微积分公式大全
微积分公式大全
cos2θ+ sin2θ=1
tanh x
csch x dx = 2 ln | 1 ex | + C cosh2θ-sinh2θ=1
csch x = -csch x
1 e2x
cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ
coth x
Dx sinh-1 x =
1
a
a2 x2
sin 3θ=3sinθ-4sin3θ sinh-1 x dx = x sinh-1 x- 1 x2 + C cos3θ=4cos3θ-3cosθ
2 cos α sin β = sin α+β - sin α-β cos α - cos β = -2 sin α+β sin α-β
2 cos α cos β = cos α-β + cos α+β tan α±β= tan tan , cot α±
2 sin α sin β = cos α-β - cos α+β
1 b-a2
12
pq npq
q+pet q+ petn
npi1-pi
三项 p1et1+ p2et2+
pn 3
N n n k
N 1 N
λ
σ2
Vχ2=2n
10-1 deci d 分,十分之一 10-2 centi c 厘或写作「厘」,百分之一 10-3 milli m 毫,千分之一 001 10-6 micro 微,百万分之一 000 001 10-9 nano n 奈,十亿分之一 000 000 001 10-12 pico p 皮,兆分之一 000 000 000 001 10-15 femto f 飞或作「费」,千兆分之一 000 000 000 000 001 10-18 atto a 阿 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y
《微积分》公式大全
《微积分》公式大全和差化积■ 丄sin ^sin^~2cos(^l£)sin(^^)遇十0$严eg • ■ cos^-cos^=~2 si n( iii ；2_J^)* ■积化和差sin cos戸=£ [审口 (口 +或口3 - q ] £ COS a 寸口 0=丄[sill g 十Q -sill (er一 的] ■ COSa<；OS |c0S{a-^>+C0S<a-^}]SillaSin^=l [C0S(a-j7)-CGS(a-h^]平方关系等价无穷小今・17£ 111(21)7 (l+^)<Pal>x1 + tail * a =sec a1 cot'吃二亡sc Psin <i=1 ■■ tnn " f COSa^ ------- 匚log d(x+1)^1 2 3—a1 -1-xlnaIn a1 \ ^ 1 I ■ 1 lanx-x*'-^ x-sinx-T^ ianx-&itw--^3 6 2基本初等函数导数 (tanx) r =$cc :x(cotx)r =-csc 2^ (sccx)r =sccxtaiix(cscx) r = - cscxcotx (arcsinx)，= j 」—；■(arctanx)' ="W 1(arccotx) 微:分的类似・不写了高阶导数'k(k-l)-上■口(kWl)X , n<k X)7 n!,n=k 1 o,n>k (sin.v)l *，)=sin(.v+^) (C0S.V)")= CCS(A + 罕) (N 〉(”)(lna)Xa > 0) (In 工严上叮•冲I 眾要极限lim 3 =畑 1 k>0)lim 论=1(a>0) lim(l + lr=c一 Xiim(l-1/=1 x e Htn x l =ii3 1 inn 7x=i JT W 1常用XIaclaurin 公式・・・E 諾严)dy •仝2 .+如◎….①Z rtln(I + w)二w-匸十兰一兰 +・•・ + (-1)^ — H -4.^) 2 3 4 n24 r 2xw 舟怜・・・“w 丽(2町! +... + ~+o(x n) n!不定积分公式J sec.tf/v 二 lnjsec.v + tan v + r变上限定积分求导公式去 f ⑷刃=/9（工））9（丫）参数方程求曲线弧长、旋转体侧面积 工=/⑴」=&（。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
微积分的公式大全
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x xμμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e'= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xa x a'= ⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nx n = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d xxdx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln x a d dx x a =⒀()arcsin d x dx =⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾arcsin x c =+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsinxc a=+ ln x c =++十、分部积分法公式⑴形如n axx e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin nx xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos nx xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan nx xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln nx xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin axe xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
微积分的公式大全
微积分的公式大全1.极限的基本公式：（1）常数规则：lim(c) = c （c 为常数）（2）零规则：lim(0) = 0（3）单位规则：lim(x) = x （x 为自变量）（4）和差规则：lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))（5）乘法规则：lim(f(x) * g(x)) = lim(f(x)) * lim(g(x))（6）除法规则：lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x)) （若lim(g(x)) ≠ 0）2.导数的基本公式：（1）常数函数的导数：(c)'=0（c为常数）（2）幂函数的导数：(x^n)' = nx^(n-1) （n 为实数）（3）指数函数的导数：(e^x)'=e^x（4）对数函数的导数：(ln(x))' = 1/x（5）三角函数的导数：(sin(x))' = cos(x)、(cos(x))' = -sin(x)、(tan(x))' = sec^2(x)（6）反三角函数的导数：(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)、(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)、(arctan(x))' = 1/(1+x^2)3.基本积分公式：（1）幂函数的积分：∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n ≠ -1）（2）指数函数的积分：∫(e^x)dx = e^x + C（3）对数函数的积分：∫(1/x)dx = ln，x， + C（4）三角函数的积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C、∫cos(x)dx = sin(x) + C、∫tan(x)dx = -ln，cos(x)， + C（5）反三角函数的积分：∫(1/√(1-x^2))dx = arcsin(x) + C、∫(-1/√(1-x^2))dx = arccos(x) + C、∫(1/(1+x^2))dx = arctan(x)+ C4.微分中值定理：（1）罗尔定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且f(a)=f(b)，则存在一个c(a<c<b)，使得f'(c)=0。
微积分公式大全
x 1 1 x2 )=ln( + ) |x| >0 a பைடு நூலகம் x2 duv = udv + vdu
csch-1 (
1 e x 1 e 2 x
|+C
duv = uv = udv + vdu → udv = uv - vdu cos2θ-sin2θ=cos2θ cos2θ+ sin2θ=1 cosh2θ-sinh2θ=1 cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ
-1 -1
2
sin-1(-x) = -sin-1 x cos-1(-x) = - cos-1 x tan-1(-x) = -tan-1 x cot-1(-x) = - cot-1 x sec-1(-x) = - sec-1 x csc-1(-x) = - csc-1 x
x sinh-1 ( )= ln (x+ a 2 x 2 ) x R a x cosh-1 ( )=ln (x+ x 2 a 2 ) x≧1 a x 1 ax tanh-1 ( )= ln ( ) |x| <1 a 2a ax
1
x Dx sinh ( )= a
-1
1 a2 x2 1 x2 a2
sinh x dx = x sinh x- 1 x + C
2
-1
-1
sin 3θ=3sinθ-4sin3θ cos3θ=4cos3θ-3cosθ →sin3θ= ¼ (3sinθ-sin3θ) →cos3θ=¼(3cosθ+cos3θ)
-1
sech-1(
x 1 1 x2 )=ln( + )0≦x≦1 a x x2
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微积分公式sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + Csin -1(-x) = -sin -1 x cos -1(-x) = - cos -1 x tan -1(-x) = -tan -1 x cot -1(-x) = - cot -1 x sec -1(-x) = - sec -1 x csc -1(-x) = - csc -1 xsin -1 x dx = x sin -1 x+21x -+C cos -1 x dx = x cos -1 x-21x -+Ctan -1 x dx = x tan -1 x-½ln (1+x 2)+C cot -1 x dx = x cot -1 x+½ln (1+x 2)+C sec -1 x dx = x sec -1x- ln|x+12-x |+Ccsc -1x dx = x csc -1x+ ln |x+12-x |+Ctanh coth sinh x dx = cosh x + Ccosh x dx = sinh x + Ctanh x dx = ln | cosh x |+ C coth x dx = ln | sinh x | + C sech x dx = -2tan -1 (e -x ) + C csch x dx = 2 ln |xx e e 211---+| + Cd uv = u d v + v d ud uv = uv = u d v + v d u → u d v = uv - v d u cos 2θ-sin 2θ=cos2θ cos 2θ+ sin 2θ=1 cosh 2θ-sinh 2θ=1 cosh 2θ+sinh 2θ=cosh2θsinh -1 x dx = x sinh -1 x-21x ++ Ccosh -1 x dx = x cosh -1 x-12-x + Ctanh -1 x dx = x tanh -1 x+ ½ ln | 1-x 2|+ Ccoth -1 x dx = x coth -1 x- ½ ln | 1-x 2|+ C sech -1 x dx = x sech -1 x- sin -1 x + C csch -1 x dx = x csch -1 x+ sinh -1x + C sin 3 a bc α β γ R= ⎰∞+-+01)1(nm m x x d x希腊字母大写 小写 读音 大写 小写 读音 大写 小写 读音 Α α alpha Ι ι iota Ρ ρ rho Β β beta Κ κ kappa Σ σ, ς sigma Γ γ gamma Λ λ lambda Τ τ tau Δ δ delta Μ μ mu Υ υ upsilon Ε ε epsilon Ν ν nu Φ φ phi Ζ ζ zeta Ξ ξ xi Χ χ khi Η η eta Ο ο omicron Ψ ψ psi ΘθthetaΠπpiΩωomega倒数关系: sin θcsc θ=1; tan θcot θ=1; cos θsec θ=1 商数关系: tan θ=θθcos sin ; cot θ= θθsin cos 平方关系: cos 2θ+ sin 2θ=1; tan 2θ+ 1= sec 2θ; 1+ cot 2θ= csc 2θ順位低順位高; 顺位高d 顺位低 ;0*=∞1 * =∞∞ = 0*01 = 0000 = )(0-∞e ; 0∞ = ∞⋅0e ; ∞1 = ∞⋅0e顺位一:对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数顺位三: 指数; 三角(双曲)。
微积分公式大全
微积分公式sin (α±β)=sin αcos β±cos αsin βcos (α±β)=cos αcos β sin αsin β2sin αcos β=sin (α+β)+sin (α-β)2cos αsin β=sin (α+β)-sin (α-β)2cos αcos β=cos (α-β)+cos (α+β)2sin αsin β=cos (α-β)-cos (α+β)sin α+sin β=2sin ½(α+β)cos ½(α-β)sin α-sin β=2cos ½(α+β)sin ½(α-β)cos α+cos β=2cos ½(α+β)cos ½(α-β)cos α-cos β=-2sin ½(α+β)sin ½(α-β)tan (α±β)=βαβαtan tan tan tan ±,cot (α±β)=βαβαcot cot cot cot ± e x=1+x+!22x +!33x +…+!n x n+…sin x =x-!33x +!55x -!77x +…+)!12()1(12+-+n x n n +…cos x =1-!22x +!44x -!66x +…+)!2()1(2n x nn -+…ln (1+x)=x-22x +33x -44x +…+)!1()1(1+-+n x n n +…tan -1x =x-33x +55x -77x +…+)12()1(12+-+n xn n +…(1+x)r=1+r x+!2)1(-r r x 2+!3)2)(1(--r r r x 3+…-1<x<1∑=ni 11=n∑=ni i 1=½n (n +1)∑=ni i 12=61n (n +1)(2n +1)∑=ni i13=[½n (n +1)]2Γ(x)=⎰∞t x-1e -t d t =2⎰∞t 2x-12t e -d t =⎰∞)1(ln tx-1d t β(m ,n )=⎰10x m -1(1-x)n -1d x =2⎰20sin π2m -1x cos 2n -1x d x=⎰∞+-+01)1(nm m x x d x 希臘字母(Greek Alphabets)大寫小寫讀音大寫小寫讀音大寫小寫讀音Ααalpha Ιιiota Ρρrho Ββbeta Κκkappa Σσ,ςsigma Γγgamma Λλlambda Ττtau Δδdelta Μμmu Υυupsilon Εεepsilon Ννnu Φφphi Ζζzeta Ξξxi Χχkhi Ηηeta Οοomicron Ψψpsi ΘθthetaΠπpiΩωomega倒數關係:sin θcsc θ=1;tan θcot θ=1;cos θsec θ=1商數關係:tan θ=θθcos sin ;cot θ=θθsin cos 平方關係:cos 2θ+sin 2θ=1;tan 2θ+1=sec 2θ;1+cot 2θ=csc 2θ順位低順位高;⎰順位高d 順位低;0*∞=∞1*∞=∞∞=0*01=00順位一:對數;反三角(反雙曲)順位二:多項函數;冪函數00=)(0-∞e ;0∞=∞⋅0e ;∞1=∞⋅0e 順位三:指數;三角(雙曲)算術平均數(Arithmetic mean)nX X X X n+++=...21中位數(Median)取排序後中間的那位數字眾數(Mode)次數出現最多的數值幾何平均數(Geometric mean)n n X X X G ⋅⋅⋅=...21調和平均數(Harmonic mean))1...11(1121nx x x n H +++=平均差(Average Deviatoin)nX Xni||1-∑變異數(Variance)nX Xni21)(-∑or1)(21--∑n X Xni標準差(Standard Deviation)nX Xni21)(-∑or1)(21--∑n X Xni分配機率函數f (x )期望值E(x )變異數V(x )動差母函數m (t )DiscreteUniform n 121(n +1)121(n 2+1)t nt t e e e n --1)1(1Continuous Uniform ab -121(a +b )121(b -a )2ta b e e at bt )(--Bernoulli p x q 1-x (x =0,1)p pq q +pe t Binomial ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x n p x q n -x npnpq(q+pe t )nNegative Binomial ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x k 1p k q x pkq2p kq kt kqe p )1(-Multinomialf (x 1,x 2,…,x m -1)=mxm x x m p p p x x x n ...!!...!!212121np inp i (1-p i )三項(p 1e t 1+p 2e t 2+p 3)nGeometricpq x-1p12p q tt qe pe -1Hypergeometric⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N x n k N x k n ⎪⎭⎫ ⎝⎛N k ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1N n N n ⎪⎭⎫ ⎝⎛N k Poisson !x e xλλ-λλ)1(--t e eλNormal 2)(21 21σμπσ--x eμσ222 21t t eσμ+Beta 11)1(),(1---βαβαx x B βαα+2))(1(βαβααβ+++Gammaxe x λαλαλ--Γ1)()(λα2λααλλ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-t Exponentxeλλ-λ121λt-λλChi-Squared χ2=f (χ2)=212222)(221χχ--⎪⎭⎫ ⎝⎛Γen n n E(χ2)=nV(χ2)=2n2)21(n t --Weibullαβα--x e1⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ+111λαβλ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ111222λλαλ10000000000000000000000001024yotta Y10000000000000000000001021zetta Z 10000000000000000001018exa E 10000000000000001015peta P 10000000000001012tera T 兆1000000000109giga G 十億1000000106mega M 百萬1000103kilo K 千100102hecto H 百10101deca D 十0.110-1deci d 分，十分之一0.0110-2centi c 厘（或寫作「厘」），百分之一0.00110-3milli m 毫，千分之一0.00000110-6micro ?微，百萬分之一0.00000000110-9nano n 奈，十億分之一0.00000000000110-12pico p 皮，兆分之一0.00000000000000110-15femto f 飛（或作「費」），千兆分之一0.00000000000000000110-18atto a 阿0.00000000000000000000110-21zepto z 0.00000000000000000000000110-24yocto y。
微积分公式大全
k nk （4） x v( k ) x u x v x cn u
n k 0
n
四、基本初等函数的 n 阶导数公式 （1） x
n
n
n!
n
（2） e
ax b
n
a n eax b
(3) a
2
⑻ csc x csc x cot x ⑽ a
e
x
x
a
x
x
ln a
1 1 x2
⑾ ln x
1 x
⑿ log a
x
1 x ln a 1 1 x2
⒀ arcsin x
⒁ arccos x
x
（9） lim e 0
x x
（10） lim e
x x
x 1 （11） lim
x x 0
（12） lim
a0 x n a1 x n 1 x b x m b x m 1 0 1
a0 b 0 an 0 bm
sin a sin b 2cos
ab a b sin 2 2 ab a b cos a cos b 2sin sin 2 2
tan a tan b
5.积化和差公式
sin a b cos a cos b
cos a cos b cos a s ib n 1 2 1 cos a b cos a b 2 n b s ia
三、高阶导数的运算法则
n n （1 ） u x v x u x v x
微积分公式大全
微积分公式大全导数公式1. 常数函数导数公式：如果 $c$ 是一个常数，那么 $f(x) = c$ 的导数是 $f'(x) = 0$。
2. 幂函数导数公式：如果 $f(x) = x^n$，其中 $n$ 是一个实数常数，那么导数为$f'(x) = nx^{n-1}$。
3. 指数函数导数公式：如果 $f(x) = e^x$，那么导数为 $f'(x) = e^x$。
4. 对数函数导数公式：如果 $f(x) = \log_a (x)$，那么导数为 $f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)}$。
5. 三角函数导数公式：- 正弦函数：$f(x) = \sin(x)$ 的导数为 $f'(x) = \cos(x)$。
- 余弦函数：$f(x) = \cos(x)$ 的导数为 $f'(x) = -\sin(x)$。
- 正切函数：$f(x) = \tan(x)$ 的导数为 $f'(x) = \sec^2(x)$。
积分公式1. 幂函数积分公式：如果 $f(x) = x^n$，其中 $n \neq -1$，那么积分为 $\int f(x)dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$。
2. 指数函数积分公式：如果 $f(x) = e^x$，那么积分为 $\int f(x)dx = e^x + C$。
3. 对数函数积分公式：如果 $f(x) = \ln(x)$，那么积分为 $\int f(x)dx = x(\ln(x) - 1) + C$。
4. 三角函数积分公式：- 正弦函数：$\int \sin(x)dx = -\cos(x) + C$。
- 余弦函数：$\int \cos(x)dx = \sin(x) + C$。
- 正切函数：$\int \tan(x)dx = -\ln|\cos(x)| + C$。
以上仅为微积分公式的一小部分，还有很多其他的公式和规则可供研究和应用。
常用微积分公式大全
常用微积分公式大全1. 导数公式1.1 基本导数公式•常数规则: 如果c是一个实数, 那么导数f(x)=c相对于x是f′(x)= 0。
•幂函数规则: 如果f(x)=x n, 其中n是常数, 那么导数f′(x)=nx n−1。
•指数函数规则: 如果f(x)=e x, 那么导数f′(x)=e x。
•对数函数规则: 如果 $f(x) = \\log_a(x)$, 那么导数 $f'(x) = \\frac{1}{x\\ln(a)}$。
•乘法法则: 如果f(x)=g(x)ℎ(x), 那么导数f′(x)=g′(x)ℎ(x)+g(x)ℎ′(x)。
•除法法则: 如果 $f(x) = \\frac{{g(x)}}{{h(x)}}$, 那么导数 $f'(x) =\\frac{{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}}{{(h(x))^2}}$。
1.2 常见函数导数表•常数函数: f(x)=c, 导数f′(x)=0。
•幂函数: f(x)=x n, 导数f′(x)=nx n−1。
•指数函数: f(x)=e x, 导数f′(x)=e x。
•对数函数: $f(x) = \\log_a(x)$, 导数 $f'(x) = \\frac{1}{x \\ln(a)}$。
•三角函数:–正弦函数: $f(x) = \\sin(x)$, 导数 $f'(x) = \\cos(x)$。
–余弦函数: $f(x) = \\cos(x)$, 导数 $f'(x) = -\\sin(x)$。
–正切函数: $f(x) = \\tan(x)$, 导数 $f'(x) = \\sec^2(x)$。
2. 积分公式2.1 基本积分公式•幂函数积分: 如果f(x)=x n, 其中n不等于−1, 那么积分 $\\intf(x)\\,dx = \\frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$。
•指数函数积分: 如果f(x)=e x, 那么积分 $\\int f(x)\\,dx = e^x + C$。
微积分公式大全
微积分公式大全1. 极限公式。
$\lim_{x \to a} c = c$。
$\lim_{x \to a} x = a$。
$\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$。
$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$。
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$ （其中$\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$）。
2. 导数公式。
$(k)' = 0$。
$(x^n)' = nx^{n-1}$。
$(e^x)' = e^x$。
$(\ln x)' = \frac{1}{x}$。
$(\sin x)' = \cos x$。
$(\cos x)' = -\sin x$。
$(\tan x)' = \sec^2 x$。
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。
$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$。
3. 微分公式。
$d(c) = 0$。
$d(x^n) = nx^{n-1}dx$。
$d(e^x) = e^xdx$。
$d(\ln x) = \frac{1}{x}dx$。
$d(\sin x) = \cos xdx$。
$d(\cos x) = -\sin xdx$。
$d(\tan x) = \sec^2 xdx$。
4. 积分公式。
$\int kdx = kx + C$。
微积分公式大全
微积分公式sin x=cos xsin x dx = 一cos x 卜Csirf'(-x) = -sin -1 xcos x = -sin x cos X dx = sin x + ccos'1 (~x)二 - cos'1 Xtan x = sec 2x tan x dx = In ；sec x I + C tan'1(~x) = -tan"1xcot X = -CSC’ X cot X dx = In sin x | + Ccot'1 (~x) =- cot'1Xsec x = sec x tan xsec x dx = In [secx + tan x 1 + sec'1 (~x) = - sec'1xCSC X = 一CSC x cot XcCSC XCdx = In esc :< - cot X1 +esc'1(~x) = - esc'1X・-i / x \ —±1c ； i n (・ -1 sm x dx = x sin -1 x+ J1 - X 2 +c sinh'1 ( —)= In (x+Ja'+f a ）〉:eRcos -1x dx = x cos'1X- J1 - X 2+ccos (—) 一cosh -1 ( —)=ln (x+jF-/)X Mla tan -1J < dx = x tan' x-Viln (l+x 「)+C a-x zX.±a tan-----cot -1 J < dx = x cot': x+%ln (l+x')+Ctanh -1 (%)= 1 In (心“) Ixl <1a crci la a 一 xcof 1 (i) =sec -1 x dx = x sec'1 x- Incoth -1 (X )= 1 In (" + ")Ixl >1|x+J/ -a1 l+ca 2ax-a-i / x 、_ 土“ sec (—)_ ---------------------CSC -1 x dx = x esc'1x+ Insech _1( —)=ln(— + J )0 = xa - Cl 1 |x+J/ - 1 l+cA V Aesc"" (x/a)=csch'1 (-)=ln(l + J^-)lx>0a x V 2sinh x = cosh x sinh x dx = cosh x+ c duv = udv + vducosh x = sinh x cosh x dx = sinh x+ cduv = uv = udv +tanh x = sech" x tanh x dx = In cosh x + C fudv - uv -vducoth x = 一csch~ x coth x dx 二 In sinh x j + ccos 2Q -sin 20 =cos2 0sech x = -sech x tanhsech x dx = -2tan -1 (Q) + Ccos 2 0 + sin : 0 =1Xcschx dx = 2 In1 +厂 11 + ccosh 2 0 -sinh 2 0 =1Xcsch x = -csch x coth Jl -严cosh 2 9 +sinh : 9 =cosh2 01sin ( a ± 0 )=sin a cos P 土cos a sin P sin a + sin P = 2 sin %(a + B) COS !6(a-p) cos ( Q ± 0 )=cos a cos P +sin a sin P sin a - sin P = 2 cos %(a + B) sin2 sin a cos P = sin ( a + 0) + sin (a-0) cos a + cos P = 2 cos %(a + B) cos %(a-B) 2 cos a sin P = sin ( a + 0) - sin (a-0) cos a - cos 0 二-2 sin %(a + 0) sin %(a-0)2 cos a cos P = cos ( a - 0) + cos (a+0) (.o x tan a 土tan 0tan (a ± P)= ---------------------- 、cot (a t2 sin a sin 0 = cos ( Q - 0) - cos (a+0) + tan a tan pc、 + cot a cot BB)二-------- 2cot a ± cot 0/=l+x+ —+ —+•••+ —+ 2!3! n!■■n£1二门/-isin xX3 X5 x1二X———+——一—亠(_1)”严丄• • •工j 二'kn (Ml)/-I3! 5! 7! ⑵2 + 1)!cos X■A-2 X4 X6二]_ -- + -- _ --.丄(-1)7 丄.••川 1yi2=-刀(/T+1) (2/rH) 2! 4! 6! ⑵2)! 幺 6In (1+x)二x- —+ —- x4・+…y/3= v/zn (n+1)]22 3 4 5 + 1)!tan':X5 X5 X£ = X 一一 + —一一+•..+(_])叹泅 +⑵ 2 + 1) • • •r (x)=(厂y 厂:r (In-) r d t t(l+x)J―r(r-1)二l+rx+ -------- x—一2!—2)沙3! …-1<X<1 P S, n)二J；L(1 -x)"d记2] [sin 2n-l X cos'^x d-YD；： sinh-1(-) =a cosh-1(-) =atanh^C—)=a yla1 +x:1>jx2 - a2±a_牙・sinh'1cosh'1x dx = x sinh'1 x-\/l + x2 + Cdx = x cosh'1 x-Vx2 -1 + Ccoth气丄)二asech'^ —)=a—uXyla2 -x2 csch-1(x/a)=tanh-11-X2 + Ccoth'11-x2 + Csech':Ccsch"1x dx = x tanh': x+ % Inx dx = x coth'1 x- % In\x\yla1 + X2sin 3 0 =3sin 0 -4sin3 0cos3 0 =4cos3 0 -3cos 0 f sir? 0 二％(3sin 0 -sin3 0 ) -*-cos3 0 =%(3cos 0 +cos3 0 )----------- COS X 二2jsin x =sinh x = cosh x =e +e-x正弦定理:余弦定理:sin a sin pa:=b:+c:-2bcb"=a:+c2-2acc:=a:+b2-2abb丄=2Rsinycos acos 0cos YE v-W-1希腊字母倒数关系：sin 0 esc（）=1; tan ° cot 0 =1; cos 0 sec 0 =1商数关系：仃sin& x n cos。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个微积分是数学的一门重要分支，它主要研究函数的极限、导数、积分等概念和性质。
微积分的基本公式是我们学习和应用微积分的基础，下面将介绍微积分的16个基本公式。
1.1+1=2这是微积分的最基本的公式，表示两个数相加得到另一个数。
2.a*b=b*a这是乘法交换律，表示两个数相乘的结果与顺序无关。
3.a+(b+c)=(a+b)+c这是加法结合律，表示三个数相加的结果与加法的顺序无关。
4.a*(b+c)=a*b+a*c这是乘法分配律，表示一个数与两个数相加的结果等于这个数与每个数相加的结果之和。
5.a-b=-(b-a)这是减法的性质，表示两个数相减的结果与减法的顺序无关。
6.a/b=b/a这是除法的性质，表示两个数相除的结果与除法的顺序无关。
7. (a+b)^2=a^2+2ab+b^2这是二次方的展开公式，表示两个数的和的平方等于它们的平方和加上两倍的乘积。
8. (a-b)^2=a^2-2ab+b^2这是二次方差的公式，表示两个数的差的平方等于它们的平方差减去两倍的乘积。
9.(a+b)*(a-b)=a^2-b^2这是差的平方公式，表示两个数的和与差的乘积等于它们的平方差。
10. (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3这是立方和的展开公式，表示两个数的和的立方等于它们的立方和加上三倍的乘积加上三倍的乘积再加上立方。
11. (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3这是立方差的公式，表示两个数的差的立方等于它们的立方差减去三倍的乘积加上三倍的乘积再减去立方。
12. (a+b)*(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3这是立方和的因式分解公式，表示两个数的和与和的平方差的乘积等于它们的立方和。
13. (a-b)*(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3这是立方差的因式分解公式，表示两个数的差与差的平方和的乘积等于它们的立方差。
14. (a+b)^n=a^n+na^(n-1)b+(n(n-1)/2)a^(n-2)b^2+...+nb^(n-1)+b^n这是二项式定理，表示两个数的和的n次方等于它们的各种组合的乘积之和。
微积分公式大全
1 r ( r 1) 2 r ( r 1)( r 2) 3 x+ x +… -1<x<1 β(m, n) = x m-1(1-x)n-1 dx=2 2 sin 2m-1x cos2n-1x dx 0 0 2! 3!
=
0
x m1 dx (1 x ) mn
i =
i 1 n
½n (n+1)
1 n (n+1)(2n+1) 6
x2 x4 x6 ( 1) n x 2 n + +…+ +… 2! 4! 6! (2n)! x x x ( 1) x + - +…+ +… 2 3 4 (n 1)!
2 3 4
i
i 1 n
2
=
n
n 1
ln (1+x) = xtan-1 x = x-
-1
-1
2
a x tan-1 ( )= 2 a a x2 a x cot ( )= 2 a a x2
-1
x 1 xa coth-1 ( )= ln ( ) |x| >1 a 2a xa csc x dx = x csc x+ ln |x+ x 1 |+C
x sec ( )= a x
-1
sin x dx = -cos x + C cos x dx = sin x + C tan x dx = ln |sec x | + C cot x dx = ln |sin x | + C sec x dx = ln |sec x + tan x | + C csc x dx = ln |csc x – cot x | + C sin-1 x dx = x sin-1 x+ 1 x 2 +C cos-1 x dx = x cos-1 x- 1 x 2 +C tan x dx = x tan x-½ln (1+x )+C cot-1 x dx = x cot-1 x+½ln (1+x2)+C sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+ x 2 1 |+C
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sin α + sin β = 2 sin (α+β) cos (α-β) sin α - sin β = 2 cos (α+β) sin (α-β) cos α + cos β = 2 cos (α+β) cos (α-β) cos α - cos β = -2 sin (α+β) sin (α-β) tan (α±β)= tan α ± tan β m cot α cot β , cot (α±β)= m tan α tan β cot α ± cot β
pq
x-1
k N k x n x N n
Poisson Normal Beta
Gamma
e λ λx x! 1 2πσ e
1 x 2 ( ) 2 σ
λ
μ
λ
σ
2
e λ ( e 1)
t
e
α α+β
α λ
1
t+ σ 2 t2
1 2
1 x α 1 (1 x) β 1 B(α , β )
x ±a tan-1 ( )= 2 a a + x2 x cot ( )= a
-1
∫ cot-1 x dx = x cot-1 x+ln (1+x2)+C ∫ sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+ x 2 1 |+C
-1 -1
2
x 1 x+a coth-1 ( )= ln ( ) |x| >1 a 2a xa ∫ csc x dx = x csc x+ ln |x+ x 1 |+C
2 3 4 n 3 5 7 n 2 n +1 n +1
∑i
i =1 n
2
=பைடு நூலகம்
ln (1+x) = xtan-1 x = x-
∑i
i =1
3
= [n (n+1)]2
x-1 -t 2x-1 t ∫ t e dt = 2 ∫ t e dt =
2
x x x ( 1) x + - +…+ +… 3 5 7 ( 2n + 1)
1
x2 a2
∫ cosh x dx = x cosh x- x 1 + C
-1 -1
2
→sin3θ= (3sinθ-sin3θ) →cos3θ=(3cosθ+cos3θ)
x ±a tanh ( )= 2 a a x2
-1
∫ tanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ C e jx e jx e jx + e jx sin x = cos x = 2j 2 ∫ coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ C e x e x e x + ex cosh x = 2 2 a b c 正弦定理: = = =2R sin α sin β sin γ
H= 1 1 1 1 1 ( + + ... + ) n x1 x2 xn
i
平均差(Average Deviatoin)
∑| X
1 n
n
X |
n
变异数(Variance)
∑ (X i X )2
1
∑(X
or
1
n
n
i
X )2
n
n 1
标准差(Standard Deviation)
∑ ( X i X )2
1
n
∑(X
or
1
i
X )2
n
n 1
分配
Discrete Uniform
Continuous Uniform Bernoulli Binomial Negative Binomial Multinomial
机率函数 f(x)
1 n 1 ba
期望值 E(x)
1 (n+1) 2 1 (a+b) 2
变异数 V(x)
=
∫
∞
0
x m 1 dx (1 + x ) m+ n
希腊字母 (Greek Alphabets) 大写 Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ 小写 读音 alpha beta gamma delta epsilon zeta eta theta 大写 Ι Κ ∧ Μ Ν Ξ Ο ∏ 小写 读音 iota kappa lambda mu nu xi omicron pi 大写 Ρ ∑ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω 小写 读音
α β γ δ ε ζ η θ
ι κ λ μ ν ξ ο π
rho ρ σ, sigma tau τ upsilon υ phi φ khi χ psi ψ omega ω
倒数关系: sinθcscθ=1; tanθcotθ=1; cosθsecθ=1
sin θ cos θ ; cotθ= cos θ sin θ 2 2 2 平方关系: cos θ+ sin θ=1; tan θ+ 1= sec2θ; 1+ cot2θ= csc2θ
αβ
(α + β + 1)(α + β ) 2
λ (λx)α 1 e λx Γ(α )
α λ2
1
λ λ t
α
Exponent
Chi-Squaredχ
2
λe λx
=f(χ )
2
λ λ t
n 2
λ
λ
2
E(χ2)=n
n
V(χ2)=2n
=
1 n Γ 2 2 2
(χ )
2
n 1 2
e
χ 2 2
x a2 + x2
c
余弦定理: a2=b2+c2-2bc cosα b2=a2+c2-2ac cosβ c2=a2+b2-2ab cosγ
sin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β m sin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) ex=1+x+ x2 x3 xn +… + +…+ 2! 3! n! x x x ( 1) x + - +…+ +… 3! 5! 7! ( 2n + 1)!
1 2 (n +1) 12 1 (b-a)2 12
动差母函数
m(t)
1 e t (1 e nt ) n 1 et
e bt e at (b a)t
pxq1-x(x=0, 1)
n x n-x p q x k + x 1 k x p q x
f(x1, x2, …, xm-1)= n! x x x p1 1 p 2 2 ... p m m x1! x 2 !...x m !
商数关系: tanθ=
顺位高 ; ∫ 顺位高 d 顺位低 ; 顺位低
0*∞ = 1 ∞ 1 0 *∞ = = 0* = ∞ ∞ 0 0
0 0 = e 0( ∞ ) ; ∞ 0 = e 0∞ ; 1∞ = e 0∞
顺位一: 对数; 反三角(反双曲) 顺位二: 多项函数; 幂函数 顺位三: 指数; 三角(双曲)
sinh x =
∫ sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C x coth ( )= a ∫ csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C x a γ sech-1( )= a a x a2 x2 R b
csch-1(x/a)=
a
β α
-1 -1 2
sin-1(-x) = -sin-1 x cos-1(-x) = π - cos-1 x tan-1(-x) = -tan-1 x cot-1(-x) = π - cot-1 x sec-1(-x) = π - sec-1 x csc-1(-x) = - csc-1 x
x sinh-1 ( )= ln (x+ a 2 + x 2 ) x ∈ R a x cosh-1 ( )=ln (x+ x 2 a 2 ) x≥1 a x 1 a+x tanh-1 ( )= ln ( ) |x| <1 a 2a ax
Γ(x) =
∞
∞
0
0
∫
∞
0
1 (ln ) x-1 dt t
(1+x)r =1+rx+
π 1 r ( r 1) 2 r ( r 1)( r 2) 3 x+ x +… -1<x<1 β(m, n) = ∫ x m-1(1-x)n-1 dx=2 ∫ 2 sin 2m-1x cos2n-1x dx 0 0 2! 3!
sech-1( 1 x2 x 1 )=ln( + )0≤x≤1 x2 a x
x ±a sec ( )= a x x2 a2
-1
csc-1 (x/a)=
Dx sinh x = cosh x cosh x = sinh x
2
∫ sinh x dx = cosh x + C
1 + x2 x 1 )=ln( + ) |x| >0 x2 a x duv = udv + vdu csch-1 (