20102012华约自主招生数学试题及答案解析完整版
2012华约 高校自主招生数学试题及解答
x2n
(x+2n+1),
(2n 1)!
f 2 n 1 (2n
1) =
f2n1(2n 1)
=…=
f1(2 n1) <0
故 f2n1(x) =0 有唯一一个解，记为 x2n1 ∈(-2n-1,0)
又
f
2n
2
(
x
)
=
f2n1(x) ，
f2n2 (x)
在(-∞,
x2n1 )上单调减，在( x2n1 ,+∞)上单调增
A. 0 ；
B.1 ；
C. 1 ；
D. 2
5.若正整数集合 Ak 的最小元素为 1,最大元素为 2007,并且各元素可以从小到大排成一个公差
为 k 的等差数列,则并集 A17 A59 中的元素个数为
A.119；
B.120；
C.151；
D.154
6.三角式
1 cos 0f2n1 (x2n1 ) <0= f2n1 (x2n1 ) , f2n1 (x) 单调增， x2n1 x2n1
总之，当 n 为偶数时,方程 fn (x) 0 无解;当 n 为奇数时,方程 fn (x) 0 有唯一解 xn ,且
xn2 xn .
15 3
7
13.【简解】如图，cosB= = ,cosC=
n0
n1
n2
k
k 1
k 2
= C2nk 1 (1 p)n p 2k 1n +2 C2nk 1 (1 p)n1 p 2k n + C2nk 1 (1 p)n2 p 2k 1n
n0
n0
n0
k
=
C2nk 1 (1
p)n
p
2012年华约自主招生数学试题参考解答
1 2 1 2
A, B, C, D 与 F11 , F12 ,..., F21m , F22m 之间的比赛我们安排如下：
ABC , BE R† AC u E , CD R† AB u D , BC = 25, CE = 7 , u: H , ë •Ý . DE , ± DE •†»x ,T † AC
BD = 15 . e BE, CD u,˜: F , ¦ AF )‰. ë
3 7 DF , Kk DF R† AC . d®•^‡k cos B = , cos C = ,¤ 5 25 4 24 ± sin B = , sin C = . u´ 5 25 sin A = sin(B + C ) = sin B cos C + sin C cos B = Ï d ∠A = ∠B , = ABC • n 4 = sin B , 5 AC =
2. 当 l m 的时候结论成立，那么 l m 1 的时候，假设这 4m 5 位选手为
A, B, C, D, E, F11 , F12 , F21 , F22 ,..., F21m , F22m ，由归纳假设，可以安排 E, F11 , F12 , F21 , F22 ,..., F21m , F22m 之间的比赛，使得他们之间每两位选手作为队友恰好只参加
Ïd
p
1 ž , {pk } 4O ; 2
p
1 ž , {pk } 4~ . 2
2. ® • fn (x) = 1 + x + fn (x) = 0 Ã) ,
2012华约自主招生考试数学试题
2012年华约自主招生考试数学试题一、选择题1. 在锐角三角形ABC 中，已知A B C >>，则cos B 取值范围是（ ）A 、⎛ ⎝⎭B 、12⎛ ⎝⎭C 、()0,1D 、⎫⎪⎪⎝⎭2. 红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同色的棋子中，均为红棋在前，蓝棋在后，满足这种条件的不同排列方式共有（ ）A 、36B 、60C 、90D 、1203. 正四棱锥S -ABCD 中，侧棱底面所成的角为α，侧面与底面所成的二面角为β，侧棱SB 与底面正方形ABCD 对角线所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ，则四个角大小顺序为（ ）A 、α<β<θ<γB 、α<β<γ<θC 、α<γ<β<θD 、β<α<γ<θ4. 向量e α≠，1e =，若对t R ∀∈，te e αα-≥+，则（ ）A 、e α⊥B 、()e αα⊥+C 、()e e α⊥+D 、()()e e αα+⊥-5. 若C ω∈，11ωω-+的实数部为0，求复数11ω+在复平面内对应的点的轨迹（ ） A 、一条直线 B 、一条线段 C 、一个圆 D 、一段圆弧6. 椭圆长轴长是4，左顶点在圆22(4)(1)4x y -+-=上，左准线为y 轴，则此椭圆的离心率的范围是（ ）A 、11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦7. 已知三棱锥S -ABC 中，底面ABC 是正三角形，点A 在侧面SBC 的射影H 是SBC 的垂心，二面角H -AB -C 为30度，且SA =2，则此三棱锥体积为（ ）A 、12BCD 、348. 已知锐角ABC ∆，BE AC ⊥于E ，CD AB ⊥于D ，25BC =，7CE =，15BD =，BECD H =，连接DE ，以DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F ，AF 的长度为（ ）A 、8B 、9C 、10D 、119. 数列{}n a 的通项公式是22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，n S 是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=（ ） A 、0B 、lg 32C 、lg2D 、lg310. 已知610i x -≤≤（1,2,,10i =），10150i i x ==∑，当1021i i x =∑取得最大值时，在i x 这10个数中等于6-的共有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、4二、解答题 11. 三角形ABC 中，22sin 1cos22A B C +=+， （1）求角C 大小； （2）22222c b a =-，求cos2cos2A B -的值．12. 点P 在y 轴上的投影为H ，若()2,0A -，()2,0B ，22AP BP PH ⋅=．（1）求点P 的轨迹；（2）过B 的直线在x 轴下方交P 点轨迹于M 、N 两点，MN 的中点为R ，求过R 与()0,2Q -的直线斜率的取值范围．13. 系统内每个元件正常工作的概率为p ，若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作．（1）某系统配置21k -有个元件，k 为整数，求系统正常工作的概率k P ，并讨论k P 的单调性；（2）现为改善（1）中性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统可靠性． 14. 已知2()12!!n n x x f x x n =++++（n N *∈），求证：当n 为偶数时，()0n f x =无解；当n 为奇数时，()0n f x =有唯一解且2n n x x +<．15. 乒乓球队有n 个队员，在一次双打集训中，任意两名队员作为队友，恰好只搭档过一次双打比赛，求n的所有可能值并每个给一种比赛方案．16.。
“北约”自主招生数学试题及解答(2010-2012)
2010年“北约”自主招生数学试题及解答1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<． 【解析】 不妨设()sin f x x x =-，则(0)0f =，且当02x π<<时，()1cos 0f x x '=->．于是()f x 在02x π<<上单调增．∴()(0)0f x f >=．即有sin x x >． 同理可证()tan 0g x x x =->．(0)0g =，当02x π<<时，21()10cos g x x '=->．于是()g x 在02x π<<上单调增。
∴在02x π<<上有()(0)0g x g >=。
即tan x x >。
注记：也可用三角函数线的方法求解．2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB（25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<；⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）．不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上．且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或；对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于是22max AB R P R Q == 由⑴，⑵知2max AB R P =．不妨设为x ．下面研究正五边形对角线的长．IHG F E 1111x x-1如右图．做EFG ∠的角平分线FH 交EG 于H ． 易知5EFH HFG GFI IGF FGH π∠=∠=∠=∠=∠=． 于是四边形HGIF 为平行四边形．∴1HG =． 由角平分线定理知111EFEH x FG x HG ===-．解得x =3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分）【解析】 不妨设过A 点的切线交x 轴于点C ，过B 点的切线交x 轴于点D ，直线AC 与直线BD 相交于点E ．如图．设1122(,),(,)B x y A x y ，且有222211121,1,0y x y x x x =-=->>．由于2y x '=-，于是AC 的方程为2222x x y y =--；① BD 的方程为1122x x y y =--． ②联立,AC BD 的方程，解得121221(,1)2()y y E x x x x ---． 对于①，令0y =，得222(,0)2y C x -；对于②，令0y =，得112(,0)2y D x -． 于是221212121222112222y y x x CD x x x x --++=-=-． 121(1)2ECD S CD x x ∆=-．不妨设10x a =>，20x b -=>，则 2222111111()(1)(22)44ECD a b S ab a b a b ab a b a b∆++=++=+++++1111()(2)(2)44a b ab ab ab ab=+++⋅++≥ ③0s >，则有331111111(2)(.....)223399ECD S s s s s s s s s ∆=++=++++++ 6个 9个1243691616111116)]8()29s s s ⋅⋅[⋅(⋅()=⋅≥3218)3=⋅(= ④又由当12x a x b s ==-==时，③，④处的等号均可取到．∴min ()ECD S ∆ 注记：不妨设311()(2)2g s s s s=++，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解． 由2211()(32)2g s s s '=+-知当2103s <<时()0g s '<；当213s <时()0g s '>．则()g s 在(0,上单调减，在)+∞上单调增．于是当s =时()g s 取得最小值． 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =-=，令 222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==-+-⋅-⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++--+． 其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4-+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+-+≤≤． 当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+-<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意． 于是夹角的范围为2[,]23ππ．5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分） 【解析】 不存在；否则有(cos sin )(cos sin )cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x-+-=-=， 则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x+=．若cos sin 0x x -=，有4x π=．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x+=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x =． 而11sin cos sin 2(0,]22x x x =∈，矛盾！2011年“北约”自主招生数学试题及解答2012年“北约”自主招生数学试题及解答《自主招生》三大系列《全国重点高校自主招生备考指南·高一、高二基础版》从从高高一一开开始始行行动动起起来来！！⊙专为高一、高二学生设计，细致分析自主招生关键信息，深入讲解自主招生备考方略。
2010-2013华约试题及答案(精校版+完整版)
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B（C ）1 （D3．已知平面α//平面β，直线,m n αβ⊂⊂，点,,A m B n AB ∈∈与平面α的夹角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 的夹角为 度 （A ）60 （B ）45 （C ）30 （D ）22.54.正四棱锥P-ABCD 中，B 1为PB 的中点，D 1为PD 的中点， 则两个棱锥A-B 1CD 1与P-ABCD 的体积之比11A B CD P ABCDV V --（A ）1：6 （B ）1：5 （C ）1：4 （D ）1：35．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
华约自主招生数学真题及解答(2010-2012)
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ）（A ）32-（B ）12-（C ）12（D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B ） （C ）1 （D ）3。
缺 4。
缺5．在A B C ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan22A C 的值为（ ）（A ）15（B ）14（C ）12（D ）236．如图，A B C ∆的两条高线,A D B E 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作O F 垂直B C 于F ，O H 与A F 相交于G ，则O F G ∆与G A H ∆面积之比为（ ） （A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B ）2（C ）e 2（D ）2e48．设双曲线2212:(2,0)4x yC k a k a-=>>，椭圆2222:14x yC a+=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线O A 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于O C D 所在平面的镜面反射，设l 为过A B 中点与C D 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ 表示变换的复合，先作τ，再作σ。
10自主招生试题分类汇编-平面向量
历年自主招生试题分类汇编——平面向量4．（2010年北约）向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =−，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分） 【解析】 不妨设OA ，OB 夹角为α，则1,2OP t OQ t =−=，令222()(1)42(1)2cos g t PQ t t t t α==−+−⋅−⋅2(54cos )(24cos )1t t αα=++−−+．其对称轴为12cos 54cos t αα+=+．而12()54x f x x +=+在5(,)4−+∞上单调增，故12cos 1154cos 3αα+−+≤≤．当12cos 1054cos 3αα++≤≤时，012cos 1(0,)54cos 5t αα+=∈+，解得223αππ<<． 当12cos 1054cos αα+−<+≤时，()g t 在[0,1]上单调增，于是00t =．不合题意．于是夹角的范围为2[,]23ππ．（4）（2012年华约）向量a e ≠，||1e =。
若,||||t R a te a e ∀∈−≥+，则（ ）(A) a e ⊥ (B) ()a a e ⊥+ (C) ()e a e ⊥+ (D) ()()a e a e −⊥+ 解析：由于,||||t R a te a e ∀∈−≥+，那么22||||a te a e −≥+，即22()()a te a e −≥+ ，从而有2222222e t a et a e a e a −⋅+≥+⋅+即t R ∀∈，22120t a et a e −⋅−−⋅≥，因此24()4(12)0a e a e ⋅++⋅≤，得到2(1)0a e ⋅+≤，即1a e ⋅=−。
因此有2()||110e a e e a e ⋅+=⋅+=−+=，从而()e a e ⊥+。
2012年华约自主招生全真模拟_数学AAA(含答案以及详解)
1.1正数负数练习题1一﹑选择题 (共10个小题，每小题3分，共30分)1. 李华把向北移动记作“+”，向南移动记作“—”，下列说法正确的是（ ） A. —5米表示向北移动了5米 B. +5米表示向南移动了5米C. 向北移动—5米表示向南移动5米D. 向南移动5米，也可记作向南移动—5米 2. *下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（ ）A. 一天凌晨的气温是—50C ，中午比凌晨上升100C ，所以中午的气温是+100CB. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么—12%表示生产成本降低12%C. 如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么—6米表示比海平面低—6米D. 如果收入增加10元记作+10元，那么—8表示支出减少8元 3. 下列说法错误的是（ ）A. 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B. 一个有理数不是整数就是分数C. 正有理数分为正整数和正分数D. 负整数、负分数统称为负有理数4.如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）5.如图所示，点M 表示的数是（ ）A. 2.5B. 5.3-C. -25.D. 2.5 6. *6，2008，212，0，-3，+1，41-中，正整数和负分数共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个7. 若字母a 表示任意一个数，则—a 表示的数是（ ）A. 正数B. 负数C. 0D. 以上情况都有可能 8.点A 为数轴上表示－2的动点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B 时，点B 所表示的实数是 （ ）A 1B －６ Ｃ ２或－６ Ｄ 不同于以上答案第Ⅱ卷（非选择题）一、填空题（共8个小题，每小题3分，共24）11.数轴上离表示-3的点的距离等于3个单位长度的点表示数是 .12.有理数中最小的非负数 ．最大的非正数是 ．13.在数轴上A 点表示－31，B 点表示21，则离原点较近的点是__ _点．14.小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作_______,-4万元表示________________．15.#如果全班某次数学测试的平均成绩为80分，某同学考了85分，记作+5分，得分90分和80分应分别记作_________________________．16.某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（50±0.1）kg 、（50±0.2）kg 、（50±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 .17.小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的个数有 ．18.*神舟六号飞船于北京时间（UTC+8）2005年10月12日上午9:00在酒泉卫星发射中心发 射升空， 费俊龙和聂海胜两名中国航天员被送入太空。
华约自主招生数学答案
第一题：已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件①数字两两不等②任意两个数字之和不等于9 ⑴B 中有多少个两位数，多少个三位数 ⑵B 中是否有五位数？是否有六位数？将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
先想如何确定一个元素，合理的方法应该是从高位开始依次按照要求选择各个数位上的数字，理解到这里之后就是简单地排列组合计算了。
【参考答案】 解：①对于两位数来说，当一位数m 确定以后，根据题意，另一位数只有除9-m 和m 以外8个可能选择的数字，那么B 中包含的两位数个数是9872⨯=个。
记一个三位数为abc ，其中a 有9种选择，依次b 有8种，c 有6种，所以三位数的个数为986432⨯⨯=个②依照上面的规律，四位数个数为98641728⨯⨯⨯=个，五位数个数为986423456⨯⨯⨯⨯=个，当是六位数的时候，前面的五个数字确定后，第六个数字将不存有，所以没有六位数。
证明能够用抽屉原理解决，非常简单。
③两位数和三位数共有504个，故第1081个数是四位数，设为abcd 。
我们只需找出四位数中的第1081-504=577个数字就是所要求的数字。
当1a =时，bcd 有864192⨯⨯=种组合，依次类推，2a =有192个数字，故1,2,3a =时 共有1923576⨯=个数字，故第577个数字也就是整体第1081个数字就是4012.第二题：已知sin x +sin y =13，cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos()x y +【试题分析】很简单的三角函数计算题，需要熟练掌握三角函数的合角公式和差角公式，对整体的数学思维也有一定的要求，因为三角函数的计算往往无法避免多值问题，如果能对已知的等式实行整体的运算那么就会避免非常复杂的讨论，直接得到希望的结果。
2012-2010 近3年自主招生华约数学试题
2011年自主招生华约数学试题1. 求值：444)70(sin )50(sin )10(sin +︒+︒2.长为L （L 为整数）的木棒可以锯成长为整数的两段，要求任何时刻所有木棒中的最长者长度严格小于最短者长度的2倍。
例如长为4的木棒可以锯成2＋2两段，而长为7的木棒第一次可以锯成3＋4，第二次可以再将长为4的木棒锯成2＋2，这时2＋2＋3三段不能再锯。
问：长为30的木棒至多可以锯成多少段？3. 将数轴上的每个点用N 种颜色之一染色，要求任意距离为1、根号2 或 根号5的两点不同色。
求N 的最小值。
4. 12个人玩一个游戏，游戏开始后每个人被随机的戴上红、黄、蓝、绿四种颜色之一的帽子，每个人可以看到其余11个人帽子的颜色，但不能看到自己帽子的颜色，游戏开始后12个人不能再交流，并被要求猜出自己帽子的颜色。
请为这12个人在游戏前商定一个方案，使得他们同时猜对自己头上帽子颜色的概率尽可能大。
2011年自主招生华约数学试题一、选择题 (1) 设复数z 满足|z|<1且15||2z z +=则|z| = ( ) 4321A B C D 5432 (2) 在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中DM 与AN 所成角的余弦为( ) 1111A B C D 36812(3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )A 2B1C 1D 2 - -此题有误，原题丢了，待重新找找。
(4)若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 () 3131A1B ,C1D ,12222 （5）如图，1eO 和2eO 外切于点C ，1eO ，2eO 又都和eO 内切，切点分别为A 、B .设βα=∠=∠ACB AOB ,，则（ ）A 02sin cos =+αβ B 02cos sin =-αβC 0sin 2sin =+αβD 0sin 2sin =-αβ(6) 已知异面直线a ，b 成60°角。
2012自主招生“华约”数学试卷解析
2 k
f k x 在实数上的每个取值都大于零，因此结论成立
x 2 x3 xk ② k 是奇数的时候， f k x 1 x ， f k ' x f k 1 x ，那么由归 k! 2! 3!
目前有 n n 2 位乒乓球选手，他们互相进行了若干场兵乓球双打比赛，并且发现任 意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛，请问 n 的所有可能取值 解答：本题写起来较为复杂，所以主要告诉大家思想即可。 假设比赛了 k 场比赛，那么由题目假设，一场比赛出现了 2 对队友，所以 Cn 2k
AFi1 与 BFi 2 ， AFi 2 与 BFi1 ， CFi1 与 DFi 2 ， CFi 2 与 DFi1 ，这样就满足要求了
最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的 4m 5 位选手之间的比赛了 由数学归纳法，结论得到了证明 n 4l 的时候，我们对 l 使用数学归纳法，与上面几乎类似也可以证明结论 综合上述， n 的所有可能取值是 n 4l 或者 4l 1 ，其中 l
作者简介：田轶平，学而思自主招生研究中心数学带头人，学而思高端教师，毕业于北京大 学，曾获得 CMO 金牌，负责自主招生讲义的编写工作，在数学高中教育方面有着自己独到 的见解。
过一次比赛，我们还剩下 A, B, C, D, E 互相的比赛和 A, B, C, D 与 F1 , F1 ,..., F2 m , F2 m 之间 的比赛， A, B, C, D, E 互相的比赛根据 l 1 的结论我们知道也有满足要求的比赛；
1
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2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32-（B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ） （A ）2 （B ）21m + （C ）1 （D ）21m - 3。
缺4。
缺5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tantan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ） （A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B ）2e 2 （C ）e 2（D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ） （A ）22k + （B ）2 （C ）44k + （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。
则ω可以表示为（ ）（A ）στστσ （B ）στστστ （C ）τστστ （D ）στσστσ二、解答题 11．在ABC ∆中，已知22sincos 212A BC ++=，外接圆半径2R =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值． 12．设A B C D 、、、为抛物线24x y =上不同的四点，,A D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l ．设D 到直线AB ，直线AC 的距离分别为12,d d ，已知122d d AD +=．（Ⅰ）判断ABC ∆是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； （Ⅱ）若ABC ∆的面积为240，求点A 的坐标及直线BC 的方程． 13．（Ⅰ）正四棱锥的体积23V =，求正四棱锥的表面积的最小值； （Ⅱ）一般地，设正n 棱锥的体积V 为定值，试给出不依赖于n 的一个充分必要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值． 14．假定亲本总体中三种基因型式：,,AA Aa aa 的比例为:2:u v w (0,0,0,21)u v w u v w >>>++=且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． （Ⅰ）求子一代中，三种基因型式的比例；（Ⅱ）子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15．设函数()1x m f x x +=+，且存在函数()1(,0)2s t at b t a ϕ==+>≠，满足2121()t s f t s-+=．（Ⅰ）证明：存在函数()(0),t s cs d s ψ==+>满足2121()s t f s t +-=； （Ⅱ）设113,(),1,2,.n n x x f x n +===证明：1123n n x --≤．2010年五校合作自主选拔通用基础测试数学参考答案一、选择题 AD C ABDBD 二、解答题11．解：（Ⅰ）由22sincos 212A BC ++=得 22cos1cos 2,2CC -=- 所以2cos (2cos 1).C =-- 即22cos cos 10C C +-=(2cos 1)(cos 1)0C C -+=因为C 为ABC ∆内角 所cos 10C +≠，1cos 2C =， .3C π=（Ⅱ）32sin 42 3.2c R C === 又由余弦定理得2222cos ,c a b ab C =+-， 即2212,a b ab =+-又222,a b ab ab ab ab +-≥-=，所以12.ab ≤ 有133sin 1233,244ABCSab C ab ==≤=， 当且仅当a b =即ABC 为等边三角形时，ABC 的面积取得最大值3 3.12．解： （Ⅰ）设222001122111(,),(,),(,),444A x xB x xC x x 则2001(,)4D x x - 由'12y x =可知的斜率01,2k x =- 因此可以设直线BC 方程为01.2y x x b =-+ 把214y x =代入，整理得20240,x x x b +-= 所以1202x x x +=-因为,AB AC 都不平行于y 轴， 所以直线,AB AC 斜率之和为222210*********11()()44(2)0AB ACx x x x k k x x x x x x x --+=+=++=-- 可知直线,AB AC 的倾角互补，而AD 平行于x 轴， 所以AD 平分.CAB ∠作,,,DE AB DF AC E F ⊥⊥为垂足 则ADE ADF 可得DE DF = 由已知2DE DF AD +=，可得2,DE AD =，所以45DAE DAF ∠=∠= 所以90,CAB ∠=ABC 为直角三角形（Ⅱ）如图，根据的结果，可以设直线的方程分别为22000011(),,44y x x x y x x x -=---=-把214y x =分别代入，得 22220000440,440,x x x x x x x x +--=--+=所以00222,22 2.AB x AC x =+=- 由已知可知1240,2AB AC =， 所以20184240,2x ⨯-=解得8,x =±， 所以(8,16)A 或(8,16)A -当取(8,16)A -时，求得(4,4)B ，又BC 斜率014,2x -=， 所以直线BC 方程为44(4)y x -=-, 即4120.x y --=同理，当取(8,16)A 时，直线BC 方程为4120.x y ++=13．解：（Ⅰ）设正四棱锥的底面正方形的边长为2a ，高为h ．则正四棱锥的体积242.33V a h == 正四棱锥的表面积2224().S a a a h =++从而33229S S V= 2238()(11()).a h h a=++令2(),h t a=设31()(11),0f t t t t=++>则22(11)'()(221).21t f t t t t t++=--++ 令'()0,f t =解得8.t =当08t <<时，'()0,f t <当8t >时，'()0.f t >()f t 当8t =时取得最小值(8)8f =正四棱锥的表面积的最小值为4.（Ⅱ）一般地，设正n 棱锥的底面正n 边形的中心到各边的距离为a ，高为h ，则n 正边形的体积正棱锥的表面积由（Ⅰ）知，当时，正棱锥的表面积取得最小值。
由于正棱锥的表面积与底面机之比为可知使正棱锥的表面积取得最小值得一个充分必要条件是正棱锥的表面积是地面积的4倍。
解：（Ⅰ）参与交配的两个亲本（一个称为父本，一个称为母本）的基因型式的情况，及相应情况发生的概率和相应情况下子一代的基因型式为AA ，Aa ，aa 的概率如下表： 父本、母本的基因型式相应情况 出现的概率子一代基因 为AA 的概率子一代基因 为Aa 的概率子一代基因 为aa 的概率父AA 母AA 2u 1 0 0 父AA 母Aa 2uv 12120 父AA 母aa uw0 1 0 父Aa 母AA 2uv 12 12 0 父Aa 母Aa 24v1412 14 父Aa 母aa 2vw 0 1212父aa 母AA uw0 1 0 父aa 母Aa 2vw 0 1212父aa 母aa2w0 1子一代的基因型式为AA 的概率为 22211111224()224p u uv uv v u v =⨯+⨯+⨯+⨯=+.由对称性知子一代的基因型式为aa 的概率为 23()p v w =+.子一代的基因型式为Aa 的概率为222111112124212222222()p uv uw uv v vw uw vw uv uw v vw =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++…2()().u v v w =++若记p u v =+，q v w =+，则0p >，0q >， 1p q +=，子一代三种基因型式：AA ，Aa ，aa 的比例为22:2:p pq q .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知子二代的基因型式为AA ，Aa ，aa 的比例为22:2:ααββ，其中 2p pq α=+，2pq q β=+. 由1p q +=，可得p α=，q β=.故子二代三种基因型式AA ，Aa ，aa 的比例为22:2:p pq q ，与子一代基因型式的比例相同.15解法一： （Ⅰ）令2121()t s f t s-+=，代入s at b =+化简得 2(4)[(4)3](1)0a m t b m a t b -+-+-++=由于等式对所有12t >成立，可知 10(4)30(4)0b b m a a m +=⎧⎪-+-=⎨⎪-=⎩解得1,4,3b m a =-==4()1x f x x +=+ 令2121()s t f s t+-=，代入t cs d =+，化简得31cs d s +=+ 所以存在()31(0)t s s s ψ==+>使得2121()s t f s t+-= （Ⅱ）令11111,()314s t s s ψ===+=1()31n n n s t t ϕ+==-111()31,1,2,n n n t s s n ψ+++==+=注意到11121s x s +=，由（Ⅰ）知， 2122121,,1,2,n n n n n ns t x x n s t -+-===13192n n n s t s +=-=+化为1119()44n n s s ++=+ 可知221(531)4n n s -=⋅- 21131(531)4n n n t s -=+=⋅+从而21221422531n n n x s --=+=+⋅- 2211422531n n n x t -=-=-⋅+ 统一写为1142(1),1,2,53(1)n n n nx n +-=+-=⋅+-从而有11141|2|43[3(1)]3n n n n n x ----=≤⋅++-解法二：（Ⅰ）同解法一，可求出1,4,3b m a =-==4()1x f x x +=+ 取31t s =+则13t s -=所以2142121211()()21111t s t t t f f t s t t t ++++--===+-+-（Ⅱ）由4()1x f x x +=+，1()n n x f x += 得141n n n x x x ++=+ （1） 把（1）式两边都加上2得：13(2)21n n n x x x +++=+ （2）把（1）式两边都减去2得：1221n n n x x x +--=-+ （3） 若存在()k k N +∈，使2k x =，由（3）可知 1212k k x x x --====与13x =矛盾所以不存在()k k N +∈，使2k x = （2）式除以（3）式得1122322n n n n x x x x ++++=---因为13x = 所以11252x x +=- 所以125(3)2n n n x x -+=⨯-- 所以1425(3)1n n x -=+⋅--所以14|2||5(3)1|n n x --=⋅-- 1111444|5(3)|15314331n n n n ----≤==⋅--⋅-⋅+-1141433n n --≤=⋅解法三：（Ⅰ）由解法一得4()1x f x x +=+，()31s t t ϕ==- 由2121()t s f t s-+= （1） 易看出（1）式中t s =-即得2121()s t f s t+-= 所以存在3()1t s -=--，即31t s =+ （Ⅱ）用数学归纳法（1）当1n =时，显然成立 （2）易得13()111n n n x f x x +==+>+， 111111(2)22(2)31313f f s s s s s+=-⇒-+=<⨯++（※）假设当n k =时，命题成立 即11|2|3k k x --≤则当1n k =+时，13|2||2()||1|1k k k x f x x +-=-=-+ 当2k x >时，111|2||2(2(2))||2|33k k k k x f x x +-=-+-<-< 当2k x ≤时，13|2|11k k x x +-=-+ 只需证31113k k x -≤+ 即证33113k k k x +≤+即证13331kk k x +≥+ 即证33131kk kx ⋅≥-+ 即证333233131k k k k x ⋅-≥-=-++ 即133123133k k k k x --≤<=+，而此式是假设成立的 所以（2）成立由（1），（2）可知，原命题成立2011年“华约”自主招生试题解析一、选择题1.设复数z 满足|z |<1且15||2z z +=则|z | ＝ ( ) 4321A B C D 5432解：由15||2z z +=得25||1||2z z +=，已经转化为一个实数的方程.解得|z | ＝2（舍去），12. 2.在正四棱锥P －ABCD 中，M 、N 分别为P A 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2.则异面直线DM 与AN 所成角的余弦为( )1111A B C D 36812[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素.本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等.然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起.解法一：如图1，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2.如图建立z ONMDC BAPyxNMDCBAPQ坐标系，则A (1，－1，0)，B (1，1，0)，C (－1，1，0)，D (－1，－1，0)，P (0，0，2)，则112112(,,),(,,)222222M N -，312132(,,),(,,)222222DM AN =-=-.设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==. 解法二：如图2，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2.平移DM 与AN 在一起.即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q .于是QN ＝ DM ＝ AN .而P A ＝ PB ＝ AB ＝ 2，所以QN ＝ AN ＝ 3，而AQ ＝ 5，容易算出等腰ΔAQN 的顶角1cos 6ANQ ∠=. 解法三：也可以平移AN 与DM 在一起.即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q .以下略.3.已知1223+--=x x x y ，过点(－1, 1)的直线l 与该函数图象相切，且(－1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( )A 2B1C 1D 2 - -解：显然(－1, 1)在1223+--=x x x y 的图象上.设切点为)12,(020300+--x x x x ，2232--='x x y ，所以22302--=x x k .另一方面， )1(1)12(002030---+--=x x x x k )2(00-=x x 223020--=x x .所以x 0＝1,所以1-=k .选C. 4.若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 ( ) 33133312A1,B ,C1,1D ,122222222--+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个. 解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，可见答案是B[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱.我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，O O 1、O O 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A ＝ O 1C ，O 2B ＝ O 2C .解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故1212211()22O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=，12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos2αβ=.解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OO O OO O πα-∠=∠=，1212124O CA O CB OO O πα-∠=∠=∠=，12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos2αβ=.6.已知异面直线a ，b 成60°角.A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 ( )A.有且只有一个B.有且只有两个C.有且只有三个D.有且只有四个[分析]已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系.于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线.答案是4个. 7.已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)2222a b c xa yb zc ==--=-++=则222x y z ++ 的最小值为( )43A1B C D 232解：由(1,1)xa yb zc ++=得3331()122211222y z y z y z y z x x ⎧⎧-+=--=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y －z 三个变量，变形232(1)y z y z x ⎧-=-⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，答案B 8.AB 为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 ( )424222A 22B C D 533解法一：焦点F （1，0），C （－1，0），AB 方程y ＝ x – 1，与抛物线方程y 2 ＝ 4x 联立，解得2222)2222)A B (3+,2+ (3-,2- ，，于是222222222222CA CB k k 2+2-==4+4-=，=-，tan 221CA CB CA CB k k ACB k k -∠==+，答案A 解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝ 45°，EF ∥DA ，EF ＝ 2，AF ＝ AD ，BF ＝ BC ，求∠AEB .2tan tan 2DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠===.类似的，有 2tan tan 2BEF EBC ∠=∠=2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠，tan tan 222AEB AEF ∠=∠=，答案ABG CED AF解：BDF BDE BDE DF S S zS DE ∆∆∆==，(1)BDE ABE ABE BDS S x S AB∆∆∆==-， ABE ABC ABC AES S yS AC∆∆∆==，于是(1)2(1)BDF ABC S x yzS x yz ∆∆=-=-. 将11y z x y z x +-=+=+，变形为，暂时将x 看成常数，欲使yz 取得最大值必须12x y z +==，于是21(1)(1)2BDF S x x ∆=-+，解这个一元函数的极值问题，13x =时取极大值1627. 10.将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）A. 存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B. 存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C. 存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D. 任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形解：我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF (不妨设在AC 的另一边)的(其中的边EF 有可能与AC 重合)的∠D 一定是钝角.事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC ＝ 180°－∠B ，所以∠D 为钝角.这样就排除了B ，C.下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形.假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻(指有公共边AC ) ΔACD ，则∠D ＝ 180°－∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形.所以答案是D. 二、解答题FEDBCA DBCA解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）由已知3tan tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan 33B B π=，=.又112242sin 2sin 2sin 23sin 3A CB π+===，sin 2sin 24sin 2sin 23A C A C +=，sin()cos()1cos 2()cos 2()3A C A C A C A C +-=--+，而3sin()sin 2A CB +==，1cos 2()cos 22A C B +==-，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，6cos 124A C -=， 12.已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处. （I ）若b ＝ 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1.（I ）这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ 2 ：3.水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+ (II) 当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上.设装x 克水.这时，水杯质量 ：水的质量 ＝ a ：x .水杯的重心位置为12，水的重心位置为2x b ，水面位置为xb，于是122xax x b a x b+=+，解得2x a ab a =+- 13.已知函数21()(1)1()2x f x f f ax b ===+2，，3.令111()2n n x x f x +==，. (I)求数列{}n x 的通项公式；(II)证明12112n x x x e+>. 解 由12(1)1()1()21x f f a b f x x =====+2，得，3 (I)方法一：先求出123412482359x x x x ====，，，，猜想11221n n n x --=+.用数学归纳法证明.当n= 1显然成立；假设n = k 成立，即11221k k k x --=+，则122()121kk k k k k x x f x x +===++，得证. 方法二：121+=+n n n x x x 取倒数后整理得)11(21111-=-+nn x x ，所以 )11()21(1111-=--x x n n 所以12111+=-n x(II)方法一：证明12112n e x x x +>.事实上，12111112(1)(1)(1)242n n x x x +=+++. 我们注意到2212(1)12(1)nn a a a a +<++<+，，，（贝努利（Bernoulli ）不等式的一般形式：nx x n +≥+1)1(，x ),1(+∞-∈）于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nnn nn e x x x -+++-+<+=+<+< 方法二：原不等式e n <+++⇔)211()211)(211(2 1)]211()211)(211ln[(2<+++⇔n1)211ln()211ln()211ln(2<++++++⇔n构造函数)0()1ln()(>-+=x xx x g 01111)(<+-=-+='xxx x g ，所以0)0()(=<g x g所以)0()1ln(><+x xx 令n x 21= 则n n 21)211ln(<+1211212121)211ln()211ln()211ln(22<-=+++<++++++n n n14.已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b-=>>分别为C 的左右焦点.P 为C 右支上一点，且使21212=,333F PF F PF a π∠∆又的面积为.(I)求C 的离心率e ；(II)设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解：(I)如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中，21212=333F PF F PF a π∠∆，的面积为，E 为PF 1上一点，PE ＝ PF 2，E F 1 ＝2a ，F 1 F 2＝ 2c ，求ca.设PE ＝ PF 2 ＝ EF 2 ＝ x ，F F 2 ＝ 32x ， 12212113(2)33222F PF S PF FF x a x a ∆==+= ，224120x ax a +-=，2x a =.ΔE F 1 F 2为等腰三角形，1223EF F π∠=，于是223c a =，3c e a==. (II) 21=λ 此解法可能有误15.将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率.(I)求p 1，p 2，p 3，p 4；(II)探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.分析与解：(I)显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故161316314=-=p . (II)共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ；②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P .FEP F 12aP 2cF 2x综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P .（4≥n ），④ (III)由(II)知=-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤， ④－12×⑤，有=n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ） 所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞….3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在.对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p .其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零.2012年大学自主招生学业能力测试数学试卷1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.。