平面向量高考真题分类解析

第五章平面向量

第一节平面向量的概念及线性运算一、高考考点梳理

（一）、向量的有关概念

（二）、向量的线性运算

（三）、共线向量定理

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .

二、历年高考真题题型分类突破

题型一 平面向量的线性运算

【例1】（2018全国Ⅰ卷）在ΔABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，

则EB →=（ ） A ．34AB → - 14

AC →

B ． 14AB → - 34A

C →

C ．34AB → + 1

4

AC →

D ． 14AB → + 3

4

AC →

解析：结合图形，EB →=- 12(BA →+BD →)=- 12BA →-14BC →=- 12BA →-14(AC →-AB →)=34AB → - 14

AC →.

故选A.

第二节 平面向量的基本定理及坐标表示

一、高考考点梳理

（一）、平面向量基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

（二）、平面向量的坐标运算

1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则

a ＋

b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 2

1＋y 21.

2．向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1

）2. （三）、平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.

二、历年高考真题题型分类突破

题型一 平面向量的坐标运算

【例1】（2019全国Ⅱ卷） 已知向量a ＝(2，3)，b ＝(3，2)，则 | a - b | =（ ）

A B ．2

C ．

D ．50

解析：由题意知a - b ＝( -1，1)，所以 | a - b . 故选A.

【例2】（2018全国Ⅲ卷）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C: x 24＋y 23＝1交于A ，B

两点．线段AB 的中点为M(1,m)(m>0)．

（1）证明：k<- 1

2

；

（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0．证明：2|FP →|=|FA →|+|FB →|．

解析：（1）设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 12

4＋y 12

3＝1，x 22

4＋y 2

2

3＝1．

两式相减，并由k=

y 1-y 2x 1-x 2得x 1+x 24+y 1+y 2

3

k=0 由题设知x 1+x 22=1，y 1+y 22=m ，于是k= - 34m ．① 由题设得0

2．

（2）由题意得F(1,0)，设P(x 3,y 3)，则(x 3-1,y 3)+( x 1-1,y 1)+( x 2-1,y 2)=(0,0) 由（1）及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1，y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0． 又点P 在C 上，所以m=34，从而P(1,- 32)，|FP

→|=32． 于是|FA

→|=(x 1-1)2

+y 12

=(x 1-1)2

+3(1-x 124)=2-x 12 同理|FB →|=2-x 2

2

．

所以|FA

→|+|FB →|=3． 故2|FP

→|=|FA →|+|FB →|，

题型二 向量平行的坐标表示

【例3】（2018全国Ⅲ卷） 已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．

若c //(2a +b )，则λ=________．

解析：2a +b =(4,2), c //(2a +b )则4λ=2，λ=12

.

第三节 平面向量的数量积

一、高考考点梳理

（一）、平面向量的数量积 1．向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a 和b ，如右图，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角．

②当θ＝0°时，a 与b 共线同向．当θ＝180°时，a 与b 共线反向． 当θ＝90°时，a 与b 互相垂直．

2．向量的数量积

定义：已知两个向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ 叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，由定义可知零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.

3．数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的

射影|b |cos θ的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影|a |cos θ的乘积．

（二）、平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角.

1．数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.

3．夹角：cos θ＝

a ·b

|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22

. 4．两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 5．|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 2

2.

（三）、平面向量数量积的运算律 1．a ·b ＝b ·a (交换律)