论文（优秀3篇）【摘要】针对近年来医学院校招生规模不断扩大，学生基础知识和学习能力参差不齐的实际状况，探讨了概率论与数理统计分层次教学的必要性，提出了医学院校概率论与数理统计课程分层教学模式，总结了在概率与统计教学中利用现代化信息技术进行分层次教学的实践经验。
【关键词】因材施教；素质教育；概率论与数理统计；分层次教学早在2500年以前，儒家代表人物孔子把教育内容分为德行、言语、政事、文学四科，其中以德行为根本。
而德育方法由不同层次的方法构成的，特别是方法论层次上的德育方法，如因材施教法。
既然不同的学生自身的特点不同，那么在教学中就应采用不同的教育，我们所提出的分层次教学思想，就源于孔子的因材施教。
近年来，随着教育的深入，本科教育从精英化向大众化进行转变，高等院校招生规模大幅度地增加，医科院校入校学生的数学基础和学习能力参差不齐。
而大学生由于其专业对概率与数理统计知识的要求不同，其学习目标和态度不尽相同，这就使得大学生对该课程的需求有了进一步的分化；同时由于不同学生的数学基础和对数学的兴趣爱好也不尽相同，对数学学习的重视程度和投入有很大差别。
在长期的教学实践中我们深刻地体会到，为了在有限的课堂教学时间内尽可能地满足各层次学生学习的需要，满足各专业后续课程学习的前提下，最大程度地调动学生的学习积极性，必须推行分层次教学，提高数学教学的质量[1，2]。
1概率论与数理统计分层次教学研究的背景自1995年国家教委立项研究“面向21世纪非数学类专业数学课程教学内容与课程体系”以来，对于数学教育在大学教育中应有的作用，国内数学教育界逐渐认识到，我国高等院校的规模水平、专业设置、地区差异、师资力量、生源优劣都相去甚远。
而随着我国高等教育大众化趋势的步伐加快，这些差距到21世纪更加凸显，分层次教学法的提出必然是大学数学教学的规律。
这也是我们在进行大学数学分层次教学研究时的一个基本出发点。
我校在概率论与数理统计的教学实践中提出分层次教学，是在原有的师资力量和学生水平的条件下，通过分层次教学，充分满足各专业各水平不同层次学生的数学素质的要求，最大限度地挖掘学生的潜能，引导学生发挥其优势，使每个学生都能获得所需的概率统计知识，同时能够充分实现学校的教育功能和服务功能，达到教书、育人的和谐统一[3]。
概率论与数理统计论文[整理]
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概率论与数理统计论文[整理]
概率论和数理统计是研究统计和概率问题的重要分支。
它们主要用于解决一些复杂的问题，即把大量复杂的、不可见的数据分析，并对数据进行实际的推理等。
概率论可以简单的解释为，它是一门研究相关变量之间的概率关系的科学，它的研究方法依赖于多种分析工具，例如有限的概率空间、概率分配函数、随机变量及其统计量、随机过程以及非确定性概率模型等。
与其他科学一样，它也是一门研究推导和验证经验结论的科学。
例如假设有一副牌，如果使用概率论，我们可以确定翻出红心可能性多少，以及要翻出10个红心可能性有多大。
数理统计是用于收集、组织、分析和描述变量等因素之间的规律性现象的一门学科。
它是利用数量技术和统计方法，研究和分析少量或大量数据的定量分析和应用科学。
它是数学与计算机的融合，利用统计分析把概率、数量和抽样结果相结合，以获得更有效的结果。
典型的数理统计方法包括简单比较、回归分析、秩和检验、卡方检验、协方差分析、时间序列分析以及模拟和非参数分析等。
例如，统计学家可以使用数理统计方法来证明一种药物是否对病人的病情有明显的改善，可以使用数理统计的结果推断出某一特征的数值水平等。
概率论和数理统计在实际应用中发挥着重要作用，这两个学科相互补充，一起构成了定量分析和试验设计的完整体系，很多学科、领域都使用到它们，例如工程、经济学、计算机科学等。
此外，它们也被广泛应用于实验室研究、诊所、学校和企业等，用于改善管理绩效或者寻找最优解决方案。
因此，概率论和数理统计是一种重要的科学方法，不仅在统计学本身，而且在其他许多学科都有广泛的应用。
概率论与数理统计论文
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概率论与数理统计论文篇1摘要：在现实世界中，随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，无处不在。
而概率统作为数学的一个重要分支，同样也在发挥着越来越广泛的用处。
概率统计正广泛地应用到各行各业：买保险、排队问题、患遗传病、天气预报、经济预测、交通管理、医疗诊断等问题，成为我们认识世界、了解世界和改造世界的工具，它与我们的实际生活更是息息相关，密不可分。
关键词：概率论,概率论的发展与应用正文一、概率论的起源说起概率论起源的故事，就要提到法国的两个数学家。
一个叫做帕斯卡，一个叫做费马。
帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家。
费马是一位业余的大数学家，许多故事都与他有关。
1651年，法国一位贵族梅累向法国数学家、物理学家帕斯卡提出了一个十分有趣的“分赌注”问题。
这两个赌徒说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。
赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。
那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这个问题可把他难住了，他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了点眉目。
于是他写信给的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：赌友应得64金币的。
通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望。
这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻，也参加了他们的讨论。
讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。
二、概率论的发展概率论的应用在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。
概率论与数理统计课程小论文
浅谈随机变量的数字特征摘要：我们知道，随机变量的分布函数完全刻画了随机变量的统计规律，它反应了随机变量的全貌，而随机变量的数字特征只是随机变量的统计规律的某一个方面的数量描述，不能完整地描述随机变量，但却反映随机变量取值的一些特征。
本文就从这点出发，主要讲述随机变量的数字特征的引出、相关知识点及重点和随机变量数字特征的应用。
关键字：数字特征 数学期望 方差 协方差 相关系数我们知道随机变量的分布函数能够全面地描述随机变量的统计特性。
但实际问题中，由于有时很难求出随机变量的分布函数或者不需要知道随机变量的一切统计特性，而只需要知道随机变量的某些特征。
例如在分析某校学生英语四级水平时，只要计算该校的平均成绩和计算该校每位学生的考试成绩与平时成绩的偏离大小，便可以对该校的学生英语四级水平做出比较客观的判断，这种能表示随机变量某些方面特征的数就是随机变量的数字特征。
另外我们还注意到许多的重要分布都会含1到3个参数，而这些参数都与数字特征重合或关系密切，因此只要知道分布的类型，通过数字特征就能完全确定分布函数。
由此可见，随机变量的数字特征的研究具有理论上和实际上的重要意义。
通过这章的学习，我理解了随机变量的数学期望、方差的概念，并会运用它们的基本性质计算具体分布的期望、方差；掌握了二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望和方差；会根据随机变量X 的概率分布计算其函数()g X 的数学期望[()]E g X ；会根据随机变量(,)X Y 的联合概率分布计算其函数(,)g X Y 的数学期望正[(,)]E g X Y ；理解协方差、相关系数的概念，掌握它们的性质，并会利用这些性质进行计算，了解矩的概念。
下面是我总结出来的本章知识要点：1．数学期望设X 是离散型的随机变量，其概率函数为(),1,2,,i i P X a p i ===如果级数i iia p∑绝对收敛，则定义X 的数学期望为()i iiE X a p =∑；设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()xf x dx+∞-∞⎰绝对可积，则定义X 的数学期望为()()E X xf x dx+∞-∞=⎰．2．随机变量函数的数学期望设X 为离散型随机变量，其概率函数(),1,2,,i i P X a p i ===如果级数()iiig a p∑绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()i iiE g X g a p =∑设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====如果级数(,)i j ijjig a b p ∑∑绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)i j ijjiE g X Y g a b p =∑∑；特别地();()i ij j iji i j i E X a p E Y b p ==∑∑∑∑.设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()()g x f x dx+∞-∞⎰绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx+∞-∞=⎰．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰；特别地()(,)E x xf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰, ()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.3．数学期望的性质3.1 ()E c c = (其中c 为常数)；3.2 ()()E kX b kE X b +=+ (,k b 为常数)； 3.3 ()()()E X Y E X E Y +=+；3.4 如果X 与相互独立，则()()()E XY E X E Y =. 4．方差与标准差随机变量X 的方差定义为2()[()]D X E X E X =-．计算方差常用下列公式：22()()[()]D X E X E X =-’当X 为离散型随机变量，其概率函数为(),1,2,,i i P X a p i ===如果级数2(())i iia E X p -∑收敛，则X 的方差为2()(())i iiD X aE X p =-∑；当X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分2(())()x E X f x dx+∞-∞-⎰收敛，则X 的方差为2()(())()D X x E x f x dx+∞-∞=-⎰.随机变量X 的标准差定义为方差()D X 5．方差的性质5.1 ()0D c = (c 是常数)；5.22()()D kX k D X = (k 为常数)； 5.3如果X 与Y 独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+.6．协方差设(,)X Y 为二维随机变量，随机变量(,)X Y 的协方差定义为cov(,)[(())(())]X Y E X E X Y E Y =--．计算协方差常用下列公式：cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-．当X Y =时，cov(,)cov(,)()X Y X X D X ==． 协方差具有下列性质：6.1 cov(,)0X c = (c 是常数)； 6.2 cov(,)cov(,)X Y Y X =；6.3 cov(,)cov(,)kX lY kl X Y = (,k l 是常数)； 6.4 1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+ 7．相关系数随机变量(,)X Y 的相关系数定义为XY ρ=相关系数XY ρ反映了随机变量X 与Y 之间线性关系的紧密程度，当||XY ρ越大，X 与Y 之间的线性相关程度越密切，当0XY ρ=时，称X 与Y 不相关．相关系数具有下列性质： 7.1 ||1XY ρ≤；7.2 ||1XY ρ=的充要条件是()1P Y aX b =+=，其中,a b 为常数； 7.3 若随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关，即0XY ρ=，但由0XY ρ=不能推断X 与Y 独立．7.4下列5个命题是等价的： ． 7.4.1 0XY ρ=；7.4.2 cov(,)0X Y =；7.4.3 ()()()E XY E X E Y =；7.4.4 ()()()D X Y D X D Y +=+)； 7.4.5 ()()()D X Y D X D Y -=+． 利用协方差或相关系数可以计算()()()2cov(,)()()2D X Y D X D Y X Y D X D Y ρ±=+±=+±． 8．原点矩与中心矩随机变量X 的k 阶原点矩定义为()kE X ； 随机变量X 的k 阶中心矩定义为[(())]kE X E X -]； 随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合原点矩定义为()k lE X Y ； 随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合中心矩定义为[(())(())]k l E X E X Y E Y --．一阶原点矩是数学期望()E X ；二阶中心矩是方差D(X)；(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)X Y . 9．常用分布的数字特征9.1当X 服从二项分布(,)B n p 时，(),()(1)E X np D X np p ==-．9.2 当X 服从泊松分布()p λ时，(),()E X D X λλ==，9.3 当X 服从区间(,)a b 上均匀分布时，2()(),()212a b b a E X D X +-==9.4 当X 服从参数为λ的指数分布时，211(),()E X D X λλ==9.5 当X 服从正态分布2(,)N μσ时，2(),()E X D X μσ==．9.6 当(,)X Y 服从二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ时， 211(),()E X D X μσ==；222(),()E Y D Y μσ==；12cov(,),XY X Y ρσσρρ==上面讲了那么多的知识点，看起来很是繁琐，个人认为重点是期望、方差、协方差、相关系数的概念、计算和性质；常用分布的数字特征；利用性质计算随机变量函数的期望。
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概率论与数理统计论文学院：航天学院班级：1421201姓名：郭兴达学号：1142120133经过一个学期的的概率论学习，我想将我的感想和收获写在论文中，那么我就先介绍一下概率论的发展简史吧。
一、发展简史统计学是关于数字资料收集、组织、分析与解释的科学。
“资料收集”是取得数量或数据的方法。
正确的结论只能来源于正确的资料，来源于有代表性的资料。
“资料组织”是以适当形式表现所收集的资料，以得出符合逻辑的结论。
“资料分析”是从给定的量或数，抽出有关问题，从而得出一个简要的综合姓的结果。
达到这个日的的最重要的量(平均数、中位数、极差、标推差，等等)。
“资料解释”是通过资料分析来作出结论的工作，它通常是通过类似对象的小的集合提供的信息来对有关对象的大的集合形成预测的。
因此，统计学是一门科学，它处理在某种程度上可用数量信息回答的问题，而信息是通过计数和量度得到的。
不论我们在生物研究中调查昆虫数、还是在工厂中调查工人数或工时数，统计工作者的职责首先是选择所裔的那类信息，其次是指导适当的有效的收集与加工信息，最后是解释结果。
在解释结果中，特别是在资料不完全的情况下，统计工作者必须运用原理与方法以得出有效的调查结果。
他常常要求面对不肯定的情况做出明智的决策。
统计一词有两个显然不同的意义。
当用作如上所指的情况时，它是。
一种研究和评价数量资料的科学方法。
当用作复数时，它是“数量资料：一词的同义语。
因此，如果我们说在“世界年鉴”或“美国统计摘要”中有统计，即是说在它们中有数量资料。
这是一个古老的、有普遍意义酌词。
原先，统计着重为政府首脑管理国家政务提供资料。
用数字资料表现的这种信息可以上溯到亚里斯多德及他的“国家政务论”。
事实上，“statistics与“state”源于同一词根，就是一个明证。
早期大多数文明国家，由于军事的与财政的原因，曾经编制大规模的统计资料，以确定国家的入力与物力。
我们在基督教圣经中曾看到诸如此类的户口调查，以及罗马帝国各地普遍编制的税册。
概率论的研究始于意大利的文艺复兴时期，当时赌徒要求找到掷段子决定胜负的规则，曾向学者G．卡达诺(150l--1576)和著名的数学天文学家G．加利莱(1564—1642)求教；加利莱所写的一篇短文中，说明了概率的基本定律，从而为整个统计科学的发展奠定了理论基础。
在16与17世纪，机会对策(赌博)在富人中特别普遍，而且引进了更复杂的对策，包括更大的赌注，不同的对策需要一个合理的计算“机会”，当时这个问题成了一个非常重要的问题。
一个法国知识分子C，梅勒也是一个狂热的赌徒，他曾向著名的数学家和哲学家B。
帕斯卡尔(1623—1662)求教，帕斯卡尔的注意促成了与他的数学朋友的交往，特别是与P．弗曼特马(1601--16S5)的书信往来，就成为现代概率论与组合分析的起源。
研究“机会”定律的其他闻名的数学家有O．W．莱布尼兹(1646—1716)与雅可比·白努利(1654—1705)，他是著名的白努利家族九个数学家中的第一个。
他们都赢得了卓越的声誉，其中雅可比的兄弟约翰·白努利(1667--1748)，侄子尼古拉·白努利(1687--H59)与丹尼尔·白努利(1700—1782)都成为世界上知名的人。
第一篇广博的概率论论文是由雅可比·白努利写出的，他详细地阐述了大数定律的原理。
尼古拉·白努利把概率的概念用于法律问题，而丹尼尔．白努利则把概率的计算用于流行病学与保险学的研究。
对理论的其他贡献的有J ．斯特林(1692—1770)的n!近似公式；M ．康杜斯(1743—1794)把概率与统计应用于社会问题；T ●贝期(1702—176，1)首先归纳地运用概率；L ．尤勒(1707—1783)首创使用希腊字母西格马∑作为求和的符号；以及T ．辛普森(1710一1761)把连续原理运用到数学横串理论中。
人L ．R ．阿勒贝特(1717—1783)在他的概率研究中使用了气象资料；人L ．拉格朗日(1736—1813)使用了微分学；Po B ．蒙特模特(1678—1719)引进了有限差分的计算。
C ．巴夫(1707—1788)在现代遗传的某些方面以及在概率计算上属于领先地位，此外，S ．D ．泊松(1781—1840)发展了以他本人名字命名的分布，即泊松分布。
在1835一1870年间，比利时科学家L ．A ．J. 魁持奈(1796—1874)对概率与统计的发展与应用作出了重大贡献。
他把生物学的与人类学的油量和正东曲线紧密池联系在一起。
：魁特奈把统计方法不仅用在生物上，而且用到教育与社会学上。
他显示出对统计的极广泛的兴趣，他是认识大数稳定性的第一个人，也是首先论证在研究领域里，发展起来的统计方法可以推广到其他大多数领域的人之一。
在德国，O ．F ．纳普(1842一1926)按照魁特奈的原则广泛地调查研究死亡统计，而W ．刘易斯(1837—1914)发展现在叫做一向方差分析的程序。
本世纪初，一位爱尔兰吉尼斯啤酒厂的统计学家W ．S ．戈塞特(1876一1937)，笔名“学生”，出版了许多篇关于解释抽样资料的文章。
他是第一个入认识到发展小样本方法以得出可靠信息的重要性。
这种方法以后由R ．A ．费雪(1890一1962)及其同事在英国推广，费雪对科学作出了很大贡献，特别是群体遗传学方面，他开拓了试验理论，注意统计方法及其在科学研究领域中的应用。
正是费雪。
他引进了现在广泛应用的“虚假设”一词(null —，hypothesis)，并发展了方差分析的统计方法。
在统计研究中有一点要提请注意，认识这一点是很重要的,即没有一个统计方法本身能保证数据不出现错误、绝对准确，不能保证推理没有毛病、结论正确。
原始资料一定要正确、方法一定要恰当；而结果一定要由不仅懂得方法，而且要由懂得应用的人来解释。
本书是把所讨论的统计方法当作土具，由适当的人掌握，在设计合理的场合加以应用，以取得有用的结论，但统计方法本身并不能创造奇迹。
浅谈随机变量的数字特征摘要：我们知道，随机变量的分布函数完全刻画了随机变量的统计规律，它反应了随机变量的全貌，而随机变量的数字特征只是随机变量的统计规律的某一个方面的数量描述，不能完整地描述随机变量，但却反映随机变量取值的一些特征。
本文就从这点出发，主要讲述随机变量的数字特征的引出、相关知识点及重点和随机变量数字特征的应用。
关键字：数字特征 数学期望 方差 协方差 相关系数1．数学期望设X 是离散型的随机变量，其概率函数为(),1,2,,i i P X a p i ===如果级数i iia p∑绝对收敛，则定义X 的数学期望为()i ii E X a p =∑；设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分()xf x dx+∞-∞⎰绝对可积，则定义X 的数学期望为()()E X xf x dx+∞-∞=⎰．2．随机变量函数的数学期望设X 为离散型随机变量，其概率函数(),1,2,,i i P X a p i ===如果级数()iiig a p∑绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()i ii E g X g a p =∑设(,)X Y 为二维离散型随机变量，其联合概率函数(,),,1,2,,i j ij P X a Y b p i j ====如果级数(,)i j ij j i g a b p ∑∑绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)i j ijj i E g X Y g a b p =∑∑；特别地();()i ij j iji i j i E X a p E Y b p ==∑∑∑∑.设X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分 ()()g x f x dx+∞-∞⎰绝对收敛，则X 的函数()g X 的数学期望为[()]()()E g X g x f x dx+∞-∞=⎰．设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其联合概率密度为(,)f x y ，如果广义积分(,)(,)g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞⎰⎰绝对收敛，则(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望为[(,)](,)(,)E g x y g x y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰；特别地()(,)E x xf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰, ()(,)E Y yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰.3．数学期望的性质3.1 ()E c c = (其中c 为常数)；3.2 ()()E kX b kE X b +=+ (,k b 为常数)； 3.3 ()()()E X Y E X E Y +=+；3.4 如果X 与相互独立，则()()()E XY E X E Y =.4．方差与标准差随机变量X 的方差定义为2()[()]D X E X E X =-．计算方差常用下列公式：22()()[()]D X E X E X =-’当X 为离散型随机变量，其概率函数为(),1,2,,i i P X a p i ===如果级数2(())i iia E X p -∑收敛，则X 的方差为2()(())i iiD X aE X p =-∑；当X 为连续型随机变量，其概率密度为()f x ，如果广义积分2(())()x E X f x dx +∞-∞-⎰收敛，则X 的方差为2()(())()D X x E x f x dx+∞-∞=-⎰.随机变量X 的标准差定义为方差()D X 5．方差的性质5.1 ()0D c = (c 是常数)；5.22()()D kX k D X = (k 为常数)； 5.3如果X 与Y 独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+.6．协方差设(,)X Y 为二维随机变量，随机变量(,)X Y 的协方差定义为cov(,)[(())(())]X Y E X E X Y E Y =--．计算协方差常用下列公式：cov(,)()()()X Y E XY E X E Y =-．当X Y =时，cov(,)cov(,)()X Y X X D X ==． 协方差具有下列性质：6.1 cov(,)0X c = (c 是常数)；6.2 cov(,)cov(,)X Y Y X =；6.3 cov(,)cov(,)kX lY kl X Y = (,k l 是常数)； 6.4 1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+ 7．相关系数随机变量(,)X Y 的相关系数定义为XY ρ=相关系数XY ρ反映了随机变量X 与Y 之间线性关系的紧密程度，当||XY ρ越大，X 与Y 之间的线性相关程度越密切，当0XY ρ=时，称X 与Y 不相关．相关系数具有下列性质：7.1 ||1XY ρ≤；7.2 ||1XY ρ=的充要条件是()1P Y aX b =+=，其中,a b 为常数；7.3 若随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关，即0XY ρ=，但由0XY ρ=不能推断X 与Y 独立．7.4下列5个命题是等价的： ． 7.4.1 0XY ρ=；7.4.2 cov(,)0X Y =；7.4.3 ()()()E XY E X E Y =； 7.4.4 ()()()D X Y D X D Y +=+)； 7.4.5 ()()()D X Y D X D Y -=+． 利用协方差或相关系数可以计算()()()2cov(,)()()2XY D X Y D X D Y X Y D X D Y ρ±=+±=+± 8．原点矩与中心矩随机变量X 的k 阶原点矩定义为()kE X ； 随机变量X 的k 阶中心矩定义为[(())]k E X E X -]； 随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合原点矩定义为()k lE X Y ； 随机变量(,)X Y 的(,)k l 阶混合中心矩定义为[(())(())]k l E X E X Y E Y --． 一阶原点矩是数学期望()E X ；二阶中心矩是方差D(X)；(1,1)阶混合中心矩为协方差cov(,)X Y . 9．常用分布的数字特征9.1当X 服从二项分布(,)B n p 时，(),()(1)E X np D X np p ==-． 9.2 当X 服从泊松分布()p λ时，(),()E X D X λλ==， 9.3 当X 服从区间(,)a b 上均匀分布时，2()(),()212a b b a E X D X +-==9.4 当X 服从参数为λ的指数分布时，211(),()E X D X λλ== 9.5 当X 服从正态分布2(,)N μσ时， 2(),()E X D X μσ==．9.6 当(,)X Y 服从二维正态分布221212(,,,,)N μμσσρ时， 211(),()E X D X μσ==；222(),()E Y D Y μσ==；1.通过分布求数字特征如：已知某网站每天的登录人数服从参数为的泊松分布，而进入该网站的每个人打开某网页的概率为，试求访问该网页人数的分布律及其数学期望.解以表示登录网站的人数，表示访问某网页的人数.依题意:由全概率公式得:可见仍服从泊松分布，参数为，因此其数学期望为2.利用运算性质求数字特征如：已知随机变量和服从正态分布和，且与的相关系数，设，试求 (1)，，； (2)与是否相互独立?为什么.解(1)由运算性质，有，故；(2)由于不一定是二维正态分布，故由不能推出与相互独立.(若与均服从正态分布，且与相互独立，则服从二维正态分布)3.利用分解法进行计算如：对某一目标连续射击，直至命中次为止.设每次射击的命中率为，试求消耗的子弹数的数学期望.解设表示第次命中至第次命中之间所消耗的子弹数(含第次命中不含第次命中)，则，，于是故.总之，随机变量的数字特征的研究具有理论上和实际上的重要意义。