一集合论基础
第三章 集合论基础
A={a1 , a2 , … , an}
说明集合A中含有n个元素。我们又定义集合中元素的个数叫集 合的势或基数，记｜Ａ｜＝ｎ。
当集合中的元素为有限个时，叫有限集合，集 合中的元素为无限时叫无限集合。 元素与集合的关系不是属于关系就是不属于关 系，二者必居其一。 若ａ是集合Ａ的一个元素，即ａ属于Ａ，记为 ａ∈Ａ，若ａ不是集合Ａ的一个元素，即ａ不属 于Ａ，记为ａＡ。 上述元素与集合的关系可用特征函数来描述， 即
T TURE ，或1 P 、Q F FALSE ，或0
则、∧、∨真值表如表３－１所示。
表 3-1 、 、、真值表
P T T F F
┐P F F T T
Q T F T F
P∧Q P∨Q T F F F T T T F
由表３－１可知：逻辑非（）具有反意词的意义。如 Ｐ代表学生，则Ｐ表示不是学生；逻辑与（∧）、逻辑或 （∨）代表两个逻辑变量的运算结果。对于逻辑与（∧）来讲，
一 几个逻辑运算符号
为更好理解下面介绍的有关集合论的基本知识， 先介绍几个常用的逻辑运算符号的物理意义。 １．逻辑非（ＮＯＴ）记作“” ； ２．逻辑与（ＡＮＤ）记作“∧” ； ３．逻辑或（ＯＲ）记作“∨” 。
以上三个运算符号被广泛应用。下面用 真值表来说明它们的物理意义。 设 P、Q 为两个逻辑变量 其取值为:
第三章 聚类分析
第一节 集合论基础 第二节 模糊集合的基本知识 第三节 模糊聚类分析 第四节 动态聚类分析
第五节 系统聚类分析
第一节 集合论基础
集合论是进行系统分析的重要理论基础。 尤其是其中许多概念，方法等，在系统分析 中有哲广泛的应用。因此介绍有关集合论的 基础知识，对深刻理解和掌握系统工程的基 本理论和方法有着重要意义。
第一章集合论基础
第⼀章集合论基础⼀、直积运算 集合在我们⼀进⾼中就已学过，其中我们掌握了集合的定义、集合间的关系，集合间的运算（交集，并集，补集，差集）。
这⾥，我们学习⼀种新的运算，直积运算（笛卡尔乘积）。
⾸先，我们引⼊有序偶的概念。
有序偶，是有先后次序的⼀对元素，常⽤(a,b)来表⽰元素a, b组成的有序偶。
其中a，b分布叫作(a,b)的第⼀和第⼆坐标。
那么，直积运算可由有序偶定义。
定义 设A和B均为集合。
A和B的直积集合A×B是指有序偶的集合C=A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}. 直积运算在量⼦⼒学中的经常遇到，我们经常将宇宙拆分成我们所关⼼的系统和环境的直积。
⼆、映射 映射的概念我们在⾼中也是熟悉的，下⾯来介绍⼀些新的概念。
定义 设A1⊂A，且有两个映射f:A→B和g:A1→B，此时如果对所有的a1∈A1，有f(a1)=g(a1)，那么称f为g到A的扩⼤，⽽g则为f 到A1的缩⼩，记为g=f|A1. 定义 设f:A→B，且g:B→C，此时由h(a)=g(f(a))与a∈A来定义映射h:A→C，那么称h为f和g的结合，记作h=g∘f. 定理1.1 映射的结合运算满⾜结合律，即对f f→Bg→Ch→D,有h∘(g∘f)=(h∘g)∘f. 对于两个抽象的集合，我们要建⽴它们之间的联系，唯⼀⼿段就是映射。
如果在在两集合间有⼀个完全的⼀⼀映射，那么我们说它们有相等的浓度。
与⾃然数或其真⼦集浓度相等的集合，被称为可数集，否则是不可数集。
定理1.2 如果集合A和B均为可数集，那么A∪B, A×B也均为可数集。
三、关系 数学中的关系只有“有关系”和“没有关系”两种情况，并不存在中间的灰⾊地带。
集合A上的⼀个关系∼，是⼀种法则，利⽤它可判定任意a,b∈A组成的有序偶(a,b)是满⾜某种条件，此时称a,b有关系，记作a∼b；若不满⾜这⼀条件，则称a,b没有关系，记作a≁b. 定义 ⼀个以有序偶为元素的集合R被称为⼀个关系。
高一数学知识点集合论
高一数学知识点集合论集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是元素的集合以及它们之间的关系和运算。
在高中数学中，我们将会接触到一些基础的集合概念和运算规则。
本文将系统地介绍高一数学中的集合论知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
一、集合与元素在集合论中，集合是由一些特定元素组成的整体。
一个集合可以用大括号{}括起来表示，元素之间用逗号隔开。
例如，集合A = {1, 2, 3}表示由元素1、2和3组成的集合A。
集合可以用描述法表示，即通过给出元素的特定性质来确定集合的成员。
例如，描述集合B = {x | x是正整数，且x < 5}，表示集合B由小于5的正整数组成。
二、集合的运算1. 并集：给定两个集合A和B，它们的并集（记作A∪B）是包含两个集合中所有元素的集合。
即A∪B = {x | x ∈ A或x ∈ B}。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∪B = {1, 2, 3, 4}。
2. 交集：给定两个集合A和B，它们的交集（记作A∩B）是同时属于两个集合的所有元素组成的集合。
即A∩B = {x | x ∈ A且x ∈ B}。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B = {2, 3}。
3. 差集：给定两个集合A和B，它们的差集（记作A-B）是属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合。
即A-B = {x | x ∈ A 且x ∉ B}。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A-B = {1}。
4. 互斥事件：在概率论中，给定两个事件A和B，如果它们的交集为空集（即A∩B = ∅），则称这两个事件是互斥事件。
三、集合的性质1. 子集：给定两个集合A和B，如果集合A的所有元素都属于集合B，即A中的每个元素都在B中出现，则称集合A是集合B的子集（记作A⊆B）。
例如，如果A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，则A⊆B。
集合论初步知识和集合运算规律
集合论初步知识和集合运算规律集合论是数学的一个基本分支，它研究了集合以及集合之间的关系和运算。
集合论的主要概念和运算规律如下：1.集合的基本概念：–集合：由明确的、相互区别的对象组成的整体，称为一个集合。
–元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素。
–集合的表示方法：用大括号{}括起来，里面列出集合的所有元素，如{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。
2.集合的类型：–普通集合：包含任意类型的元素的集合。
–子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合称为另一个集合的子集。
–真子集：如果一个集合是另一个集合的子集，并且这两个集合不相等，那么这个集合称为另一个集合的真子集。
–空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
–无穷集合：包含无限多个元素的集合。
3.集合运算规律：–并集（∪）：两个集合的并集包含两个集合的所有元素，但不重复计算重复的元素。
–交集（∩）：两个集合的交集包含两个集合共有的元素。
–补集：对于一个给定的集合S和 universal set（全体集合），S的补集是全体集合中不属于S的元素组成的集合。
–相对补集：对于两个不相交的集合S和T，S在T中的补集是T中不属于S的元素组成的集合。
–幂集：集合S的所有子集组成的集合称为S的幂集。
4.集合运算的性质和定律：–交换律：对于集合运算，交换集合的位置不改变运算结果。
–结合律：对于集合运算，多个集合进行同一运算时，运算顺序不影响结果。
–分配律：集合运算中，一个集合与多个集合的并集进行运算，等于与每个集合分别进行运算的结果。
–吸收律：集合运算中，一个集合与它自己的并集等于它自己。
–同一律：集合运算中，一个集合与它自己的交集等于它自己。
以上是集合论初步知识和集合运算规律的概述，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：判断下列哪些是集合，哪些不是集合？a){1, 2, 3}b)所有质数c)高三一班的学生d)全体自然数解答：a)、b)、c)、d)都是集合。
2023年高考数学基础集合论基础知识点清单
2023年高考数学基础集合论基础知识点清单一、集合与元素的概念集合是指具有某种特定性质的对象的整体，集合中的对象称为元素。
集合用大写字母表示，元素用小写字母表示。
二、集合的表示方法1. 列举法：将集合中的所有元素一一列举出来。
例如：A = {1, 2, 3, 4, 5}2. 描述法：使用数学符号和条件来描述集合。
例如：B = {x | x 是偶数，0 < x < 10}三、集合间的关系1. 相等关系：两个集合的元素完全相同。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}，则 A = B。
2. 包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5}，则 A ⊆ B。
3. 并集：由两个集合的所有元素组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
4. 交集：两个集合公共的元素组成的集合。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
5. 差集：从一个集合中去掉另一个集合的元素所形成的集合。
例如：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则 A - B = {1, 2}。
四、集合的运算法则1. 交换律：A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A2. 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)3. 分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)，A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)五、集合的常用运算规则1. De Morgan定律：(A ∪ B)的补集 = A的补集∩ B的补集，(A ∩B)的补集 = A的补集∪ B的补集2. 交换律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)，(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)3. 结合律：A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C，A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C六、常见的集合符号1. 属于：元素属于某个集合。
集合论基础与规律
集合论基础与规律集合论是现代数学最基础的分支之一，它以集合及其关系为研究对象，旨在建立集合的严格理论体系，并探索其内在规律。
集合论的基础包括集合的基本概念、集合运算、集合关系等，其中最重要的便是集合的定义与公理化体系。
一、集合的定义集合是数学中的基本概念之一，它是指某些对象的总体，这些对象被称为集合的元素。
集合的定义可以采用不同的方式，最常见的包括外延定义和内涵定义。
外延定义：集合可以用它所包含的元素给出，例如“自然数的集合”就是包含所有自然数的集合，用符号表示为N={0,1,2,3…}。
外延定义需要事先了解集合的元素，较为直观，但有时限制较大。
内涵定义：集合可以用某种特定的描述给出，例如“所有大于0且小于1的实数的集合”可以表示为(0,1)，其中描写集合的条件叫做集合的特征，我们将这个特征写成一句关于元素的陈述，叫做集合的描述。
内涵定义通常用于表示比较抽象的集合，能够更加灵活地刻画元素的性质。
需要注意的是，集合中的元素是没有顺序和重复的，例如{1,2,2,3}只能表示成{1,2,3}。
这是因为集合表示的是哪些元素构成了一个总体，和元素的具体性质或位置无关。
二、集合运算集合运算是指对于一个或多个集合进行操作，得到一个新的集合。
常见的集合运算包括并、交、差、对称差等。
并运算：将两个或多个集合合并成一个新的集合，包含它们所有的元素，记作A∪B，读作“A并上B”。
交运算：将两个或多个集合中都包含的元素取出来，形成一个新的集合，记作A∩B，读作“A交B”。
差运算：将一个集合中与另一个集合所共有的元素都去掉，形成一个新的集合，记作A-B，读作“A减去B”。
对称差运算：将两个集合中除了共有的部分外，剩余的元素合并形成新的集合，记作A△B，读作“A和B的对称差”。
三、集合关系集合关系是指对于两个集合，它们之间的某种联系或互动。
常见的集合关系包括包含关系与相等关系。
包含关系：对于集合A和集合B，如果集合B中所有的元素都属于集合A，那么就称集合A包含集合B，记作B⊆A，读作“B包含于A”。
1-集合论基础PPT课件
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13
集合运算三: 差集与补集
➢ 集合A与B的差集A-B: 由属于集合A但不属于集 合B的所有元素构成
A B {x | x A & x B}
➢ 集合A的补集A’: 由属于全集U但不属于集合A的 所有元素构成
A' {x | x U & x A}
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文氏图表示
14
并集\交集\差集运算(1)
A
B
AB AB B A
A B
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文氏图表示
15
并集\交集\差集运算(2)
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16
集合运算律
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17
笛卡儿乘积
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6
何时用列举法与描述法
➢ 有限集由有限个元素组成,可用列举法表示,也可以 用描述法表示
➢ 例5:
➢ 无限集由无限个元素组成,通常用描述法表示 ➢ 例6:
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7
文氏图\全集\空集
➢ 文氏图: 集合以及集合间的关系可以用图形来表示,称 作文氏图
➢ A={a,b,c}, B={a,b}, 则
A B {a,b, c}; A B {a,b}
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12
并集与交集运算的例子
➢ A={x|-1<=x<=1}; B={x | x>0}, 则 A B {x | x 1}; A B {x | 0 x 1}
➢ A全体奇数的集合, B为全体偶数的集合, 则
高一集合全部知识点
高一集合全部知识点高中数学之集合论基础集合是数学中一个非常重要且基础的概念，它是数学思维和逻辑推理的基石。
在高中数学的学习中，集合论的知识贯穿始终，为理解和掌握更高级的数学概念打下坚实的基础。
本文将对高一数学中的集合知识点进行梳理和讲解。
一、集合的概念集合是由一些明确定义的元素所构成的整体，这些元素可以是数字、字母、图形或任何其他数学对象。
我们用大写字母如A、B、C等来表示集合，而集合中的元素则用小写字母如a、b、c等表示。
例如，我们可以定义一个集合A，它包含了所有的正整数，那么A={1, 2,3, ...}。
二、集合的表示方法集合的表示主要有两种方法：列举法和描述法。
1. 列举法：直接列出集合中的所有元素，如集合A={1, 2, 3}。
2. 描述法：用数学符号和语言描述出集合中元素的性质，如集合B={x | x是小于5的正整数}，表示B包含了1、2、3、4这四个元素。
三、集合间的关系集合间的关系主要包括子集、真子集、并集、交集和补集。
1. 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么我们说A是B的子集，记作A⊆B。
2. 真子集：集合A是B的子集，并且A和B不相等，即A⊊B。
3. 并集：集合A和集合B的并集是包含A和B所有元素的集合，记作A∪B。
4. 交集：集合A和集合B的交集是同时属于A和B的所有元素组成的集合，记作A∩B。
5. 补集：在某个全集U中，集合A的补集是全集U中不属于A的元素组成的集合，记作A'或C_U(A)。
四、集合的运算集合的运算主要包括并集、交集和差集。
1. 并集运算：A∪B = {x | x∈A 或x∈B}。
2. 交集运算：A∩B = {x | x∈A 且x∈B}。
3. 差集运算：A-B = {x | x∈A 且 x∉B}，表示从集合A中去除那些也属于集合B的元素。
五、特殊集合在集合论中，还有一些特殊的集合，如空集、全集和单元素集合。
1. 空集：不包含任何元素的集合，记作∅。
集合论基础和代数结构的定义与性质
集合论基础和代数结构的定义与性质本文将介绍集合论基础和代数结构的定义与性质。
集合论基础是现代数学的基石，它的引入和发展在数学的许多分支中都有非常重要的地位。
而代数结构则是许多分支所研究的基础，例如线性代数、抽象代数、离散数学等等。
在此，我们将对这两个主题进行更详细的讨论。
集合论基础集合是数学里一个基本概念，它是具有一定特性的事物的总和。
对于一个集合$S$，它由多个元素$e$组成，记作$S=\{e\}$。
其中，元素$e$可以是任何事物，例如自然数、实数、矩阵等等。
除此之外，集合还有一些特殊的性质，这些性质是在定义一个集合时需要满足的，如下所示：1. 互异性：集合中的元素不同，即任意两个不同的元素在集合中只能出现一次。
2. 无序性：集合中元素的排列顺序无关紧要（不考虑序列），即相同元素的不同排列在集合中只算一个元素。
3. 所有元素都是同类事物，即一个集合中所有元素必须拥有相似的特性。
集合论中还有一些重要的概念，如空集（没有元素的集合）、交集（两个集合中共同包含的元素组成的集合）、并集（两个集合中所有元素组成的集合）等。
此外，Cantor于19世纪提出了集合论的无穷概念，即可以无限延伸的集合。
在这个框架之下，集合的基本性质进一步得到了应用。
代数结构的定义与性质代数结构是指一个满足一定规则的代数系统，例如环、域、矢量空间等等。
它们在数学研究中有广泛的应用。
接下来我们对其中一些代数结构进行讨论。
1. 群（Group）群是一种具有代数结构的数学系统，它包括一个集合和一个二元运算，这个运算需要满足封闭性、结合律、单位元和逆元。
其中逆元是指对于集合中的任意元素$x$，都存在一个元素$y$，使得$x$和$y$的运算结果为单位元。
群可以用来描述对称性、变换与对称等等。
例如一个正方形的四边可以相互调换，这个调换就可以看做是一个群。
2. 环（Ring）环是包含了两个二元运算（加法和乘法）的代数结构。
它需要满足加法满足交换律、结合律和分配律，乘法需要满足交换律和结合律。
组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是集合、排列和组合等离散的数学结构。
在现代科学和工程中，组合数学经常被应用于计算机科学、密码学和操作研究等领域。
本文将对组合数学的一些重要知识点进行总结。
一、集合论基础在组合数学中，集合是一个基本概念。
集合由元素组成，元素可以是具体的对象或者抽象的个体。
在集合论中，常用的符号有∈表示“属于”，∉表示“不属于”，∪表示“并集”，∩表示“交集”，∖表示“差集”，等等。
二、排列与组合1. 排列排列是从集合中选择一部分元素按照一定的顺序排列，其重要性质有：- 有序性：排列的元素是有顺序的。
- 可重复性：元素可以重复使用。
2. 组合组合是从集合中选择一部分元素不考虑顺序的组成一个组合，其重要性质有：- 无序性：组合的元素无顺序要求。
- 不可重复性：元素不可重复使用。
三、二项式定理与多项式定理1. 二项式定理二项式定理是组合数学中一个基本且重要的定理，它用于展开二次幂或高次幂的多项式。
二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n * b^0 + C(n, 1)a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n)a^0 *b^n其中，C(n, k)为组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
2. 多项式定理多项式定理是二项式定理的推广，用于展开更高次幂的多项式。
多项式定理的公式为：(a1 + a2 + ... + ak)^n = Σ C(n, k1, k2, ..., km)a1^k1 * a2^k2 * ... *ak^km其中，Σ表示对所有组合进行求和，C(n, k1, k2, ..., km)为多重组合数，表示从n个元素中选择k1个元素作为第一项，k2个元素作为第二项，以此类推。
四、图论基础图论是组合数学的一个重要分支，研究的是图及其性质。
图是由节点和边组成的一种数学结构，用于描述事物之间的关系。
图论中的一些基本概念和算法包括：- 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
集合数学基础知识点高一
集合数学基础知识点高一高中数学是每个学生都要学习的一门学科，而在高中数学中，集合论是一个非常重要且基础的知识点。
集合论的概念和理论对于理解和解决许多数学问题起着至关重要的作用。
本文将介绍一些高一阶段学习集合论时常见的基础知识点。
一、集合的定义和表示方法在集合论中，集合是指具有某种特定性质的事物的总体。
集合通常用大写字母表示，集合中的元素用花括号括起来表示。
例如，集合A可以表示为A={a,b,c}，其中a，b，c为集合A中的元素。
集合中的元素可以是数字、字母、符号或其他事物。
二、集合的关系在集合论中，通常会讨论集合间的关系。
集合的关系一般有包含关系、相等关系、并集、交集和补集等。
包含关系是指一个集合包含另一个集合中的所有元素。
例如，若集合A={a,b,c}，集合B={a,b,c,d}，则集合B包含集合A。
包含关系常用符号表示为A⊆B。
相等关系是指两个集合含有完全相同的元素。
例如，若集合A={a,b,c}，集合B={b,c,a}，则集合A等于集合B。
相等关系常用符号表示为A=B。
并集是指两个集合中的所有元素的集合。
例如，若集合A={a,b}，集合B={b,c}，则集合A和集合B的并集为A∪B={a,b,c}。
交集是指两个集合中共有的元素的集合。
例如，若集合A={a,b}，集合B={b,c}，则集合A和集合B的交集为A∩B={b}。
补集是指一个集合相对于另一个集合的差距。
例如，若集合A={a,b}，全集为U={a,b,c}，则集合A相对于全集U的补集为A 的补集为$\overline{A}$={c}。
三、集合间的运算和性质在集合论中，集合间有许多运算和性质。
并集运算满足交换律和结合律。
例如，若集合A={a,b}，集合B={b,c}，则(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
交集运算满足交换律和结合律。
例如，若集合A={a,b}，集合B={b,c}，则(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
并集运算满足分配律。
高一集合的基础知识点
高一集合的基础知识点在高中数学中，集合论是一个重要的数学分支，而高一阶段是集合论中的基础阶段。
通过学习集合的基础知识点，可以帮助学生建立数学思维、培养逻辑思维能力以及解决实际问题的能力。
本文将介绍高一集合的基础知识点。
一、集合的概念和符号集合是由具有共同特征的对象所组成的整体，我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A = {1, 2, 3}，其中的元素1，2和3都属于集合A。
集合的表示方法有两种，一种是列举法，即直接列出集合中的元素；另一种是描述法，即通过对元素的特征进行描述来表示集合。
例如，集合A = {x|x是正整数，1≤x≤5}，表示集合A是由1到5的正整数所组成的。
集合的符号有：包含关系符号（⊆）、相等关系符号（=）、不等关系符号（≠）、属于关系符号（∈）和不属于关系符号（∉）。
例如，若集合B包含于集合A，则表示为B⊆A；若元素x属于集合A，则表示为x∈A。
二、集合的运算高一阶段主要考察集合的并、交和补三种基本运算。
1. 并集：两个集合的并集是指由两个集合中所有的元素组成的新集合，用符号∪表示。
例如，若集合A = {1, 2}，集合B = {2, 3}，则它们的并集为A∪B = {1, 2, 3}。
2. 交集：两个集合的交集是指两个集合中都有的元素组成的新集合，用符号∩表示。
例如，对于上述集合A和集合B，它们的交集为A∩B= {2}。
3. 补集：对于给定的一个集合A，相对于某个全集U，与集合A不相交的元素所组成的集合叫做A的补集，用符号A'或者A⁻表示。
例如，若集合A = {1, 2, 3}，全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，则集合A的补集为A' = {4, 5}。
三、集合的特性在高一阶段，掌握一些集合的基本特性对于解决集合相关问题非常重要。
1. 互斥：两个集合没有相同的元素，即两个集合的交集为空集。
若集合A和集合B互斥，则表示为A∩B = ∅。
离散数学-集合论基础
集合论基础
真子集
集合 A是集合B的子集, 且A与B不相等,则称 A是B的真子集. 也就是说, (Vx) (x∈A→ x ∈B) ∧ (y) (y ∈B ∧ y A)
集合论基础
空集
不包含任何元素的集合称为空集. 记作Φ. 也就是说, Φ={x | P(x) ∧ ¬P(x)}
注意:空集是任意集合的子集. 比较:Φ和{Φ}
集合论基础
内容提要
现代数学的基础 渗透到计算机科学的各个方面 典型的离散结构模型 基本内容：集合的概念、性质、运算、 关系、函数等。
集合论基础
集合的概念
注意：集合无法精确定义！
说明 集合：把具有共同性质的一些组成一个 整体，通常用大写字母表示，A，B，S 有限集与无限集
集合论基础
集合论基础
二元关系
任一序偶的集合确定了一个二元关系. 记作<x, y> ∈R或 xRy. 特别地, 对于集合A和B, 如果x∈A, y∈B, 则序偶<x, y>所组成的关系R称为从集合 A到集合B的二元关系. 注意: R是A和B的笛卡尔积的子集. 两个特殊二元关系:全域关系和空关系.
集合论基础
集合论基础
集合的分划
令集合S ={S1, S2, …, Sm }是集合A的一 个覆盖,且Si∩ Sj= Φ (i ≠j), 则称集合S是 集合A的一个分划(或称为划分). 最小分划: A本身组成的集合; 最大分划: A中每个元素构成一个分块所 组成的集合.
集合论基础
闭包运算之间的性质
R是集合A上的一个二元关系, 则有 rs(R)=sr(R) rt(R)=tr(R) st(R) ts(R)
第一章 集合论基础
第一章集合论基础1.2.1 证明集合的包含关系方法一.用定义来证明集合的包含关系是最常用也是最基本的一种方法。
要证明A⊆B，首先任取x∈A，再演绎地证出x∈B成立。
由于我们选择的元素x是属于A的任何一个，而非特指的一个，故知给出的演绎证明对A中含有的每一个元素都成立。
当A是无限集时，因为我们不能对x∈A，逐一地证明x∈B成立，所以证明时的假设“x是任取的”就特别重要。
例1.2.1 设A，B，C，D是任意四个非空集合，若A⊆C，B⊆D，则A×B⊆C×D。
证明：任取(x，y) ∈A×B，往证(x，y) ∈C×D。
由(x，y) ∈A×B知，x∈A，且y∈B。
又由A⊆C，B⊆D知，x∈C，且y∈D，因此，(x，y) ∈C×D。
故，A×B⊆C×D。
1.2.2 证明集合的相等方法一.若A，B 是有限集，要证明集合A=B当然可以通过逐一比较两集合所有元素均一一对应相等即可，但当A，B 是无限集时，一般通过证明集合包含关系的方法证得A⊆B，B⊆A即可。
例1.2.2 设A，B，C，D是任意四个集合，求证（A×B）⋂（C×D）=（A⋂C）×（B⋂D）。
证明：首先证明（A×B）⋂（C×D）⊆（A⋂C）×（B⋂D）。
任取（x,y）∈（A×B）⋂（C×D），则（x,y）∈（A×B），且（x,y）∈（C×D），故x∈A，y∈B，x∈C，y∈D，即x∈A⋂C，y∈B⋂D，因此，（x,y）∈（A⋂C）×（B⋂D）。
由于以上证明的每一步都是等价的，所以上述论证反方向进行也是成立的。
故可证得（A⋂C）×（B⋂D）⊆（A×B）⋂（C×D）。
因此，（A×B）⋂（C×D）=（A⋂C）×（B⋂D）。
集合论与逻辑学基础
集合论与逻辑学基础一、引言集合论与逻辑学作为数学的两个基础学科，在现代数学研究中起着重要的作用。
集合论研究的是集合的性质和关系，逻辑学则主要研究推理和证明的方法。
本文将分别介绍集合论和逻辑学的基础知识，以及它们在数学研究中的应用。
二、集合论基础1. 集合的定义和表示法集合是由一些特定对象组成的整体。
通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。
集合可以通过列举元素或使用描述性的方式进行表示。
2. 集合的运算集合论中常用的运算有交集、并集、差集和补集。
交集表示属于两个集合的公共元素，用符号∩表示。
并集表示属于两个集合中至少一个集合的元素，用符号∪表示。
差集表示只属于一个集合而不属于另一个集合的元素，用符号\表示。
补集表示全集中不属于某个特定集合的元素，用符号'表示。
3. 集合的关系集合间可以有包含关系、相等关系和互斥关系。
一个集合包含另一个集合意味着前者的所有元素都属于后者。
两个集合相等意味着它们具有相同的元素。
两个集合互斥意味着它们没有公共的元素。
4. 集合的基本定理集合论中有一些重要的基本定理，如并集分配律、交集分配律和德摩根定律等。
这些定理为集合运算提供了便利和准确性。
三、逻辑学基础1. 命题逻辑命题逻辑是研究命题和命题之间的逻辑关系的分支学科。
命题是陈述句，可以判断为真或为假。
命题逻辑通过连接诸如“与”、“或”、“非”等逻辑词语来描述命题之间的关系，通过真值表和逻辑公式来研究命题的逻辑特性。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是研究谓词和量化词语的逻辑关系的分支学科。
谓词是带有参数的陈述句，可以包含变量。
谓词逻辑通过连接诸如“对于所有”、“存在”等量化词语来描述谓词之间的关系，通过公式化的规则来推理和证明谓词的逻辑性质。
3. 形式推理形式推理是逻辑学的核心内容之一，它研究推理和证明的方法和原则。
形式推理通过构建严密的论证结构来得出正确的结论，并通过逻辑规则和推理规则来证明推理的有效性。
四、集合论与逻辑学在数学中的应用集合论和逻辑学是现代数学的基石，它们在数学研究中有着广泛的应用。
集合论一、基本概念集合(set)做为整体识别的、确定的、互相区别的
集合论一、基本概念集合(set)：做为整体识别的、确定的、互相区别的一些对象的总体。
规定集合的三种方式：列举法、描述法、归纳法集合论的三大基本原理外延公理：两个集合A和B相等当且仅当它们具有相同的元素（无序性）概括公理：对于任意个体域U，任一谓词公式P都确定一个以该域中的对象为元素的集合S（确定性）正规公理：不存在集合A1,A2,A3,…使得…∈A3∈A2∈A1（有限可分，集合不能是自己的元素）注意：隶属、包含的判断（有时两者兼有）定理1：对于任意集合A和B，A=B当且仅当A ⊆ B且B ⊆ A⊆传递性，对全集、空集的⊆关系等定理5：空集是唯一的子集、真子集、子集个数等运算：并、交、补、差、幂集，及一些运算性质、公式幂集：对任意集合A，ρ(A)称作A的幂集，定义为：ρ(A)={x|x⊆A}，所有子集的集合设A,B为任意集合，A A B当且仅当ρ(A) ⊆ρ(B)集合族：如果集合C中的每个元素都是集合，称C为集合族集合族的标志集：如果集合族C可以表示为某种下标的形，C={Sd|d∈D}，那么这些下标组成的集合称作集合族C的标志集广义并、广义交，及相关运算性质、公式归纳定义：基础条款：规定某些元素为待定义集合成员，集合其它元素可以从基本元素出发逐步确定归纳条款：规定由已确定的集合元素去进一步确定其它元素的规则终极条款：规定待定义集合只含有基础条款和归纳条款所确定的成员基础条款和归纳条款称作“完备性条款”，必须保证毫无遗漏产生集合中所有成员终极条款又称“纯粹性条款”，保证集合中仅包含满足完备性条款的那些对象例：自然数的归纳定义、数学归纳法等……（建议看一下课件例子了解一下思路）二、关系有序组（二元）：设a,b为任意对象，称集合族{{a},{a,b}}为二元有序组，简记为<a,b>称a为<a,b>的第一分量，b为第二分量递归定义：n=2时，<a1,a2>={{a1},{a1,a2}}n>2时，<a1,…,an>=<< a1,…,an-1>, an>集合的笛卡儿积：对任意集合A,A2,…,A，A1×A2称作集合A1，A2的笛卡儿积，定义如下：A1×A2 = {<u,v> | u∈A1,v∈A2}A1×A2×…×An =(A1×A2×…×An-1) ×An定理：对于任意有限集合A1,…,An，有|A1×…×An|=|A1|*…*|An|一些运算性质关系是各个对象之间的联系和对应R称为集合A1,A2,…,An-1到An的n元关系，如果R是A1×A2×…×An的一个子集。
集合论基础知识整理
集合论基础知识整理在数学中，集合论是一门研究集合及其属性、操作和关系的学科。
它是现代数学的基础之一，也是许多其他数学领域如代数、拓扑学和数理逻辑的基础。
一、集合和元素集合是由元素组成的整体。
用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}，其中1、2、3是A的元素。
二、集合的表示方法1. 列举法：直接列举集合中的元素。
例如，集合B={a, b, c}，其中a、b、c是B的元素。
2. 描述法：用一种性质或条件描述集合中的元素。
例如，集合C={x | x是正整数且x<5}，表示C是由小于5的正整数组成的集合。
三、集合的运算1. 交集（∩）：两个集合中共有的元素构成的新集合。
例如，集合D=A∩B={1, 2}，表示D是集合A和集合B的交集。
2. 并集（∪）：两个集合中所有元素构成的新集合。
例如，集合E=A∪B={1, 2, 3, a, b, c}，表示E是集合A和集合B的并集。
3. 差集（-）：从一个集合中去除另一个集合中的元素。
例如，集合F=A-B={3}，表示F是集合A减去集合B的差集。
4. 补集（'）：集合A相对于全集U中未包括的元素的集合。
例如，集合A'={x | x∈U 且 x∉A}，表示A'是集合A的补集。
四、集合的性质1. 包含关系：一个集合的所有元素都属于另一个集合。
例如，若集合G={1, 2}，则A⊆G。
2. 空集：不包含任何元素的集合，用符号∅表示。
3. 相等：两个集合具有相同的元素。
例如，若集合H={1, 2, 3}，则A=H。
五、集合的应用1. 数学证明：集合论为数学证明提供了基础。
通过集合论的概念和运算，可以推导出更复杂的数学结论。
2. 数据分析：在统计学和数据分析中，集合论用于描述和操作样本、事件和属性。
3. 计算机科学：集合论是计算机科学中的基本概念之一，用于定义数据结构和算法。
六、集合的进一步研究1. 无限集合：具有无穷多个元素的集合。
集合论基础课件
对于命题公式 A 、B ，如果蕴涵式 A B 为重言式，则称 A 是重言蕴涵 B 的，记为 A B 。
1.3 命题逻辑中的重言蕴涵式
• 基础重言蕴涵式
1 合取律 2 附加律 3 简化律 4 假言推理 5 假言推理拒取式 6 析取三段论 7 假言三段论 8 等价三段论
( p) (q) p q
时是假的。
p
q
pq
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1.1 命题逻辑基本概念
• 命题变元 • 命题公式
命题公式是关于命题变元和连接词的符号表示，命题公式可以通过使用如下两条规则来构 成：
(一) 任意的命题变元是命题公式，称为原子命题公式；
(二) 如果符号 A 、 B 表示命题公式，则 (¬ A) ， ( A B) ， ( A B) ， ( A B) ，
1.4 命题逻辑中的形式系统
命题逻辑形式系统 L1 的 4 个组成部分如下：
一、符号表集合 LA ：
(1) 命题变元符号： p,q,r, s,
(2) 逻辑连接词符号： , ,,, (3) 左括号和右括号： (, )
二、命题公式集合 LF ：
命题公式由 LA 中的符号根据第一小节中的命题公式形成规则完成。
¬ p 是真的当且仅当 p 是假的。
p ¬p
1
0
0
1
1.1 命题逻辑基本概念
2. 合取连接词
对于命题 p 和 q ，我们用符号 p q 表示自然语言中“ p 与 q ”，“ p 并且 q ”这类命题。其
中，符号 称为合取连接词，命题 p q 称为命题 p 和 q 的合取式。对于 p q 和 p 、 q
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集合间的关系
1.包含关系(子集)
(1).定义：A、B是集合，如果A中元素都是B中元素，
则称B包含A，A包含于B，也称A是B的子集。记 作AB。
文氏图表示如右下图。
例如，N是自然数集合， R是实数集合，则NR
AB
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(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。 ⑷同一律 对任何集合A，有A∩E=A。 ⑸零一律 对任何集合A，有A∩Φ=Φ。 ⑹ AB A∩B=A。
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集合的运算
2.并运算∪ 定义：A、B是集合，由或属于A，或属于B的
元素构成的集合 ,称之为A与B的并集,记作A∪B。
例如:A={1,2,3} ,B={2,3,4} 则A∪B={1,2,3,4}
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特殊集合
1.全集 E 定义：包含所讨论的所有集合的集合，称之为全集，
记作E。 由于讨论的问题不同，全集也不同。所以全集
不唯一。 例如: 若讨论数，可以把实数集看成全集。
若讨论人，可以把人类看成全集。 性质：对于任何集合A，都有A在E中。
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特殊集合
2.空集 Φ
定义：没有元素的集合，称之为空集，记作Φ。
集合间的关系
(2).性质：
(a). 有自反性，对任何集合A有AA。 (b). 有传递性，对任何集合A、B、C，有AB且
BC ，则AC。 (c). 有反对称性，对任何集合A、B，有AB且
BA ，则A=B。
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集合间的关系
2. 相等关系
定义：A、B是集合，如果它们的元素完全相同， 则称A与B相等。记作A=B。
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第二篇 集合论
❖主要包括如下内容： 集合论基础 二元关系 函数
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第一章 集合论基础
❖本章主要介绍如下内容： 基本概念及集合的表示方法 集合间的关系 特殊集合 集合的运算
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基本概念
1.集合与元素 集合：是由确定的对象(客体)构成的集体。一般用大 写的英文字母表示。 这里所谓“确定”是指：论域内任何客体，要么属 于这个集合，要么不属于这个集合，是唯一确定的。 元素：集合中的对象，称之为元素。 ∈：表示元素与集合的属于关系。 例如，N表示自然数集合，2∈N， 而1.5不属于N，写成 1.5N。
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4. 说明 ⑴集合中的元素间次序是无关紧要的，但是必须是
可以区分的，即是不同的。例如A={a,b,c}， B={c,b,a}，C={a,b,c,a}，则A、B和C是一样的。 ⑵对集合中的元素无任何限制，例如令
A={人，石头，1，Ｂ}, B={Φ,{Φ}} ⑶本书中常用的几个集合符号的约定：
性质： 有传递性，对任何集合A、B、C，如果有AB且 BC ，则AC。
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集合的运算
1.交运算∩
定义：A、B是集合，由既属于A，也属于B的元素 构成的集合 ,称之为A与B的交集,记作A∩B。
例如:A={1,2,3} ,B={2,3,4}
则 A∩B={2,3}
A
B
A∩B
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集合的运算
性质： ⑴幂等律 对任何集合A，有A∩A=A。 ⑵交换律 对任何集合A、B，有A∩B=B∩A。 ⑶结合律 对任何集合A、B、C，有
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郑州大学
离散数学
任课教师： 刘 学文
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第一篇 绪 言
❖离散数学的特征和性质 ❖此课程的主要学习内容 ❖此课程的主要学习方法
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第一篇 绪 言
❖ 正如马克思所说的：“一门科学，只有当它能够 运用数学时，才算真正发展了。”计算机正是在 离散数学中图灵机理论的指导下诞生的。
❖ 离散数学是数学的一个分支，它以离散量作为其 主要研究对象，是研究离散对象的结构以及它们 之间相互关系的科学。由于计算机不论硬件还是 软件都属于离散结构，所以计算机所应用的数学 必是离散数学。
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第一篇 绪 言
❖离散数学课程是 计算机系核心课程 信息类专业必修课 其它类专业的重要选修课程
❖离散数学也是后继数学课程的学习可以培养学生抽象的 思维、逻辑推理能力和创新能力。
❖让学生见识一些重要的数学思想、数学方
法以及用数学解决实际问题的著名事例。
培养逻辑思维的能力和分析问题解决问题 的能力。
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3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列出，写在大括号内。
例如，N={1,2,3,4,……} A={a,b,c,d} 描述法：用句子描述元素的属性。
例如，B={x| x是偶数} C={x|x是实数且2≤x≤5}
一般地，A={x|P(x)}, 其中P(x)是谓词公式， 如果客体a使得P(a)为真，则a∈A，否则aA。
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第一篇 绪 言
❖离散数学的主要学习内容： 1. 集合论 2. 代数系统 3. 图论 4. 数理逻辑 *5. 组合数学 *6. 形式语言与自动机
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第一篇 绪 言
❖特点：内容较杂，概念多，定理多，比较 抽象，学习有一定的难度。
❖学习方法： 1.准确掌握每个概念(包括内涵及外延)。 2.要有刻苦钻研的精神,不断总结经验。 3.在理解内容的基础上，要多做练习题，从 而再进一步加深理解所学内容。 4.注意培养分析问题和解决问题的能力
性质：
⑴有自反性，对任何集合A，有A=A。
⑵有传递性，对任何集合A、B、C，如果有A=B 且 B=C ，则A=C。
⑶有对称性，对任何集合A、B，如果有A=B，则 B=A。
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集合间的关系
3.真包含关系(真子集)
定义：A、B是集合，如果AB且A≠B，则称B真包 含A，A真包含于B，也称A是B的真子集。记作 AB。
自然数集合N= {1,2,3,……} 整数集合I，实数集合R，有理数集合Q
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⑷集合中的元素也可以是集合，下面的集合的含义 不同：
如 a：
张书记
{a} :
党支部(只有一个书记)
{{a}} ： 分党委(只有一个支部)
{{{a}}}： 党委 (只有一个分党委)
{{{{a}}}}： 市党委(只有一个党委)
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2. 有限集合与无限集合 这里对有限集合与无限集合先给出朴素的定义，
以后再给出严格的形式定义。 有限集合：元素是有限个的集合。
如果A是有限集合，用|A|表示A中元素个数。例 如，A={1,2,3}, 则|A|=3。 无限集合：元素是无限个的集合。 对无限集合的所谓‘大小’的讨论，以后再进行。