逻辑学悖论
布里丹悖论
布里丹悖论
摘要：
1.布里丹悖论的概念
2.布里丹悖论的实例
3.布里丹悖论的解决方法
4.布里丹悖论的意义
正文：
1.布里丹悖论的概念
布里丹悖论，又称布里丹公驴问题，是由13 世纪法国逻辑学家布里丹提出的一个逻辑悖论。
该悖论描述了一头公驴面临两个相同大小的草堆时，无法决定吃哪一个，最终可能导致公驴饿死的现象。
这个悖论揭示了在特定情况下，决策者可能会陷入无法做出决策的困境。
2.布里丹悖论的实例
为了更好地理解布里丹悖论，我们可以通过一个具体的实例来进行说明。
假设有一个人需要从两个相同大小的城市之间选择一个去旅游，他需要考虑很多因素，例如天气、景点、住宿等。
每个因素都有两个选项，那么这个人需要做出的决策就是2 的n 次方（n 为因素数量）个选项中的一个。
当n 趋近于无穷大时，这个人将无法做出决策，这就是布里丹悖论的典型实例。
3.布里丹悖论的解决方法
如何解决布里丹悖论呢？首先，我们可以通过降低决策标准来简化问题。
例如，在旅游决策中，我们可以设定一些权重，让某些因素比其他因素更重
要，这样在面临多个选项时，决策者就可以依据权重来选择。
其次，我们可以设定一个默认选项，当决策者无法做出决策时，可以选择默认选项。
这种方法可以有效地避免布里丹悖论带来的困境。
4.布里丹悖论的意义
布里丹悖论在逻辑学和哲学领域具有重要意义。
它揭示了在特定情况下，无限选择可能导致无法做出决策的问题。
同时，它也提醒我们在现实生活中做决策时要避免陷入类似的困境。
中国古典逻辑学的三种思维方式
中国古典逻辑学的三种思维方式中国古典逻辑学是中国古代哲学中的一个重要分支，其思维方式在中国哲学史上具有深远的影响。
在中国古典逻辑学中，存在着三种主要的思维方式，分别是辩证思维、悖论思维和类比思维。
这三种思维方式在古代中国哲学思想中扮演着重要的角色，对中国古代哲学的发展产生了深远的影响。
本文将分别介绍这三种思维方式，并探讨其在中国古典逻辑学中的地位和作用。
一、辩证思维辩证思维是中国古典逻辑学中一种重要的思维方式，其核心思想是对立统一。
辩证思维认为事物的发展是由对立面的斗争和统一推动的，对立面既相互排斥又相互依存，只有通过对立面的斗争和统一，事物才能不断发展。
辩证思维注重事物的全面性和发展性，认为事物是一个复杂的系统，需要从整体上把握，不能片面地看待问题。
在中国古代哲学中，辩证思维得到了广泛的应用。
例如，在《易经》中就包含了丰富的辩证思维，通过八卦和六十四卦的变化，揭示了事物发展的规律。
另外，在儒家思想中也包含了辩证思维的元素，如孟子的“天人合一”和“仁义道德”的思想，都体现了对立统一的辩证思维。
二、悖论思维悖论思维是中国古典逻辑学中另一种重要的思维方式，其核心思想是悖论。
悖论思维认为事物的发展是由矛盾和悖论推动的，悖论是事物内部的矛盾和冲突，只有通过解决悖论，事物才能得到发展。
悖论思维注重事物内部的矛盾和冲突，认为矛盾是事物发展的动力，只有通过解决矛盾，事物才能不断前进。
在中国古代哲学中，悖论思维也得到了广泛的应用。
例如，在道家思想中就包含了丰富的悖论思维，如老子的“道生一，一生二，二生三，三生万物”，揭示了事物发展的悖论规律。
另外，在佛家思想中也包含了悖论思维的元素，如空即是色、色即是空的思想，体现了事物内部矛盾的解决。
三、类比思维类比思维是中国古典逻辑学中第三种重要的思维方式，其核心思想是类比。
类比思维认为事物之间存在着相似性和类比关系，通过类比可以揭示事物之间的联系和规律，从而推导出新的结论。
第一章 逻辑学悖论优秀课件
4．一句话和他的反话
▪ M：这句话有几个 字？
▪ 七个字。
▪ 显然原话错了！那 么它的反话就应该 是对的吧，是不是？
4．一句话和他的反话
▪ M：不对，这句语的反话正好是八个字。 所以，它像它原来的话一样是错的。我们 怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？
2．说谎者悖论
▪ 学生们是否能够解释，为什么这类悖论采 用上述形式表达（即一句话谈的正是它本 身）就变得清晰起来？这是因为它消除了 说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真 话。
2．说谎者悖论
▪ 这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经 说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎， 就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想 了一会儿，就说：“不是。”
▪ 语句：“这句话是错的”。
5．发狂的计算机
▪ M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地 打出对、错、对、错的结果，陷入了无休 止的反复中。
5．发狂的计算机
▪ 世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的 计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和 西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈 佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎 者悖论时，计算机便进入反复振荡状态， 陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的 《逻辑机和逻辑图》）。
1．克里特人伊壁孟德
▪ 古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去 完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话 呢！
▪ 一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于 “说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。
▪ 有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱， 据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常 常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。
逻辑学悖论
逻辑学悖论说谎者悖论“这句话是错的。
”上面这个句子是对的吗？如果是对的，这句话就是错的；如果是错的，这句话就是对的。
这一类的悖论变化是无穷的。
例如，罗素曾经说，他相信哲学家乔治．摩尔平生只有一次撒谎，就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想了一会儿，就说：“不是。
”你可以创造一个这样的悖论吗？无穷倒退“先有鸡还是先有蛋？”先有鸡吗？不，它必须从鸡蛋里孵出来，那么是先有鸡蛋？不，它必须由鸡生下。
鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学为“无穷倒退“的最普通的例子，无穷倒退还有很多例子。
柏拉图：「下面苏格拉底说的话是假的。
」苏格拉底：「柏拉图说了真话。
」这是说谎者悖论的一个翻版。
假若苏格拉底说的是真的，那么柏拉图说的必然是真的。
但是，如果柏拉图说的是真的，那苏格拉底说的就必须是假的。
若我们假定苏格拉底说的是假的，那就意味着柏拉图说的是假的，这么，要是柏拉图说的是假的，苏格拉底说的就必须是真的，结果我们又从头开始，这个过程就会这样子一直重复下去。
理发师悖论“我给城里一切不自已刮脸者刮脸，我也只给这些人刮脸。
”著名的理发师悖论是伯特纳德．罗素提出的。
一个理发师的招牌写着如上面的告示。
谁给这位理发师刮脸呢？他提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个着悖论用故事通俗地表述出来。
某些集合看起来是它自已的元素。
现在来考虑一个由一切不是它本身的元素的集合组成的集合，这个集合是它本身的元素吗？无论你如何作答，都会得到矛盾。
设对于一类集合：A1={a11，a12，…a1i，…}，A2={a21，a22，…a2i，…}，…，A i={a i1，a i2，…a ij，…}都满足条件a ij∈A i ( i = 1，2，…j = 1，2，…)，但A i∉A i一切这类集合物成新集合A={A1，A2，…，A i} A1∈A，问A ∈A？如果认为A ∈A，则A应该不是自身集合的元素，即A ∉A；如果A ∉A，A就应是本集合的元素，即A ∈A，得到矛盾。
关于逻辑悖论问题
“悖论”一词的意思悖论是指一种导致矛盾的命题。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
注：包括罗素悖论和en:Liar paradox 的所有悖论，都有二个方向，即“清除悖论”和“理解悖论”。
西方文化偏向于“清除悖论”，包括中国文化和印度文化的东方文化偏向于“理解悖论”。
实际上，悖论有拓扑学模型的，其二维是莫比乌斯带，其三维是克莱因瓶。
参见“易联国际论坛”的《一个理论体系》例如：谎言者悖论是公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）说的话：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。
”如果这名诗人说的是真的，那么，克利特人与就不是说谎者，这个诗人不能排除在外；如果这名诗人说谎，那么克利特人就不是说谎的群体，这个诗人也应该不是说谎者，这和诗人说谎矛盾。
这就是悖论。
关于逻辑悖论问题1、逻辑中的悖论佯谬2、记者：您在前面多次谈到了"悖论"这个词。
请问什么是悖论？何新：在近代科学哲学中，存在着两大佯谬。
第一是前面我们曾讨论过的归纳法佯谬，是休谟所提出，普遍性与必然性不存在于感性的经验观察中，因此归纳法缺少一个客观意义的基础。
第二就是关于逻辑悖论的佯谬。
记者：究竟什么是逻辑悖论？何新：所谓悖论（Paradox），康德称作"二律背反"，黑格尔称作辩证矛盾。
它指的是两个相反的或互相矛盾的命题，但从正面论证则其反面成立，从其反面论证则其正面成立。
悖论的存在，使得思维和语言陷入自相矛盾，成为语义混乱而不知所云。
逻辑学悖论之三：实质蕴含悖论
逻辑学悖论之三：实质蕴含悖论逻辑学悖论之三：实质蕴含悖论早就有⼈指出，现代逻辑学的真值函项理论只是⼀个⾃⾜的符号演算体系，和我们所使⽤的逻辑⽅法⽆关。
作为⼀个⾃⾜的符号演算体系，这个体系实际上就是布尔演算体系。
在布尔演算体系中，符号→是多余的。
逻辑论证的基本形式是“如果，则”语句：“如果A为真，则B为真”。
后来有⼈将其⽤符号来表⽰，就是p→q（也有⽤其它符号替代→的）。
在这⾥，字母符号所代表的都是命题。
逻辑论证的基本形式是“如果，则”语句，但并⾮所有的“如果，则”语句形式都是逻辑论证。
这个差别另⽂讨论。
⾃从逻辑学家⽤连接词来表⽰复合命题以来，→和 ¬、∧、∨⼀样都是基本连接词。
然⽽，尽管p∨q、p∧q、¬p都是复合命题，但它们都不是“论证”。
我们既可以⽤集合的语⾔甚⾄图式（例如⽂恩图）、也可以⽤布尔算法来演算以这三个连接词所连接的复合命题的真伪，前提是我们已知其中原⼦命题p和q的真伪。
ｐ→ｑ完全不⼀样，它是逻辑论证的基本形式。
如果它不是唯⼀的逻辑连接词，它也是最重要的逻辑连接词。
⾃从逻辑论证被写成p→q的形式以后，逻辑学家就⾯临⼀个困难：如何定义它？与此等价的问题是：如何判断它的真伪？逻辑学家发明了⽂恩图，使⽤这个⼯具可以定义p∨q、p∧q、¬p，但⽂恩图不能定义p→q。
这就是⽂恩图⼯具的致命缺陷：尽管它可以⽤来消除“和语句”、“或语句”和“⾮语句”这样的复合语句可能产⽣的歧义，却不能⽤来论证任何⼀个理论。
布尔代数也是⼀样，布尔代数中没有“→语句”。
布尔等式可以⽤来将某个使⽤连接词¬、∨、∧的语句转换成另⼀个形式，例如p∨q=q∨p，之类。
但⽤布尔等式算不出其中任何⼀个原⼦命题p或q的真伪。
简⾔之，定义和对p∨q、p∧q、¬p语句做演算，确实可以避免我们在使⽤“和”、“或”、“⾮”这些连接词的时候产⽣歧义，但即便我们准确使⽤了这些连接词我们也⽆法论证任何⼀个命题的真伪。
【高中数学】逻辑学悖论--鳄鱼和小孩
【高中数学】逻辑学悖论－－鳄鱼和小孩
m；希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事。
一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。
鳄鱼：我会吃掉你的孩子吗？如果答案是正确的，我会把孩子还给你，不会有任何伤害。
母亲：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。
鳄鱼：。
我该怎么办？如果我把孩子还给你，你就错了。
我应该吃了他。
m：鳄鱼碰到了难题。
它把孩子既要吃掉，同时又得交还给孩子的母亲。
鳄鱼：好吧，所以我不会把它给你。
母亲：可是你必须交给我。
如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交回给我。
男：笨拙的鳄鱼惊呆了。
结果，他把孩子还给了母亲。
母亲抓住孩子逃跑了。
鳄鱼；他妈的！要是她说我要给回她孩子，我就可美餐一顿了。
如果你仔细思考这个著名的悖论，你就会明白母亲是多么聪明。
她说得对吗？鱼说：“你会吃掉我的孩子。
”。
无论
高中数学
鱼怎么做，都必定与它的允诺相矛盾。
如果它交回小孩，母亲就说错了，它就可以
吃掉小孩。
可如果它吃掉小孩，母亲就说对了，这就得让它把孩子无伤害地交出来。
?鱼
陷入了逻辑悖论之中，它无法从中摆脱出来而不违背它自己。
如果没有，假设母亲说，“你要把孩子还给我。
”
那么，?鱼就随便了，它既可以交回孩子，也可以吃掉他。
如果它交回小孩，母亲就
说对了，?鱼遵循了自己的诺言。
反过来，如果它一些的话，它可以吃掉孩子，这使得母
亲的话错了，?鱼便可以从交回小孩的义务中解脱出来。
逻辑矛盾的经典例子
逻辑矛盾的经典例子全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：逻辑矛盾可以说是哲学中一个非常重要的概念，它涉及到我们思维的一些基本原则和规律。
在逻辑学中，矛盾是指两个或多个命题或陈述之间的不一致性或矛盾性。
当我们在思考某个问题时，如果存在逻辑矛盾，那么这个问题就很可能是无法解决的。
下面我们将介绍一些关于逻辑矛盾的经典例子。
第一个例子是著名的“蒙提霍尔悖论”，也称为巴贝尔塔的悖论。
这个悖论源自古希腊哲学家蒙提霍尔提出的一个问题：“所有克里特人都是说谎者。
”问题的关键在于，如果这个命题是真实的，那么所有克里特人都在说谎；但如果他们在说谎，这个命题也就是假的。
这个命题既不可能是真实的，也不可能是假的，形成了逻辑矛盾。
第二个例子是“理发师悖论”。
这个悖论源自奥地利数学家庞加莱提出的一个问题：“假设一个村庄中的所有男性都只接受那些不为自己理发的理发师的理发。
”这个问题看似简单，但实际上产生了一个逻辑矛盾。
因为这个命题要求男性只能让那些不为自己理发的理发师给自己理发，但如果有一个理发师不为自己理发，那么他就符合了这个条件，但他只能为不为自己理发的人理发，也就是他自己。
这样就形成了一个循环推理，无法解决。
第三个例子是“罗素悖论”，也被称为巴克斯悖论。
这个悖论源自数学家、逻辑学家罗素提出的一个问题：“考虑一个集合，其中所有不属于自己的集合都属于自己。
”这个问题看似简单，实际上也会导致逻辑矛盾。
因为如果存在这样一个集合，那么它必然包含了所有不属于自己的集合，但这样一来，这个集合也应该属于自己。
这种循环推理导致了逻辑矛盾。
以上这些例子只是逻辑矛盾问题中的一部分，但足以说明逻辑矛盾在我们思维中的重要性。
逻辑矛盾不仅仅是一种哲学概念，它也经常出现在我们生活和工作中的各个方面。
在处理逻辑矛盾时，我们需要保持头脑清晰，客观分析，避免陷入无解的困境。
逻辑矛盾虽然很有趣，但在解决问题时我们应该避免它。
逻辑矛盾可以帮助我们发现问题，但解决问题时我们还是需要遵循逻辑规律，保持思维的清晰和连贯。
逻辑学十大悖论
逻辑学十大悖论
1、卢卡斯悖论：一切都不可能同时真实和不真实。
2、回归悖论：因为一个命题的过去正确性不能推断其现在和未来的正确性，所以一切命题都是正确和错误。
3、伦敦悖论：如果一个命题既不可能真实，也不可能虚假，那么它也不可能是真实和虚假。
4、无据悖论：如果一个命题的真假不可能有证据证明，那么它就不可能是真的也不可能是假的。
5、对立悖论：如果一个命题既不可能真实，也不可能虚假，那么它不可能是真实也不可能是虚假。
6、无原则悖论：一切命题都不可能既真实又假，也不可能既真实又不假。
7、笛卡尔悖论：如果一个命题的真伪可以被推理出来，那么它也不可能是真的也不可能是假的。
8、反言悖论：如果一个命题的真实性和假性可以被同时推导出来，那么它就不可能是真的也不可能是假的。
9、子句悖论：如果一个命题的子句的真实性和假性都可以被推理出来，那么它就不可能是真的也不可能是假的。
10、并行悖论：如果一个命题的两个版本都可以被推理出来，那么它就不可能是真的也不可能是假的。
世界10个著名悖论
世界10个著名悖论全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在哲学中，悖论是指逻辑上似乎矛盾或荒谬的命题或命题集合。
世界上存在许多著名的悖论，它们挑战着人类的逻辑思维和认知能力。
以下将介绍世界上十个著名的悖论，让我们一起探索这些神秘的哲学难题。
1. 赫拉克利特的悖论赫拉克利特，古希腊哲学家和学派创始人，提出了一条著名的悖论：“你无法两次踏入同一条河流。
”这句话看起来似乎有点荒谬，因为我们通常认为河流是不变的。
但赫拉克利特认为，随着时间流逝，河流中的水始终在流动变化，所以每一刻都不同，因此我们无法两次踏入同一条河流。
2. 动物乐园悖论动物乐园悖论是一种心理学悖论，描述了一个虚构的动物乐园，里面有两个笼子，一个有一只狮子，一个有一只老虎。
如果你告诉一个笼子里的动物说你要将它移到另一个笼子，它会咬你，但如果你告诉另一个笼子里的动物说你要将它移到另一个笼子，它会让你带走它。
这个悖论揭示了人类对于未知的恐惧和对于已知的接受的心理差异。
3. 贝拉米悖论贝拉米悖论是一个关于不可能的事件序列的悖论。
如果有一个事件序列，按照某种规则无限延伸，那么这种序列要么会在某个时刻中断，或者会继续无限延伸。
贝拉米悖论揭示了人类对于无限和不可能的事物的理解上存在的困惑。
4. 费尔巴哈里悖论费尔巴哈里悖论描述了当一个人说自己是说真话时，他实际上在说谎。
这个悖论表明了人类在语言和真实之间存在的模糊性和混淆。
5. 罗素悖论罗素悖论是一个逻辑上的悖论，描述了一个人被称为“巴比伦码头负责人”的人，他负责所有不能自己负责的人的工作。
这个人是否应该负责自己的工作呢？如果他负责自己的工作，那么他就不需要负责所有不能自己负责的人的工作；如果他不负责自己的工作，那他也不符合自己的规定。
这个悖论揭示了逻辑上的自指问题。
6. 阿奇里斯和乌龟的悖论阿奇里斯和乌龟的悖论是描述了一个虚构的竞赛，阿奇里斯和乌龟同时出发，但是在阿奇里斯追上乌龟之前，乌龟已经跑到了某个点，然后阿奇里斯再追上这个点之前，乌龟又跑到了另一个点，以此类推。
逻辑学中的谜题与悖论
逻辑学中的谜题与悖论逻辑学是一门研究推理和思维规律的学科，它旨在帮助我们理解和分析思维过程中的逻辑性。
然而，在逻辑学中，存在一些令人困惑的谜题和悖论，挑战着我们对于逻辑的理解和应用。
本文将探讨一些经典的逻辑学谜题和悖论，带领读者一同进入逻辑的迷宫。
1. 赫拉克利特的悖论古希腊哲学家赫拉克利特提出了一种被称为“悖论”的思维实验。
他说：“你无法踏入同一条河流两次。
”这个命题看似简单，但实际上却引发了人们对于时间和变化的思考。
如果我们认为河流是不断变化的，那么每一刻我们踏入的都是不同的河流；然而，如果我们认为河流是连续不断的，那么每一刻我们踏入的又是同一个河流。
这个悖论揭示了时间和变化的复杂性，挑战了我们对于世界的稳定性的认知。
2. 贝利的悖论数学家贝利提出了一种被称为“贝利的悖论”的悖论。
他说：“这句话是假的。
”这个命题看似简单，但实际上却陷入了自指的困境。
如果这句话是真的，那么它就是假的；然而，如果这句话是假的，那么它又是真的。
这个悖论揭示了自指命题的复杂性，挑战了我们对于命题真假的确定性。
3. 瑞塞尔的悖论哲学家瑞塞尔提出了一种被称为“瑞塞尔的悖论”的悖论。
他说：“这个村庄中的所有人都不为自己刮胡子。
”这个命题看似简单，但实际上却陷入了自指的困境。
如果这个命题是真的，那么至少有一个人不为自己刮胡子；然而，如果这个命题是假的，那么所有人都为自己刮胡子。
这个悖论揭示了自指命题的复杂性，挑战了我们对于命题真假的确定性。
4. 罗素悖论逻辑学家罗素提出了一种被称为“罗素悖论”的悖论。
他说：“在这个村庄中，只有那些不为自己刮胡子的人才为自己刮胡子。
”这个命题看似简单，但实际上却陷入了自指的困境。
如果一个人不为自己刮胡子，那么根据命题，他应该为自己刮胡子；然而，如果一个人为自己刮胡子，那么根据命题，他又不应该为自己刮胡子。
这个悖论揭示了自指命题的复杂性，挑战了我们对于命题真假的确定性。
逻辑学中的谜题和悖论是对我们思维的挑战，它们揭示了逻辑的复杂性和局限性。
悖论与逻辑矛盾
悖论与逻辑矛盾悖论和逻辑矛盾是哲学和逻辑学中常被讨论的概念，它们揭示了人类思维的局限性和复杂性。
悖论是指一个陈述或推理出现自相矛盾的情况，而逻辑矛盾则是指某种推理在形式上是正确的，但其结论与事实相悖。
这两个概念虽然不同，但却在反映了人类思考和逻辑推理过程中的困境。
悖论常常令人头疼，因为它们似乎违背了逻辑的基本原理。
例如，著名的“库克郡贝利维拉狙击手悖论”就是一个经典的例子。
悖论的主要特征是含有自我指涉的元素，而这种自我指涉导致了推理的自相矛盾。
这类悖论常常是以庞加莱悖论、罗素悖论等名词加以命名，成为了哲学家们思考的对象。
逻辑矛盾则更多地关注于推理的过程和结果。
逻辑矛盾的出现是由于我们的认知有时候无法完全理解和捕捉到现实世界的复杂性和多样性。
在日常生活中，我们常常会遇到逻辑矛盾的情况，比如一个人在不同的场合说了相悖的话，或者一个说法在逻辑上是正确的，但在实际应用中却不合适或不准确。
悖论和逻辑矛盾揭示了人类思维和逻辑的局限性，同时也引发了人们对于现实世界和真理的不确定性。
人类的思维是有限的，我们无法涵盖所有可能的情况和所有的信息。
因此，在推理和思考过程中，我们常常会遇到悖论和逻辑矛盾。
这些困境也影响了我们对于真理的追求和认知的过程。
悖论和逻辑矛盾也对于科学研究和哲学思考产生了深远的影响。
在科学研究中，悖论和逻辑矛盾常常成为推动思考和突破的力量。
通过揭示矛盾和困境，科学家们能够提出新的理论和观点，促进科学知识的进步。
在哲学思考中，悖论和逻辑矛盾则引发了对于真理、知识和认识论的深刻讨论。
哲学家们通过对逻辑矛盾的思考，提出了不同的解决方案和对于真理的多元观点。
悖论和逻辑矛盾的存在也提醒我们要保持谦逊和开放的心态。
人类的思维有时候是有限而片面的，我们应该意识到自己对于真理和知识的局限性。
面对悖论和逻辑矛盾，我们应该保持思考的灵活性和批判性，同时也要尊重不同观点和思想的存在。
总而言之，悖论和逻辑矛盾是人类思维和逻辑推理中的常见困境。
悖论
悖论原理
同时假定两个或更多不 能同时成立的前提， 能同时成立的前提，是一切 悖论问题的共同特征。 悖论问题的共同特征。
“悖论”这个词的意义比较丰富，它包括一 切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结 论。那些结论会使我们惊讶无比。悖论主 要有三种形式： 1.一种论断看起来好象肯定错了，实际上却 是对的（佯谬）； 2.一种论断看起来好象肯定对了，实际上却 错了（似是而非）； 3.一系列理论看起来好象无懈可击，却导致 了逻辑上自相矛盾。
公孙龙论秦赵之约
《吕氏春秋》介绍过公孙龙的一个诡论：秦国与赵国订立 条约：今后，秦国想做的，赵国帮助；赵国想做的，秦国帮助。 不久，秦国兴师攻打魏国，赵国打算援救。秦王不高兴，差人 对赵王说：秦国想做的，赵国帮助；赵国想做的，秦国帮助。 现在秦国要打魏国，而赵国援救他们，这是违约。赵王把这个 消息转告给平原君，平原君向公孙龙请教。公孙龙回答：“赵王 也可以派人对秦王说：赵国打算援救魏国，现在秦国却不帮助 赵国，这也不合乎条约。” 不管这个寓言的真实性如何，他的推理无懈可击。公孙龙 对于秦赵之约的回应，与邓析赎尸诡论可谓一脉相承。
西方悖论的起源
西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（ 有“西方孔子 之称的雅典人苏格拉底（Socrates， 西方孔子 之称的雅典人苏格拉底 ， 公元前470－前399）是古希腊的大哲学家，曾经与普 公元前 － ）是古希腊的大哲学家，曾经与普 洛特哥拉斯 哥吉斯等著名诡辩家相对。 哥拉斯、 洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立 “定 定 以对付诡辩派混淆的修辞， 义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂 以对付诡辩派混淆的修辞 但是他的道德观念不为希腊人所容， 说。但是他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁 的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱 的时候被当作诡辩杂说的代表。 书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑， 逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但 是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。 柏拉图和亚里 是他的学说得到了柏拉图和亚里士多德的继承。 苏格拉底有一句名言： 我只知道一件事 我只知道一件事， 苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就 是什么都不知道。 是什么都不知道。” 这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格 这是一个悖论， 拉底是否对这件事本身也不知道。 拉底是否对这件事本身也不知道。
科洛佛悖论是什么理论
科洛佛悖论是什么理论科洛佛悖论是一种逻辑悖论，它涉及到关于真理和谬误的观念。
科洛佛悖论由法国哲学家安德烈·科洛佛于1971年提出，他在一本名为《汤姆·索亚历险记》的小说中首次描述了这个悖论。
尽管科洛佛悖论是一个相对较新的悖论，但它引起了哲学家和逻辑学家们的广泛关注，并在以后的研究中得到了发展和扩展。
基本上，科洛佛悖论提出了一个关于真理的问题，这个问题产生于与一个虚构故事相关的陈述的真实性。
这个故事描述了一个人物的谋杀案件，并指出了真凶的身份。
然而，科洛佛悖论的问题在于，如果真凶读到了这一故事，并将故事中描述的人物与自己联系起来，那么这个陈述就成了自相矛盾的。
具体来说，科洛佛悖论涉及到以下几个因素：第一，故事中的描述是关于真实的谋杀案件的；第二，这个陈述揭示了真凶的身份；第三，真凶读到了这个陈述。
但是，如果真凶读到了这个陈述，并确认故事中的描述与他的自身情况相符，那么他就是真凶。
然而，这会导致一个自相矛盾的情况，因为陈述中的真凶与真凶本人是不同的。
这个悖论的核心在于描述的真实性问题。
如果这个陈述是真的，那么真凶读到它将导致自相矛盾。
而如果这个陈述是虚构的，那么对于真凶来说，它并不相关，因为它只涉及到一个虚构故事。
然而，无论是哪种情况，科洛佛悖论都会在逻辑上产生矛盾。
科洛佛悖论引发了许多哲学和逻辑学上的讨论。
其中之一是关于语义的问题，即该陈述是否包含自指。
如果包含自指，那么科洛佛悖论就成为一种自我指涉的陈述。
这就涉及到语言和描述的本质，以及对于真理和语义的理解。
此外，科洛佛悖论也引发了对知识和认知的研究。
它暗示了一个关于知识的问题，即真凶是否真的知道他是真凶。
如果真凶真的知道自己是真凶，那么他就能意识到这个陈述的冲突。
然而，如果他不知道自己是真凶，那么他就没有这个意识，因此他也不会有冲突的感觉。
科洛佛悖论是逻辑学和哲学领域中一个有趣且复杂的问题。
它涉及到关于真实性、语言描述和认知的重要议题。
逻辑悖论例子
逻辑悖论例子逻辑悖论是指在一定的逻辑框架内，因为某些语言表达的特殊性质，出现了不合理、自相矛盾的情形。
逻辑悖论在哲学、数学等学科领域经常出现，下面将介绍一些著名的逻辑悖论。
一、巴贝尔塔“巴贝尔塔”是指那些让人费解、无法真正说清楚的句子。
“这句话是假的”这句话既不是真也不是假，类似的例子还有“这句话不能被证明”“我正在说谎”等等。
二、史帝文森悖论由英国逻辑学家史帝文森发现，输入一个谎言检测程序，如果该程序检测到一个句子是谎言，则该句话的意义为真假都成立。
如果使用一个检测程序检测“我正在撒谎”，则该程序应该会认为这是一个真话，但事实上这是一个谎言。
三、罗素悖论罗素悖论起源于英国数学家伯特兰·罗素提出的一个经典的问题：是否存在一个集合，它包含所有的不包含自身的集合？如果假设存在这样的集合，那么它就是自己的一个元素，但这与它不包含自身的定义相矛盾；如果假设不存在这样的集合，那么这个集合不属于它自己，但根据定义，它包含了所有不包含自身的集合，这也与定义相矛盾。
罗素悖论出现了。
四、贝利帕齐悖论贝利帕齐悖论是由美国逻辑学家霍华德·贝利帕齐提出的一个逻辑悖论。
它可以表示成如下的形式：在一个小镇里，只有一个理发店，这家理发店只有一个理发师。
理发师只会给那些不给自己理发的人理发。
这个时候，问题来了：理发师会给自己理发吗？这个问题似乎没有简单的答案，如果理发师给自己理发，那么他就违反了他自己的规则，因此不应该给自己理发，但如果他不给自己理发，那么他就是那些不给自己理发的人之一，这就违反了他的规则，也不应该给别人理发。
这个问题并没有合理的答案。
五、费雷德悖论这个悖论的解释是：既然我们重新放回了一个道具，那么下一次取出的道具与上一次的道具颜色是完全独立的。
每一次取道具的概率都是1/2，最终抽出与前一次不同颜色的道具的概率仍然为1/2。
但这个悖论挑战了我们直觉上的思维方式，让我们产生了迷惑和困惑。
六、索格勒缪尔逊悖论索格勒缪尔逊悖论是1975年由美国动物学家索格勒提出的。
布雷斯悖论例子
布雷斯悖论例子什么是悖论？悖论是指不合逻辑、违背常识的陈述、论证或命题。
悖论经常出现在哲学、数学和逻辑学等领域中，它挑战人们的思维方式和认知能力。
在逻辑学上，悖论常常以自指的方式出现，例如“我说的话是假的”。
这种自指的悖论常被用于探讨真理和语言的本质。
布雷斯悖论简介布雷斯悖论是由数学家塞缪尔·布雷斯发现的一种悖论。
它涉及到一个称为“布雷斯序列”的数列。
布雷斯序列的构造方法如下：1.开始时，设a₁=1/2。
2.对于每个正整数n，如果aₙ>1/2，那么设aₙ₊₁=2aₙ-1；如果aₙ≤1/2，那么设aₙ₊₁=2aₙ。
3.根据上述规则，我们可以得到一个数列：1/2，1，1/2，1，1/2，1，…布雷斯悖论的悖论之处在于，根据构造规则，数列中的每一个数都不断地靠近1/2，但是这个数列并没有收敛于任何一个特定的数值。
布雷斯悖论的推导过程1.假设这个数列存在极限L，即当n趋向于无穷大时，aₙ趋向于L。
2.根据构造规则，当aₙ>1/2时，aₙ₊₁=2aₙ-1；当aₙ≤1/2时，aₙ₊₁=2aₙ。
因此，对于任意正整数k，我们可以找到一个n₀，使得aₙ₀=1/2，然后根据构造规则我们可以得到aₙ₀₊₁=2aₙ₀=1，aₙ₀₊₂=2aₙ₀₊₁=2。
3.因为1和2都是大于1/2的数，根据构造规则，我们可以一直往后构造出越来越大的数，所以数列中一定存在无数个大于1/2的数。
4.当n趋向于无穷大时，数列中大于1/2的数的个数将趋向于无穷大，而数列的总项数是无穷多的，因此数列中大于1/2的数的个数与数列的总项数相比，比值为无穷大除以无穷大。
5.由极限的定义可知，无穷大除以无穷大是一个不确定的形式，可能是任何一个实数，也可能不存在。
所以数列的极限L不确定。
布雷斯悖论的解释布雷斯悖论的解释在于对极限的理解。
在大多数情况下，我们认为当一个数列无限接近某个数L时，这个数列的极限就是L。
但是布雷斯悖论显示了，在某些特殊情况下，数列可能无法收敛于一个确定的数值，即没有一个特定的极限。
十大经典悖论
十大经典悖论十大经典悖论是哲学领域的重要内容，它们涉及到逻辑、时间、空间、道德等方面的问题。
本文将列举十大经典悖论，并以人类的视角进行描述，使读者能够更好地理解和感受这些悖论的深刻意义。
1. 哥德尔不完备定理：哥德尔不完备定理是数理逻辑中的一个重要定理，它表明在任何一种包含自然数理论的形式化系统中，总存在一个命题，既不能被证明为真，也不能被证明为假。
这个定理揭示了数学的局限性，使人们对数理推理的可靠性产生了质疑。
2. 赫拉克利特的“河流悖论”：赫拉克利特认为，时间就像一条流动的河流，我们无法踏进同一条河流两次。
这个悖论揭示了时间的变幻无常和不可逆转性，使人们对时间的理解产生了困惑。
3. 巴塞尔悖论：巴塞尔悖论是数学中的一个悖论，它表明一个无穷级数的和可以是有限的。
这个悖论挑战了人们对无穷的直觉理解，使人们对数学的完整性产生了怀疑。
4. 贝利悖论：贝利悖论是概率论中的一个悖论，它表明一个有限个事件的概率之和可以超过1。
这个悖论对人们的常识和直觉产生了冲击，使人们对概率的理解产生了困惑。
5. 孟德尔悖论：孟德尔悖论是遗传学中的一个悖论，它表明如果两个性状是独立遗传的，那么它们在后代中的比例将保持不变。
这个悖论挑战了人们对遗传规律的理解，使人们对基因的传递方式产生了疑惑。
6. 斯特雷奇悖论：斯特雷奇悖论是集合论中的一个悖论，它表明如果一个集合包含自身的所有子集，那么它将导致自身的存在和不存在同时成立。
这个悖论揭示了集合论的复杂性，使人们对集合的定义和性质产生了疑问。
7. 巴塞尔巴伐利亚悖论：巴塞尔巴伐利亚悖论是哲学中的一个悖论，它表明一个合理的信念系统可能会导致自相矛盾的结论。
这个悖论挑战了人们对合理性和一致性的理解，使人们对知识和信念的可靠性产生了怀疑。
8. 雅可比悖论：雅可比悖论是微积分中的一个悖论，它表明一个函数在一个点处有连续导数，并不意味着它在该点处是可微的。
这个悖论揭示了微积分的复杂性，使人们对导数的定义和性质产生了疑惑。
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逻辑学悖论如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念，刁就会发现，凚没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。
凐他们被一步一步地引上繁花似锦的小道，凘遵循着一条无懈可击的推理思路往前走，凎结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。
凥到底是什么错了？难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗？这一章的主要目的，刋是尽可能用娱乐的方式，刢通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。
凭在这里，刧“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。
凭在其他几章中，凾悖论是强烈违反我们直觉的问题。
凞在这里，利悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，凌就像证明2+2又等于4，列又不等于4一样。
凚逻辑悖论是“不可解”的，別除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。
凉尽管从古希腊起到今天，刦逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，减可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。
凕在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。
刅在这里，利你会看到引自伯特兰德?罗素的话，刎他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功，切后来他和阿尔弗雷德?怀特里德合作，凟写了《数学原理》，凶这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。
凭作为一个数学教师，刃不用人提醒就懂得，刋逻辑学是一切演绎推理的基础，凑一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。
処对这些基础的理解往往是较困难的，凥它使初学学生丧失对数学的兴趣。
刏幸好，凷这组故事可以帮助你使学生认识到，凐逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味，刜而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。
凣在这组故事中有三个中心问题。
凳1．在我们谈论语句的真实价值时，凶为什么需要以一种更高级的语言(称为“元语言”)来谈论它？2．为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素？3．在什么样的特殊情况下，凬预言未来在逻辑上是不可能的？最好是在学习逻辑学、集合论或演绎（推理）证明的时候来认真阅读这一部分。
几现代几何学教科书，出如雅可比的《几何学》，凧和很多代数以及普通数学教科书一样是以演绎推理开头的。
刡如果你使用的是这类教科书．那末在教课（或学习）之前最好先看看这一章。
凜这一章的内容为展开演绎推理方面的讨论提供了丰富的背景知识，凩并预计到可能会提出的问题，几还为较优秀的学生提供了很多精彩的补充材料。
凷1．克里特人伊壁孟德伊：所有的克里特人都是撒谎者。
减M：他说的是真的吗？如果他说的是实话，刧那么克里特人都是撒谎者，凑而伊壁孟德是克里特人，刋他必然说了假话。
判他撒谎了吗？如果他确实撒了谎，初那么克里特人就都不是说谎的人，刂因而伊壁孟德也必然说了真话。
刦他怎么会既撒谎，凬同时又说真话呢？伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，凔他在公元前6世纪住在希腊。
刑有一个神话说他曾经一下子睡了57年。
凹关于他的上面那段文字，刚如果我们假定撒谎者总是说假话，删不撒谎的人总是说真话，刅那么就会出现逻辑的矛盾。
刞按此假定，凥“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，刜因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，划因此他说的就不是真话。
利可是这又意味着克里特人是说真话的，刁那么伊壁孟德说的话也必定是真话，刘因此上面引的那句话也不可能是假话。
刏古希腊人曾为此大伤脑筋，凫怎么会一句话看上去完美无缺，刧自身没有矛盾，刦却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，刋克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，刑没有一篇成功。
凤有一位希腊诗人叫菲勒特斯，凜他的身体十分瘦弱，凲据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，凇他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。
刦在《新约》中，几圣?保罗在他给占塔斯的书信中也引述过这段悖论（1:12 ? 13）。
凜2．说谎者悖论M：我们陷入了著名的说谎者悖论之中。
分下面是它的最简单的形式。
凶甲：这句话是错的。
凰M：上面这个句子对吗?如果是对的，凛这句话就是错的！如果这句话是错的，凌那这个句子就对了！像这样矛盾的说法比你所能想到的还要普遍得多。
凷学生们是否能够解释，凍为什么这类悖论采用上述形式表达（即一句话谈的正是它本身）就变得清晰起来？这是因为它消除了说谎者是否总是说谎，凡不说谎者总是说真话。
凛这一悖论作这类变化是无穷的。
凙例如，凲罗素曾经说，凝他相信哲学家乔治?摩尔平生只有一次撒谎，凔就是当某人问他：是否他总是说真话时，凕摩尔想了一会儿，凍就说：“不是。
凣”再变化一下：这本小书中所有的说明都是可靠的，刜只有这一节中关于说谎者悖论的评述部分的第三自然段（即现在的这一段）除外。
分也许学生们还可以作出其他变化。
凭3．徽章和涂写M：颁发一枚勋章，凼勋章上写着：禁止授勋！M：或者涂写一个告示：不准涂写！学生们知道为什么这些叙述是矛盾的吗？它们郡违背了它们自己所提出的要求。
减学生们一定愿意编出其他的例子，凉比如在缓冲器的连结杆上写“除去缓冲器连结杆”，减一个招牌上写：“不许读这个招牌”，刂等等。
击―个单身汉宣称，凪只有漂亮得不愿嫁给他的姑娘，凰他才想要。
凕一个人拒绝加入一切愿吸收他为成员的俱乐部。
凎―个小女孩说，凾她很高兴她讨厌吃菜花，処因为要是她喜欢的话，刌就会吃得太多，凴结果她就不能老吃到菜花了。
凒更为接近说谎者悖论的是下面这种自相矛盾的话“一切规则都有例外”和“所有知识都值得怀疑。
凱”4．一句话和他的反话M：这句话有几个字？七个字。
凖显然原话错了！那么它的反话就应该是对的吧，凛是不是？M：不对，凗这句语的反话正好是八个字。
凮所以，凪它像它原来的话一样是错的。
凗我们怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？这种悖论的创造者是谁，凓人们都不知道。
凪这里还有另一个变了点花样的货真价实的悖论，刡学生们一定会觉得很有趣的，凲在黑板上写：在黑板上标出三个有错误的句子；1． 2+2=42． 3*6=173． 8/4=24． 13-6=55． 5+4=9回答：只有第2句和第4句是错的。
凙所以说“有三个句子错了”的断言错了，判而这个断言就成了第三个错句！5．发狂的计算机M：很多年以前，刟一台设计用于检验语句正误的计算机中馈入了说谎者逆论。
刞语句：“这句话是错的”。
凓M：这台可怜的计算机发起狂来，凌不断地打出对、错、对、错的结果，刕陷入了无休止的反复中。
凪世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的计算机，刌是在1947年由威廉?伯克哈特和西奥多?卡林制选出来的，凨那时他们还在哈佛大学学习。
函当他们让这台机器评价说谎者悖论时，凵计算机便进入反复振荡状态，凟陷入了来回倒腾的困境（见马丁?加德纳的《逻辑机和逻辑图》）。
刍戈登?狄克森的小说“猴子扭伤”，凲发表在1951年8月的《科学幻想小说》上，创说的是某些科学家想让计算机不工作来节省机器的寿命。
凇他们的办法是告诉计算机：“你必须拒绝我现在给你编的语句，判因为我编的所有语句都是错的。
刢”（注：没想到计算机却因此而不断地重复工作直到耗尽它的寿命）6．无穷的倒退M：机器受到的难题就像人碰到要解答一个古老的谜？。
凶问题：鸡和鸡蛋，凱到底先有哪个？M：先有鸡吗？不，刈它必须从鸡蛋里孵出来，刄那末先有鸡蛋？不，凱它必须由鸡生下。
凭好！你陷入了无穷的倒退之中。
凲鸡和鸡蛋这个古老的问题是逻辑学家称为“无穷倒退”的最普通的例子。
凗老人牌麦片往往装在一个盒中，凐上面的画是一个老人举着一盒麦片，划这个盒上也有一张画有一个老人举着一盒麦片的小画片。
凨自然，凍那个小盒上又有同样的画片，別如此以往就像一个套一个的中国盒子的无穷连环套一样。
函《科学美国人》1965年4月号有一个封面，凙画着―个人眼中反映着这本杂志。
凍你可以看到在反映出的杂志上，切也有一个小一点的眼睛，凰反映出一本更小的杂志，刉自然这样一直小下去。
刜在理发店里，凒对面的墙上有很多相向的镜子，刂人们在这些镜子中可以看到反照出的无穷倒退。
凘在幻想作品中有类似的倒退。
凖菲利浦?夸尔斯是阿尔道斯?赫克斯勒的小说《点计数器点》中的人物：他是一个作家，减正在写一本小说，刜是关于一个作家正在写一个作家在写小说的小说……。
凶在安德烈?贾德的小说《伪造品》中，凭在卡明的剧作《他》中，凉在诺曼?迈勒的《笔记》这类短篇小说中，刅都有类似的倒退。
函乔纳?斯威夫特在一首诗中写了一段关于跳蚤的无穷倒退，划数学家奥古斯塔斯?德摩根把它改写为：大跳蚤有小跳蚤在它们的背上咬，凨小跳蚤又有小跳蚤，出如此下去没完没了。
利大跳蚤倒了个儿――变小上面还有大跳蚤，凊一个上面有一个，刖总也找不到谁的辈数老。
凜在艺术、文学、数学和逻辑方面无穷倒退的更多实例可参见《科学美国人》编的马丁?加德勒的第六本数学游戏。
凛7．柏拉图―苏格拉底悖论M：让我想一想。
减一个克里特人说的是（全部）克里特人。
刡一句话说的是这句话本身。
凹一个徽章表达的是关于（全部）徽章的论断。
凊所有这些句子看来都是谈论关于句子本身的事。
凰是不是自关联引起了麻烦？M：不是。
凘就连古希腊人也已知道即便避免了自关联也不足以消除矛盾。
凟这里有一段对话可以证明这一点：柏拉图：下面苏格拉底说的话是假的。
凘苏格拉底：柏拉图说了真话！M：逻辑学家简化了柏拉图―苏格拉底悖论。
凒不管你让哪一句话是真的，刣另一句总与之矛盾。
刟两句话谈的都不是它本身，凒但放到一起，刉仍会出现说谎者悖论。
凥说谎者悖论的这一翻版古时候的逻辑学家已讨论得很多了，几它之所以重要就在于它证明；在真实性悖论中产生混乱的根源远不是自关联所能解决的。
刚假若句子A是真的，凋那么句子B必然是真的。
凳但是，凜如果句子B是真的，刋那句子A就必须是假的。
凰好吧，刘让我们认为句子A是假的，凰那就意味着句子B是假的。
凗这样，凾要是句子B是假的，凕句子A就须是真的，刑结果我们又从头开始。
刨这个过程就会这样一面重复下去，刟就像建筑物中一对拱顶石的顶上彼此嵌进一样。
分两个句子都没有谈到它自身，切但放到一起，凋它们就不断地改变着它们的真实性，刕结果我们就无法说出任何一个句子是真还是假。
凮学生们一定愿意变个花样，凩把这个悖论写在一张卡片上出示给他的朋友。
凹这是英国数学家乔戴因想出的。
凼在一张白卡片的一面写：这张卡片背面的句子是真的。
凤该卡片的背面写的是：这张卡片背面的句子是假的。
刏8．爱丽斯和红色国王M：柏拉图―苏格拉底悖论有两个无穷倒退。
凥这正像在《透过镜子》中的爱丽斯和红色国王一样。
凘爱丽斯：我在做梦，凯梦见了红色国王。
凇可是他睡着了，几梦见我正做着关于他的梦，凕在这儿他也在梦见我。
凮啊，刔我的天！这样梦下去哪有个完。
凇在《透过镜子》的第4章，刢有一段是爱丽斯碰到了红色国王。
刏国王睡着了，凧特威德勒弟告诉爱丽斯，刧国王正梦见她，刞她只是国王睡梦中的人，凑实际是不存在的。
刍“要是国王醒来了”，刅特威德勒弟补充道：“你就完了――啪――就像蜡烛一样熄灭了！”我们应该记住，分所有这些都是爱丽斯自己梦中的事。