自动控制理论_10系统稳定性分析

= 0.35 0.025 K > 0
解得：Ｋ＜１４ Ｋ的稳定域为： 0 < K < 14 由此例可见，K越大，系统的稳定性越差。上述判 据不仅可以判断系统的稳定性，而且还可根据稳 定性的要求确定系统参数的允许范围（即稳定 域）。
若系统的特征方程为：
•
3.劳斯(Routh) 判据 n n1
a 0 s a1 s
将特征方程系数列成新劳斯表：
s s s s s
4 3 2
1 1 4 2 4
3 1 4
4
1 0
结论：第一列有两次符号变化，故方程有两个正实部根。
例5
设系统的特征方程为：
s s 2s 3s 7s 4s 4 = 0
6 5 4 3 2
试用劳斯判据判稳。
解： 将特征方程系数列成劳斯表 6 5 4 3 2 s s 2s 3s 7s 4s 4 = 0
例3
设系统特征方程如下：
s 2s 3s 4s 5 = 0
4 3 2
试用劳斯判据判断该系统的稳定性， 并确定正实部根的数目。
解：将特征方程系数列成劳斯表
s 4 2s 3 3s 2 4s 5 = 0
s4
1
3
5
s s
3
2
1
6
4
2 5 1 0 2
0
=5
2 1 1 4 2 5 s = 1
4.劳斯稳定判据的特殊情况(1)
• 在劳斯表的某一行中，第一项为零。 劳斯表某一行第一项系数为零，而其余 系数不全为零的情况，可以用因子(s+a)乘 以原特征式，其中a为任意正数。
得到新的特征方程为：
(s 3s 4)(s 1) = s s 3s s 4 = 0
3 4 3 2
a1a4 a0a5 a1
a5
c33 =
a1a6 a0a7 a1



s2
c1,n1
c1,n

c2,n1

s
s0
c1,n1 = an
• 如果第一列中出现一个小于零的值， 系统就不稳定； • 如果第一列中有等于零的值，说明系 统处于临界稳定状态； • 第一列数据符号改变的次数等于系统 特征方程正实部根的数目，即系统中 不稳定根的个数。
2 2 3 1 4 =
0


0

s
0
5
结论：系统不稳定；系统特征方程有两个 正实部的根。
例4
设系统的特征方程为：
s 3s 4 = 0
3
试用劳斯判据确定正实部根的个数。
解： 将特征方程系数列成劳斯表
s
3 2
1 0
－3 4
s 3s 4 = 0
3
s s
1
由表可见，第二行中的第一项为零，所以 第三行的第一项出现无穷大，为避免这种 情况，需采用特殊处理方法。
3－3 系统稳定性分析
本节主要内容： 线性定常系统稳定的概念 系统稳定的条件和稳定性的判定方法。
*特征根的性质对系统稳定性的影响
• 当si为实根时，即si＝si，
s i < 0时： c( t )
lim Ai e = 0 t
si t
si >0
Ai
s i = 0时：
si = 0
lim Ai e = Ai t
a0 > 0
各阶赫尔维茨行列式为：
D0 = a0
D1 = a1
a1
a1 D3 = a0 0 a3 a2 a1 a5 a4 a3
a3 a2 a1 a0 0
a5 a2 n 1 a4 a2 n 2 a3 a2 n 3 a2 a2 n 4 0 an
a0 0 Dn = 0 0
例1：
系统的特征方程为：
2s 4 s 3 3s 2 5s 10 = 0
试用赫尔维茨判据判断系统的稳定性。
解：
D( s) = 2s s 3s 5s 10 = 0
4 3 2
第一步：由特征方程得到各项系数
a0 = ２ a1 =１ a2 =３ a3 =５ a4 = 10
第二步：计算各阶赫尔维茨行列式
D0 = a0 = 2
D1 = a1 = 1
a1 D2 = a0
a3 1 5 = 1 3 2 5 = 7 < 0 = a2 2 3
结论： 系统不稳定。
•
2.林纳德－奇帕特（Lienard-Chipard)判据
系统稳定的充分必要条件为：
必要条件
１．系统特征方程的各项系数大于零，即
a0
n
an1 s an = 0
a2 a4 a6 a7
系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第 则劳思表中各项系数如下图：
s
一列所有元素的计算值均大于零。
a1
a1a2 a0a3 c13 = a1
s n 1
s
n 2
a3
c23 =
s
n 3
c13 a5 a1c33 c13a3 a1c23 c = c14 = 24 c13 c13
0.025s 0.35s s K = 0
3 2
第二步：列出特征方程的各项系数。
a0 = 0.025
a1 = 0.35
a2 = 1
a3 = K
第三步：系统稳定的充分必要条件。
(1) ai > 0, 要求 K > 0
(2) D2 > 0
a1 即： D2 = a0
来自百度文库a3 a2
=
0.35
K
0.025 1
三.稳定性判据
• 1.赫尔维茨（Hurwitz)判据
系统稳定的充分必要条件是：特征方程的 各项系数均为正，且赫尔维茨行列式Dk （k＝1,2,3,…，n）全部大于0。
赫尔维茨稳定判据
系统特征方程的一般形式为：
D(s) = a0 s a1s
n n1
an1s an = 0
a1 D2 = a0 a3 a2
si t
s i > 0时：
si < 0
0
lim Ai e =
si t t

t
• 当si为共轭复根时
如果特征方程中有一个零根，它对应于一个常数项，系 统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态； 如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的 周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。 从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态 属于不稳定。
ai > 0
D奇 > 0
(i = 0, 1, 2, , n)
或
D偶 > 0
２.奇数或偶数阶的赫尔维茨行列式大于零。即
例2
• 单位负反馈系统的开环传递函数为：
K G( s ) = s(0.1s 1)(0.25s 1)
试求开环增益Ｋ的稳定域。
解：第一步：求系统的闭环特征方程
D( s ) = s(0.1s 1)(0.25s 1) K = 0