博弈论各章节课后习题答案 (2)

q
* i
=0，p*=c，
说明此时各厂商的产品价格等于边际成本，这时的市场已是完全竞争市场。
9. 对于下列的威慑进入博弈，首先计算垄断情况下的产量与价格组合，再计算存在竞争的
情况下两企业的产量与价格组合，并对这两种情况下的结果作比较分析。假定进入者相信垄
断在位者在随后的阶段将会维持它的产量水平。市场需求曲线由方程 p=10-2Q 给出，其中 p
（1）
( q1*, q*2,⋯, q*n )组成该博弈的纯策略纳什均衡点。
2
∑ 式（1）两边同时求和，可得：
n
q*i
=
Q*
=
n(a
−
c
−
Q* )
，于是
Q*
=
n (a n +1
−
c)
，
i =1
q*
=
a
−c
−
Q*
=
a−c n +1
，此时
p*=a-Q*=
a + nc n +1
，当
n
趋于无群大时，有
Q*=a-c,
3 2
。
若进入者不进入，则 q2=0。
π1
=
(10
−
2q1)q1
−
1 2
−
4q1
由
∂π1 ∂q1
= 10 − 4q1
−4
=
0得
q1=
3 2
，则相应地有
p=7,
π1=4。
如果垄断在位者进行威慑，由以上分析可知，如果两者都生产，则最大产量为 2。所以
垄断在位者采取威慑为永远取产量为 2，此时，若进入者进入，均衡分析如下：
z
5
β2
3
3
β1
v
1
0
β3 -3
x∗
1x
-1
由图可知，纳什均衡点与β1
无关，所以原问题化为新的
2*2
矩阵博弈：
⎡− 1 ⎢⎣ 5
3⎤ − 3⎥⎦
由公式计算得： x* = 2 , y* = 1 , v = 1 。
3
2
所以该博弈的纳什均衡点为（（2/3，1/3），（ 0，1/2，1/2）），博弈 的值 为 1。
12. 证明教材中定理 2.4.6。
证明:设矩阵博弈 G1 的纳什均衡为(X*,Y*),其中 X*=(x1,x2,…,xm),Y*=(y1,y2,…,yn),由纳什均衡
mn
mn
mn
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 的定义,有 XA1Y* ≤ X*A1Y* ≤ X*A1Y ,即
aijxi y*j ≤
aijx*i y*j ≤
所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点(开发,不开发)和(不开发,开发)。
该博弈还有一个混合的纳什均衡(( 10 , 1 ),( 10 , 1 ))。 11 11 11 11
如果乙企业所在国政府对企业开发新产品补贴 a 个单位,则收益矩阵变为：
⎡−10,−10 + a ⎢⎣ 0,100 + a
100,0⎤ 0,0 ⎥⎦
− 3s1s2 。试求出最优反应函数，并求出均衡点。
解：令
∂P1 (s) ∂s1
=
0
,
∂P2 (s) ∂s2
=
0
，得最优反应函数： s1
=
5 4
s2
+ 10, s2
=
−
3 2
s1
+
25
由此进一步可求得
s1
=
330 23 , s2
=
80 23
，它们在题设要求的可行域内,所以均衡点为
（330/23,80/23）。
是市场价格，Q
是总的市场产量。假定在位者和进入者有相同的总成本函数
TCi=
1 2
+4qi，其
中 i=1,2 分别表示在位者和进入者。
解：设垄断在位者的产量策略为 q1，价格为 p1；进入者的产量为 q2，价格为 p2。其利 润分别为：π1,π2。
先讨论垄断在位者不威慑的情形。
若进入者进入，各自利润为
第二章 完全信息的静态博弈和纳什均衡
1. 什么是纳什均衡? （见教材）
2. 剔除以下规范式博弈中的严格劣策略，再求出纯策略纳什均衡。
先剔除甲的严格劣策略 3,再剔除乙的严格劣策略 2,得如下矩阵博弈。然后用划线法求出该矩
阵博弈的纯策略 Nash 均衡。
乙
甲
1
3
1
2,0 4,2
2
3,4 2,3
3. 求出下面博弈的纳什均衡。
i =1 j=1
i =1 j=1
4
并设企业 i 生产产量 qi 的总成本 Ci(qi)=cqi,这里 c 是常数，并假设 c<a。企业同时就产量进 行决策。求出该博弈的纳什均衡。当 n 趋于无穷大时，会发生什么情况？
解：厂商 i 的利润为：πi=p(Q)-cqi=(a-Q-c)qi
令 ∂πi ∂q i
=
0
，则有：q
* i
=a-c-Q*
乙
L
R
U
5,0
0,8
甲
D
2,6
4,5
由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略 Nash 均衡。
由表达式(2.3.13)~(2.3.16)可得如下不等式组
Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1
将这些数据代入(2.3.19)和(2.3.22),可得混合策略 Nash 均衡(( 1 , 8 ),( 4 , 3 )) 99 77
该博弈的纳什均衡为下图的线段 AB：即：s1+s2=100,s1,s2∈[0,100]。
s2 100 B
A
0
100 s1
8. 假设古诺寡头垄断模型中有 n 个企业，令 qi 表示企业 i 的产量，且 Q=q1+…+qn 表示市场 总 产 量 ，p 表示市场出清价格，并假设逆需求函数由 p(Q)=a-Q 给 出（ 设 Q<a，其它情况下 p=0）。
1 π1 = (10 − 2q1 − 2q2 )q1 − 2 − 4q1
1 π2 = (10 − 2q1 − 2q2 )q2 − 2 − 4q2
求导得：
∂π1 ∂q1
= 10 − 4q1
−
2q 2
−
4
=
0
∂π2 ∂q 2
= 10 − 4q2
− 2q1 − 4 = 0
解得均衡时
q1=q2=1，则
p=8，利润为：π1=π2=
1
5. 用线性规划法求矩阵博弈的解。
⎡ 3 −1 − 3⎤
⎡7 3 1⎤
⎢− 3 3 −1⎥ 将矩阵中的所有元素都加 4,得 ⎢1 7 3⎥
⎢⎣− 4 − 3 3 ⎥⎦
⎢⎣0 1 7⎥⎦
将数据代入(2.4.34)和(2.4.35)可得局中人 1 的混合策略,(0.45,0.24,0.31), 将数据代入(2.4.36) 和(2.4.37)可得局中人 2 的混合策略,((0.31,0.24,0.45)) 6. 某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。相应的利润由如下得 益矩阵给出： (1) 该博弈是否存在纳什均衡？如果存在的话，哪些结果是纳什均衡? 由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略 Nash 均 衡 ，即(低质量, 高质量)， (高质量,低质量)。
(aij + d)x*i y j 是成 立的 , 此即 为 XA2Y* ≤ X*A2Y* ≤ X*A2Y 。所以
i =1 j=1
i =1 j=1
(X*,Y*)是矩阵博弈 G2 的纳什均衡点,并且
mn
mn
∑ ∑ ∑ ∑ v(G2) =
(a ij
+
d)x
* i
y*j
=
aijx*i y*j + d = v(G1) + d
,要使(不开发,开发)成为该博弈的唯一纳什均衡点,只需
a>10。此时乙企
业的收益为 100+a。
11. 假设有一博弈 G=[N,S,P]，其中 N={1,2},S1=[10,20],S2=[0,15], P1 (s) = 40s1 − 2s12 + 5s1s 2 ，
P2 (s)
= 50s 2
−
s
2 2
乙企业
高质量
低质量
甲企业
高质量 低质量
50,50 900,600
100,800 -20,-30
该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡
Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630，可得 x = 12 , y = 63 97 138
因此该问题的混合纳什均衡为 ((12 , 85), ( 63 , 75 )) 。 97 97 138 138
π2
= (10 − 4 − 2q2 )q2
−
1 2
− 4q2 ,
∂π2 ∂q 2
= 6 − 4q2
−
4
=
0
,则有
q2=
1 2
，p=5,
π1=
3 2
,π2=0.
若进入者选择不进入：q2=0，p=6,
π1=
7 2
。
由以上计算分析可以看出，垄断在位者的威慑是可信的。垄断在位者的产量为 2，进入
百度文库
者进入后无利可图，所以选择不进入。市场价格为 6。
4. 用图解法求矩阵博弈的解。
⎡1 −1 3 ⎤ ⎢⎣3 5 − 3⎥⎦
解：设局中人 1 采用混合策略(x,1-x),其中 x∈[0,1],于是有: v = max F(x) ,其中
x∈[0,1]
F(x)=min{x+3(1-x),-x+5(1-x),3x-3(1-x)} 令 z=x+3(1-x),z=-x+5(1-x),z=3x-3(1-x) 作出三条直线，如下图，图中粗的折线，就是 F(x)的图象
(2) 如果各企业的经营者都是保守的，井都采用最大最小化策略，结果如何?
乙企业
高质量
低质量
甲企业
高质量 低质量
50,50 900,600
100,800 -20,-30
(高质量, 高质量),(低质量,低质量)。
7. 甲、乙两人就如何分 100 元钱进行讨价还价。假设确定了以下规则：双方同时提出自己
要求的数额 s1 和 s2，0≤s1，s2≤100。如果 s1+s2≤100，则两人各自得到自己所提出的数额；如 果 s1+s2>100，双方均获得 0 元。试求出该博弈的纳什均衡。
aijx*i y j 。由于 d 是
i =1 j=1
i =1 j=1
i =1 j=1
mn
mn
mn
∑∑ ∑∑ ∑∑ 常数,因此有
(aij + d)xi y j =
aijxi y j + d 。显然不等式
(aij + d)xi y*j ≤
i =1 j=1
i =1 j=1
i =1 j=1
mn
mn
∑ ∑ ∑ ∑ (aij + d)x*i y*j ≤
10. 甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。
试求出该博弈的纳什均衡。如果乙企业所在国政府想保护本国企业利益，可以采取什么措
施？
乙企业
开发
不开发
甲企业 开发 -10,-10 不开发 0,100
解：用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。
100,0 0,0
3
⎡− 10,−10 100, 0⎤ ⎢⎣ 0,100 0,0 ⎥⎦