三重积分的各种计算方法

三重积分的各种计算方法

计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，

，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，

， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标

( )F z d d dz ρρθρθΩ

⎰⎰⎰

，，(

)

2

s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ

⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。 —— 重积分的换元积分法

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三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

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1. 如果先做定积分2

1

() z z f x y z dz ⎰，

，，再做二重积分(,)xy

D F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。

步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，

完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，

即

()

()

21,,(,,)[(,,)]

xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ

=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

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2. 如果先做二重积分⎰⎰z

D d z y x f σ),,(再做定积分⎰2

1

)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二

后一”。

步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]

z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分⎰⎰z

D d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）

；进而计算定积分⎰2

1)(c c dz z F ，

完成“后一”这一步，即

2

1

(,,)[(,

,)]z

c c D f x y z dxdydz f x y z

d dz σΩ

=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 当被积函数()f z 仅为z 的函数（与 x y ，无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截

面法”尤为方便。

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为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系下进行计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)：

(1) D 是 X 型或

Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）；

(2) D 是圆域（或其部分），且被积函数形如22 ()( )y

f x y f x

+，时，可选择柱面坐标系计

算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）；

(3) Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(2

22z y x f ++时，可选择球面坐标系计算。

以上是一般常见的三重积分的计算方法，对Ω向其它坐标面投影或Ω不易作出的情 形不赘述。

三重积分的计算方法小结：

1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域Ω及被积函数

() f x y z ，，的情况选取。一般地，

投影法（先一后二）： 较直观易掌握；

截面法（先二后一）： z D 是Ω在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，

故较难一些。

特殊地，对z D 积分时，(),,f x y z 与

, x y 无关，可直接计算z D S 。因而Ω中只要

[] z a b ∈，, 且(),,f x y z 仅含z 时，选取“截面法”更佳。 2. 对坐标系的选取，当Ω为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面

所围成的形体；被积函数为仅含z 或22

(

)z f x y +时，可考虑用柱坐标计算。

三重积分的计算方法例题：

补例1：计算三重积分⎰⎰⎰Ω

=zdxdydz I

，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面000

x y z ===，，围成的闭区域。

解法一：“投影法”

1. 画出Ω及在xoy 面投影域D 。

2. “穿线”y x z −−≤≤10

X 型 D ：x

y x −≤≤≤≤101

∴Ω：y x z x y x −−≤≤−≤≤≤≤10101

3. 计算 .I zdxdydz Ω

=

⎰⎰⎰

1110

x y

x I zdxdydz dx dy

zdz −−−Ω

==⎰⎰⎰⎰⎰⎰

1

120

1

(1)2

x

dx x y dy −=−−⎰⎰

1

22310011[(1)(1)]23

x x y x y y dx −=−−−+⎰ 24

1]4123[61)1(611041

0323=−+−=−=⎰x x x x dx x

解法二：“截面法”

1. 画出Ω。

2. [01] z ∈，

过点z 作垂直于z 轴的平面截Ω得z D 。 z D 是两直角边为 x y ，的直角三角形， 11x z y z =−=−，