九年级数学上册 《比例线段》(上海教育版)
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.2 比例线段-黄金分割 课件
比例的等比性质：
如果
a
,b
c d
k
(b,
d
0)
那么
ac a c _b___d___b____d_.
k
a k b a kb
c k d c kd
a c kb kd k bc bd
例1 在梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，SAOD
SBOC ，求证：
DO OB
CO OA
想一想：将条件 SAOD SBOC 换成DC//AB，其它条 件不变，能证明原来的结论正确吗？
AC AD
1.如图，在△ ABC中，点D、E分别在AB、AC
上，且 AD AE
DB EC
.已知S △ ADE=1，S △ DBC=12，
求S △ ABC.
H
3.已知四条线段长分别为1厘米， 2 厘米，2厘米，
x厘米，它们是成比例线段，则x=
厘米.
例2 如图，线段AB的长度为l，点P是线段AB上一 点， PB AP (线段AP是PB、AB的比例中项）,
我们做过调查，如果市场上有的电视频主要 有两种，一种是宽:长为3∶4的，另一种是 9∶16的.这两个比值都很接近0.618，也就 是因为黄金矩形是最美的.
画家们发现，按 0.618∶1来设计腿长与 身高的比例，画出的人 体身材最优美，
现今的女性，腰身以下 的长度平均只占身高的 0.58，因此古希腊维纳 斯女塑像及太阳神阿波 罗的形象都通过故意延 长双腿，使之与身高的 比值为0.618，
B P1
∵点P1称为AB的 黄金分割点 （点P1靠近B）
P1B AP1 5 1 0.618 (黄金数) AP1 AB 2
∵点P2称为AB的 黄金分割点 （点P2靠近B）
沪科版数学九年级上册22.1比例线段(第1课时)教学ppt
新课讲解
如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四
边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD，EF，
EH的长度分别是多少？分别计算
值.
AB , AD , AB , EF
EF EH AD EH
答案：AB=8，AD= 2 1，0 EF= 1，0 EH=4
AB 8 , AD 10 , AB 4 , EF 10 EF 10 EH 2 AD 10 EH 4
例题分析
例 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m，按照
图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且
使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽
的比相同，即
,那么a的AA值D E应当AA是D B多少？
灿若寒星
例题分析
1
解：A根E据题A意D 可知，AB=a3 m，AE= am
，AADD =1m.A B
相等、对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多 边相形似。比概念： 相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
S
如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形 ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1,其中 AB:A1B1的值就是相似比.
注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于”
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
比例线段（1）
新课引入
请找出形状相同的图形.
D
E
F
A
B
C
灿若寒星
新课引入
实际生活中我们经常会看到许多形状相同的图形。
灿若寒星
新课引入
如图，用同一张底片洗出的不同尺寸的照片中，汽 车的形状还相同吗？
灿若寒星
新课引入
沪教版初中数学九年级第一学期 比例线段 课件 优秀课件资料
应用实例
• 黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值， 这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例。
• 画家们发现，按0.618:1来设计的比例，画出的画最优美，在达·芬奇的 作品《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》、还有《最后的晚餐》中都运用了 黄金分割。而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此 古希腊的著名雕像断臂维纳斯及太阳神阿波罗都通过故意延长双腿，使 之与身高的比值为0.618。建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃 及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，希 腊雅典的巴特农神庙，都有黄金分割的足迹。
二、不想认命，就去拼命！相信付出就会有收获，或大或小，或迟或早，所有的梦想，始终不会辜负你的努力！有一种落差是，你总是羡慕别 人的成功，自己却不敢开始！
9、人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，咱们应当在这过程中，学习稳定冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 四、涓滴之水终可以磨损大石，不是由于它力量强大，而是由于昼夜不舍的滴坠。
思考：
线段AB的长为L，点P是线段AB上的一点，若满足
BP AP
AAPB，
的值。
AB
A
P
B
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>BP）两段， 其中AP是AB和BP的比例中项，那么称这种分割为 黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点。
AP与AB的比值
沪科版九年级数学上册22.比例线段课件
a
记做：b
(或a
:
b)
注意： (1)单位要统一； (2)两条线段的比值是一个没有单位的正数； (3)明确两条线段的先后顺序.
1.在比例尺为1:2000的地图上，有相距3.5cm的A、B 两地，则A、B两地间的实际距离为 7000cm.
6
引导探究
做一做：设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形 EFGH的顶点都在格点上，计算 AB , AD , AB , EF 的值，
EF EH AD EH
你发现了什么？
C
D
G
2 10
H
10
A
8
BE
4F
7
引导探究
成比例线段
四条线段a, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，
即 a c ，那么这四条线段a , b ,c , d叫作成比例线段， bd
简称比例线段.
AB，EF，AD，EH是成比例线段， AB，AD，EF，EH也是成比例线段.
9
引导探究
特殊情况：若作为比例内项的两条线段相等，即
a:b=b:c，则b叫做a,c的比例中项.
4 3.(1)若c是a、b的比例中项，且a＝2，b＝8，则c＝
；
(2)若线段c是线段a、b的比例中项，且a＝2， b＝8，则c＝ 4 ；
方法指点：注意区分线段的比例中项与பைடு நூலகம்字的比例 中项的区分
变式：若b:c=3:2,且c是b和a的比例中项， 则a:c的值是 2：3 .
注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！
8
引导探究
相关概念
如果 a c 或 a：b=c：d，
bd
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， a、d 叫做比例外项， b、c 叫做比例内项， d 叫做 a、b、c的第四比例项.
沪科版数学九年级上册《比例线段》教学设计1
沪科版数学九年级上册《比例线段》教学设计1一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册的一章内容。
本章主要引导学生探究比例线段的特点和性质，通过比例线段的理解和运用，培养学生对几何图形的认识和解决实际问题的能力。
本章内容包括比例线段的定义、比例线段的性质、比例线段的应用等。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何图形的认识和基本运算能力，对于比例的概念也有了一定的理解。
但是，对于比例线段的定义和性质可能还比较模糊，需要通过具体的例子和操作来加深理解。
同时，学生可能对于比例线段在实际问题中的应用还比较陌生，需要通过练习来培养解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解比例线段的定义和性质，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的决心。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。
2.难点：比例线段在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导发现法：通过提问和引导学生自主探究，发现比例线段的性质和应用。
2.实例分析法：通过具体的例子，让学生理解和运用比例线段。
3.小组合作法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，用于展示和引导学生思考。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教具：准备一些实际的线段模型，用于直观地展示比例线段的特点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾比例的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）利用课件展示比例线段的定义和性质，让学生初步了解比例线段的概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，通过实际的线段模型和计算，探究比例线段的性质。
4.巩固（10分钟）利用练习题让学生巩固比例线段的性质，并及时给予解答和指导。
24.2比例线段(一)-沪教版(上海)九年级数学上册课件(共26张PPT)
3、等比性质： 如果 a c m (b d n 0) ，
bd
n
那么 a c m a . bd n b
5. 如图，已知
AB AD
AC AE
BC DE
3 2
，
求△ABC与△ADE的周长比。
解：
E A
∵
D 由等比性质得
∴
B
C
答：△ABC与△ADE的周长比为 。
比例线段的概念
在四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比，那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例 的线段，简称比例线段.
AB+BC+AC 3 ∴ A'B'+B'C' +A'C' = 5 (等比性质)
∵ A'B'+B'C'+A'C'=50
3 ∴ AB+BC+AC=5 ×50=30(cm)
1.判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
解
（1） ∵ a 4 2
c 51 ，
b 6 3 d 10 2
24.2 比例线段（一）
比例线段
在四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和
d 的比，那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例的线段，简
称比例线段.
内项
外项 内项
ac bd
内项 a ：b = c ：d.
外项
a、b、c 的 第四比例项
外项 如果作为比例内项的是两条相等的线段即
ab
=
(b+d+…n)k b+d+…n
沪教版 九年级数学 比例线段
ABCDDF NP比例线段课前测试【题目】课前测试如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ． 在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ．以AF 为边作正方形AMCF ，点M 在AD 上。
（1）求线段AM 、DM 的长； （2）求证：2AM AD DM =⋅； （3）请指出图中的黄金分割点． 【答案】（1）51AM =-，35DM =-；（2）2AM AD DM =⋅（3）M 是线段AD 的黄金分割点,A 是线段BF 的黄金分割点【解析】（1）P 是AB 的中点，2AB =，可知1AP =，根据勾股定理得：225PD AD AP =+=，则5PF PD ==，51AM AF PF AP ==-=-，35DM AD AM =-=-； （2）证明：()()2251625235AM AD DM =-=-=⨯-=⋅，即证；（3）根据定义可知M 是线段AD 的黄金分割点，类似的，我们可以得到24AB BF AF =⋅=，可知A 是线段BF 的黄金分割点总结: 考查黄金比的综合应用，黄金分割题目中容易出现别的黄金分割． 【难度】3【题目】课前测试 已知实数a 、b 、c 满足b c c a a b a b c +++==，求b ca+的值． 【答案】2或1- 【解析】当0a b c ++≠时，根据比例的等比性质，可得2b c b c c a a ba ab c++++++==++； 当0a b c ++=时，则有b c a +=-，由此1b c a a a+-==-． 故b ca+的值为2或1-． 总结：考查比例的等比性质，注意等比性质在实数运算中运用的条件，要根据分母是否为0进行分类讨论． 【难度】4知识定位适用范围：沪教版 ，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习．适用对象：成绩中等以及中等以下注意事项：大部分学生试听这个内容主要想听比例线段 重点选讲：① 比例线段的概念 ② 比例线段的性质 ③ 黄金分割知识梳理知识梳理1：比例线段的概念1. 比和比值一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或ab）其中0b ≠。
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第2课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。
比例线段是初中数学中的重要概念，它在解决实际问题和进一步学习几何中起着重要作用。
本节内容通过讲解和实例分析，使学生掌握比例线段的性质和应用，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对线段、比例等概念有一定的了解。
但学生在理解和运用比例线段方面还存在一定的困难，需要通过实例分析和练习来进一步巩固。
此外，学生对几何图形的直观认识和空间想象能力还有待提高，需要在教学过程中给予引导和培养。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握比例线段的定义、性质和应用，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过实例分析、合作交流和动手操作，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义、性质和应用。
2.难点：比例线段的性质的证明和运用。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导和讨论，激发学生的思维，培养学生的解决问题的能力。
2.实例分析：通过具体的例子，使学生理解比例线段的定义和性质。
3.合作交流：鼓励学生之间相互讨论、合作，共同解决问题。
4.动手操作：让学生通过实际操作，加深对比例线段的理解。
六. 教学准备1.教学PPT：制作详细的PPT，展示比例线段的定义、性质和应用。
2.实例材料：准备一些实际的例子，用于讲解和分析比例线段。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入比例线段的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解比例线段的定义、性质和应用，结合实例进行分析，让学生直观地理解比例线段的概念。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，合作解决一些关于比例线段的练习题，巩固所学内容。
沪科版九年级上册2比例线段课件(共28张)
BD EC
C
知识讲授
课堂小结
a
c
一般地,如果四条线段a,b,c,d中，a与b的比等于c与d的比．即
，
b
d
那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
线段a、d叫做比例外项，
线段b、c叫做比例内项
相同
2.形状 ________的图形叫类似形；两个图形类似，其中一个图形可以
缩小
放大
看作由另一个图形的________或
________而得到的.
3.判断下列命题是否正确。错误的，举出反例；
正确的，用定义加以说明：
⑴所有的等腰三角形都类似;
⑵所有的等边三角形都类似;
⑶所有的直角三角形都类似;
⑷所有的等腰直角三角形都类似.
A
D
E
20m
H
矩形ABCD的长为20+1+1＝22，宽为
10+1+1＝12.
10m
因为
F
B
G
C
所以矩形EFGH和矩形ABCD不类似.
随堂训练
D
1、下列说法正确的是（
）
A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片类似.
B．商店新买来的一副三角板是类似的.
C．所有的课本都是类似的.
D．国旗的五角星都是类似的.
进一步体会类比的方法． （重点）
知识讲授
知识讲授
１、设线段AB＝2cm，AC＝4cm,
1
2：4＝
两条线段的长度比是
2
2、设线段AB＝200cm，AC＝4m,
两条线段的长度比是
200：400＝
200：４＝
两条线段的长度比叫做这两条线段的比
沪科版数学九年级上册2比例线段课件
练习
AB
1.已知：如图l1∥l2∥l3，求证： DE
BC EF
AC DF
。
A
D
l1
BE
l2
FC
l3
小结 1.平行线分线段成比例定理(内容要理解)； 2.定理的形象记忆法； 3.定理的变式图形； 4.定理的初步应用。
谢谢
D
A
D
A
BNE
平移
(E) B
C
F
CF
注意：应用平行线分线段成比例定理得到的 比例式中，四条线段与两直线的交点位置无关！
2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边延长线），截得的对应线段成比例。
A
E
F
E
F
A
B
C
AE AF 等 EB FC
B
C
AB AC 等 AF AE
3.三角形内角平分线定理：
b
d
a b c d ( k 1) ;
b
d
比例的合比性质
(1)
ac bd
(2)
ac bd
可以合写成：
ab cd ;
b
d
ab cd .
b
d
a c ab cd
bd b
d
特点：分母不变，分子加(或减)分母。
例2 已知：在下图中的ΔABC中，
。
求证：1 AD AE ;
AB AC
2 AB AC AD AE
AB BC CA A1B1 B1C1 C1 A1
一般地，两个边数相同的多边形，如果它
们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么
这两个多边形叫做类似多边形。这时，对应边
长度的比叫做类似比，也叫类似系数。
《比例线段》课件1(12张PPT)(沪科版九年级上)
a b ， 2．已知： 线段a、b、c满足关系式 b c 且b＝4，那么ac＝______．
a 3 ab 3．已知 b 2 ，那么 b
a 各等于多少？ ab
、
1．判断下列各组线段是否是成比例线段： （1） 2厘米，3厘米，4厘米，1厘米； （2） 1．5厘米，2．5厘米，4．5厘米，6．5厘米； （3） 1．1厘米，2．2厘米，3．3厘米，4．4厘米； （4） 1厘米，2厘米，2厘米，4厘米．
BC BC AB ＝________，这样 与B C B C A B
AB 由下面的格点图可知， A B ＝_________，
之间有关系_______________
图 24.2.1
像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果 其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的 a c 比， 如 b d （或a∶b＝c∶d），那么，
ab cd ∴ b ． d
（2）合比性质
a c 若 b = d ,则 a+b = c+d b d
（，那么 a b c d b d
∴ ad＝bc， 在等式两边同加上ac， ∴ ad＋ac＝bc＋ac， ∴ ac－ad＝ac－bc， ∴ a（c－d）＝（a－b）c， 两边同除以（a－b）（c－d）， a c ∴ ab cd
（2）a＝2，b＝ 5 ，c＝ 2 15，d＝5 3 ．
a 2 2 5 c 2 15 2 5 （2 ） ∵ b 5 d 5 3 5 5
a c ∴ b d
，
∴
线段a、b、c、d是成比例线段．
对于成比例线段我们有下面的结论：
如果
（a、b、c、d都不等于0），那么
．
a c ，那么ad＝bc．如果ad＝bc b d a c
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》(第2课时)教学设计
沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》（第2课时）教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，本节内容是在学生已经掌握了比例的基本概念和线段的性质的基础上进行学习的。
比例线段是指在三角形中，如果一条线段是另外两条线段的比例中项，那么这条线段被称为比例线段。
本节内容主要让学生了解比例线段的定义，学会如何判断一条线段是否为比例线段，并能够运用比例线段解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，但是对于比例线段这一概念可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的例子和实际问题来引导学生理解和掌握比例线段的概念，并能够运用到解决问题中。
三. 教学目标1.让学生理解比例线段的定义，并能够判断一条线段是否为比例线段。
2.培养学生运用比例线段解决实际问题的能力。
3.培养学生合作交流的能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.比例线段的定义。
2.如何判断一条线段是否为比例线段。
3.运用比例线段解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的例子和实际问题，引导学生理解和掌握比例线段的概念。
2.合作交流法：学生在小组内合作探讨，共同解决问题，培养学生的合作交流能力。
3.练习法：通过大量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的例题和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在三角形ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，请问是否存在一条线段DE，使得DE是三角形ABC的比例线段？”让学生思考并讨论，引出比例线段的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现比例线段的定义和判断方法，并用动画或者图形展示比例线段的特点。
让学生直观地理解和掌握比例线段的概念。
上海教育版数学九年级上册24.2《比例线段》ppt课件1
说明：由上面两题可知
1.有一锐角是 30 的直角三角形中, 三边(从小到大)的比是 1: 3:2 2.等腰直角三角形中,三边(从小到 大)的比是 1:1: 2
x x
2x
x
30
3x
2x
练习4:
求等边三角形的高与边长的比 已知:等边三角形ABC A AD⊥BC于D 2x 30 3x 求: AD:AB C B x D 解: 略 AD:AB= 3:2
3.和一般的数构成的比例式不同，由线段 构成的比例式的各项均为正数。
例4 已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm . 问：这四条线段是否成比例？为什么? 答：这四条线段成比例 ∵a=10mm=1cm
a 1 = c 2 a d d 3 1 = = c=b b 6 2
挑战
已知A.B两地相距40km，问在 比例尺为1:5 000 000的地图上,A.B 两地相距多少厘米？
则： A`B`= 1
5000 000
解：设A.B两地的图上距离为A`B`
即Байду номын сангаас
A`B`
4×10 7
AB
=
1
5000 000 4×10 7 5×10
6
所以A`B`=
=8cm
答：A.B两地的图上距离是8cm.
求：图上距离与实际距离的比 (即该地图的比例尺)
解：∵ AB=250m=25000cm
A'B'=5cm
A'B' 5 1 = = AB 25000 5000
答:图上距离与实际距离的比是1:5000
(即该地图的比例尺是1:5000 )
图距 说明：比例尺= 实距
练习3. 已知:一张地图的比例尺1:32000000 量得北京到上海的图上距离大约 为3.5cm, 求北京到上海的实际距离大约 是多少km? 解: 略 答:北京到上海的实际距离大约 是1120 km
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• 黄金分割的题型 • （1） 若点P称为线段AB的黄金分割点，则 5 1 • AP与AB的比值为 2 ， .反之，成立。
称为“黄金分割数”或简称“黄金数”， 它的倒数为 ，称为黄金比。
5 1 2
（2）简单应用 • 例：1、已知线段AB ＝10cm，点 C是AB 的黄金分割点，且 AC>CB,求AC和CD的长 。 • 解析）一条线段被一点黄金分割，要弄清 哪条线段是全长线段与另一条线段的比例 中项。这里应该是 AC是CB 和AB的比例中 项，或者说AC是 AB的 。因为已知AB的 5 1 2 所以不难求出AC和CB 的长了。
• 2、 黄金三角形 • 所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰 与底的长度比为黄金比值；对应的还有： 黄金矩形等。 • 黄金三角形的分类 黄金三角形分两种： • 一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶 角为36°；这种三角形既美观又标准。这 样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比 ：(√5-1)/2.
问题三 同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割， 事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现 象.请同学们在下面十个矩形中找出你看起来最和谐 的矩形.
① ④ ⑦ ② ⑤ ⑧ ③ ⑥
⑨
⑩
结论：矩形的宽与长的比为黄金比，这 样的矩形称之为黄金矩形.
古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他 们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形 状，其中最著名的就是巴特农神庙.
• 五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有 五颗，还有不少国家的国旗也用五角星， 这是为什么？因为在五角星中可以找到的 所有线段之间的长度关系都是符合黄金分 割比的。正五边形对角线连满后出现的所 有三角形，都是黄金分割三角形。
问题二 下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用. 请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？
若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐， 即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身 的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有 一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有 0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见 ，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美 感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋 ，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达 哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中， 其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身 和下半身的比率正是0.618.
• 例：已知黄金矩形ABCD（AB>AD)内，以 短边AD为一边作正方形 AEFD,四边形 EBCF是不是黄金矩形？
D
F
C
A
E
B
例二：已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、 SAOD SBOC D BD交于点 C O， 求证：DO CO
OB OA
A O B
一题多变：将“ ”换成“DC//AB”，其他条件不 变，能证明原来的结论正确吗？
（3）由于一条线段有两个黄金分割点，所以 存在分类讨论。（利用线段上的两个黄金 分割点，可以作出正五角星，正五边形 等。）
• （4）拓展 • 1、黄金分割作法：作一条线段的黄金分割 点． • 已知线段AB，按照如下方法作图： • (1)经过点B作BD⊥AB，使BD＝ 1/2 AB． • (2)连接AD，在DA上截取DE＝DB． • (3)在AB上截取AC＝AE，则点C为线段AB 的黄金分割点．
24.2比例线段 （2）
下面是四个国家的国旗.
中华人民共和国
朝鲜
新西兰
新加坡
请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段 ，其中AP是AB和PB的比例中项， 求线段AP的长。
解：如图，线段AB的长度是
PB AP AP AB
l
点 P为线段AB上的一点， ，
，求线段AP的长
如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP>PB）两段，
其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割 为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点AP与 AB的比值为
5 1 ，大约为0.618，这个比值称做 2
黄金分割数（简称黄金数）. 问题 线段AB有没有除点P以外的黄金分割点呢？
因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力 的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时 候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画 面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们 发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的 地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布 你们知道这是为什么吗？ 在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影 理论里把这4个点称为“趣味中心”.
•
另一种也是等腰三角形，两个底角为 36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底 边之长之比为黄金比：(√5-1)/2.
黄金矩形
黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之比 为黄金分割率,换言之,矩形的长边为短边 1. 618倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带 来美感,令人愉悦.在很多艺术品以及大的例子,达芬奇的<维特鲁威人>符 合黄金矩形.<蒙娜丽莎>的脸也符合黄金矩 形,<最后的晚餐>同样也应用了该比例布局. • 黄金矩形(Golden Rectangle)的长宽之 比确切值为(√5＋1)/2