高一数学-集合(讲义)

高一数学集合

【知识要点】

一、集合的含义及其表示

1、一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的性质：

（1）确定性：

班级中成绩好的同学构成一个集合吗？

（2）无序性：

班级位置调换一下，这个集合发生变化了吗？

（3）互异性：

集合中任意两个元素是不相同的。

如：已知集合A ＝{1，2，a}，则a 应满足什么条件？

常用数集及记法

（1）自然数集：记作N （2）正整数集：记作*N N +或 （3）整数集：记作Z （4）有理数集：记作Q （5）实数集：记作R

例：下列各种说法中，各自所表述的对象是否确定，为什么？

（1）我们班的全体学生； （2）我们班的高个子学生； （3）地球上的四大洋； （4）方程x 2－1＝0的解； （5）不等式2x －3>0的解； （6）直角三角形； 2、集合的表示法

（1）列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：{…}

（2）描述法：将集合的所有元素都具有的 性质（满足的条件）表示出来，写成{x| P （x ）}的形式。

如：{x ︱x 为中国的直辖市}

（3）集合的分类：有限集与无限集 <1>有限集：含有有限个元素的集合。

<2>无限集：若一个集合不是有限集，就称此集合为无限集。 <3>空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如： 二、子集、全集、补集

1、子集的定义：如果集合A 的任一个元素都在集合B 中 则称集合A 为集合B 的子集，记作：A ⊆B B A ⊇或

特别的：A A

A ⊆∅⊆ 真子集的定义：如果A ⊆

B 并且B A ≠，则称集合A 为集合B 的真子集。 2、补集的定义：设A 为S 的子集，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记作：A

C S ＝{x ∣x ∈S 且x ∉A}，如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，就把S 称为全集。 三、交集与并集的定义

1、定义：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集；记作：A ∩B ；由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集；记作：

A ∪

B 。

性质：

（1）B B A A B A A B B A ⊆⋂⊆⋂⋂=⋂，， （2）若B A ⊆，则A B A =⋂

（3）B A B B A A A B B A ⋃⊆⋃⊆⋃=⋃，， （4）若，A B ⊆则A B A =⋃

（5）A A U C ⋃

归纳：

1）交集：两集合的公共元素构成集合。

2）并集：把两个集合合在一起，但要注意元素的互异性。

3）基本方法：抽象的集合关系可用文恩图表示，实数集中的运算可在数轴上表示。 注意点：空集是任何集合的子集；空集与任何集合的交集仍为空集。 【典型例题】

例1. （1）若U ＝Z ，A ＝{x|x ＝2k ，k ∈Z}

B ＝{x| x ＝2k ＋1，k ∈Z}，则

C U A ＝ 。C U B ＝ 。 （2）设S ＝R ，A ＝{x ∣－1

例2. （1）试写出集合A ＝{a ，b ，c}的所有子集；

（2）已知A ＝{x ∣x

例3. 不等式组⎩

⎨⎧≤->-0630

12x x 的解集为A ，R U =，试求A 及A U C ，并把它们分别表示在数

轴上。

例4. 设}1|{},0|{≤=>=x x B x x A ，求B A 和B A 。

【集合易错点分析】 易错点一 遗忘空集致误

例题1 已知集合{}3,2-A =，集合B=﹛x|mx+1=0,R m ∈﹜且A B ⊆,则实数m 的取值集合是（ ）

心得：空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 变式练习

{}{}|25,|121,,A x x B x m x m B A =-≤≤=+≤≤-⊆-----已知若则m 的取值范围是

易错点二 集合运算混乱

例题2{}{}|0|1,()()R A x x B x x A

C B B C A ==>=≤-=已知，则( )

A ∅

B {}|0x x ≤

C {}|1x x >-

D {}|0,1x x x >≤- 心得：集合运算的规律： 1交集{}|A B x x A x B =∈∈且 2并集{}|A B x x A x B =∈∈或

3补集：

{}(1)B ,|,, (2),,,C B x x B x AB

A A A A A A A A

⊆=∈∉

∅=∅∅===若则且

(3),(4)()()(),()()()

A B A A B A B A A B C A B C A C B C A B C A C B =⇔⊇=⇔⊆==变式练习：

已知集合{}

2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈,{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A

B ≠∅,求实数m 的取值范围。

心得：数集和点集的问题。在解决以集合为背景的综合性问题时，明确集合的意义是解决问题的先决条件，现在接触的集合是“数集（各种约定的数集，方程的解集，不等式的解集，函数的定义域，值域等）”和“点集（函数的图像、直线、曲线、平面区域等）”本题的集合是点集，明确这点就可以脱去“集合”的外衣实现问题的转化，找到解决问题的途径，不至于掉进集合这个陷阱而出错。 易错点三：忽视集合的三性致误 例题3设集合{}{}2

1,3,,1,A a B a ==，

问是否存在这样的实数a ，使得{}

21,,A B a a =与{}1,A

B a =同时成立？求出实数a;若不存在说明理由。

心得：集合中元素具有确定性，无序性，互异性，它们对解题影响很大， 遇到有参数的题别忘了检验参数的值是不是满足题意。 【集合中的数学思想】 一、数形结合思想 例1 集合},1)()(|),{(22R a a y a x y x A ∈≤-+-=，}2|||||),{(≤+=y x y x B ，a 为何实数时，B A ⋂表示的平面区域的面积最大？ 解析：集合A 表示的平面区域是圆心为（a ，a ）、半径为1的圆及其内部，其位置由实数a 唯一确定。集合B 表示的平面区域是以四个点（2，0）、（0，2）、（2-，0）和（0，2-）为顶点的正方形及其内部。

2

2

2-

2

-

y x

点评：看似无从下手的一道综合题，通过采用数形结合的思想，便迎刃而解了。运用数形结合思想时，要特别注意端点值，做到准确无误。

二、分类讨论思想 例2 集合{}

0103|2≤--=x x x A 与集合{}121|-≤≤+=m x m x B ，满足A B ⊆，求

实数m 的取值范围。 解析：由A B ⊆可知B 有两种情况：其一，B 为非空集合，且B 中所有元素均为A 中