库存模型

7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.3（必要条件） 设 f(x,y)在定义域内存 在连续一阶偏导数， (a,b)是定义域的内点. 如果 f(x,y) 在点(a,b)处取得极值，则在点(a,b)处有 f x f y 0 . 定理 7.1.4（充分条件） 设函数 f(x,y)在定义域 内存在连续二阶偏导数，点(a,b)是定义域的内点. （i） 如果 f(x,y)在点(a,b)处有 f x f y 0 ，f xx 0 且
,n)
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.4 设 n 元函数 f(X)在所考虑的定义域 内存在连续二阶偏导数，则 f(X)的黑塞矩阵记作
f x1x1 f x1x2 H fx x 1n f x1x2 f x2 x 2 f x2 xn f x1xn f x2xn f xn xn
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
（1）购买费用指要库存的货物的单价乘以订货 量，有时候订货量超过某个数量，价格可以更低，这 也是订多少货要考虑的因素之一； （2）固定费用指每次订货所要支付的固定费用， 与订货量无关； （3）存货费用指维持库存所需要的费用，包括 资金利息、存储费、维护费和管理费； （4）缺货损失指在缺货的情况下产生的惩罚费 用，包括收入的可能损失、对客户失信引致的损失.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
不允许缺货时的模型假设（见图 7.1） ： （1） p0 、 p1 、 p2 和 r 都是正的常数； （2）T 和 Q 都是正的连续量； （3）在库存量下降到 0 时立即订货，并即时补货，订货量为 Q=rT.
不允许缺货的确定性静态库存模型的库存模式 订货时刻
最简单的库存模型是不允许缺货的确定性静态 库存模型，即假设货物的单价不随订货量而改变，假 设需求率为常数，在库存下降到 0 的时候立即订货， 并即时补货，不会出现缺货的情况. 引入以下记号： Q ~ 订货量（货物件数） ； Q ~ 不允许缺货时的最优订货量； T ~ 订货周期长度（时间单位） ； T ~ 不允许缺货时的最优订货周期；
其中 f x x i j
2 f (i, j 1, 2, xi x j
, n ) （H 又记作 2 f ）.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.5 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 续一阶偏导数， 点 X 0 是定义域的内点. 如果 f(X)在点
X 0 处取得极值，则 f(X)在点 X 0 处有 f ( X 0 ) 0 . 定理 7.1.6 设 n 元函数 f(X)在定义域内存在连 续二阶偏导数， 点 X 0 是定义域的内点. 如果 f(X)在点 X 0 处有 f ( X 0 ) 0 且 2 f ( X0 ) 正（负）定，则 f(X) 在点 X 0 处取得极小（大）值.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
改用梯度和黑塞矩阵的术语来叙述： 定义 7.1.1 设 f(x,y)在点(a,b)处存在一阶偏导数 则 f f x , f y 称为 f(x,y)在点(a,b)处的梯度. fx 和 f y ， 定义 7.1.2 设函数 f(x,y)在定义域内存在连续 二阶偏导数，(a,b)是定义域的内点，则由 f(x,y)在(a,b) f xx f xy 处的二阶偏导数构成的二阶对称方阵H f f yy xy 称为 f(x,y)在点(a,b)处的黑塞矩阵（H 又记作 2 f ）.
库存量
Q
平 均 库 存 = Q/2 0 T=Q/r 时间
图 7.1
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
根据假设，一个订货周期内的平均库存量等于 Q/2，所以库存费用是 p2QT 2 . 于是每单位时间的总 费用为 p2QT p1 p2 rT 1 C p0Q p1 p0 r T 2 T 2 按照库存模型的建模目的， 订货周期 T 的最优值 应该由每单位时间的总费用 C 关于 T 的最小值得出. 既然已经假设 T 是连续量，所以可以用微分法求解.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
通过考察库存总费用的构成，我们不难发现： （1）增加每次的订货量，在一个时段内会减少 订货次数，从而减少固定费用，还有可能享受价格优 惠，使总购买费用下降，但是会增加库存量，从而增 加存货费用. 库存模型要在这些费用之间进行平衡. （2）库存过剩，会造成资金占用，并且要支付 额外的存货费用，但是库存不足会引致缺货损失的惩 罚费用. 库存模型要在存货费用和缺货损失之间进行 平衡.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
r ~ 需求率（件/时间单位） ； ； p0 ~ 每件货物的价格（货币单位/件） ； p1 ~ 每次订货的固定费用（货币单位）
p2 ~ 每单位时间每件货物的存货费用（货币单位
/(件∙时间单位)） ； C ~ 每单位时间的总费用； C ~ 不允许缺货时，每单位时间总费用的最小值.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
在定理 7.1.3 当中，f(x,y)在点(a,b)处取得极值的 必要条件可以改写为“f 0 ” ； 在定理 7.1.4 当中， f(x,y)在点(a,b)处取得极小 （大） 值的充分条件可以改写为 “ f 0 且 2 f 正 （负） 定” . 从一元函数 f(x)推广到二元函数 f(x,y)， 要用 f(x,y) 的梯度向量代替 f(x)的一阶导数， 用 f(x,y)的黑塞矩阵 及其正（负）定性质代替 f(x)的二阶导数及其正（负） 号. 事实上，这一规律可以推广到多元函数.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存（inventory）模型用来确定企业为了保证生 产经营正常进行而必需的库存水平. 库存模型需要回答两个问题：订多少货？什么时 候订货？库存模型回答这些问题的依据，是要使一个 时段内的库存总费用最小. 库存总费用通常由以下费用构成： 库存总费用 = 购买费用 + 固定费用 + 存货费用 + 缺货损失
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
在建立库存模型的时候，要在模型简化和模型精 确性两方面进行平衡，并且要注意灵敏度分析和强健 性分析. 下面介绍确定性静态库存模型和经济订货批量 （economic-order-quantity，EOQ）公式.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
第7章
最优化模型
7.1节
库存模型
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
对于不附带约束条件的函数极值问题，如果函数 是可导的，既可以根据可导函数极值的必要条件和充 分条件直接用微分法求精确解，又可以采用数值计算 方法求数值解；有一些问题可以用初等代数方法求精 确解，例如可以用配方法求一元二次函数的极值，可 以利用均值不等式求某些初等函数的极值；还有一些 问题是离散类型的，适合逐项计算，并列表比较.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
首先，根据定理 7.1.1，C 在 T T 取得极值的必 要条件为 p1 p2 r (7.1.1) C (T ) 2 0 T 2 由(7.1.1)式可解得（舍去负值） ： 2 p1 (7.1.2) T p2 r 而且 T 是函数 C(T)在定义域{T | T>0}内的唯一驻点.
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
相应的，每单位时间的总费用的最小值为 (7.1.4) C p0 r 2 p1 p2r 注 7.1.3 因为假设每件货物的价格 p0 是与订货 量 Q 无关的常数， 所以在以上模型的叙述当中可以省 略 p0 和购买费用；但是如果 p0 与订货量 Q 有关，例
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
1. 一元函数极值必要条件和充分条件
定理 7.1.1（必要条件） 设函数 f(x)在点 x=a 处可导. 如果 f(x)在 x=a 处取得极值，则 f (a) 0 . 定理 7.1.2（充分条件） 设函数 f(x)在点 x=a 处具有二阶导数. 如果 f (a) 0 且 f (a) 0 ，则 f(x) 在 x=a 处取得极小值；如果 f (a) 0 且 f (a) 0 ，则 f(x)在 x=a 处取得极小值. 注 7.1.1 如果函数 f(x)满足定理 7.1.2 的前提条 件，并且 f(x)在点 x=a 处有 f (a) f (a) 0 ，则需要 另想办法判断 f(x)在 x=a 处的局部性质.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
3. 多元函数极值必要条件和充分条件
定义 7.1.3 设 n 元函数 f(X) ( X ( x1 , x2 , , xn ) ) 在所考虑的定义域内存在一阶偏导数， 则 f(X)的梯度 为
f f x1 , f x2 ,
来自百度文库

, f xn

其中
f xk f xk (k 1, 2,
7.1.2 确定性静态库存模型
2. 不允许缺货的确定性静态库存模型
然后，根据定理 7.1.2，因为对任意的 T>0，都有 C(T ) 2 p1 T 3 0 ，所以 T 是函数 C(T)的极小值点. 既然函数 C(T)在定义域内只有 T 一个驻点，所以 C 在 T T 取得最小值. 于是，不允许缺货的确定性静态库存模型的最优 订货策略是：最优订货周期为 T ，而最优订货量为 2 p1r (7.1.3) Q rT ，即 Q p2 (7.1.2)和(7.1.3)式就是 EOQ 公式.
2 f xx f yy f xy 0 ，则 f(x,y)在点(a,b)处取得极小值；
（ii） 如果 f(x,y)在点(a,b)处有 f x f y 0 ，f xx 0 且
2 f xx f yy f xy 0 ，则 f(x,y)在点(a,b)处取得极大值.
7.1.1 函数极值必要条件和充分条件
2. 二元函数极值必要条件和充分条件
注 7.1.2 设函数 f(x,y)满足定理 7.1.4 的前提条 件，并且在点(a,b)处有 f x f y 0 .
2 如果在点(a,b)处有 f xx f yy f xy 0 ，则点(a,b)称为
f(x,y)的鞍点， 即在以点(a,b)为中心的每一个开圆盘内 既存在点(x,y)使得 f(x,y)> f(a,b)，又存在点(x,y)使得 f(x,y)< f(a,b)； 2 如果在点(a,b)处有 f xx f yy f xy 0 ，则需要另想办 法判断 f(x,y)在点(a,b)处的局部性质.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的订货方式需要根据问题的实际意义 来设计，有些库存系统是周期盘点的，如每周或每月 订一次货，另外一些库存系统则是连续盘点的，当库 存量下降到某个水平（称为订货点） ，就发出新订单.
7.1.2 确定性静态库存模型
1. 库存模型简介
库存模型的复杂性取决于需求率（单位时间内对 货物的需求量） ，在实际情况中，库存模型的需求模 式可以分为三类： （1） 确定性的， 静态 （需求率是与时间无关的常数） ； （2） 确定性的， 动态 （需求率是时间的确定性函数） ； （3）随机性的（需求率是时间的随机变量）. 在以上三类模式中，从建立库存模型的角度来 看，第（1）类最简单，第（3）类最复杂；但是在实 际情况下，第（1）类最少发生，第（3）类最普遍.