覆盖粗糙集上近似的研究

的定 义 方 法 ， 出 覆 盖 粗 糙 集 最 小 上 近 似 的 概念 ， 其 存 在 性 及 唯 一 性 进 行 分 析 。最 后 ， 论 最 小 上 近 似 与其 提 对 讨
他 上 近 似 的关 系 ， 对 此 作 了证 明 。 并 关 键 词 ： 糙 集 ； 盖 ； 近 似 ； 小 上 近似 粗 覆 上 最
体系 ， 对基 于覆 盖 的上近 似 作总结 、 比及 分析是 非 常必要 的 。本 文从 上下近 似 的 含义 以及近 似精 度等方 对 面对 不 同上近 似 的特 点进 行分 析 对 比， 此 基础 上 ， 出基于 覆 盖粗 糙集 最 小上 近 似 的概 念 ， 时分 析其 在 提 同
性 质 ， 出并 证 明它 与其 他上近 似 的关 系 。 提
２ ２ 上下 近似 的定 义及分析 ．
由 ｕ 的等 价划分 推广 为 的覆盖 ， 相应 Ｐ ｗｌｋ粗 糙 集就推 广 为基于 覆盖 的粗 糙集 ， 自然 地 ， 上 ａ ａ 很 将 下近 似作 如下 的推广 。 定 义 ６ 基 于覆 盖的 下近 似 （ 第一 类下 近 似 ） 在近 似 空间 （ Ｃ） ， ： Ｕ， 中
述时， 其近 似精度 为 １ 粗糙 度为 ０ ， 。
２ 基 于覆 盖 的粗糙 集
２ １ 基本概 念 ． 定义 ３ 覆盖 ： 设 是 一个 论域 ， Ｃ是 ｕ 的子集 族 ， 果 Ｃ中 的所 有子 集 都 不空 ， ＵＣ＝Ｕ， 称 Ｃ 如 且 则
是 Ｕ 的覆 盖 。 和 ｃ构成 的近似 空 间记 为 ： ， 。 （ ｃ） 定 义 ４ 最 小描述 ： ＜ Ｃ） 设 ， 是一 个覆 盖近似 空 间 ， ∈Ｕ， 含有 的覆盖 元有 一个或 多个 ， 这些 覆盖元
和 下近似 ：
下近 似 ： （ ） Ｕ｛ 尺 ＝ Ｙ ∈Ｕ／ Ｒｌ
）有 时记 为 ，
，
上近似 ： （ 一 Ｕ｛ Ｒ ｘ） Ｙ ∈Ｕ／ ｙ ｎ ≠ ｝有 时记 为 Ｘ ＲＩ ， 。 下近似 与 上近 似 的概 念是 Ｐ ｗ ａ ａ ｌｋ粗 糙 集理 论 最基 本 的概 念 ， 表 明集 合 ｘ 可 用 它 的下 近 似 与上近 它 似来 刻画 ， 下近 似表 示根 据知 识 Ｒ 判 断肯定 属 于 Ｘ 的 ｕ 中元素 组成 的集 合 ， 上近 似是 那些 根据 知识 Ｒ 判
２ １ 年 ９月 ００
覆 盖 粗 糙 集上 近 似 的研 究
陈 文 ， 。祝 峰 汤 建国 ，
（． １ 电子科技大学 计算机科学与工程学院 ， 四川 成都 ６１ ３ ；．福州职业技术学院 计 算机系， 建 福州 ３ ０ ０ ） １７１２ 福 ５ １ ８
摘
要 ： 析 Ｐ ｗａ 分 ａ ｌｋ粗 糙 集 上 下 近 似 具 有 的 性 质 ， 合 上 下 近 似 的含 义 和 近 似 精 度 ， 论 覆 盖 粗 糙 集 上 近 似 结 讨
第２ ８卷
第 ３期
广西 师范 大 学学 报 ： 自然科 学 版
Ｊｕｎ ｌ ｆ ａ ｇ ｉ ｒ ｌ ｉｅｓｔ ： ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｎ ｘ ｍａ Ｕｎｖｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ Ｇｕ Ｎｏ ｙ ｅ ｉ
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ ３ １２ ．
Ｓｅ ．２ ０ ｐｔ ０１
一
种 推 广 ， 是将 Ｐ ｗ ａ 它 ａ ｌｋ粗 糙 集模 型 中的 划分 推广 到覆 盖 ， 其上 近 似和 下近 似 也相 应 进行 推 广 。对 于基
于覆 盖粗糙 集 上近似 的 定义 ， 文献 ［ ， ０２ ］ 了大量 的研 究工 作 。为进 一步 完 善基 于 覆盖粗 糙 集 的理论 ２ １ —５ 作
ｌ Ｉ ｙ
ｕ， 关 于 Ｒ 的粗 糙 度定 义为 ： （ ｘ ）
一１ 口（ ） １ 一 Ｒ 一 一
ｌ ／
。
ｆ
以上定 义可知 ： 当
一 时 ， ： ， ） ，ＲＸ） 。 口 （ 一１ ｐ （ 一０ 也就 是说 ， Ｘ 能被 Ｒ 的划分 所精 确描 当
时 ， 一ｘｏ ｘ
１ ３ 近似精 度及粗 糙度 ． 在 Ｐ ｗｌｋ粗糙集 理论 中 ， ａ ａ 可使 用近似 精度 及 粗糙 度来 定 量地 说 明一个 划 分对 给 定集 合 的精 确描 述程度， 近似 精度及 粗糙 度定 义如下 。 ： 定 义 １ Ｕ 是 论域 上 的 有 限集 合 ， 尺是 Ｕ 的一 个 等 价关 系 ，
（Ｌ）Ｒ ） （ 近似 正规 性 ） （Ｈ）Ｒ ） （ 近似 正规 性 ） ２ （ 一 下 ；２ （ 一 上 ；
（Ｌ）Ｒ Ｘ） ３ （ ＣＸ（ 下近 似 收缩性 ） （ Ｈ） ；３ ＸＣ Ｒ Ｘ） ３ 近似 扩 张性 ） ＿ （ （ｚ ；
收 稿 日期 ：０ ００ —０ ２ １ －４２ 基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （Ｏ ７ ０ ７Ｆ ２ １ ７ 国 ６８ ３７ ／ Ｏ ｏ ｏ ） 通 讯 联 系 人 ： 峰 （ ９２ ）男 ． 西 玉 山 人 。 祝 １６一 ． 江 电子 科 技 大 学 教 授 ， 士 。Ｅ ｍａ ： ｉｉ ｆｎ ｚ ｕ ｇ ｉ ｅｍ 博 — ｉ ｗ ｔａ ｅ ｇｈ ＠ ｍａｌ ｏ ｌ ｌｎ ．
（Ｌ Ｒ 一Ｘ） Ｓ Ｈ） （ 一一Ｒ （ （ Ｘ） 上下近似 对偶性 ） （ Ｌ ；９ Ｈ）Ｒ Ｘ） Ｒ （ （ （ Ｘ） 上下近 似包含 关 系） 。
除 了以上性 质 外 ， 上近 似 及 下近 似还 具 有 如下 重要 性 质 ：１Ｌ （０ Ｈ）（ ） ＝ ；１Ｌ （１ Ｈ）当 Ｘ ＝
（Ｌ） ６ ｙ Ｒ Ｘ） Ｒ 】） 下近似 单调性 ） （Ｈ） （ （厂（ ；６
．
ｙ 尺 Ｘ） ｙ （ 近似单 调性 ） （ ＣＲ （ ） 上 ；
（ Ｌ）Ｒ （ Ｒ （ ） 一一Ｒ。 ） 下近似 补性 ） （Ｈ）Ｒ 一Ｒ ） 一一Ｒ Ｘ） 上近 似补性 ） ７ 一 Ｘ ） （ （ ；７ （ （ ） （ （ ；
（ 一Ｘ Ｕ ｛ ） 一 Ｋ∈Ｃｌ Ｋ ｝ 。
Ｕ， 由众 多覆 盖 元组 成 ， Ｃ 构
成 Ｕ 的覆盖 。满 足 Ｋ∈Ｃ且 Ｋ Ｘ 的这些 覆盖 元 的并集 ， 为 关 于覆 盖 Ｃ 的下近 似 ， 称 习惯 上记 为 ： Ｌ Ｃ 定义 ７ 基 于覆 盖 的上近似 （ 二类 上近似 ） Ｕ 为论 域 ， 第 ： ｃ为 的覆 盖 ， 对于 任 意 的 （ — 一 Ｕ｛ ∈Ｃｌ ｎ ≠ ｝ ） 南 足 称为 的第 二类覆 盖上近 似集 。 ， 合Ｓ 集 Ｈ
中 ， 包含其 他覆 盖元 的覆 盖元 构成 的集合 ， 不 称为 ｚ的最 小描述 ［ ２ 。即 ：
Ｍｄ（ ） ｛ ∈ＣＪ ｓ一 Ｋ ｃ ∈Ｋ Ａ（ ．∈Ｃ＾ｚ Ｖｓ ∈Ｓ＾
∈Ｋ ｝ 。
Ｋ Ｋ＝ ） 。 ｝
定 义 ５ 邻域 ： 为 论域 ， Ｃ为 的覆 盖 ， 于任 意 的 ｚ∈Ｕ， 对 ｚ的邻 域 为 ： ｉｈ ｏ （ 一 ｎ ｛ ∈Ｃｌ Ｎｅ ｂ ｒｚ） ｇ Ｋ ｚ
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广西师范大学学报 ： 自然 科 学 版
第２ ８卷 wenku.baidu.com
（Ｌ）Ｒ ｎｙ） （ ＦＲ ｙ）下近 似 可乘性 ） （Ｈ） （ ４ （ 一Ｒ ｘ）Ｉ （ （ ；４ Ｒ ｘＵＹ） （ Ｕ尺 ｙ）上近 似 可 一Ｒ ｘ） （ （
加 性 ） ；
（Ｌ）Ｒ 尺。 ） 一Ｒ ） 下近 似幂 等性 ） （Ｈ） （ （ ） － （ （ ５ （ （ ） （ （ ；５ Ｒ Ｒ ） －Ｒ ） 上近 似幂 等性 ） ；
Ｉ ｌ ｙ
Ｕ， 关 于 尺 的近 似 精 度定 义 为 ： Ｘ ａ
（ ） 一
ｌ
。其 中 ，ｘ ｆ Ｉ 表示 ｘ 的元素个 数 ， 根据 不 同的上近似 定 义而有 所不 同 。
Ｉ
同样 ， 也可 定义 相应 的粗糙 度 。
定义 ２
是论 域上 的有 限集 合 ， Ｒ是 ｕ 的一 个等 价关 系 ，
１ Ｐ ｗｌ ａ ａ ｋ粗 糙 集 理 论
１ １ Ｐ ｗａ ． ａ ｌｋ粗糙 集 理论概 述
设 ｕ 是 论域 上 的 有限集 合 ， 是 ｕ 的 一 个等 价 关 系， Ｊ 生 的 等 价划 分 记 为 ： Ｒ一 ｛ Ｙ。… ， Ｒ 由 Ｒ产 Ｕ／ Ｙ， ，
ｙ ｝ｙ ， “， 是 由 Ｒ 产 生 的互 不相 交 的集 合 ， 于 任意 的 Ｘ ｕ， 定义 ２ 集 合 ， ， ｙ ｙ 对 可 个 分别 称 为 上近 似
糙集模 型 ， 其最 基本 的概 念便是 上 近似 和 下近似 。围绕 Ｐ ｗｌｋ粗糙 集理 论 ， ａ ａ 不少 学者 对知 识提 取 、 知识 约
简做 了大 量 的研 究工 作 ＿ ］也 有 不少 学者 将 Ｐ ｗｌｋ粗糙 集理 论 进行 多 方 面 的推 广 ， １， 屯 ａ ａ 如相 容关 系 、 似关 相 系 、 般二 元关 系 、 一 与概 率论结 合 、 与模 糊理 论结 合等 Ｌ ］基于 覆 盖的粗 糙集 模 型是 Ｐ ｗｌｋ粗 糙集 模型 的 ３。 ａ ａ
文 献 ［６２ ，３ｚ ］ １ ，０ ２ ，ｓ 对上述 所定 义的上 近似及 下近似 的性 质作 了详 细的分 析 。但 是 ， 上述 的 定义却 不
满足 （ ｌ Ｈ） １ Ｌ 的性 质 ， 即不满 足 ： ｘ －Ｘ 时 ， 当 － － Ｘ 一ｘ。举 例如下 ：
例： Ｕ＝｛ｌｅ，３ｅ ，５ｅ，７ｅ）Ｋ１ （１ｅ，３ｅ，５ ， 一 ｛４ｅ ，６ｅ）Ｋ３ ｛６ｅ）Ｃ＝ ｛ ， ， ｅ，２ｅ ，４ｅ，６ｅ，８ ， ＝ Ｐ，２ｅ ，４ｅ）Ｋ２ ｅ ，５ｅ，７ ， ＝ ｅ，８ ， Ｋ１Ｋ２ Ｋ３ ， ）Ｃ为 【 厂的一 个覆 盖 。 取 ｛１ｅ，３ｅ ， ｝则 ： ＝ ｛１ｅ ，３ｅ，５ ， ｅ，２ｅ ，４ｅ ， Ｘ ５ ｅ，２ｅ，４ｅ ｝Ｘ 一 ｛１ｅ，３ｅ，５ｅ，７ ， ｅ ，２ｅ，４ｅ ，６ｅ）这说
这 说 明从划 分推 广到 覆 盖时 ， 将上 近似 从形 式上 直接 推广 具有 一定 的 不合理 性 。 上近似 改 为第 四类 将
上近似 的定 义 ， 就能解 决这 一 问题 。
定 义 ８ 基 于覆 盖 的第 四类 上 近似 ：， 【 为论 域 ， 为 己 的 覆盖 ， 于任 意 的 ｘ Ｃ ， 对 ∈Ｃｆ ｎ（ ｋ — ） ≠ ｝ 为 的第 四类 覆盖 上近似 集 。 称
中图 分 类 号 ： １ ＴＰ ８
文献 标识 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ １６ ０ （０ ０ ０ —０ ３０ １ ０ —６ ０ ２ １ ） ３０ ９ —６
粗糙 集理 论是 处理 智能 信 息系统 不确 定性 问题 的一 个新 的数 学工 具 。 已广泛 应用 于工 业控 制 、 它 医学 卫生 、 生物 科学 、 交通 运 输 、 业 科学 、 农 环境 科学 与环 境保 护管 理等 各领 域 。 ａ ａ 糙集 模型 是经 典 的粗 Ｐ ｗｌｋ粗
第３ 期
陈
文 等 ： 盖 粗 糙 集 上近 似 的 研 究 覆
明： Ｘ， 。 Ｘ － 而Ｘ ≠ 此时， 近似精度 （ 一ｌ ，换句话说， ） ｌ ＾ 一号， 能被覆盖Ｃ所精确描述， 近似精
度 应该 为 １才较 为合理 ， 但所 求的 近似精 度 却小 于 １ 这 是 不合理 的 。 ，
断 可能属 于 的 中元素 组成 的集 合［ 。 ２ 引
１ ２ ａ ｌｋ粗糙 集性 质 ． Ｐ ｗ ａ
下近似 Ｒ ） 上近 Ｒ ｘ） 足如下 性 质［ （ 和 （ 满 ２ ：
（Ｌ）Ｒ ） １ （ 一 （ 下近 似余 正 规性 ） （Ｈ）Ｒ 乙） ；１ （，一 （ 上近 似余 正规 性 ） ；