一集合论基础

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第一篇 绪 言
❖离散数学课程是 计算机系核心课程 信息类专业必修课 其它类专业的重要选修课程
❖离散数学也是后继课的基础
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第一篇 绪 言
❖离散数学课程的学习可以培养学生抽象的 思维、逻辑推理能力和创新能力。
❖让学生见识一些重要的数学思想、数学方
法以及用数学解决实际问题的著名事例。
培养逻辑思维的能力和分析问题解决问题 的能力。
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第一篇 绪 言
❖离散数学的主要学习内容： 1. 集合论 2. 代数系统 3. 图论 4. 数理逻辑 *5. 组合数学 *6. 形式语言与自动机
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第一篇 绪 言
❖特点：内容较杂，概念多，定理多，比较 抽象，学习有一定的难度。
❖学习方法： 1.准确掌握每个概念(包括内涵及外延)。 2.要有刻苦钻研的精神,不断总结经验。 3.在理解内容的基础上，要多做练习题，从 而再进一步加深理解所学内容。 4.注意培养分析问题和解决问题的能力
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郑州大学
离散数学
任课教师： 刘 学文
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第一篇 绪 言
❖离散数学的特征和性质 ❖此课程的主要学习内容 ❖此课程的主要学习方法
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第一篇 绪 言
❖ 正如马克思所说的：“一门科学，只有当它能够 运用数学时，才算真正发展了。”计算机正是在 离散数学中图灵机理论的指导下诞生的。
❖ 离散数学是数学的一个分支，它以离散量作为其 主要研究对象，是研究离散对象的结构以及它们 之间相互关系的科学。由于计算机不论硬件还是 软件都属于离散结构，所以计算机所应用的数学 必是离散数学。
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∩E=A。 ⑸零一律 对任何集合A，有A∩Φ=Φ。 ⑹ AB A∩B=A。
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集合的运算
2.并运算∪ 定义：A、B是集合，由或属于A，或属于B的
元素构成的集合 ,称之为A与B的并集,记作A∪B。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例如:A={1,2,3} ,B={2,3,4} 则A∪B={1,2,3,4}
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3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内。
例如，N={1,2,3,4,……} A={a,b,c,d} 描述法：用句子描述元素的属性。
例如，B={x| x是偶数} C={x|x是实数且2≤x≤5}
一般地，A={x|P(x)}, 其中P(x)是谓词公式， 如果客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则aA。
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2. 有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合先给出朴素的定义，
以后再给出严格的形式定义。 有限集合：元素是有限个的集合。
如果A是有限集合，用|A|表示A中元素个数。例 如，A={1,2,3}, 则|A|=3。 无限集合：元素是无限个的集合。 对无限集合的所谓‘大小’的讨论，以后再进行。
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第二篇 集合论
❖主要包括如下内容： 集合论基础 二元关系 函数
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第一章 集合论基础
❖本章主要介绍如下内容： 基本概念及集合的表示方法 集合间的关系 特殊集合 集合的运算
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基本概念
1.集合与元素 集合：是由确定的对象(客体)构成的集体。一般用大 写的英文字母表示。 这里所谓“确定”是指：论域内任何客体，要么属 于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确定的。 元素：集合中的对象，称之为元素。 ∈：表示元素与集合的属于关系。 例如，N表示自然数集合，2∈N， 而1.5不属于N，写成 1.5N。
性质： 有传递性，对任何集合A、B、C，如果有AB且 BC ，则AC。
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集合的运算
1.交运算∩
定义：A、B是集合，由既属于A，也属于B的元素 构成的集合 ,称之为A与B的交集,记作A∩B。
例如:A={1,2,3} ,B={2,3,4}
则 A∩B={2,3}
A
B
A∩B
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集合的运算
性质： ⑴幂等律 对任何集合A，有A∩A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∩B=B∩A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有
性质：
⑴有自反性，对任何集合A，有A=A。
⑵有传递性，对任何集合A、B、C，如果有A=B 且 B=C ，则A=C。
⑶有对称性，对任何集合A、B，如果有A=B，则 B=A。
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集合间的关系
3.真包含关系(真子集)
定义：A、B是集合，如果AB且A≠B，则称B真包 含A，A真包含于B，也称A是B的真子集。记作 AB。
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4. 说明 ⑴集合中的元素间次序是无关紧要的，但是必须是
可以区分的，即是不同的。例如A={a,b,c}， B={c,b,a}，C={a,b,c,a}，则A、B和C是一样的。 ⑵对集合中的元素无任何限制，例如令
A={人，石头，1，Ｂ}, B={Φ,{Φ}} ⑶本书中常用的几个集合符号的约定：
集合间的关系
(2).性质：
(a). 有自反性，对任何集合A有AA。 (b). 有传递性，对任何集合A、B、C，有AB且
BC ，则AC。 (c). 有反对称性，对任何集合A、B，有AB且
BA ，则A=B。
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集合间的关系
2. 相等关系
定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相同， 则称A与B相等。记作A=B。
自然数集合N= {1,2,3,……} 整数集合I，实数集合R，有理数集合Q
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⑷集合中的元素也可以是集合，下面的集合的含义 不同：
如 a：
张书记
{a} :
党支部(只有一个书记)
{{a}} ： 分党委(只有一个支部)
{{{a}}}： 党委 (只有一个分党委)
{{{{a}}}}： 市党委(只有一个党委)
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特殊集合
1.全集 E 定义：包含所讨论的所有集合的集合，称之为全集，
记作E。 由于讨论的问题不同，全集也不同。所以全集
不唯一。 例如: 若讨论数，可以把实数集看成全集。
若讨论人，可以把人类看成全集。 性质：对于任何集合A，都有A在E中。
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特殊集合
2.空集 Φ
定义：没有元素的集合，称之为空集，记作Φ。
性质： (1).对于任何集合A，都有Φ在A中。 (2).空集是唯一的。
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集合间的关系
1.包含关系(子集)
(1).定义：A、B是集合，如果A中元素都是B中元素，
则称B包含A，A包含于B，也称A是B的子集。记 作AB。
文氏图表示如右下图。
例如，N是自然数集合， R是实数集合，则NR
AB
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