【数学】江苏省启东中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含答案

2．“ m 4 ”是“ m 为 2 与 8 的等比中项”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列命题中，不正确的是（
）
A．若 a b ， c d ，则 a d b c B．若 a2x a2 y ，则 x y
C．若 a b ，则 1 1 ab a
由
x2
4
y2
，可得 (1 1
4k 2 )x2
8mkx
4m2
4
0.
所以 x1 x2
8mk 1 4k 2
，
因此
y1
y2
k ( x1
x2 ) 2m
2m 1 4k 2
，
由题意知， x1
x2 ，所以 k1
y1 y2 x1 x2
A(
x1
,
y1
),
B(
x2
,
y2
)
在椭圆上，所以
x12 16
y12 4
1， x22 16
y22 4
1，
两式相减可得 (x1 x2 )(x1 x2 ) 4( y1 y2 )( y1 y2 ) 0 ，
所以
AB 的斜率为 k
y2 x2
y1 x1
1 2
，
∴点 P(2,1) 为中点的弦所在直线方程为 x 2y 4 0 .
a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n a31 a32 a33 a3n an1 an2 an3 ann
该数阵第一列的 n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列，每一行的 n 个数从左到右
构成以 m 为公比的等比数列（其中 m 0 ）.已知 a11 2 ， a13 a61 1，记这 n2 个数的和
18. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的长轴长为 8 ，短轴长为 4 ．
(1)求椭圆方程；
(2)过 P(2,1) 作弦且弦被 P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长．
19．(本小题满分 12 分)某企业用 180 万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企 业带来 100 万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用 10 万元，且 从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加 10 万元
(ⅰ)设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1, k2 ，证明存在常数 使得 k1 k2 ，并求出 的
值；
(ⅱ)求 OMN 面积的最大值．
参考答案
CACCB,CAA,AD ABD ABD ACD
4, 4
椭圆
1 2
3
17．（1）若“1 B ”是真命题，则 a 1 a 0 ，得 0 a 1.
）
A．(－1，4)
B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4，1)
D．(－∞，0]∪[3，＋∞)
6．在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥平面 ABC，∠BAC＝90°，D，E，F 分别是棱 AB，BC，CP 的中
点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为（ ）
A． 1 5
即 y 5 x2 19x 36 ， x N*
（2）年平均利润为
y x
5
x
36 x
95
∵ x 0 ，∴ x 36 2 x 36 12
x
x
当且仅当 x 36 ，即 x 6 时取“ ” x
∴ y 35 x
答：这套设备使用 6 年，可使年平均利润最大，最大利润为 35 万元.
20．解：（1）由已知得， B1C1 平面 ABB1A1 ， BE 平 面 ABB1A1 ，
2
的最大值为（
）
A. 5 2
B. 3 2
C. 34
D. 4 2
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
9．在下列函数中，最小值是 2 的函数有（
）
A．
f
x
x2
1 x2
B．
f
x
cos
x
1 cos
x
0
x
2
C． f x x2 4
x2 3
D．
f
x
3x
4 3x
2
10．下面命题正确的是（
心率为________
16．, 使得
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分）
17．(本小题满分 10 分)已知集合 A x 1 x 3 ，集合 B x (x a)(x a 1) 0 ，
a R .（1）若“1 B ”是真命题，求实数 a 取值范围； （2）若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
江苏省启东中学 2019-2020 学年度第一学期期终考试
高二数学
考试时间：120 分钟；试卷分值：150 分
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．圆 O1： x2 y2 2x 0 与圆 O2： x2 y2 4 y 0 的位置关系是（
）
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
）
A．“ a 1”是“ 1 1 ”的充分不必要条件 a
B．命题“任意 x R ,则 x2 x 1 0 ”的否定是“ 存在 x R ,则 x2 x 1 0 ”.
C．设 x, y R ,则“ x 2 且 y 2”是“ x2 y2 4 ”的必要而不充分条件
D．设 a,b R ,则“ a 0 ”是“ ab 0 ”的必要不充分条件
14．点 P( (x－2)2＋(y－2)2＝│3x―140y―6│，则点 P 的轨迹为_____________
离心率为________．
15．设双曲线 x2
a2
y2 b2
1
a 0,b 0
的左右焦点分别为 F1, F2 ，过 F1 的直线分别交双曲
线左右两支于点 M，N.若以 MN 为直径的圆经过点 F2 且 MF2 NF2 ，则双曲线的离
由
x2 16 x 2y
y2 1 4 40
，得
x2
4x
0
，所以
x y
0 2
或
x y
4 0
，
所以| AB | 42 22 2 5 ．
19.解：（1）由题意知， x 年总收入为100x 万元 x 年维护总费用为10(1 2 3 x) 5x(x 1) 万元. ∴总利润 y 100x 5x(x 1) 180 ， x N*
（1）求该设备给企业带来的总利润 y （万元）与使用年数 x x N* 的函数关系；
（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？
20. (本小题满分 12 分)如图，长方体 ABCD–A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1． （1）证明：BE⊥平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 B–EC–C1 的正弦值． E
21.
(本小题满分
12
分)设数列 an 、bn 都有无穷项,an 的前
n
项和为
Sn
=
1 2
(3n 2
5n)
,
bn 是等比数列, b3 =4 且 b6 =32.
(1)求an 和bn 的通项公式;
(2)记
cn
=
an bn
,求数列cn 的前 n 项和为Tn ,
22．(本小题满分
12
分)在平面直角坐标系
xOy
故 B1C1 BE ． 又 BE EC1 ，所以 BE 平面 EB1C1 ． （2）由（1）知 BEB1 90 ．由题设知 Rt△ABE ≌ Rt△A1B1E ，所以 AEB 45 ， 故 AE AB ， AA1 2AB ． 以 D 为坐标原点， DA 的方向为x轴正方向， | DA | 为单位长，建立如图所示的空间直
1 3n 1 =8+3(2 2n2 ) 2n1
a2 b2 3
22.（Ｉ）由题意知
a
2 ，可得 a2 4b2 .
椭圆 C 的方程可化简为 x2 4 y2 a2 .
将 y x 代入可得 x 5a ， 5
因此 2 2 5a 4 10 ，可得 a 2 .
5
5
因此 b 1，
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. 4
D．若 1 1 0 ，则 ab b2 ab
4．在等差数列 an 中，首项 a1 0 ，公差 d 0 ，前 n 项和为 Sn n N * ，且满足 S3 S15 ，
则 Sn 的最大项为（
）
A． S7
B． S8
C． S9
D． S10
5．若两个正实数 x，y 满足，且不等式 x＋4y＜m2－3m 有解，则实数 m 的取值范围是（
设平面 ECC1 的法向量为m=（x，y，z），则
CC1 m 0, CE m 0,
即
2z 0, x y
z
0.
所以可取m=（1，1，0）．于是 cos n, m n m 1 ． | n || m | 2
所以，二面角 B EC C1的正弦值为
3． 2
21．解.(1) a1 = S1 =4;
（2） B x x a x a 1 0 x a x a 1 ，
若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件， 则 B 是 A 的真子集，
a 1
a 1
即 a 1 3 ，即 a 2 ，得 -1 a 2 ，
即实数 a 的取值范围是1, 2 .
18.(1)由椭圆 C :
11．如图,在棱长均相等的四棱锥 P ABCD 中, O 为底面正方形的中心, M , N 分别为侧棱
PA , PB 的中点,有下列结论正确的有（
）
A． PD ∥平面 OMN
B．平面 PCD ∥平面 OMN
C．直线 PD 与直线 MN 所成角的大小为 90 D． ON PB
12．将 n2 个数排成 n 行 n 列的一个数阵，如下图：
中，椭圆
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) 的离心
率为 3 直线 y x 被椭圆 C 截得的线段长为 4 10 ．
2
5
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点（ A, B 不是椭圆 C 的顶点）．点 D 在椭圆 C
上，且 AD AB，直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点．
为S .
下列结论正确的有（
）
A． m 3
B． a67 17 37
C． aij (3i 1)3j1
D． S 1 n(3n 1) 3n 1 4
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．命题“∃x0∈R, 4x02 ax0 1 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是________．
b3
q n3 = 2n1 ( n N * ).
(2)由定义,
cn
=
an bn
3n 1 = 2n1 ,
而
Tn =
4 1
7 2
10 4
3n 2 2n2
+
3n 1 2 n1
,
2Tn
=8+
7 1
10 2
13 4
3n 1 2n2
两式相减,有Tn
=8+3(1+
1 2
1 4
1 2n2
)
3n 1 2 n 1
当 n 2 时,
an
Sn
S n1
=
1 2
(3n 2
5n)
1 [3(n 2
1) 2
5(n
1)]
= 1 [3(2n 1) 5] =3 n +1, 2
且 a1 =4 亦满足此关系,故an 的通项为 an =3 n +1( n N * ).
设 bn
的公比为 q ,则 q 3 = b6 b3
=8,故 q =2,从而 bn
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 长轴长为 8 ，短轴长为 4 ，
得 2a 8, 2b 4 ，所以 a 4,b 2 ，
所以椭圆方程为 x2 y2 1 ． 16 4
(2)设以点 P(2,1) 为中点的弦与椭圆交于 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则 x1 x2 4, y1 y2 2 .
角坐标系D–xyz，
则C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CB (1, 0, 0) ，CE (1, 1,1) ， CC1 (0,0, 2) ．
设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
CB CE
n n
0, 0,
即ห้องสมุดไป่ตู้
x x
0, y
z
0,
所以可取n= (0, 1, 1) .
B． 2 5 5
C． 5 5
D． 2 5
7．双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的一个焦点 F
与抛物线
y2
4x 的焦点重合，若这两曲线
的一个交点 P 满足 PF x 轴，则 a （ ）
A． 2 1
B． 2 1
C． 1 2
D． 2 2 2
8．已知 F 是椭圆 C：x2 y2 1的左焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，点 Q4,3 ，则 PQ PF
（Ⅱ）（ⅰ）设 A(x1, y1)(x1 y1 0), D(x2 , y2 ) ，则 B(x1, y1) ，
因为直线 AB 的斜率 kAB
y1 x1
，
又 AB AD ，所以直线 AD 的斜率 k x1 ， y1
设直线 AD 的方程为 y kx m ，
由题意知 k 0, m 0，
y kx m