(3)可见鲈鱼的尾数y 将减少, 由方程 (2)可见鳟鱼将增加. 反之, 当鳟鱼的尾数x(t) < m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)>a/b 时, 由方程 (3)可见鲈鱼的尾数y 将增加, 由方程 (2)可见鳟鱼尾数x(t)将减少. 现在的问题是: 设在t=0时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是x 0和y 0尾, 要研究这两种鱼的增长情况. 是否存在x 0>0和y 0>0, 使得这两种鱼能够和平共处, 长期共存呢?
首先可见方程组 (2), (3)有常数解
b a y n m
x ==,. (4)
因此在t=0时鳟鱼x 0=m/n, 和鲈鱼y 0=a/b 尾时, 由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零, 所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变. 那么这种状态是否是稳定的呢? 就是说, 若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼是否还能和平共处, 长期共存呢?
由常微分方程的理论, 我们知道 (m/n, a/b) 是方程组的奇点, 我们只要分析这个奇点的稳定性就行了.
方程组(2),(3) 的向量场的Jacobi 矩阵在奇点(m/n, a/b)的值是
⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=00
b na n bm nx m ny bx by a J (5)
J 的两个特征值为 ma ±, 因此奇点是鞍点, 鞍点是不稳定的. 所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化, 这两种鱼的尾数将有大的变化.
方程组(2), (3)还有一个奇点 (0, 0), 向量场的Jacobi 矩阵在奇点(0, 0)的值是
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=m a nx m ny bx by a J 00 (6)
J 的两个特征值为a>0, m>0, 因此奇点(0, 0)是不稳定的结点. 在奇点(0, 0) 附近的轨线当时间t 增大时都离开奇点(0,0). 另外方程组 (2), (3) 有两条半直线轨道:
(1): x=0, y>0, 对应的轨线是
mt y y e 0=, 表示鲈鱼的尾数呈指数增长.
(2): y=0, x>0, 对应的轨线是
at x x e 0=, 表示鳟鱼的尾数呈
指数增长.
由于奇点(m/n, a/b)是鞍点, 当t 趋向无穷大时, 有两条轨道从相反的方向趋向鞍点, 另有两条轨道从鞍点出发以相反的方向离开鞍点. 这四条轨道称为鞍点的分界线, 研究这些分界线的走向以及方程组的结点(0,0)的性质, 其余轨道的大致走向也就清楚了.
要知道对于一般的初值)0,0(),(00≠y x 鳟鱼和鲈鱼的尾数是怎样变化的, 最终是鳟鱼还是鲈鱼生存下来呢? 就要解出微分方程组(2), (3). 将方程组 (2), (3) 消去dt, 化为如下一阶常微分方程:
y x by a x y nx m d )(d )(-=-, (6)
(6)式是一个变量分离方程, 除了零解 (x=0, y=0) 和半直线轨道外, 可分离变量得
y y by a x x nx m d )(d )(-=-, (7) 从)0,0(),(00≠y x 到),(y x 对(7)式作定积分得到过)0,0(),(00≠y x 的积分曲线:
)(ln )(ln 0000y y b y y a x x n x x m --=--. (8)
对(8)式取指数化为形式:
nx m by a Kx y --=e e , (9)
(9)式中的K 是常数:
00e 00nx by m a x y K +--=. (10)
对于鞍点的分界线, 因它们趋向及离开鞍点, 所以分界线方程的K 应由(10)式中),(00y x 取为鞍点:
b a y n m x ==00,
, (12) 而得到. 这时(10)式的K 值为
m a a
m m a m b n a K -=e . (13)
记
by a y y f -=e )(, nx m x x g -=e )(.
由微分法可知)(y f 是单峰函数, 在鞍点的纵坐标b a y /=时取得最大值, 在0=y 和+∞=y 时取得最小值零. 在区间[0, a/b]上f(y) 从零严格单调增加到最大值; 在无穷区间y > a/b 上f(y)严格单调减少趋向零. 同理)(x g 是单峰函数, 在鞍点的横坐标n m x /=时取得最大值, 在0=x 时和+∞=x 时取得最小值零. 在区间[0, m/n]上g(x) 从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间x >m/n 上g(x)严格单调减少趋向零. 根据以上事实, 可以由分界线方程(9), (13)得出鞍点的四条分界线(红色和蓝色的线)并且根据方程组(2),(3)得出分界线的走向如下示意图: (四条分界线共同的端点是鞍点 (m/n,a/b)).
