14条件概率的计算公式

解 (1) 设 事 件 A 表 示 “ 取 到 的 冰 箱 不 合 格 ”； 事 件
B1, B2 , B3 分别表示“检验员取到的冰箱是甲、 乙、丙流水线
生产的”．且有
P(B1) ? 0.6,
P(B2) ? 0.25, P(B3) ? 0.15.
P(A B1) ? 0.1, P(A B2) ? 0.4, P(A B3) ? 0.2
解：设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小时”
P ?B ? ? 3 , P ?A ? ? 1
4
2
我们知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，即
A ? B 所以AB=A，P?AB?? P?A?
P?A B??
PP??ABB???
PP??BA???
1 2
3 4
?
2 3
?
1 2
上式称为事件概率的乘法公式
它可推广到任意有限个事件 设 A1, A2 ,? , An 为任意n个事件，满足 P?A1A2 ? An ?? 0
? ? ? ? ? ? 则P?A1 A2 ? An ?? P?A1 ?P A2 A1 P A3 A1 A2 ? P An A1 A2 ? An?1
例1.4.3 甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来 的气象记录，知道在一年中的雨天的比例甲市占 20%，乙 市占18%，两地同时下雨占 12%。
概率论与数 理 统 计
一、条件概率的概念
例1.4.1一只盒子里混有 100只新旧乒乓球，各有黄 白两色，分类如下：
新
40
30
旧
20
10
从盒子中随机取出一个球，若记 A=｛从盒子中随机 取出一个球，该球为新球｝，若事先知道取出的是黄球，
则上述概率为 40 ? 2 .
60 3
记B={从盒子中随机取出一个球，该球为黄球 }
设B=“第一次拿到白球”，A=“第二次拿到白球”，
AB=“两次都拿到白球”，P?B?? 6 , P?A B?? 5
10
9
P?AB ??
P?ห้องสมุดไป่ตู้?P?A B??
6 10
.95
?
1 3
三、全概率公式
例1.4.6 有外形相同的球分别装两个袋子，设甲袋有 6只白 球，4只红球，乙袋中有3只白球6只红球，现在先从每袋中各任 取一球再从取出的二球中任取一球，求此球是白球的概率。
于是可以利用概率的乘法公式，因为在第一个人没有
抓到票的情况下，第二个人有希望在剩下的6个阄中
抓到电影票，所以
P?A2
A1 ??
1 6
P?A2 ??
P?A2 A1 ??
P?A1 ?P?A2
A1 ??
6? 7
1 6
?
1 7
类似可得
P?A3 ??
P?A1 A2 A3 ??
P?A1 ?P?A2
A1 ?P?A3
P( A B) ? 40 ? 40 /100 ? P( AB) . 60 60 /100 P(B)
1.条件概率的定义
定义 1.4.1 若（ ? , F , ? ）是一个概率空间 B ? F ， 且 P ( B ) >0. 对任意 A ? F ，称 P ( A B ) = P ( AB ) 为在已知事件 B 发生的条件下事件 A
? i?1
? i?1
4)?? P(? B) ? 0,
5) P( A B) ? 1? P( A B),
6)P( A1 A2 B) ? P( A1 B) ? P( A2 B) ? P( A1A2 B).
例1.4.2．某种灯泡用5000小时未坏的概率为 3 ，用 10000 小时未坏的概率为 1 ，现有一只这种灯泡已4 用了 5000小时未坏，问它能用到2 10000小时的概率是多少？
P ( A ) ? P( AB1 AB2 AB3 )
在较复杂? 情P(况AB下1)直?接P计( A算B2P)(?A)P不( A易B,3但) A总是伴随着某个Ai出现，
例如A是由原? P因(AAi所B1引)P起(B，1)则? AP发(A生B的2 )概P率(B是2 ) ? P(A B3)P(B3)
P(B) 发生的条件概率。
２．条件概率的性质
不难验证条件概率 P(? B) 具有概率的三个基本性质
1）非负性： ? A ? F P(A B) ≥０
2）规范性： P(? B) ? 1
3）可列可加性： ? Ai ? F（i=1，2……），且 A1, A2 ……互不相容
? ? 有 P??? ? Ai B ??? ? ? P?Ai B?
例 1.4.7 某车间有 100 台相同型号的冰箱待检验， 其中 60 台是甲流水线生产的， 25 台是乙流水线生产的， 15 台是 丙流水线生产的。 已知这三条流水线的冰箱质量不同， 它们 的不合格率依次为 0.1,0.4,0.2 ．一位检验员从这批冰箱中随 机地取了 1台 ,问：试求取到不合格冰箱的概率；
P(B) 0.18
P( A) 0.2
例1.4.4．有一张电影票，7个人抓阄决定谁得到它，问第i个人 抓到票的概率是多少？（i=1，2，…，7）
解： 设 Ai =“第i个人抓到票”，（i=1，2，…，7）
显然
P ?A1 ??
1 7
,
P
?A1
??
6 7
如果第二个人抓到票的话，必须第一个人没有抓到票。
这就是说 A2 ? A1 ，所以 A2 ? A2 A1
?
P?A?
这表明，用了5000小时的灯泡再用到10000小时的可能
性比没有用过的新灯泡用到10000小时的可能性大，这是很
自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到5000小时的质量
较次的灯泡。
二、乘法公式
若P(B) ? 0 ， 由条件概率定义，可得
P?AB?? P?A B?P?B? P?AB?? P?B A?P?A?
记 A ? {甲市出现雨天} B ? { 乙市出现雨天}
求：1）两市至少有一市是雨天的概率； 2）乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率； 3）甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率 。
解 P(A B) ? P(A)? P(B)? P(AB) ? 0.26,
P( A B) ? P( AB) ? 0.12 ? 0.67, P(B A) ? P(AB) ? 0.12 ? 0.60.
? A1 A2 ?
6? 7
5? 6
1 5
?
1 7
…
P?A7 ??
1 7
例1.4.5．设在一盒子中装有 10只球，4只黑球，6只 白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽 样，问两次都拿到白球的概率是多少？
解法一： 用古典概型来做
设A=“两次都拿到白球”，P?A??
C
2 6
C2 10
?
1 3
解法二： 用乘法公式来做，