量子力学期中考试试题

量子力学期中考试试题

物理常数：光速：8

1

2.99810c m s -=⨯⋅；普朗克常数：34

6.62610

h J s -=⨯⋅；玻尔兹曼常数：

231.38110/B k J K -=⨯；电子质量：319.10910e m kg -=⨯；碳原子质量：2612 2.00710C m u kg -==⨯；电子电荷：19

1.60210

e C -=⨯

一、填空题：

1、 量子力学的基本特征是 。

2、 波函数的性质是 。

3、1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长： （保留1位有效数字）；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长：_______________（保留2位有效数字）。

4.一粒子用波函数Φ(,)

rt 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。 5、线性谐振子的零点能为 。 6、厄密算符的本征值必为 。 7、氢原子能级n =5

的简并度为 。 8、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。 9、测不准关系反映了微观粒子的 。

10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。

11. 通常把 称为束缚态。

12. 波函数满足的三个基本条件是： 。 13.一维线性谐振子的本征能量与相应的本征函数分别为： 14．两力学量对易的说明： 。 15. 坐标与动量的不确定关系是： 。 16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。 17. 何谓定态： 。 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。

3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在立体角Ωd 中被测到的几率。

4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。

5. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=

，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱

⎩⎨

⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(c

z b y a x z y x V

中粒子的能级和波函数。

8. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱

⎩⎨

⎧><∞<<=a x x a

x x V 2,0,20,

0)(

中运动，写出其状态波函数和能级表达式。

9. 何谓几率流密度？写出几率流密度）（t r j ,

的表达式。

10. 写出在z σ

表象中的泡利矩阵。 11. 电子自旋假设的两个要点。 12.

）

（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？

13. 写出电子自旋

z

s 的二本征态和本征值。

14. 给出如下对易关系：

[][][][][][]?

,?,?

,?,?,?,2

======y

z

y

x

x

z

y

x

y s s L L L L p z p y σσ

16. 完全描述电子运动的旋量波函数为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2/,()2/,(),(

r r s r z ψψψ， 准确叙述 2)2/,( r ψ及 23

)2/,(⎰

- r r d ψ分别表示什么样的物理意义。

18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量H 有什么样的要求？

22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：

∑=n

n n x c x )

()(ψψ，

写出展开式系数

n c 的表达式。

24. 一维运动中，哈密顿量 )

(x V m p H +2=2

，求[][]?

,?

,==H p H x

25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？

27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p

ˆ之间的测不准关系。 28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？

29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

二、计算题：

1、利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123

T J 10923.0--⋅⨯=B μ，

求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。

2. .证明在定态中，几率流与时间无关。

3. 一粒子在一维势场 ⎪⎩

⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00

)(中运动，