三重积分的各种计算方法
高数---第3讲 三重积分的计算
第3讲 三重积分的计算一、直角坐标系下三重积分的计算１.先一后二法例1 计算V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算VzdV ⎰⎰⎰,其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.2.先二后一法例4 计算sin Vz dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222222x y z a b cρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）例1 计算VI zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空间区域.三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）例1 计算2V I x dV =⎰⎰⎰,其中V由曲面z =和z = 0R >围成. 例2 计算222[()()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222xy z a ++≤在第一卦限的部分.例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.练习：1、2V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、V I =，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。
三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种形式，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算三维空间中某个区域内的函数取值总和，而三重积分就是用来描述这种情况的工具。
在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法，包括直角坐标系下的三重积分和柱坐标系、球坐标系下的三重积分计算方法。
首先，我们来看直角坐标系下的三重积分计算方法。
设函数为f(x, y, z)，积分区域为V，那么三重积分的计算公式为：∫∫∫V f(x, y, z) dV。
其中，dV表示微元体积。
在直角坐标系下，微元体积可以表示为dV = dx dy dz，因此三重积分可以表示为：∫∫∫V f(x, y, z) dx dy dz。
这样，我们就可以按照一定的积分顺序，依次对x、y、z进行积分，从而计算出三重积分的值。
在实际计算中，我们需要根据具体的问题选择合适的积分顺序，以简化计算过程。
接下来，我们来看柱坐标系下的三重积分计算方法。
在柱坐标系下，积分区域V可以用柱坐标表示，即V={(ρ, φ, z) | (ρ, φ, z) ∈ D, α ≤ ρ ≤ β, α1 ≤ φ ≤ β1, γ1 ≤ z ≤γ2}。
这时，三重积分的计算公式变为：∫∫∫V f(ρ, φ, z) ρ dρ dφ dz。
在柱坐标系下，微元体积可以表示为dV = ρ dρ dφ dz，因此三重积分可以表示为：∫∫∫V f(ρ, φ, z) ρ dρ dφ dz。
通过将函数用柱坐标表示，并按照一定的积分顺序，依次对ρ、φ、z进行积分，我们也可以计算出三重积分的值。
最后，我们来看球坐标系下的三重积分计算方法。
在球坐标系下，积分区域V可以用球坐标表示，即V={(r, θ, φ) | (r, θ, φ) ∈ D, α ≤ r ≤ β, α1 ≤ θ ≤ β1, α2 ≤ φ ≤β2}。
这时，三重积分的计算公式变为：∫∫∫V f(r, θ, φ) r^2 sinφ dr dθ dφ。
三重积分的几种计算方法
z z=1
解：先对 z 积分，将
向 xy 平面投影.
z= x2+y2
z= x2+y2
x2+y2=1
z=1
z=1
y
0
1
x
Dxy
D: x2+y2≤1
z z=1
z= x2+y2
y
0
1
x
Dxy
f(x,y,z)dxdydz
1 1d x1 1 xx 22d yx 1 2y2f(x,y,z)d z
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
rc o s r2sid n rd d
*
02dr3cossindrd D()
x
0
dxdy02xycoxs(z)dz
y y y x
D
0 2d x0xd y0 2 xyco x sz)d (z
D
x
0
2
2 1
16 2
z
Dxz
y=y1(x, z) y=y2(x, z)
0
x
y
f(x,y,z)dxdydz
dxdzy2(x,z)f(x,y,z)dy
与三个坐标面所围闭区域.
解： D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤ 1xy
z
1
0
x1
x:0≤x≤1
xdxdydz01xdxD(x
三重积分的计算
f (x, y, z)dxdydz
b
dx
y2 ( x)dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a y1 ( x) z1 ( x, y)
上式是先对 z，次对 y，最后对 x 的三次积分.
注: 类似地，空间区域 还有 yz 型和 zx 型的.
当 是 xy 型或 yz 型或 zx 型空间区域时，都 可以把三重积分按先“定积分”后“二重积分” 的步骤来计算.
y, z）dV
lim
0
i
1
f（
i
,
i
,
i）
Vi
其中dV 称为体积元素.
若 f ( x, y,z) 在有界闭区域上连续，则 f ( x, y,z) 在上 的
三重积分必定存在.
注: 1． f ( x, y, z)dV f ( x, y, z) dxdydz ，
直角坐标系下的体积元素
2. dxdydz 的体积 ( f ( x, y, z) 1 ).
xdxdydz
0
dx 0
2
dy 0
xdz
1
xdx
0
1 x
2 (1
0
x 2 y)dy
1 4
1
(x
2x2
x3
)dx
0
1. 48
例 2. 计算三重积分 I ycos( x z)dxdydz ，
其中 是由抛物柱面 y
x z 所围成的区域.
2
x 及平面 y 0, z 0,
z
2
n
m
lim
0
i
( i
1
,i
,
i
)Vi
三重积分的定义
第四节 三重积分的计算
2
a x
b
y
练习：用此方法计算例1．
练习：设W是由曲面z1x2y2，z0所围成的闭区域，将下例三重
积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式．
I f(x，y，z)dxdydz
dz
0
W 1
z
x y 2 1 z
2
f ( x, y, z )dxdy
1 z1x2y2
O x
1
y
1
x2+y2=1
例4 计算 I y cos( x z)dv, 其中 W 由柱面 y x , 平面
W
y 0, z 0, x z
2
所围成的空间区域．
2
解
如图所示
2 0 x
I dx dy
0
2 0
x
xz
y x
y cos( x z )dz
f ( x, y, z)dv
W
D
表示先在线段上积分，然后在区域上积分．
积分
f ( x, y, z)dv
W
c2
c1
dz f ( x, y, z )dxdy
Dz
表示先在平面区域上积分，然后在线段上积分．
2 例3 2 计算三重积分 z dxdydz，其中W是由椭球面
0 r<，
0 q 2 ， < z<．
O x
x
q
r
y P(r, q )
y
二、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应，
其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： zz0 z0 rr0
三重积分及其计算
三重积分及其计算三重积分是对三维空间内的函数进行积分运算。
它在物理、工程、计算机图形学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍三重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、三重积分的定义在直角坐标系中，设函数f(x,y,z)在体积为V的闭区域D上连续，将V分割成许多小体积ΔV，取P_i(x_i,y_i,z_i)为小体积ΔV中的任一点，使ΔV_i=f(P_i)ΔV，其中f(P_i)是P_i点上的函数值。
三重积分的定义为：\[\iiint\limits_{V} f(x, y, z) dV = \lim_{\，\Delta V_i\，\to 0}\sum\limits_{i=1}^{n} f(P_i) \Delta V_i \]其中，\(\Delta V_i\)表示小体积的体积，n为分割的小体积数量。
二、三重积分的计算方法根据三重积分的定义，可以推导出以下三种计算方法：直接计算、分离变量法和坐标变换法。
1.直接计算法直接计算法较为繁琐，适用于函数f(x,y,z)的表达式较简单的情况。
将积分区域V分成若干个小区域，然后对每个小区域使用定积分的计算方法进行计算，最后将所有小区域的积分值相加即可。
2.分离变量法当函数f(x,y,z)具有可分离变量性质时，可以使用分离变量法来简化积分计算。
即假设有f(x,y,z)=g(x)h(y)k(z)，则有：\[\int\int\int f(x, y, z) dV = \int g(x)dx \int h(y)dy \int k(z)dz\]3.坐标变换法当函数f(x,y,z)在直角坐标系中表达较为复杂时，可以通过坐标变换将其转换为其他坐标系，从而简化积分计算。
常用的坐标变换方法包括球坐标、柱坐标和三角代换等。
具体的变换公式可参考相关数学教材。
三、常见的应用三重积分在物理、工程和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用。
1.物理学在物理学中，三重积分常用于计算物体的质量、质心和转动惯量等。
三重积分的计算
方法2. 切片法 (“先二后一”)
设空间闭区域 ( x, y, z ) ( x, y ) D( z ), c1 z c2 ，
z
其中 D ( z ) 是用平面 z=z 截闭区域
所得的平面闭区域，则有
c2 dz c1
c2
z
c1
Dz
c1
f ( x, y, z)dv
D( z )
f ( x, y, z)dxdy.
o
x
y
（先二后一法) （切片法）
例1.计算 xdxdydz , 其中为三个坐标面
及平面x y z 1所围成的闭区域。
z
1
o
1
1
y
x
2 2 2 2 求由两个旋转抛物面 z 3 x y 和 z 5 x y 例2 的 x 0, y 0 部分所围成的立体区域 的体积.
2 2
点到 z 轴的距离 成正比，求其 质量 m 。
解：密度函数 ( x, y, z ) k x 2 y 2 (k 0) ，则
m k x 2 y 2 dxdydz 。
z
y z 4
x y 16
在 xoy 平面上的投影区域为
2
2
4
o x
Dxy {( x, y) x 2 y 2 16} ，
z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) z ( x, y ) f ( x, y, z )d z d xd y 1 该物体的质量为
z z2 ( x, y )
三重积分的几种计算方法
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1 r=1
z
用 = 截 得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd
*
2
0 d
r 3cos sin drd
D ( )
z x 0
2
0 d
z
z=z2(x, y)
f (x, y, z)dxdydz
y
[ z2 (x,y) f (x, y, z)dz]dxdy
z=z1(x, y)
D z1 ( x, y)
D
y=y2(x)
0
a y=y1(x) b
x
设 D 为 在 xy 平面上投影区域.
dxdy z2 (x,y) f (x, y, z)dz
z
x2 y2
.
4
y 原积分
a
r 2 r 2 sin drdd *
2
0 d
r 4sindrd
D( )
z
y
a
x
2
0 d
r 4sindrd
D( )
2
0
d
4
0
sin d
0ar
4dr
z
1a5 (2 2)
r=a
5
4
例7. 计算 f (x, y, z)dxdydz,表为球坐标系中的三 次积分，其中 为x2+y2+(z1)2≤1.
0
y= OPsin = rsin sin
yy
z= r cos
6.3三重积分的计算
z
z=z2( x, y) =
P 2
P 1
z=z1( x, y) =
将积分区域
向 oxy 平面
o
Dxy
( x, y)
y
投影, 得投影区域 D xy .
x
xy 型区域
= {( x , y , z ) z 1 ( x , y ) ≤ z ≤ z 2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ D xy },
2
π
例3. 计算 ∫∫∫ yzdxdydz , 其中 Ω 由 z =
Ω
R2 − x2 − y2 ,
x 2 + y 2 = Ry 及 z = 0 所围成 .
z
R
解： Ω 在 oxy 面上的投影 区域为 区域为 D xy ： x + y ≤ Ry ，
2 2
o
R
y
x
Ω = ( x , y , z ) 0 ≤ z ≤ R 2 − x 2 − y 2 , ( x , y ) ∈ D xy .
第三节 三重积分的计算 3.1 化三重积分为单积分与二重积分的累次积分
∫∫∫ f ( x , y , z）dV = λlim0 ∑ f（ξ i ,η i , ς i）⋅ ∆V i →
Ω i =1
n
其中 d V 称为体积元素 .
三重积分必定存在. 若 f ∈ C (Ω) ，则 f 在Ω上 的三重积分必定存在.
Ω
c2
c1
dz
D( z )
∫∫ f ( x, y, z)dxdy . (先二后一法)
x y . 类似地有 型和 型空间区域
例4. 计算 ∫∫∫ z dxdydz , 其中
2 Ω
§6.3 三重积分的计算
做平行x 0 y的平面截闭区域V , 得截面Dz : x y z ,
1
1
x2 2 y2 z 2 x2 2 2 1 x y 1 x 故V： 1 x 1
I dx
1
1
1 x 2 1 x
2
dy
2 x 2 x 2 y
2 2
f (x , y ,z )dz.
以上将三重积分化为三次积分是先计算一个定积分
V
x 2 y 2 dV ,其中V 是由不等式
z x 2 y 2， 1 z 4所确定的区域.
z 4
分析：如果采用先一后二 法，对 z 积分的上下限情 况怎样？
1 x y
例5 计算
V
x 2 y 2 dV ,其中V 是由不等式
z x 2 y 2， 1 z 4所确定的区域.
假设V中分布有体密度为 f (x,y,z)的某种物质， 在Dxy上点(x, y)处取面积元素
d dxdy 以 d 的边界 曲线为准线，作母线平行于z
轴的细长柱体，
d
该细长柱体可以看成以z为变量的细杆，它通过曲面 S1: z z1 ( x , y ) 进入区域V， 然后，通过曲面 S2 : z z2 ( x , y ) 穿出区域V外，其进入点与
V V
z 1 r
2
z 1 x2 y2
2
0
d rdr
0
1
1 r 2 0
zdz
1 1 2 d r 1 r 2 dr 0 2 0
三重积分的各种计算方法
x 2 + y 2 dz
= dx
−1
1
1− x 2
− 1− x 2
x 2 + y 2 (1 − x 2 + y 2 )dy
=
6
（注：可用柱坐标计算。 ）
解法二： “截面法” 1. 画出 。
0 2 : 0 r z 0 z 1
2. z [0,1] 过点 z 作垂直于 z 轴的平面截 得 D z ： x 2 + y 2 z 2
c1
c2
完成“后一”这一步，即
f ( x, y, z)dxdydz = [ f ( x, y, z ) d ] dz
c1 Dz
c2
当被积函数 f ( z ) 仅为 z 的函数（与 x，y 无关） ，且 D z 的面积 ( z) 容易求出时， “截 面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________
0 2 Dz ： 0 r z
下面用柱坐标计算积分结果 3. 计算：
x + y dxdydz = [ x 2 + y 2 dxdy ]dz
2 2 0 Dz
1
= [ d r 2 dr ]dz
0 0 0
1
2
z
1 2 z = 2 [ r 3 ]0 dz = z 3dz 3 3 0 0
2 2
三重积分的计算方法例题：
补例 1：计算三重积分 I
= zdxdydz ，其中 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面 x = 0，y = 0，z = 0
三重积分计算方法
(1 y z )2
Dyz
1 dy
0
1
x
1 1 y -(1-y )2 (1 e )dy 0 4e 2
1
y
0
(1 y )(1 y z )e
-(1-y-z )2
例4 计算 ( z 2 x )dv， : x 2 y 2 z 2 R 与
于是引力F在三个坐标方向上的分量为
m ( x , y , z )( x a ) Fx G dv, 3 r V m ( x , y , z )( y b) Fy G dv, 3 r V m ( x , y , z )( z c ) Fz G dv. 3 r V
,
M zx y M
y ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV
x
, z M xy M
o x
z
dV y
y
z ( x , y, z )dV ( x , y, z )dV
(二) 转动惯量
(1) 平面薄片的转动惯量
y
y
I x y 2 ( x , y )d
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
a
o
x
y
例10 求半球面 z 3a 2 x 2 y 2与旋转抛物面
x 2 y 2 2az 所围成立体的表面积. z
S = S1 S2
S1
S2
. .
o
D
.
2a
y
z 3a 2 x 2 y 2 D: 2 2 x y 2az x 2 y 2 2a 2 即 z 0
三重积分的计算
z1 S z z1 ( x, y) 1
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz
O
a
b
Dxy : y1 ( x) y y2 ( x),
y
a x b.
y y1 ( x )
Dxy
( x, y )
y y2 ( x )
x
f ( x, y, z )dv [
则
(先一后二） z2 ( x , y ) [ f ( x, y, z )dz ]dxdy
Dxy
f ( x , y , z )dv
z
z2
S2 z z2 ( x, y)
z1 ( x , y )
y2 ( x ) y1 ( x )
dx
b a
dy
z2 ( x , y )
z
M ( x, y, z )
M ( , , z )
z ＝常数 （水平平面）
由图可知 柱面与直角坐标的关系：
O
z
P ( , ) P ( x, y )
y
x cos y sin zz
(0 , 0 2 , z )
2 ( , )
因此
区域由直角变为柱面坐标表示
1 ( , )
f ( x, y, z)dv d d
D
f ( cos , sin , z )dz
f ( x, y, z)dv d d
D
2 ( , )
0 a, 0 2
za z ,
z
a
y
x
D
三重积分的计算
dx
a
y ( x ) d y z ( x, y )
1
z2 ( x, y )
f ( x, y, z )d z
投影法
d xd y
D
z2 ( x, y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
当被积函数在积分域上变号时, 因为
f ( x, y , z )
o y ( x, y,0) x
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
d v d d d z
因此
z
d
f ( x, y, z)dxd ydz
d d d z
z
o x d d
d dz
y
其中 F ( , , z ) f ( cos , sin , z )
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
对应雅可比行列式为 J ( x, y, z ) (u , v, w)
dudvdw
练习
1. 将 I
f ( x, y, z ) d v 用三次积分表示,其中由
六个平面 x 0 , x 2 , y 1, x 2 y 4 , z x , z 2 所
f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) f ( x, y , z ) 2 2 f1 ( x, y, z ) f 2 ( x, y, z )
均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二”
n
记作
f ( x, y, z)dv
三重积分求解方法
三重积分求解方法
三重积分求解方法有以下几种：
1. 直接计算法：将三重积分中的函数用多重积分的方法进行展开，然后进行求解。
2. 矢量法：将三重积分转化为矢量积分进行求解。
这种方法适用于区域比较复杂的情况，可以通过对积分路径的选择来简化计算。
3. 极坐标法：当被积函数在直角坐标系下比较复杂时，可以用极坐标系进行积分，将三重积分转化为二重积分进行求解。
4. 柱坐标法：类似于极坐标法，将三重积分转化为柱坐标系下的二重积分。
5. 球坐标法：将三重积分转化为球坐标系下的二重积分进行求解。
这种方法适用于被积函数具有球对称性的情况。
通过选择合适的积分方法，可以简化三重积分的计算过程，提高求解效率。
三重积分的几种计算方法
适用范围：适用于积分区 域复杂的情况
步骤：选择适当的坐标系， 进行坐标变换
优点：简化计算过程，提 高计算效率
奇偶性法
定义：利用奇偶函数的性质简化三重积分的计算 适用范围：被积函数或其变量具有奇偶性时 步骤：判断奇偶性，选择合适的坐标系和积分顺序，简化计算 示例：计算三重积分时，利用奇偶性法可以简化计算过程
添加标题
三重积分的几何意义：三重积分可以理解为三维空间中一个函数与一个封闭曲面所围成 的区域的体积。
添加标题
三重积分的计算方法：三重积分可以通过累次积分的方法计算，即先对一个变量进行积 分，再对另一个变量进行积分，最后对第三个变量进行积分。
添加标题
三重积分的物理应用：三重积分在物理学中有广泛的应用，如计算物体的质量、质心、 转动惯量等物理量。
对于每个微元体，我们可以计算其上的函数值与微元体的体积的乘积，即 微元体的质量。
将所有微元体的质量相加，即可得到整个积分区域上的函数值与体积的乘 积，即三重积分的结果。
利用微元法计算三重积分时，需要注意每个微元体的形状和大小，以及函 数值在微元体上的变化情况。
三重积分的计算技 巧
坐标变换法
定义：将三重积分转化为 容易计算的形式
近似计算法
近似计算法：利用泰勒级数展开或数值积分方法，将三重积分转化为数值计算，适用于复 杂函数或高维空间的积分计算。
坐标变换法：通过坐标变换简化积分计算，适用于某些特殊函数或几何形状的积分计算。
分部积分法：将三重积分转化为多个一元或二元积分的和或差，适用于具有易于计算积分 的部分的三重积分计算。
计算三维物体的体积 计算三维物体的表面积 计算三维物体的质心 计算三维物体的转动惯量
在工程中的应用
计算复杂几何体 的质量、质心和 转动惯量
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
三重积分计算
方法2 . 截面法 (“先重后单”)
方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
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方法1. 投影法 (“先单后重” ) z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) : ( x, y ) D 细长柱体微元的质量为
z2 ( x, y ) f ( x , y , z ) d z z ( x, y ) d xd y 1 该物体的质量为
z D z c z
a
2
c z c
解: :
by
x y z Dz : 2 2 1 2 a b c
2
2
2
x
用“先重后单 ”
z
d xd yd z
c
c 2 z dz c
D d x d y
z
2 4 z 2 2 z ab(1 2 )d z abc 3 c 15 c
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返重积分的换元积分公式:
f ( x, y, z ) d xd yd z * F (u, v, w) J
( x , y , z ) 对应雅可比行列式为 J (u , v, w)
dudvdw
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z z2 ( x, y )
z
z z1 ( x, y )
f ( x, y, z ) d v z ( x, y ) f ( x , y , z ) d z d xd y D z ( x, y )
2 1
x
D
y
d xd y
三重积分概念及其计算
三重积分概念及其计算三重积分是多重积分的一种，它用于计算三维空间中的体积、质量、质心等物理量。
在本文中，我们将详细介绍三重积分的概念和计算方法。
一、三重积分的概念三重积分是对三维空间中的函数进行求和的一种数学运算。
它可以用于计算空间中的体积、质量、质心等物理量。
三重积分通常表示为∭f(x,y,z)dV，其中f(x,y,z)是定义在三维空间中的函数，dV表示微小体积元素。
二、三重积分的计算方法1.直角坐标系中的三重积分在直角坐标系中，三重积分的计算可以采用分步积分的方法。
具体而言，首先需要确定积分区域的边界，然后分别对x、y、z进行积分。
设积分区域为V，边界为S。
根据积分的基本原理，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV=∫∫∫_Vf(x,y,z)dV其中V表示积分区域的体积，dV表示微小体积元素。
假设积分区域可以被表示为：V:a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x),p(x,y)≤z≤q(x,y)那么，三重积分可以分步计算为：∭f(x,y,z)dV = ∫∫∫_V f(x,y,z)dxdydz= ∫_a^b∫_(g(x))^(h(x)) ∫_(p(x,y))^(q(x,y)) f(x,y,z) dzdydx依次对x、y、z进行积分即可得到结果。
2.柱坐标系中的三重积分在柱坐标系中，三重积分的计算可以采用柱坐标系下的坐标变换公式。
具体而言，用柱坐标r、θ、z替换直角坐标系中的x、y、z，然后对新的坐标进行积分。
设柱坐标系下的积分区域为V，边界为S。
根据柱坐标系下的坐标变换公式，三重积分可以表示为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ其中 r 表示到原点的距离，θ 表示与正 x 轴的夹角，z 表示垂直于 xy 平面的坐标。
积分区域 V 在柱坐标系下的表示方式为：V:α≤θ≤β,g(θ)≤r≤h(θ),p(r,θ)≤z≤q(r,θ)根据这个表示，可以将三重积分计算为：∭f(x,y,z)dV = ∬∬∬_V f(rcosθ,rsinθ,z)rdzdrdθ= ∫_α^β ∫_(g(θ))^(h(θ)) ∫_(p(r,θ))^(q(r,θ))f(rcosθ,rsinθ,z) zdrdθ依次对θ、r、z进行积分即可得到结果。
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三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
区域z D 的边界曲面都是z 的函数。
计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步，即21(,,)[(,,)]zc c D f x y z dxdydz f x y zd dz σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 当被积函数()f z 仅为z 的函数（与 x y ，无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。
_____________________________________________________________________为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系下进行计算的问题。
可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)：(1) D 是 X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）；(2) D 是圆域（或其部分），且被积函数形如22 ()( )yf x y f x+，时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）；(3) Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算。
以上是一般常见的三重积分的计算方法，对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情 形不赘述。
三重积分的计算方法小结：1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数() f x y z ，，的情况选取。
一般地，投影法（先一后二）： 较直观易掌握；截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。
特殊地，对z D 积分时，(),,f x y z 与, x y 无关，可直接计算z D S 。
因而Ω中只要[] z a b ∈，, 且(),,f x y z 仅含z 时，选取“截面法”更佳。
2. 对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z 或22()z f x y +时，可考虑用柱坐标计算。
三重积分的计算方法例题：补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面000x y z ===，，围成的闭区域。
解法一：“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面投影域D 。
2. “穿线”y x z −−≤≤10X 型 D ：xy x −≤≤≤≤101∴Ω：y x z x y x −−≤≤−≤≤≤≤101013. 计算 .I zdxdydz Ω=⎰⎰⎰1110x yx I zdxdydz dx dyzdz −−−Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11201(1)2xdx x y dy −=−−⎰⎰122310011[(1)(1)]23x x y x y y dx −=−−−+⎰ 241]4123[61)1(6110410323=−+−=−=⎰x x x x dx x解法二：“截面法”1. 画出Ω。
2. [01] z ∈，过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。
z D 是两直角边为 x y ，的直角三角形， 11x z y z =−=−，3. 计算1[]zD I zdxdydz zdxdy dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11[]zzD D z dxdy dz zSdz ==⎰⎰⎰⎰110011()(1)(1)22z xy dz z z z dz ==−−⎰⎰ 123011(2)224z z z dz =−+=⎰ 补例2： 计算22x y dxdydz +⎰⎰⎰， 其中Ω是222z y x =+和1z =围成的闭区域。
解法一：“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面的投影区域D. 由2221z x y z ⎧=+⎪⎨=⎪⎩消去z ，得122=+y x 即D ：122≤+y x 2. “穿线”122≤≤+z y x ，X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−≤≤−221111x y x x ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+−≤≤−−≤≤−Ω11111:2222z y x x y x x3. 计算22x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰解：22x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰2221112211xxx y dxdyx y dz −−−−+=+⎰⎰⎰2211222211(1)x x dxx y x y dy −−−−=+−+⎰⎰6π=（注：可用柱坐标计算。
）解法二：“截面法”1. 画出Ω。
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω10020:z z r πθ2. ]1,0[∈z 过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D ：222z y x ≤+z D ： ⎩⎨⎧≤≤≤≤zr 020πθ下面用柱坐标计算积分结果3. 计算：122220[]zD x y dxdydz x y dxdy dz Ω+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1220[]zd r dr dz πθ=⎰⎰⎰113300122[]33zr dz z dz ππ==⎰⎰6π=补例3：化三重积分⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f I ),,(为三次积分，其中Ω是由222x 2z 2−=+=及y x z 所围成的闭区域。
解：使用“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面上的投影区域D.由 22222z x y z x⎧=+⎪⎨=−⎪⎩消去z ，得122=+y x即 D ：122≤+y x 2. “穿线” 22222x z y x −≤≤+X 型 D ：⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤−−≤≤−221111xy x x Ω：22222111122x x y x x y z x −≤≤⎧⎪⎪−−≤≤−⎨⎪⎪+≤≤−⎩3．计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω−−−−−+==11112222222),,(),,(x x x y x dz z y x f dydxdxdydz z y x f I注：当),,(z y x f 的解析式已知时，可用柱坐标计算。
补例4：计算zdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为22226y x z y x z +=−−=及所围成的闭区域。
解法一：使用“投影法”1. 画出Ω及在xoy 面的投影区域D ， 用柱坐标计算由⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθsin cos 化Ω的边界曲面方程为：z = 6 - r 2，z = r2. 解262=⎩⎨⎧=−=r rz r z 得 ∴D ：2≤r 即⎩⎨⎧≤≤≤≤2020r πθ “穿线” 26r z r −≤≤ ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧−≤≤≤≤≤≤Ω262020:r z r r πθ3．计算.zdxdydz Ω⎰⎰⎰26[]r Drzdxdydz zdz rdrd θ−Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰22226226012[]2r r r rd rdrzdz r z dr πθπ−−==⎰⎰⎰⎰22220[(6)]r r r dr π=−−⎰2250(3613)r r r dr π=−+⎰923π=解法二： “截面法”1. 画出Ω，如右图：Ω由r z r z =−=及26围成。
2. ]6,2[]2,0[]6,0[ =∈z 21Ω+Ω=Ω1Ω由z=r 与z=2围成； ]2,0[∈z ，z D ：z r ≤1Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤20020z z r πθ2Ω由z=2与z=26r −围成； ]6,2[∈z ，z D ：z r −≤62Ω：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−≤≤≤≤626020z z r πθ3. 计算.zdxdydz Ω⎰⎰⎰解：12zdxdydz zdxdydz zdxdydz ΩΩΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12262[][]z z D D z rdrd dz z rdrd dz θθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12262z z D D zSdz zS dz =+⎰⎰262202[()][(6)]z z dz z z dz ππ=+−⎰⎰263202(6)z dz z z dz ππ=+−⎰⎰923π=注：被积函数z 是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r 代换。
补例5： 计算22()x y dxdydz +⎰⎰⎰，其中Ω由不等式A z y x a ≤++≤≤2220，0≤z 所确定。
解：用球坐标计算。
由⎪⎩⎪⎨⎧===φρφθρφθρcos sin sin sin cos z y x 得Ω的边界曲面的球坐标方程：A a ≤≤ρP Ω∈，连结OP=ρ，其与z 轴正向的夹角为φ，OP=ρ。
P 在xoy 面的投影为P '， 连结P O '，其与x 轴正向的夹角为θ。
∴ Ω：A a ≤≤ρ，20πφ≤≤，πθ20≤≤2/2222220()(sin )sin Aax y dxdydz d d d ππθϕρϕρϕρΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰/235012sin []5Aa d ππϕρϕ=⎰/255302()sin 5A a d ππϕϕ=−⎰5522()153A a π=−⨯⨯554()15A a π=− 三重积分的计算方法练习1. 计算22)x y dxdydz +⎰⎰⎰（，其中Ω是旋转抛物面z y x 222=+与平面z = 2 , z = 8所围成 的闭区域。