数值分析总结
数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析是计算数值解的方法和理论，它研究的是如何利用计算机对数学问题进行数值计算和数值逼近。
数值分析包括了数值方法的设计、分析和实现，以及误差分析和计算复杂性分析等方面。
下面是数值分析的一些重要知识点的总结。
1.数值算法：数值算法是解决数学问题的计算方法，它由一系列具体的计算步骤组成。
常见的数值算法有插值、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法等。
2.数值稳定性：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对误差的敏感程度。
一个数值算法如果对输入数据的微小扰动具有较大的响应，就称为不稳定算法；反之，如果对输入数据的微小扰动具有较小的响应，就称为稳定算法。
3.四舍五入误差：在浮点数计算中，由于计算机表示的限制，涉及舍入运算的计算可能会引入误差。
四舍五入误差是指在进行舍入运算时，取最近的浮点数近似值所引入的误差。
4.条件数：条件数是用来衡量数值问题的不稳定性的一个指标。
它描述了输入数据的微小扰动在计算结果中的放大程度。
条件数的大小决定了数值算法的数值稳定性，通常越大表示问题越不稳定。
5.插值：插值是基于已知数据点，构造插值函数来近似未知数据点的方法。
常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值等。
6. 数值积分：数值积分是用数值方法进行积分计算的一种方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、Simpson法则和Gauss-Legendre积分法等。
7.数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数的导数的一种方法。
常用的数值微分方法有中心差分法和前向差分法等。
8. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的近似解。
常用的常微分方程数值解法有Euler法、Runge-Kutta法和Adams法等。
9.误差分析：误差分析是对数值算法计算结果误差的研究。
可以通过理论分析或实验方法来估计误差，并找到减小误差的方法。
10.计算复杂性分析：计算复杂性分析是对数值算法运行时间和计算资源的需求进行评估的方法。
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。
数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。
设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。
以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
数值分析例题和知识点总结
数值分析例题和知识点总结数值分析是一门研究如何用计算机求解数学问题数值解的学科，它在科学计算、工程技术、金融经济等领域都有着广泛的应用。
为了更好地理解和掌握数值分析的知识，下面将通过一些例题来对常见的知识点进行总结。
一、误差分析误差是数值分析中一个非常重要的概念。
误差分为绝对误差、相对误差和有效数字。
绝对误差：设某量的准确值为$x$，近似值为$x^＄，则绝对误差为$｜x x^｜＄。
相对误差：相对误差是绝对误差与准确值的比值，即$＼frac{｜xx^｜｝｛｜x|｝＄。
有效数字：若近似值$x^＄的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到$x^＄的第一位非零数字共有$n$位，则称$x^＄有$n$位有效数字。
例如，＄＼pi$的近似值为 314，准确值约为 31415926，绝对误差为$｜31415926 314| ＝ 00015926$，相对误差为$＼frac{00015926}｛31415926} ＼approx 0000507$，314 有 3 位有效数字。
二、插值法插值法是数值分析中的一种基本方法，用于通过已知的数据点来构造一个函数。
1、拉格朗日插值已知$n ＋ 1$个互异节点$（x_0, y_0)，（x_1, y_1)，＼cdots, （x_n, y_n)＄，拉格朗日插值多项式为：＄L_n(x) ＝＼sum_{i ＝ 0}＾n y_i l_i(x)＄其中，＄l_i(x) ＝＼frac{＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x x_j)｝｛＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x_i x_j)｝＄例如，已知点$（1, 2)＄，＄（2, 3)＄，＄（3, 5)＄，求插值多项式。
设$L_2(x) ＝ y_0 l_0(x) ＋ y_1 l_1(x) ＋ y_2 l_2(x)＄＄l_0(x) ＝＼frac{（x 2)（x 3)｝｛（1 2)（1 3)｝＝＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3)＄＄l_1(x) ＝＼frac{（x 1)（x 3)｝｛（2 1)（2 3)｝＝（x 1)（x 3)＄＄l_2(x) ＝＼frac{（x 1)（x 2)｝｛（3 1)（3 2)｝＝＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄则$L_2(x) ＝ 2 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3) ＋ 3 ＼times （x1)（x 3) ＋ 5 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄2、牛顿插值牛顿插值多项式为：＄N_n(x) ＝ fx_0 ＋ fx_0, x_1(x x_0) ＋ fx_0, x_1, x_2(x x_0)（xx_1) ＋＼cdots ＋ fx_0, x_1, ＼cdots, x_n(x x_0)（x x_1) ＼cdots （xx_{n 1}）＄其中，均差$fx_0, x_1, ＼cdots, x_k ＝＼frac{fx_1, x_2, ＼cdots, x_k fx_0, x_1, ＼cdots, x_{k 1}｝｛x_k x_0}＄三、数值积分数值积分用于计算定积分的近似值。
数值分析实验报告心得(3篇)
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。
（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。
2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。
（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后，比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。
（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后，比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。
（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
数值分析学习总结感想
数值分析学习总结感想在数值分析学习的过程中，我深刻体会到了这门学科的重要性和广泛应用的范围。
通过学习数值分析，我不仅加深了对数学理论的理解，还掌握了一些重要的数值计算方法和算法。
在此过程中，我收获了很多，也产生了许多感想。
首先，数值分析教给我了科学问题解决的方法。
在数值计算中，我们通常无法通过简单的代数运算来求解问题，而是需要借助计算机和数值算法来逼近解。
这种方法可以应用于很多实际问题，例如求解线性方程组、积分、微分方程等。
通过数值分析课程的学习，我掌握了很多常见的数值计算方法，例如高斯消元法、插值方法、数值积分等。
这些方法在实际问题中的应用非常广泛，能够帮助我们解决许多实际问题，提高计算效率和精度。
其次，数值分析也教会了我如何分析和估计误差。
在数值计算中，误差是无法避免的，而且可能会在计算过程中不断累积。
因此，我们需要了解误差的来源，能够进行误差估计和控制。
通过学习数值分析，我学会了如何使用泰勒展开式、理解截断误差和舍入误差等概念，同时也学会了如何使用残差计算和误差估计方法。
这对于判断数值结果的可靠性和计算效果的好坏非常重要，能够帮助我们找到优化方法和改进方案。
另外，数值分析还教会了我如何进行数值模拟和数据处理。
在实际工程和科学研究中，常常需要通过数值模拟来研究分析问题。
通过数值分析的学习，我学会了如何建立数学模型、选择合适的数值方法和算法来模拟求解问题，并能够对模拟结果进行合理的处理和分析。
这对于科学研究和工程设计都非常有价值，能够提高研究效率和解决复杂问题的能力。
最后，数值分析还培养了我一种严谨的科学态度和问题解决的能力。
在数值计算中，一个细微的误差可能会导致完全不同的结果，因此需要我们对问题进行仔细的分析，并保持谨慎的态度。
通过编程实现数值算法，我学会了如何调试代码和检查问题，发现解决bug的方法。
这培养了我的逻辑思维和问题解决能力，也增强了我对科学研究和工程实践的兴趣和热情。
综上所述，通过数值分析的学习，我不仅掌握了一些重要的数值计算方法和算法，还学会了科学问题解决的方法和误差估计的技巧。
数值分析期末知识点总结
数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。
它是计算数学的一个重要分支，涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。
在数值分析课程中，我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。
本文将对数值分析期末知识点进行总结，以便帮助大家复习。
二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容，它们用于在给定数据点集上构造一个函数，以便在其他点上进行求值。
插值是通过一些已知数据点来求得一个函数，使得这个函数能够通过这些点，而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数，使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等；而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。
2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。
微分方程是自然界中描述变化的数学方程，它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。
3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容，它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。
原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂，因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。
数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。
4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。
在实际问题中，有很多积分问题是无法解析求解的，因此我们需要使用数值方法进行近似求解。
数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。
三、数值分析的误差分析在数值计算过程中，我们会遇到误差的问题。
这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。
因此，误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。
数值分析实验报告总结
一、实验背景数值分析是研究数值计算方法及其理论的学科，是计算机科学、数学、物理学等领域的重要基础。
为了提高自身对数值分析理论和方法的理解，我们进行了数值分析实验，通过实验加深对理论知识的掌握，提高实际操作能力。
二、实验目的1. 理解数值分析的基本理论和方法；2. 掌握数值分析实验的基本步骤和技巧；3. 培养实验设计和数据分析能力；4. 提高编程和计算能力。
三、实验内容本次实验主要分为以下几个部分：1. 线性方程组求解实验：通过高斯消元法、LU分解法等求解线性方程组，并分析算法的稳定性和误差；2. 矩阵特征值问题计算实验：利用幂法、逆幂法等计算矩阵的特征值和特征向量，分析算法的收敛性和精度；3. 非线性方程求根实验：运用二分法、牛顿法、不动点迭代法等求解非线性方程的根，比较不同算法的优缺点；4. 函数插值实验：运用拉格朗日插值、牛顿插值等方法对给定的函数进行插值，分析插值误差；5. 常微分方程初值问题数值解法实验：运用欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等求解常微分方程初值问题，比较不同算法的稳定性和精度。
四、实验过程1. 线性方程组求解实验：首先，编写程序实现高斯消元法、LU分解法等算法；然后，对给定的线性方程组进行求解，记录计算结果；最后，分析算法的稳定性和误差。
2. 矩阵特征值问题计算实验：编写程序实现幂法、逆幂法等算法；然后，对给定的矩阵进行特征值和特征向量的计算，记录计算结果；最后，分析算法的收敛性和精度。
3. 非线性方程求根实验：编写程序实现二分法、牛顿法、不动点迭代法等算法；然后，对给定的非线性方程进行求根，记录计算结果；最后，比较不同算法的优缺点。
4. 函数插值实验：编写程序实现拉格朗日插值、牛顿插值等方法；然后，对给定的函数进行插值，记录计算结果；最后，分析插值误差。
5. 常微分方程初值问题数值解法实验：编写程序实现欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等算法；然后，对给定的常微分方程初值问题进行求解，记录计算结果；最后，比较不同算法的稳定性和精度。
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。
在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。
下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。
-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。
2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。
-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。
-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。
3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。
4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。
-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。
5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。
-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。
6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。
-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。
-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。
8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是研究用计算机和数学方法解决数学问题的一门学科，其核心是通过数值计算方法求解数学问题。
数值分析广泛应用于科学计算、工程计算以及实际问题的数值模拟和优化等领域。
本文将从数值方法的基本原理、数值线性代数、非线性方程求解、插值和曲线拟合、数值微分和数值积分、数值常微分方程等方面对数值分析进行总结。
数值方法的基本原理是将需要求解的数学问题转化为离散的数值计算问题。
数值方法主要包括近似计算、误差分析和收敛性研究。
近似计算通过选择适当的数值计算方法和算法，对原始问题进行精确程度有限的近似计算。
误差分析是研究数值计算和解析解之间的差别，包括截断误差和舍入误差。
收敛性研究是研究离散数值计算方法的收敛性，即当步长趋于零时，数值计算结果趋于解析解。
数值线性代数是数值分析的重要内容之一、数值线性代数主要研究线性代数方程组的数值解法。
常见的数值解法包括高斯消元法、LU分解法、Cholesky分解法等。
解线性代数方程组的数值方法可以分为直接法和迭代法两类。
直接法通过有限次数的计算求得方程组的解，而迭代法是通过求解逐步逼近方程组的解。
非线性方程求解是数值分析的另一个重要内容。
非线性方程求解的目标是找到方程的根，即方程的解。
常见的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法、割线法和迭代法。
这些方法根据不同的原理和特点，对非线性方程根的进行逐步逼近，最终得到根的近似值。
插值和曲线拟合是利用已知数据点确定未知数据点的数值计算方法。
插值方法通过已知数据点之间的连线来估计未知数据点的值。
常见的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
曲线拟合是通过已知数据点拟合出一条曲线，使得该曲线在已知数据点上与原始数据最接近。
最小二乘法是常用的曲线拟合方法，通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离来得到最佳拟合曲线。
数值微分和数值积分是数值分析的基础性内容。
数值微分是通过差商的定义计算函数在特定点的导数值。
常见的数值微分方法有前向差分法和中心差分法。
数值分析考试知识点总结
数值分析考试知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它的研究对象是计算机数值计算和数值模拟方法的理论和技术。
一、误差分析数值计算是以实际问题为基础的分析过程，其目的是研究数值计算误差和误差的影响，以确保数值计算的准确性和可靠性。
数值计算误差主要包括截断误差和舍入误差两个部分。
1. 截断误差截断误差是由于在数值计算过程中，使用了近似代替精确值而引起的误差。
例如，在对连续函数的微分或积分进行数值计算时，所采用的近似公式都会引起截断误差。
截断误差可以通过增加计算步骤或者采用更加精确的计算方法来减小。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机对于无限小数进行截断或者舍入时引起的误差。
由于计算机是以有限的二进制数进行存储和运算，因此对于很小的数字或者非常大的数字，都会存在舍入误差。
舍入误差的大小与计算精度有关，可以通过提高计算精度来减小舍入误差。
二、插值和逼近插值和逼近是数值分析中常见的计算技术，用于利用已知的数据点来估计未知函数的值。
1. 插值插值是通过已知的数据点来估计未知函数在这些数据点之间的取值。
插值方法的目标是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点上的取值与已知数据点的取值一致。
常见的插值方法包括拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
2. 逼近逼近是通过已知的数据点来估计未知函数的近似值，与插值不同的是，逼近方法不要求逼近函数必须在已知数据点上取特定的值。
常用的逼近方法包括最小二乘法逼近和样条逼近。
三、数值积分数值积分是通过数值计算来近似求解定积分的值，它是数值分析中的一个重要内容。
1. 复化数值积分复化数值积分是通过将积分区间划分成若干子区间，然后在每个子区间上进行数值积分来近似求解定积分的值。
复化数值积分方法包括复化梯形公式、复化辛普森公式以及复化辛普森三分法等。
2. 数值积分的误差分析在数值积分中，由于使用了近似方法，所以会引入数值积分误差。
要保证数值积分的准确性，需要对数值积分误差进行分析和评价。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它旨在研究如何使用计算机算法来解决数学问题。
数值分析广泛应用于科学与工程领域，如物理学、化学、计算机科学、经济学等，有助于我们在计算机上进行精确、高效、可靠的数值计算。
以下是数值分析的一些重要知识点。
1.数值误差：数值计算中存在着各种误差，包括舍入误差、截断误差、传播误差等。
舍入误差是由于计算机对无限小数进行近似表示而产生的误差，截断误差是由于计算方法不完全而导致的误差，传播误差是由于误差在计算过程中的传播而产生的误差。
2.插值与外推：插值是一类问题，它的目标是通过已知数据点的近似值来估计未知点的值。
插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
外推是在已知数据点外估计函数值的方法，例如外推法、Richardson外推法等。
3.数值积分与微分：数值积分是计算函数在给定区间上的定积分的近似值的方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。
数值微分是通过计算函数在给定点的导数的近似值来估计函数的变化率。
4.线性方程组的求解：线性方程组是数值计算中的重要问题之一，其解决方法包括直接法和迭代法。
直接法是通过代数运算求解线性方程组的精确解，如高斯消元法、LU分解法等。
迭代法是通过迭代计算逼近线性方程组的解，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
5.非线性方程的求解：非线性方程求解是指求解形式为f(x)=0的方程的根。
常用的非线性方程求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。
6.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法是指通过计算机算法来近似求解微分方程的解。
常用的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
7.特征值与特征向量的计算：特征值和特征向量是矩阵与线性变换中的重要概念。
求解特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵或线性变换的性质。
常用的特征值计算方法有幂法、反幂法等。
8.曲线拟合与回归分析：曲线拟合是通过给定的散点数据来拟合出一个函数曲线的方法。
数值分析期末总结与体会
数值分析期末总结与体会数值分析是一门应用数学课程，主要研究数值计算方法和数值计算误差，并为实际问题提供数值计算解决方案。
在本学期的学习中，我深入学习了数值计算的基本概念与原理，并通过编程实践掌握了常见的数值计算方法。
在期末考试前夕，我对这门课的学习经历进行了总结与体会，下面是我对数值分析的期末总结与体会。
一、总结1. 知识掌握：在学习过程中，我通过系统的学习，掌握了课程中介绍的求根问题、插值问题、数值积分和数值微分等数值计算方法。
我了解了牛顿迭代法、二分法、割线法等求解非线性方程根的方法，熟悉了拉格朗日插值、牛顿插值等插值方法，学会了辛卜生插值多项式、三次样条插值等高级插值方法。
同时，我还学习了梯形法则、辛普森法则等数值积分算法，掌握了欧拉法、龙格-库塔法等数值微分算法。
2. 编程实践：在理论学习的基础上，我通过编写程序加深了对数值计算方法的理解与掌握。
我使用Python语言编写了求解非线性方程根、插值计算、数值积分和数值微分的代码，并通过实际运行验证了这些数值计算方法的正确性与有效性。
编程实践过程中，我深刻体会到了算法的重要性，不同的算法对于同一个数值计算问题，可能会有不同的效果。
3. 数值计算误差：在学习数值计算的过程中，我逐渐认识到数值计算误差的存在与产生机理。
由于计算机内部采用的是二进制表示法，而浮点数的二进制表示无法准确表示所有的实数，从而引入了舍入误差；另外，数值计算方法本身也存在精度误差，例如插值多项式的截断误差、数值积分的数值误差等。
掌握数值计算误差的产生原因和估计方法，对于正确评估数值计算结果的精度至关重要。
4. 应用实例：在学习过程中，我们还分析了各种实际问题，并通过数值计算方法得到了解决方案。
例如，在求根问题中，我们可以利用牛顿迭代法估计气体状态方程的参数；在插值问题中，我们可以使用拉格朗日插值方法恢复图像；在数值积分中，我们可以利用梯形法则或辛普森法则计算定积分；在数值微分中，我们可以应用欧拉法或者龙格-库塔法求解微分方程等。
数值分析期末总结论文
数值分析期末总结论文一、课程概述数值分析是计算数学的重要分支，主要研究数值计算方法和算法，并通过计算机实现，解决实际问题中数字计算的相关难题。
本学期的数值分析课程主要介绍了数值计算中的数值误差、插值与逼近、数值积分与数值微分以及常微分方程的数值解法等内容。
二、知识点总结1. 数值误差在计算过程中，由于计算机系统的有限位数表示和处理能力的限制，导致数值计算结果与精确解之间存在误差。
数值误差主要包括截断误差和舍入误差。
我们学习了数值计算中的绝对误差和相对误差，并介绍了浮点数表示法和浮点数运算的原理。
另外，对于一些特殊函数，如指数函数和三角函数，我们还学习了它们的数值计算方法。
2. 插值与逼近在实际问题中，往往需要根据已知数据点，通过插值或逼近方法得到未知点的近似值。
我们学习了插值多项式的构造方法，包括拉格朗日插值和牛顿插值。
在逼近方法中，我们学习了最小二乘逼近原理，介绍了线性最小二乘逼近和非线性最小二乘逼近的相关概念和方法。
3. 数值积分与数值微分数值积分是计算定积分的近似值的方法。
我们学习了数值积分的基本概念和方法，包括梯形法则、辛普森法则和高斯积分法。
与数值积分相对应的是数值微分，它是计算导数的近似值的方法。
我们学习了差商公式和微分方程初值问题的数值解法。
4. 常微分方程的数值解法常微分方程是自然科学和工程技术领域中常见的数学模型。
我们学习了常微分方程数值解法的基本思想和方法，包括欧拉法、改进欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
三、学习收获1. 理论知识：通过本学期的学习，我对数值分析领域的基本概念和方法有了更深入的理解。
掌握了数值计算中的数值误差分析方法，为后续计算准确性估计提供了基础。
了解并熟悉了插值与逼近方法，为解决实际问题提供了有效途径。
学习了数值积分与数值微分的基本原理和计算方法，提高了数值计算的准确性和效率。
初步了解了常微分方程的数值解法，为解决实际科学问题提供帮助。
2. 实践能力：通过编程实践，我得到了锻炼和提高。
数值分析应用例题和知识点总结
数值分析应用例题和知识点总结数值分析是数学的一个重要分支，它主要研究如何用数值方法求解数学问题，包括数值逼近、数值微分和积分、线性方程组的求解、非线性方程的求解、插值与拟合等。
以下将通过一些具体的例题来展示数值分析的应用，并对相关知识点进行总结。
一、数值逼近数值逼近是用简单的函数（如多项式、分段多项式等）来近似地表示复杂的函数。
例题：给定函数＄f(x) ＝＼sin(x)＄，在区间＄0, ＼pi$ 上，用一次多项式（直线）来逼近它。
解：设逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ ax ＋ b$。
在区间两端点，即＄x ＝ 0$ 时，＄p(0) ＝ b$，且＄f(0) ＝ 0$；＄x ＝＼pi$ 时，＄p(＼pi) ＝ a\pi ＋ b$，＄f(＼pi) ＝ 0$。
由此可得到方程组：＼＼begin{cases}b ＝ 0 ＼＼a\pi ＋ b ＝ 0＼end{cases}＼解得＄a ＝ 0$，＄b ＝ 0$，所以逼近的一次多项式为＄p(x) ＝ 0$，显然这个结果不太理想。
知识点总结：1、数值逼近的方法有很多，如泰勒展开、拉格朗日插值、牛顿插值等。
2、误差是衡量逼近效果的重要指标，包括截断误差和舍入误差。
二、数值微分数值微分是通过已知的函数值来近似计算函数的导数。
例题：已知函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 附近的三个点＄x_0 ＝09$，＄x_1 ＝ 1$，＄x_2 ＝ 11$ 处的函数值分别为＄081$，＄1$，＄121$，用中心差分公式求＄f'（1)＄的近似值。
解：中心差分公式为＄f'（x) ＼approx ＼frac{f(x ＋ h) f(x h)｝｛2h}＄，取＄h ＝ 01$，则：＼f'（1) ＼approx ＼frac{f(11) f(09)｝｛02} ＝＼frac{121 081}｛02}＝ 2＼而＄f'（x) ＝ 2x$，＄f'（1) ＝ 2$，可见近似效果较好。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是一门研究实际问题数值解法和计算方法的学科。
它通过将求解问题的过程数值化，利用计算机进行数值计算，从而得到问题的近似解。
数值分析在自然科学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。
在本文中，我将对数值分析这门学科进行总结和分析。
首先，数值分析主要包括数值插值、数值积分、数值微分、数值代数方程组求解和常微分方程数值解等内容。
其中，数值插值是通过已知函数值的一些点来推求未知点的近似值的方法；数值积分是利用数值方法计算函数在给定区间上的积分；数值微分是利用近似方法计算函数在某一点的导数。
而数值代数方程组求解和常微分方程数值解则是求解方程组和常微分方程近似解的方法，这两者是数值分析最重要的应用之一。
其次，数值分析方法的选择对于问题的求解有着重要的影响。
对于不同的问题，我们需要选择适合的数值方法来得到较为准确的解。
例如，在求解数值积分问题时，我们可以选择梯形法则、辛普森法则等方法来近似计算积分值；在求解常微分方程数值解时，我们可以选择显式欧拉法、隐式欧拉法、龙格-库塔法等数值解法。
合理选择数值方法可以提高求解问题的准确性和计算效率。
此外，数值分析中的误差分析是一项重要的工作。
由于数值计算的舍入误差和截断误差的存在，我们得到的数值解通常会与真实解有所偏差。
因此，在进行数值计算时，我们需要对误差进行分析和控制。
误差分析可以帮助我们评估数值方法的可靠性，并调整计算过程来尽量减小误差。
在实际问题中，误差分析对于判断结果的合理性至关重要。
最后，数值分析的发展受到计算机技术的支持。
随着计算机性能的提升和算法的改进，数值分析的应用范围也在不断扩大。
计算机的高速计算和存储能力使得我们能够处理更加复杂的问题，并得到更加精确的数值解。
同时，以数值分析为基础的科学计算软件的开发也极大地推进了数值分析的发展。
综上所述，数值分析是一门重要的学科，它为实际问题的求解提供了有效的数值方法和计算工具。
在实践中，我们需要选择合适的数值方法来解决具体问题，并进行误差分析以确保结果的可靠性。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结一、绪论数值分析是一门研究如何使用数值方法解决数学问题的学科。
它广泛应用于科学、工程、医学等领域。
在数值分析中，我们通常将实际问题转化为数学模型，然后使用计算机进行计算。
数值分析的主要内容包括：误差分析、插值与拟合、线性方程组求解、微分方程求解等。
二、误差分析误差分析是数值分析中的一个重要概念。
它包括绝对误差、相对误差和误差限等概念。
在计算过程中，误差会传递和累积，因此需要进行误差分析以评估计算结果的精度。
常用的误差分析方法有：泰勒级数展开、中点公式等。
三、插值与拟合插值与拟合是数值分析中的两个重要概念。
插值方法用于通过一组已知数据点生成一个函数，该函数能够近似地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法则是通过一组已知数据点生成一个最佳拟合线或曲面，使得这个线或曲面与已知数据点之间的误差尽可能小。
常用的插值与拟合方法有：线性插值、多项式插值、样条插值、最小二乘法等。
四、线性方程组求解线性方程组是数值分析中经常遇到的一类方程组。
对于线性方程组，我们通常使用迭代法或直接法进行求解。
迭代法包括：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、松弛法等。
直接法包括：高斯消元法、逆矩阵法等。
在实际应用中，我们通常会选择适合问题的计算方法，并根据需要进行优化。
五、微分方程求解微分方程是描述变量之间的函数关系的一类方程。
在数值分析中，我们通常使用数值方法对方程进行离散化处理，然后使用计算机进行求解。
常用的微分方程求解方法有：欧拉方法、龙格-库塔方法等。
对于复杂的微分方程，我们还可以使用谱方法、有限元方法等进行求解。
六、总结数值分析是一门应用广泛的学科，它涉及到许多数学知识和计算机技术。
在实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的数值方法进行解决。
在进行计算时，需要注意误差分析、算法的稳定性和收敛性等问题。
随着计算机技术的发展，数值分析的应用领域也在不断扩大，例如、大数据分析等领域。
因此，数值分析的学习和应用具有重要意义。
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S'(xj+0) =S' (xj–0) ( j = 1,···,n-1) S'' (xj+0) =S' ' (xj–0) ( j = 1,···,n-1)
设 f(x) 在各插值节点 xj 处的一阶导数为 mj
取 xj+1 – xj = h，( j = 0,1,2,···,n-1)。当 x∈[xj, xj+ 1]时, 分段三次Hermite插值
Sj(x)(12x hxj)(xj1 h x)2yj(12xj1 h x)(x hxj)2yj1 (xxj)(xj1 h x)2m j(xxj1)(x hxj)2m j1
a = x0 < x1 < … < xn = b
S1( x),x [x0, x1]
S(x)
S2( x), x [x1, x2]
Sn( x),x [xn1,xn ]
S(x) 为在 [xj,xj+1]的三次多项式满足:
(1) Sj (xj-1) = yj-1 , Sj (xj) = yj , ( j = 1,···,n)
数值分析总结
多项式插值是一个极端, 它可以进行无限次的微分, 但它通常不能保持给定数据所描述的形状, 特别是在 端点附近。分段线性插值是另一个极端, 它几乎没有任何光滑性。它连续但一阶导数存在跳变。另一方面它 保持了给定数据的局部单调性。
是否可以在光滑性和局部单调性之间折衷呢?
定义 5.4 给定区间[a , b]上的一个分划: 已知 f(xj) = yj (j = 0,1,···,n), 如果
S(xj0)S(xj0) h2h 6 y 2jy j h 12yh j6 2 1 yjh m h 2jm h j1 m jh 4 1m j
3
m j14m jm j1h(yj1yj1)
( j=1, 2, ······, n-1 )
设自然边界条件成立即
S (x 0 0 ) h 6 2y 0 h 6 2y 1 h 4 m 0 h 2 m 1 0
由样条定义,可建立方程(4n-2)个！
方程数少于未知数个数 ？？
(1)自然边界条件: S'' (x0)=0, S'' (xn)=0
(2)周期边界条件: S'(x0)=S'(xn), S''(x0)=S'' (xn) (3)反射边界条件: S''(x0)=S''(x1), S''(xn-1)=S'' (xn) (4) 固定边界条件: S'(x0)=f '(x0), S'(xn)=f'(xn)
回顾1:
若 xl im x0f(x)f(x0),则 称 函 数 在 x0左 连 续 ; 若 xl im x0+f(x)f(x0),则 称 函 数 在 x0右 连 续 。
n个三次多项式, 待定系数共4n个！ 当x∈[xj , xj+ 1] ( j= 0,1,…n-1 )时
Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3
例 5.7 已知f(–1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1。构造分段三次多项式是满足自然边界的样条函数。
证:显然 求导数得
S(x)
1212x3x3 23
x2, 3 x2, 2
x[1, 0] x[0,1]
S(1) 1 S(1) 1 S(0)S(0)0
S(x)
显然
3 2
x2
3x,
x[1,
S (x j 0 ) h 6 2y j h 6 2y j 1 h 4 m j h 2 m j 1
S (x j 0 ) h 6 2y j h 6 2y j 1 h 4 m j h 2 m j 1
同理有
S (x j 0 )h 6 2yj 1h 6 2yjh 2m j 1h 4m j
联立得
6 6 42
未知数个数 (n+1)！！
由S ''(x)连续,有等式 S''(xj + 0)=S''(xj – 0)
当 x∈[xj , xj+1]时, S(x) 由基函数组合而成
j(x)(12x hxj)x (j1 h x)2
j1(x)(12xj1 h x)x ( hxj)2
j(x)(xxj)(xj1 hx)2 j1(x)(xxj1)(x hxj)2
(2) S'j (xj) = S'j+1 (xj) ( j = 1,···,n-1)
(3) S''j (xj) = S''j+1 (xj) ( j = 1,···,n-1) 则称 S(x)为三次样条插值函数。
三次样条插值函数满足的连续条件: (1) S(xj–)= S(xj+) ( j = 1,···,n-1) 连续 (2) S' (xj–)= S'(xj+) ( j = 1,···,n-1)导数连续 (3) S'' (xj–)= S'' (xj+) ( j = 1,···,n-1)二阶导数连续
0]Biblioteka 3 2x2S(1)
3x,
3
x[0, 1]
S (1)
S(x) 3x3 x 3,3x, x [[10,,01]]
3 S (0 )S (0 )0
2
2
S(1)0 S(1) 0 S (0 )S (0 )3
分段Hermite插值公式导出的样条方法
已知函数表
x
x0
f(x) y0
x1 ··· xn y1 ··· yn
品味
当x∈[xj , xj+ 1] ( j= 0,1,…n-1 )时
Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3 取 xj+1 – xj = h，( j = 0,1,2,···,n-1)。 当 x∈[xj, xj+ 1]时, 分段Hermite插值
Sj(x)(12x hxj)(xj1 h x)2yj(12xj1 h x)(x hxj)2yj1 (xxj)(xj1 h x)2m j(xxj1)(x hxj)2m j1
j(xj)[ h3 8(xj1x)(12x hxj)h 22]xxj h 2 j1(xj)[h 83(xxj)(12xj1 hx)h 22]xxj h 62
j(xj)[h42(xxj1)(xxj)h22]xxj
4 h
j1(xj)[h42(xxj)(xxj1)h22]xxj
2 h
S(xj0)j(xj)yjj1(xj)yj1 j(xj)m j j1(xj)m j1