数值分析总结
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由样条定义,可建立方程(4n-2)个！
方程数少于未知数个数 ？？
(1)自然边界条件: S'' (x0)=0, S'' (xn)=0
(2)周期边界条件: S'(x0)=S'(xn), S''(x0)=S'' (xn) (3)反射边界条件: S''(x0)=S''(x1), S''(xn-1)=S'' (xn) (4) 固定边界条件: S'(x0)=f '(x0), S'(xn)=f'(xn)
S (x j 0 ) h 6 2y j h 6 2y j 1 h 4 m j h 2 m j 1
S (x j 0 ) h 6 2y j h 6 2y j 1 h 4 m j h 2 m j 1
同理有
S (x j 0 )h 6 2yj 1h 6 2yjh 2m j 1h 4m j
联立得
6 6 42
回顾1:
若 xl im x0f(x)f(x0),则 称 函 数 在 x0左 连 续 ; 若 xl im x0+f(x)f(x0),则 称 函 数 在 x0右 连 续 。
n个三次多项式, 待定系数共4n个！ 当x∈[xj , xj+ 1] ( j= 0,1,…n-1 )时
Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3
S(xj0)S(xj0) h2h 6 y 2jy j h 12yh j6 2 1 yjh m h 2jm h j1 m jh 4 1m j
3
m j14m jm j1h(yj1yj1)
( j=1, 2, ······, n-1 )
设自然边界条件成立即
S (x 0 0 ) h 6 2y 0 h 6 2y 1 h 4 m 0 h 2 m 1 0
数值分析总结
多项式插值是一个极端, 它可以进行无限次的微分, 但它通常不能保持给定数据所描述的形状, 特别是在 端点附近。分段线性插值是另一个极端, 它几乎没有任何光滑性。它连续但一阶导数存在跳变。另一方面它 保持了给定数据的局部单调性。
是否可以在光滑性和局部单调性之间折衷呢?
定义 5.4 给定区间[a , b]上的一个分划: 已知 f(xj) = yj (j = 0,1,···,n), 如果
a = x0 < x1 < … < xn = b
S1( x),x [x0, x1]
S(x)
S2( x), x [x1, x2]
Sn( x),x [xn1,xn ]
S(x) 为在 [xj,xj+1]的三次多项式满足:
(1) Sj (xj-1) = yj-1 , Sj (xj) = yj , ( j = 1,···,n)
未知数个数 (n+1)！！
由S ''(x)连续,有等式 S''(xj + 0)=S''(xj – 0)
当 x∈[xj , xj+1]时, S(x) 由基函数组合而成
j(x)(12x hxj)x (j1 h x)2
j1(x)(12xj1 h x)x ( hxj)2
j(x)(xxj)(xj1 hx)2 j1(x)(xxj1)(x hxj)2
(2) S'j (xj) = S'j+1 (xj) ( j = 1,···,n-1)
(3) S''j (xj) = S''j+1 (xj) ( j = 1,···,n-1) 则称 S(x)为三次样条插值函数。
三次样条插值函数满足的连续条件: (1) S(xj–)= S(xj+) ( j = 1,···,n-1) 连续 (2) S' (xj–)= S'(xj+) ( j = 1,···,n-1)导数连续 (3) S'' (xj–)= S'' (xj+) ( j = 1,···,n-1)二阶导数连续
例 5.7 已知f(–1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1。构造分段三次多项式是满足自然边界的样条函数。
证:显然 求导数得
S(x)
1212x3x3 23
x2, 3 x2, 2
x[1, 0] x[0,1]
S(1) 1 S(1) 1 S(0)S(0)0
S(x)
显然
3 2
x2
3x,
x[1,
设 f(x) 在各插值节点 xj 处的一阶导数为 mj
取 xj+1 – xj = h，( j = 0,1,2,···,n-1)。当 x∈[xj, xj+ 1]时, 分段三次Hermite插值
Sj(x)(12x hxj)(xj1 h x)2yj(12xj1 h x)(x hxj)2yj1 (xxj)(xj1 h x)2m j(xxj1)(x hxj)2m j1
j(xj)[ h3 8(xj1x)(12x hxj)h 22]xxj h 2 j1(xj)[h 83(xxj)(12xj1 hx)h 22]xxj h 62
j(xj)[h42(xxj1)(xxj)h22]xxj
4 h
j1(xj)[h42(xxj)(xxj1)h22]xxj
2 h
S(xj0)j(xj)yjj1(xj)yj1 j(xj)m j j1(xj)m j1
0]
3 2
x2
Fra Baidu bibliotek
S(1)
3x,
3
x[0, 1]
S (1)
S(x) 3x3 x 3,3x, x [[10,,01]]
3 S (0 )S (0 )0
2
2
S(1)0 S(1) 0 S (0 )S (0 )3
分段Hermite插值公式导出的样条方法
已知函数表
x
x0
f(x) y0
x1 ··· xn y1 ··· yn
插值条件: S(xj) = yj ( j = 0,1,···,n) 连续性条件: S(xj+0) =S(xj–0) ( j = 1,···,n-1)
S'(xj+0) =S' (xj–0) ( j = 1,···,n-1) S'' (xj+0) =S' ' (xj–0) ( j = 1,···,n-1)
品味
当x∈[xj , xj+ 1] ( j= 0,1,…n-1 )时
Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3 取 xj+1 – xj = h，( j = 0,1,2,···,n-1)。 当 x∈[xj, xj+ 1]时, 分段Hermite插值
Sj(x)(12x hxj)(xj1 h x)2yj(12xj1 h x)(x hxj)2yj1 (xxj)(xj1 h x)2m j(xxj1)(x hxj)2m j1
方程数少于未知数个数 ？？
(1)自然边界条件: S'' (x0)=0, S'' (xn)=0
(2)周期边界条件: S'(x0)=S'(xn), S''(x0)=S'' (xn) (3)反射边界条件: S''(x0)=S''(x1), S''(xn-1)=S'' (xn) (4) 固定边界条件: S'(x0)=f '(x0), S'(xn)=f'(xn)
S (x j 0 ) h 6 2y j h 6 2y j 1 h 4 m j h 2 m j 1
S (x j 0 ) h 6 2y j h 6 2y j 1 h 4 m j h 2 m j 1
同理有
S (x j 0 )h 6 2yj 1h 6 2yjh 2m j 1h 4m j
联立得
6 6 42
回顾1:
若 xl im x0f(x)f(x0),则 称 函 数 在 x0左 连 续 ; 若 xl im x0+f(x)f(x0),则 称 函 数 在 x0右 连 续 。
n个三次多项式, 待定系数共4n个！ 当x∈[xj , xj+ 1] ( j= 0,1,…n-1 )时
Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3
S(xj0)S(xj0) h2h 6 y 2jy j h 12yh j6 2 1 yjh m h 2jm h j1 m jh 4 1m j
3
m j14m jm j1h(yj1yj1)
( j=1, 2, ······, n-1 )
设自然边界条件成立即
S (x 0 0 ) h 6 2y 0 h 6 2y 1 h 4 m 0 h 2 m 1 0
数值分析总结
多项式插值是一个极端, 它可以进行无限次的微分, 但它通常不能保持给定数据所描述的形状, 特别是在 端点附近。分段线性插值是另一个极端, 它几乎没有任何光滑性。它连续但一阶导数存在跳变。另一方面它 保持了给定数据的局部单调性。
是否可以在光滑性和局部单调性之间折衷呢?
定义 5.4 给定区间[a , b]上的一个分划: 已知 f(xj) = yj (j = 0,1,···,n), 如果
a = x0 < x1 < … < xn = b
S1( x),x [x0, x1]
S(x)
S2( x), x [x1, x2]
Sn( x),x [xn1,xn ]
S(x) 为在 [xj,xj+1]的三次多项式满足:
(1) Sj (xj-1) = yj-1 , Sj (xj) = yj , ( j = 1,···,n)
未知数个数 (n+1)！！
由S ''(x)连续,有等式 S''(xj + 0)=S''(xj – 0)
当 x∈[xj , xj+1]时, S(x) 由基函数组合而成
j(x)(12x hxj)x (j1 h x)2
j1(x)(12xj1 h x)x ( hxj)2
j(x)(xxj)(xj1 hx)2 j1(x)(xxj1)(x hxj)2
(2) S'j (xj) = S'j+1 (xj) ( j = 1,···,n-1)
(3) S''j (xj) = S''j+1 (xj) ( j = 1,···,n-1) 则称 S(x)为三次样条插值函数。
三次样条插值函数满足的连续条件: (1) S(xj–)= S(xj+) ( j = 1,···,n-1) 连续 (2) S' (xj–)= S'(xj+) ( j = 1,···,n-1)导数连续 (3) S'' (xj–)= S'' (xj+) ( j = 1,···,n-1)二阶导数连续
例 5.7 已知f(–1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1。构造分段三次多项式是满足自然边界的样条函数。
证:显然 求导数得
S(x)
1212x3x3 23
x2, 3 x2, 2
x[1, 0] x[0,1]
S(1) 1 S(1) 1 S(0)S(0)0
S(x)
显然
3 2
x2
3x,
x[1,
设 f(x) 在各插值节点 xj 处的一阶导数为 mj
取 xj+1 – xj = h，( j = 0,1,2,···,n-1)。当 x∈[xj, xj+ 1]时, 分段三次Hermite插值
Sj(x)(12x hxj)(xj1 h x)2yj(12xj1 h x)(x hxj)2yj1 (xxj)(xj1 h x)2m j(xxj1)(x hxj)2m j1
j(xj)[ h3 8(xj1x)(12x hxj)h 22]xxj h 2 j1(xj)[h 83(xxj)(12xj1 hx)h 22]xxj h 62
j(xj)[h42(xxj1)(xxj)h22]xxj
4 h
j1(xj)[h42(xxj)(xxj1)h22]xxj
2 h
S(xj0)j(xj)yjj1(xj)yj1 j(xj)m j j1(xj)m j1
0]
3 2
x2
Fra Baidu bibliotek
S(1)
3x,
3
x[0, 1]
S (1)
S(x) 3x3 x 3,3x, x [[10,,01]]
3 S (0 )S (0 )0
2
2
S(1)0 S(1) 0 S (0 )S (0 )3
分段Hermite插值公式导出的样条方法
已知函数表
x
x0
f(x) y0
x1 ··· xn y1 ··· yn
插值条件: S(xj) = yj ( j = 0,1,···,n) 连续性条件: S(xj+0) =S(xj–0) ( j = 1,···,n-1)
S'(xj+0) =S' (xj–0) ( j = 1,···,n-1) S'' (xj+0) =S' ' (xj–0) ( j = 1,···,n-1)
品味
当x∈[xj , xj+ 1] ( j= 0,1,…n-1 )时
Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3 取 xj+1 – xj = h，( j = 0,1,2,···,n-1)。 当 x∈[xj, xj+ 1]时, 分段Hermite插值
Sj(x)(12x hxj)(xj1 h x)2yj(12xj1 h x)(x hxj)2yj1 (xxj)(xj1 h x)2m j(xxj1)(x hxj)2m j1