九年级数学上册 《比例线段》(上海教育版)
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24.2比例线段 （2）
下面是四个国家的国旗.
中华人民共和国
朝鲜
新西兰
新加坡
请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段 ，其中AP是AB和PB的比例中项， 求线段AP的长。
解：如图，线段AB的长度是
PB AP AP AB
l
点 P为线段AB上的一点， ，
，求线段AP的长
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段，
其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割 为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点AP与 AB的比值为
5 1 ，大约为0.618，这个比值称做 2
黄金分割数（简称黄金数）. 问题 线段AB有没有除点P以外的黄金分割点呢？
若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐， 即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身 的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有 一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有 0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见 ，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美 感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋 ，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达 哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中， 其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身 和下半身的比率正是0.618.
• 五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有 五颗，还有不少国家的国旗也用五角星， 这是为什么？因为在五角星中可以找到的 所有线段之间的长度关系都是符合黄金分 割比的。正五边形对角线连满后出现的所 有三角形，都是黄金分割三角形。
问题二 下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用. 请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？
因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力 的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时 候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画 面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们 发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的 地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布 你们知道这是为什么吗？ 在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影 理论里把这4个点称为“趣味中心”.
问题三 同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割， 事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现 象.请同学们在下面十个矩形中找出你看起来最和谐 的矩形.
① ④ ⑦ ② ⑤ ⑧ ③ ⑥
⑨
⑩
结论：矩形的宽与长的比为黄金比，这 样的矩形称之为黄金矩形.
古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他 们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形 状，其中最著名的就是巴特农神庙.
• 黄金分割的题型 • （1） 若点P称为线段AB的黄金分割点，则 5 1 • AP与AB的比值为 2 ， .反之，成立。
称为“黄金分割数”或简称“黄金数”， 它的倒数为 ，称为黄金比。
5 1 2
（2）简单应用 • 例：1、已知线段AB ＝10cm，点 C是AB 的黄金分割点，且 AC>CB,求AC和CD的长 。 • 解析）一条线段被一点黄金分割，要弄清 哪条线段是全长线段与另一条线段的比例 中项。这里应该是 AC是CB 和AB的比例中 项，或者说AC是 AB的 。因为已知AB的 5 1 2 所以不难求出AC和CB 的长了。
（3）由于一条线段有两个黄金分割点，所以 存在分类讨论。（利用线段上的两个黄金 分割点，可以作出正五角星，正五边形 等。）
• （4）拓展 • 1、黄金分割作法：作一条线段的黄金分割 点． • 已知线段AB，按照如下方法作图： • (1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝ 1/2 AB． • (2)连接AD，在DA上截取DE＝DB． • (3)在AB上截取AC＝AE，则点C为线段AB 的黄金分割点．
• 2、 黄金三角形 • 所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰 与底的长度比为黄金比值；对应的还有： 黄金矩形等。 • 黄金三角形的分类 黄金三角形分两种： • 一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶 角为36°；这种三角形既美观又标准。这 样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比 ：(√5-1)/2.
•
另一种也是等腰三角形，两个底角为 36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底 边之长之比为黄金比：(√5-1)/2.
黄金矩形
黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比 为黄金分割率,换言之,矩形的长边为短边 1. 618倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带 来美感,令人愉悦.在很多艺术品以及大自然 中都能找到它.希腊雅典的帕撒神农庙就是 一个很好的例子,达芬奇的<维特鲁威人>符 合黄金矩形.<蒙娜丽莎>的脸也符合黄金矩 形,<最后的晚餐>同样也应用了该比例布局. • 黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之 比确切值为(√5＋1)/2
• 例：已知黄金矩形ABCD（AB>AD)内，以 短边AD为一边作正方形 AEFD,四边形 EBCF是不是黄金矩形？
D
F
C
A
E
B
例二：已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、 SAOD SBOC D BD交于点 C O， 求证：DO CO
OB OA
A O B
一题多变：将“ ”换成“DC//AB”，其他条件不 变，能证明原来的结论正确吗？
下面是四个国家的国旗.
中华人民共和国
朝鲜
新西兰
新加坡
请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段 ，其中AP是AB和PB的比例中项， 求线段AP的长。
解：如图，线段AB的长度是
PB AP AP AB
l
点 P为线段AB上的一点， ，
，求线段AP的长
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段，
其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割 为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点AP与 AB的比值为
5 1 ，大约为0.618，这个比值称做 2
黄金分割数（简称黄金数）. 问题 线段AB有没有除点P以外的黄金分割点呢？
若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐， 即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身 的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有 一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有 0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见 ，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美 感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋 ，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达 哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中， 其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身 和下半身的比率正是0.618.
• 五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有 五颗，还有不少国家的国旗也用五角星， 这是为什么？因为在五角星中可以找到的 所有线段之间的长度关系都是符合黄金分 割比的。正五边形对角线连满后出现的所 有三角形，都是黄金分割三角形。
问题二 下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用. 请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？
因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力 的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时 候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画 面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们 发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的 地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布 你们知道这是为什么吗？ 在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影 理论里把这4个点称为“趣味中心”.
问题三 同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割， 事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现 象.请同学们在下面十个矩形中找出你看起来最和谐 的矩形.
① ④ ⑦ ② ⑤ ⑧ ③ ⑥
⑨
⑩
结论：矩形的宽与长的比为黄金比，这 样的矩形称之为黄金矩形.
古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他 们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形 状，其中最著名的就是巴特农神庙.
• 黄金分割的题型 • （1） 若点P称为线段AB的黄金分割点，则 5 1 • AP与AB的比值为 2 ， .反之，成立。
称为“黄金分割数”或简称“黄金数”， 它的倒数为 ，称为黄金比。
5 1 2
（2）简单应用 • 例：1、已知线段AB ＝10cm，点 C是AB 的黄金分割点，且 AC>CB,求AC和CD的长 。 • 解析）一条线段被一点黄金分割，要弄清 哪条线段是全长线段与另一条线段的比例 中项。这里应该是 AC是CB 和AB的比例中 项，或者说AC是 AB的 。因为已知AB的 5 1 2 所以不难求出AC和CB 的长了。
（3）由于一条线段有两个黄金分割点，所以 存在分类讨论。（利用线段上的两个黄金 分割点，可以作出正五角星，正五边形 等。）
• （4）拓展 • 1、黄金分割作法：作一条线段的黄金分割 点． • 已知线段AB，按照如下方法作图： • (1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝ 1/2 AB． • (2)连接AD，在DA上截取DE＝DB． • (3)在AB上截取AC＝AE，则点C为线段AB 的黄金分割点．
• 2、 黄金三角形 • 所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰 与底的长度比为黄金比值；对应的还有： 黄金矩形等。 • 黄金三角形的分类 黄金三角形分两种： • 一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶 角为36°；这种三角形既美观又标准。这 样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比 ：(√5-1)/2.
•
另一种也是等腰三角形，两个底角为 36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底 边之长之比为黄金比：(√5-1)/2.
黄金矩形
黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比 为黄金分割率,换言之,矩形的长边为短边 1. 618倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带 来美感,令人愉悦.在很多艺术品以及大自然 中都能找到它.希腊雅典的帕撒神农庙就是 一个很好的例子,达芬奇的<维特鲁威人>符 合黄金矩形.<蒙娜丽莎>的脸也符合黄金矩 形,<最后的晚餐>同样也应用了该比例布局. • 黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之 比确切值为(√5＋1)/2
• 例：已知黄金矩形ABCD（AB>AD)内，以 短边AD为一边作正方形 AEFD,四边形 EBCF是不是黄金矩形？
D
F
C
A
E
B
例二：已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、 SAOD SBOC D BD交于点 C O， 求证：DO CO
OB OA
A O B
一题多变：将“ ”换成“DC//AB”，其他条件不 变，能证明原来的结论正确吗？