二分法求函数零点教案
二分法教学设计
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法──二分法教学设计教学目标1.理解并掌握用二分法求函数零点近似解的基本方法，并能用计算器求简单方程的近似解。
2.进一步体会函数与方程之间的联系，以及在用函数的观点下处理问题的函数思想，包括其中的逼近思想、近似思想和算法思想等。
3.通过用二分法求零点近似解的过程，使学生进一步感受用数学观点处理问题时的思想和精神．进而培养学生良好的数学意识。
教学重难点教学重点：用二分法求函数零点的近似解.教学难点：理解二分法的一般算法.学情分析及教学内容分析在本册2.4.1中，学生已经学习了函数零点的概念及几何意义，“零点存在性定理”及变号零点、不变号零点的概念（为了给二分法减轻负担，可以将“零点存在性定理”及变号零点、不变号零点的概念的学习提前在2.4.1中完成）.学生已经能够利用初中学过的知识（包括十字相乘、分组分解法、图像法等）求一次函数、二次函数及某些可以分解因式的三次函数的零点，还可以利用两个函数的图像的交点情况判断一个方程的解的情况.虽然三次、四次的函数有求根公式，但是它们的表示相当复杂，一般来讲不适于作具体计算.况且高于四次的代数方程不存在求根公式.因此，对于高次多项式函数及其他函数求零点，学生用已有的知识就无能为力了，因此有必要探寻一种可以操作的求零点的近似解的方法.二分法是必修数学1（B版）函数与方程中的教学内容.在大纲版的教科书中没有，是新课标补充的内容.其基本思想是利用“零点存在性定理”，求定义在区间D上的函数在D上满足给定的精确度的零点的近似值的一种计算方法.这种算法比较抽象，学生不易理解.但它是一种通法，只要按部就班地去做，总会借助计算器（包括图形计算器）或计算机软件算出结果.通过对“二分法”的学习，可为必修3中算法的学习提供一些素材，同时做一些必要的思想铺垫. 同时，通过对二分法的学习，还可以加深对函数思想、数形结合思想的理解.通过猜1G优盘的价格，学生对二分法有了初步的了解.但是究竟怎样将二分法用于求方程的近似零点，对学生却是一个比较困难的问题，主要有以下问题：1．如何确定初始区间，才能使二分的次数尽可能少？为了解决这个问题，应该充分利用数形结合的思想方法，确定函数零点的大致位置；此外初始区间的端点应尽可能为整数值，且区间的长度尽可能短.2．计算到什么程度停止，取决于精确度的要求.为了降低难度，本节课的设计按教材上给出的“精确到”处理，而不是给出“精确度”的精确解释.3．如何用数学的语言叙述二分法的步骤？为了便于学生理解，本设计采取先用一个具体的例子来引导学生探究，再给出一般理论的做法（教材是先讲二分法的概念、解题步骤，再讲例题，若按这种安排进行教学，学生容易停滞在对“生涩”的二分法步骤的理解，上不利于中等水平的学生的接受）.教学过程1.导入新课教师：问题一:上节课我们学习了函数的零点，请同学们求函数的零点.学生：有一个变号零点0.教师：若将函数改为，这个函数有没有零点？若有，有几个，你能求出所有的零点吗？学生1：函数的图像是由的图像向下平移1个单位得到的，因此函数应该有零点；学生2：函数在R上是单调递增的，因此函数的零点应该有且只有一个，而且是一个正值.教师：这个零点是多少呢？教师：简要介绍有关三次、四次及其他高次方程求解的数学史料（用PPT给出）.意图：直求函数的零点的形式切入主题，简单明快，承上启下，也符合最近发展区原理；介绍数学史，可以可以丰富学生的知识，提高学生的学习兴趣；上述引入的过程同时复习了函数的图像平移、函数的性质、函数的零点与函数的图像、方程的解之间的关系.师生：复习（1）方程的根与函数零点的关系；（2）零点存在性定理.教师：问题二：我手里的4G优盘是最近买的，你能猜出大致价格吗？要求猜的次数不能超过4次.意图：虽然多数学生都有优盘，但这种设问方式对学生还是很新奇的，借此调动学生的学习积极性，同时让学生对二分法有一个感性认识.教师：板书：二分法2.讲授新课教师：用PPT展示例题：求函数的一个正实数零点（精确到0.1）意图：这里不用教材所给函数（），因为该函数可以利用因式分解的方法求出精确解，容易产生干扰，本节课的目标是求函数的“够用的”近似零点.教师：问题三：对所给函数，怎样能够给出一个较好的包含零点的区间？学生1：最好能画出函数的图像，可是我不会画；学生2：既然这个零点是正值，只需确定左端点为0的一个区间，其右端点的函数值与异号即可.教师：利用几何画板直接做出函数的准确图形，学生观察图象，确信函数的零点只有一个，并且在内.意图：复习“零点存在性定理”进一步体会数形结合思想在解题过程中的应用.教师：问题四：如何用二分法求函数的近似零点（即方程的近似解）？探究1.零点的初始区间的确定师生共同从所画图象（用几何画板直接画出）上选择一个最优区间，作为初始区间.探究2.缩小区间的方法（逼近）:找中点，二分区间.（假如满足精确度要求的近似零点为）学生：四人一组，三人计算（用计算器），一人记录（每算一次，校对一次），逐步缩小零点的存在区间（计算8次）：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；第六次：；第七次：；第八次：.探究3.零点的精确化教师：比如要求精确到0.1、0.01，结果是多少？算几次即可？学生1：若要求精确到0.1，则两个端点的近似值都为0.3，取，算5次就够了.学生2：若要求精确到0.01，则，算8次就够了.意图：“缩小区间、逼近零点”是二分法的核心环节，是本课的重点内容.因此这个计算过程一定要由学生完成.在计算过程中，学生会发现包含零点的区间越来越短，从而函数的零点也越来越精确，学生的热情越来越高.通过学生思考、探究和互动，反复触碰这个核心，不断深化对二分法的理解；通过精确度的控制，学生能够进一步感受精确与近似的相对统一；同时，在经历解决问题的过程中获得方法，建构新知，为下一步总结二分法的概念及步骤做了很好的铺垫.教师：问题五：什么是二分法？学生：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，按照一定的精确度的要求，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二（等分），使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.教师：问题六：用二分法求零点近似值的步骤是什么？师生：用二分法求函数满足给定的精确度的零点近似值的步骤如下：(1)确定初始区间，验证·；(2)求区间的中点；(3)计算：①若=，则就是函数的零点，计算终止；②若·<，则令（此时零点）；③若·>，则令（此时零点）；(4)判断区间是否达到精确度.若达到，则得到零点值（或）；否则重复步骤（2）（4），直到区间，使得函数的零点总位于这个区间，并且当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.意图：学生总结，教师多媒体演示定义及二分法的解题步骤.让学生总结二分法的定义以及求函数零点的步骤，可以帮助学生调理思路，养成独立思考，善于总结的学习习惯，并且学会用数学语言进行数学的表达，这也是本课的一个难点.对于计算机水平较高的学生，还可以让他们在科学计算软件Scilab的界面上编制并调用二分法程序，对上例进行计算，求出精确度更高的近似解（后面给出了相应程序）.3．练习与巩固（1）下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（）选题意图：二分法使用的条件是函数的图像在零点附近连续不断并且零点是变号零点.（2）求函数的一个正零点的近似值（精确到0.1）.选题意图：怎样确定初始区间？若取，则二分两次就可得到零点3（满足精确度要求）.（3）使用计算器或数学软件，用二分法求函数的正零点（精确到0.01）.选题意图：通过此题，让学生进一步熟悉用二分法求函数零点的步骤.4.小结学生甲：本节课主要学习了二分法，以及用二分法求函数的近似零点的方法与步骤.学生乙：使用二分法求函数的零点近似值，要选好初始区间，控制好精确度，计算一定要准确无误，特别是区间端点函数值符号的判断.学生丙：本节课还学习了数学中的很多数学思想，即等价转化、函数与方程、数形结合，以及无限逼近等思想.教师：思考题：1、举几个二分法在实际生活中的例子；2、类似于二分法，有没有三分法、四分法，怎么实施？二分法进行对比，孰优孰劣？设计意图：对二分法的本质及好处增进理解.教学反思按新课程教育教学理念的要求，教学过程要倡导积极主动、勇于探索的学习方式.因此本节课在导入新课、讲授新课、练习与巩固的环节都有学生的积极参与，尤其是例题的求解过程，完全由学生相互配合完成，对培养学生动手实践、合作交流的能力起到了积极的作用.新课程教育教学理念认为，提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一.因此本设计在整堂课的教学过程中共提出了六个问题，按照学生的认知规律层层深入.在问题的解决过程中，提高了学生的数学思维能力.新课程教育教学理念还提倡实现信息技术与课程内容的有机整合.本课在保证笔算训练的前提下，让学生使用科学型计算器完成相关计算，并且鼓励有能力的学生使用科学计算软件Scilab进行快速、精确的计算.在教学过程中，教师还充分利用了powerpoint、几何画板等软件提高了教学效率，实现了信息技术与课程内容的有机整合.由于在上一节课做了铺垫（提前学习了“零点存在性定理”及变号零点、不变号零点等概念），所及用一课时就能比较顺利地完成本设计的教学任务.由于部分学生使用计算器进行大量计算的能力还比较差，因此很多组算得较慢.今后的教学中，在学习本课之前应该加强计算器使用的教学，让多数学生比较顺利地完成8次计算，以获得成功的快感.另外，本节课导入新课的环节有些拖沓，导致最后一个练习部分学生没有得到最后的结果，也是今后教学要改进的地方.本教学设计另附课件（PPT）.附：用科学计算软件Scilab求函数的一个正实数零点（精确到0.01）的程序及程序框图：a=input("a=");b=input("b=");x1=a;x2=b;for i=1:7t=(x1+x2)/2;A=(x1)^3+(3*x1)-1;B=t^3+3*t-1;if A*B<0 then x1=x1;x2=t;C=t^3+3*t-1;else x1=t;x2=x2;C=t^3+3*t-1;if C>=0.005 then i=i+1;else disp("gen shi",t);endendend。
二分法求函数零点教案
二分法求函数零点教案一、教学目标1.知识与技能：（1）掌握二分法求函数零点的基本原理。
（2）理解二分法求函数零点的步骤和流程。
（3）能够应用二分法求解实际问题中的函数零点。
2.过程与方法：（1）通过理论解释和示例演示，引导学生了解二分法求函数零点的思路和方法。
（2）通过实际问题的练习和解答，培养学生运用二分法求解函数零点的能力。
3.情感态度价值观：（1）培养学生对数学问题的钻研精神和解决问题的能力。
（2）发展学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
二、教学重点与难点1.教学重点：（1）二分法求函数零点的基本原理和步骤。
（2）能够应用二分法求解函数零点的实际问题。
2.教学难点：（1）如何将实际问题转化为数学模型。
（2）如何合理运用二分法求解函数零点。
三、教学过程1.导入新课（5分钟）引入二分法求函数零点的概念和应用，让学生了解二分法的作用和重要性。
2.二分法求函数零点的基本原理（10分钟）（1）根据函数零点的定义，介绍二分法求函数零点的基本思路：通过对函数值的正负性判断，将区间逐步缩小，最终确定零点的位置。
（2）引导学生思考：如何判断函数值的正负性？如何确定区间的缩小方向？3.二分法求函数零点的步骤（15分钟）（1）步骤一：根据实际问题建立数学模型，确定需要求解零点的函数。
（2）步骤二：选择一个初始区间[a,b]，其中f(a)和f(b)有一个为正，一个为负。
（3）步骤三：计算区间的中点c=(a+b)/2，并计算函数值f(c)。
（4）步骤四：判断f(c)的正负性，并根据结果调整区间的上限和下限：如果f(c)为正，则将a设置为c；如果f(c)为负，则将b设置为c。
（5）步骤五：根据收敛性要求，重复步骤三和步骤四，直到区间的长度小于给定的阈值，此时区间的中点c就是函数的零点。
4.示例演示（15分钟）选择一个简单的函数和初始区间，进行示例演示，并详细解释每个步骤的操作和原理。
5.实际问题练习（25分钟）（1）选择一些实际问题，将其转化为数学模型并应用二分法求解函数零点。
二分法求函数零点教案(可编辑修改word版)
１、二分法的概念用二分法求方程的近似解对于在区间[a, b]上连续不断且 f (a ) · f (b ) < 0 的函数 y = f (x ) , 通过不断把函数f (x ) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。
２、用二分法求函数 f (x ) 的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证： f (a ) · f (b ) < 0，确定精确度（２）求区间(a , b)的中点 x 1（３）计算 f (x 1 )若 f (x 1 ) =0, 则就 x 1 是函数的零点若 f (a ) · f (x 1 ) <０，则令 b = x 1 （此时零点 x 0∈(a,x 1 )）若 f (x 1 ) · f (b ) <０，则令 a = x 1 （此时零点 x 0∈( x 1 , b)） （４）判断是否达到精确度即若 | a – b | <, 则得到零点的近似值为 a （或 b ），否则重复（２）～（４） 3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。
否则为不变号零点。
二分法只能求函数的变号零点。
例题讲解：例 1：下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）解：应选 B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
1 例 2、 利用二分法求方程 x= 3 - x 的一个近似解（精确到 0.1）。
解：设 f (x ) = 1 + x - 3 ，则求方程 1= 3 - x 的一个近似解，即求函数 f (x ) 的一个近似零x x点。
∵ f (2) = - 1 < 0 ， f (3) = 1> 0 ，∴取区间[2,3]作为计算的初始区间。
最新湘教版高中数学《计算函数零点的二分法》教学课件
似值(误差不超过0.01)．
二 习题4.4
温故而知新
5.若a<b<c，则函数f(x)=(x－a)(x－b)+(x－b)(x－c)+(x－c)(x－a)的两个零
点分别位于区间（
）
(A) (a，b)和(b，c)内
(B) (－∞，a)和(a，b)内
(C) (b，c)和(c，+∞)内 (D) (－∞，a)和(c，+∞)内
7
1.546875 1.5625 1.5546875 －0.004 0.015625
一 计算函数零点的二分法
得出零点的近似值为1.555，误差不超过0.008.因此曲线y=ln x和直线 x+y=2的交点的横坐标约为1.555.
一 计算函数零点的二分法
练习
1.用二分法求方程x2+x－1=0的根的近似值（误差不超过0.001）. 2.借助计算器或计算机，用二分法求方程x3－x－1=0在区间［1，2］上的根的近
设AB的中点为M，∠AOM＝k°，则弦AB到圆心的距离OM＝Rcos k°.这时，
扇形OAB的面积是 k R2 ，而△OAB的面积是 R2 sin k cos k ，于是，问题化为求
180
满足下列等式的数k：
k R2 R2 sin k cos k R2 .
180
a
化简后得到关于未知数k的方程：
如图4.4-4，工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的 中点D测试；如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所 用的这种方法称作二分法.
图4.4-4
二分法还可以用来寻找函数的零点，迅速地缩小搜索范围，接近零点的 准确位置.
一 计算函数零点的二分法
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件4.4.2计算函数零点的二分法
试……像检修线路所用的这种方法称作二分法.
2.用二分法求函数零点近似值的一般操作方法:
设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.我们希望求它在D上
的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得
次数 a,+
b,-
a+b
m=
2
1
-3
-2
-2.5
1.25
1
2
-2.5
-2
-2.25
0.062 5
0.5
3
-2.25
-2
-2.125
-0.484 4
0.25
4
-2.25
-2.125
-2.187 5
-0.214 8
0.125
f(m)的近似值
区间长 b-a
得出零点的近似值为-2.187 5,误差不超过0.07.
2
解析 ∵f(1)=-1<0,f(2)=ln 2>0,f
∴下一个含零点的区间是
3
,2
2
.
3
2
3
=ln2
.
−
1
<0,
2
1 2 3 4 5 6
6.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值(误差不
超过0.1).(参考数据:1.3753≈2.600,1.312 53≈2.261)
4
1.375
1.5
1.437 5
-0.029 5
0.125
f(m)的近似值
区间长 b-a
得出零点的近似值为 1.437 5,误差不超过 0.07.
数学2.4.2《二分法》教案(新人教B版必修1)
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教案
教学目标：
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件；
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
3．能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．重点，难点：
重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系．
难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学过程。
函数的零点与二分法(优质课)教案
函数的零点与二分法（优质课）教案教学目标：1、 掌握函数的零点和二分法的定义．2、 会用二分法求函数零点的近似值。
教学过程：一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。
特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。
函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。
二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。
特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度； 第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、 三、四步。
类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点： 解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点． 答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72D ．－7答案：C类型二 零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三 函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． 答案：12类型四 二分法的概念例4：函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．答案：B练习1：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上( )A．只有一个变号零点B．有一个不变号零点C．至少有一个变号零点D．不一定有零点答案：C练习2：用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案：B类型五用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)． 答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：为( ) A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的 答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： (7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． 答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． 答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，1 2.∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为。
人教新课标高中数学B版必修1《2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》课件
由上表的计算可知，区间[1.376，1.4375] 的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是1.4， 因此1.4就是所取函数的一个正实数零点的近 似值。
函数f(x)=x3+x2－2x－2 的图象如图所示，实 际上还可以用二分法 继续计算下去，进而 得到这个零点精确度 更高的近似值。
二分法概念
y
x
1
2
3
4
5
6
6
5
-3
10
-5
-23
f (x)
A 1,2,2,3 B 2,3,3,4 C2,3,3,4,4,5 D 3,4,4,5,5,6
4. 用二分法求函数f(x)=x3-x-2在区间[1，2]内的 一个零点.（精确到0.1）
分析：由于 f(1 ) <0，f(2)>0 所以f(x) =x3-x-1区间[1，2]内存在零点 取区间[1，2]作为计算的初始区间
(2) f (x) x3 x 2, x1, 2
探究
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是
连续不断的一条曲线，且f(a)·f(b)<0，
则函数y=f(x)在区间[a,b]上零点是否 是唯一的？
零点存在性定理（教材P72） 如果函数 y f (x) 在区间[a，b]上的图像不间
断，并且在它的两个端点处的函数值异号， 即 f(a)·f(b)<0 ，则这个函数在这个区间上，
的步骤”吗?
二分法求方程近似解的口诀:
定区间，找中点， 中值计算两边看; 同号去，异号算， 零点落在异号间; 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
练习：
1、如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二
分法求y图中交点横坐y标的是____（y__1_）_ （3） y
(完整)二分法教案
求函数零点近似解的一种计算方法——二分法一、教学目标：1．知识与技能:通过实例的探究,使学生能理解二分法的概念，能够运用二分法求简单函数零点近似解. 2．过程与方法：⑴体验并理解函数的零点与方程的解相互转化的数学思想⑵学生能够初步了解近似逼近思想,培养学生能够探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
(3）了解二分法程序化思想。
3．用二分法解方程的近似解是新课程中新增内容。
为了帮助学生认识函数与方程的关系，分三个层面来展现：第一层面,从简单的一元二次方程和二次函数入手，建立起方程的解和函数的零点的联系。
第二层面，通过二分法求方程近似解，体现函数与方程的关系。
第三层面,通过建立函数模型以及运用模型解决问题，进一步体现函数与方程的关系。
二、教学重点与难点：教学重点：对二分法的理论的理解与应用；教学难点：对二分法的理论的理解与应用。
三、教学过程引入：有12个大小相同的小球，其中有11个小球质量相等，另有一个小球稍重,用天平称至少称几次就一定可以找出这个稍重的球？在现实生活中有很多这样的类似情况需要我们寻找到某些特殊时刻，相应地,数学中研究各种量的变化时也会非常关注某些特殊时刻，比如我们现在学习的函数，寻求函数y=f(x）的零点（也就是方程f(x）=0的解）也是一个重要的课题。
我们知道，求一次函数或二次函数的零点，我们可以用熟知的公式解法。
对于三次函数和四次函数，虽然有求根公式不过很复杂，所以对于高次的多项式函数及其他的一些函数怎样找到他们的零点呢？--下面我们一起来探索一种能找到函数的零点的可操作的办法。
(例题探究）例一：一次函数f（x）=（k—1)x+2在区间（1,2）上有零点，求系数k的范围。
分析一次函数有且只有一个零点，要使一次函数f(x）=（k-1）x+1在区间（1,2）上有零点只需要f （1）。
f(2）异号。
解出k的范围是-1<k<0例二：图象不间断的函数f（x)的部分对应值如下表：试判断函数f（x）在哪几个区间内一定有零点?函数f(x)在（2,3)、（3，4)，（6，7)、（8，9)内一定有零点.提问：Array在这些区间里零点个数一定只有一个吗？在其他区间一定没有零点吗？对于图像不间断的函数如果在区间[a,b]端点的函数值异号，那么在这个区间一定存在着至少一个零点。
高一数学函数的零点与二分法教案5页
一. 教学内容：函数的零点与二分法 三. 知识要点 1、函数的零点一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。
归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。
（1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论；（3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式2、函数零点的意义：函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标．归纳：方程0)x (f =有实数根⇔函数)x (f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)x (f y =有零点． 3、函数零点存在性的判定方法如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f <⋅，那么，函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点.即存在()b ,a c ∈，使得0)c (f =，这个c 也就是方程0)x (f =的根。
说明：（1）函数)x (f y =在区间[]b ,a 上有定义； （2）函数的图象是连续不断的一条曲线；（3）函数)x (f y =在区间[]b ,a 两端点的函数值必须满足0)b (f )a (f <⋅； （4）函数)x (f y =在区间()b ,a 内有零点，但不唯一；（5）用判定方法验证函数2x )x (f =，说明该方法仅是判断函数零点存在的一种方法，并不是唯一的方法。
4、函数零点的求法：Ⅰ：可以解方程0)x (f =而得到（代数法）； Ⅱ：可以将它与函数)x (f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法） 5、二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表。
高中数学 2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法 二分法教学设计3 新人教B版必修1
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法──二分法教学设计一、教学目标1、知识与技能目标：理解用二分法求函数零点的原理，能借助计算器用二分法求出给定函数满足一定精度要求的零点的近似解；2、过程与方法目标：通过具体实例的求解，总结用二分法求函数零点近似解的过程与步骤，感受、体验二分法中的算法思想；3、情感、态度与价值观目标：了解有关解方程的历史，感受函数与方程的内在联系，在探究解决问题的过程中，培养学生与他人合作的态度、表达与交流的意识；培养认真、耐心、严谨的数学品质。
二、重点、难点分析：学习重点：学会用二分法求函数零点的近似解学习难点：对用二分法求函数零点近似解的步骤的概括和理解；对精确度要求的理解；二分法作为求函数零点近似解的一种常用方法，也是一种通法，它操作简单，程序性强，只要按部就班地去做，总会算出结果，现在又有了计算机，更容易实现。
同时此处也为后续的算法内容作了铺垫。
所以重点放在会用二分法求函数零点的近似解。
二分法的一般算法，比较抽象，学生不易理解。
求函数零点近似解的过程中，又蕴含着极限的思想，它可以达到要求的任何精度，这种思想可以用于确定函数值。
而一种方法的学会以及“精确到”、“精确度”等概念的理解只有结合实例、亲手计算、辅以工具等才易领悟。
所以难点放在对用二分法求函数零点近似解的步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。
三、教材内容分析（一）本节课在教材中的地位二分法是高中数学新课程的新增内容，这节内容安排在函数、函数性质、函数的零点之后，引入它的重要意义在于：体现了函数与方程的联系及蕴含其中的数形结合思想，打开了求解方程的新思路；引入二分法的另一个重要意义在于它引入了“近似”的概念。
一方面，在实际中离不开近似，另一方面求函数零点近似解的过程，蕴含着极限的思想，它可以达到要求的任何精度，这种思想可以用于确定函数值等等。
二分法是求函数零点近似解的一种常用方法，它的特点是操作简单，程序性强，为后续的算法内容作了铺垫。
《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案
《2.4.2 计算函数零点的二分法》教案【学习要求】1.理解变号零点的概念，掌握二分法求函数零点的步骤及原理；2.了解二分法的产生过程，会用二分法求方程近似解．【学法指导】通过借助计算器用二分法求方程的近似解，了解数学中逼近的思想和程序化地处理问题的思想；通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一，体会“近似是普遍的，精确则是特殊的”辩证唯物主义观点.填一填：知识要点、记下疑难点如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值，即，则这个函数在这个区间上，至少有，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为零点.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根．但对于一般的方程，虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，但是没有公式求根，如何求得方程的根呢？探究点一变号零点与不变号零点问题函数y＝3x＋2，y＝x2，y＝x2－2x－3的图象，如下图所示，在图象上零点左右的函数值怎样变化？小结：如果函数f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．探究点二二分法的概念问题1由变号零点的概念我们知道，函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，那么如何求出这个零点的近似值？例1利用计算器，求方程x2－2x－1＝0的一个正实数零点的近似解(精确到0.1)．问题2例1中求方程近似解的方法就是二分法，根据解题过程，你能归纳出什么是二分法吗？问题3给定精确度，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤是怎样的？跟踪训练1借助计算器或计算机，用二分法求函数f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4在区间(0,1)内的零点(精确到0.1)．探究点三二分法的应用例2求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点的近似值(精确到0.1)．小结：判定一个函数能否用二分法求其零点的近似值的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练2求32的近似值(精确到0.1)．练一练：当堂检测、目标达成落实处1.已知函数f(x)的图象是不间断的，x、f(x)的对应法则见下表，则函数f(x)存在零点的区间有()，[4,5]，[5,6]2.设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的，且f(a)·f(b)<0，取x0＝a＋b2，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为__________．3.已知函数f(x)＝mx＋2m－7 (m≠0)在区间[－2,5]上有零点，求实数m的取值范围．课堂小结：1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.。
课题：二分法求零点,教案
课题：方程的根与函数的零点课 型：新授课教学目标1.理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2.通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．教学重点、难点重点: 零点的概念及存在性的判定．难点: 零点的确定．学法与教学用具1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。
2．教学用具：投影仪。
教学过程(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： （用投影仪给出）①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二）互动交流 研讨新知函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：① 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞＝）．② 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象① 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．② 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）．③ 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．（三）、巩固深化，发展思维1．学生在教师指导下完成下列例题例1． 求函数f(x)=322+--x x 的零点个数。
二分法导学案
“二分法求函数零点近似解”导学案学习目标通过本节课的学习，你应该能够知识与技能1．能够分清变号零点和不变号零点；2．能够通过()()0f a f b ，判断函数()y f x 在[,]a b 上存在零点；过程与方法1．理解二分法求函数零点近似解的基本思想与步骤；*2．能够借助科学计算器用二分法求给函数零点满足一定精确度要求的近似解；课中学习一、课堂引入我们已经学习过一元一次方程和一元二次方程的根的解法。
一元一次方程和二次方程的求根公式，早在公元九世纪就由阿拉伯数学家花拉子米系统给出。
一元三次方程求根公式，1541年由意大利数学家塔塔利亚给出。
一元四次方程求根公式，1545年由意大利数学家费拉里在其老师卡尔达诺发表的《大术》一书中给出。
此后，数学家们始终找不出五次方程以及更高次方程的求根公式，直到三百年之后，1825年，挪威学者阿贝尔证明了五次以上方程没有求根公式。
我们上节课学习过，求方程的根也就是求对应函数的零点，对于五次以上的高次多项式函数以及其他的一些函数，有必要寻求求零点近似解的方法，这在计算数学中是一个十分重要的课题。
二、自主探究预习课本72P ，回答下列问题问题1．什么是变号零点，什么是不变号零点？问题2．如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上的图象不间断，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b ）内一定存在零点？零点存在性判定定理：如果函数()y f x 在一个区间[a,b]上的图像不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点,x a b ，使0()0f x 。
思考1：满足上述条件的函数y=f （x ）在区间（a ，b ）上的零点的个数是否唯一？思考2：若把条件“f （a ）·f （b ）＜0”改为“f （a ）·f （b ）＞0”，函数y=f （x ）在区间（a ，b ）上是否不存在零点？思考3：根据条件“f （a ）·f （b ）＜0”确定地是函数的变号零点还是不变号零点？例1：函数f （x ）的图象如图所示，则该函数变号零点的个数是个。
原创2：2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法（探究式）
答案：B．
课堂练习
2．下列函数不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)=x3
B.f(x)=lnx+3
C.f(x)=x2+2x+1
D.f(x)= −x2+2x+2
[解析] 对于C，f(x)=(x+1)2≥0，不能用二分法．
答案：A
课堂练习
3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
3.计算f(x1)
若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
若f(a)·f(x1)<0，则此时零点x0∈ (a, x1) ；
若f(x1)·f(b)<0，则此时零点x0∈ ( x1,,b) ；
4.判断是否达到精确度ε，即若 |a−b|< ε 则得到零点近似值a(或b),
否则重复2~4.
典例精讲：题型一：对二分法概念的理解
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003 f(1.556 25)≈－0.029 f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度
1.5625.
0.01)为________．
典例精讲：题型二：利用二分法求方程的近似解
【例2】求函数f(x)=lnx+2x－6的零点在(2,3)上的近似值(精确度：0.1)
[解析] 初始区间（2，3），且f(2) < 0, f(3) > 0，列表：
区间(a,b)
中点值m
f(a)
f(b)
f(m)近似值 精确度|a−b|
（2，3）
《用二分法求函数的零点》 讲义
《用二分法求函数的零点》讲义一、什么是函数的零点在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。
简单来说，如果存在一个实数 x₀，使得函数 f(x) 在 x ＝ x₀处的函数值f(x₀) ＝ 0，那么 x₀就是函数 f(x) 的零点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x 1，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0，解得 x＝ 1，所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。
二、为什么要研究函数的零点研究函数的零点具有重要的意义。
首先，它有助于我们理解函数的性质和图像。
通过确定零点的位置，我们可以更好地描绘函数的变化趋势。
其次，在实际问题中，很多情况下需要找到函数的零点来解决问题。
比如在物理学中，求解物体运动的特定时刻位置为零的点；在经济学中，找到成本和收益相等的点（即零点）来确定最优策略等。
三、二分法的概念二分法是一种用于求函数零点近似值的方法。
其基本思想是：如果函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a)×f(b) ＜ 0），那么在区间 a, b 内至少存在一个零点。
然后，我们可以将区间 a, b 一分为二，得到中点 c ＝（a ＋ b) ／ 2 。
计算 f(c) 的值，如果 f(c) ＝ 0，那么 c 就是函数的零点；如果 f(c) 与f(a) 异号，那么零点就在区间 a, c 内；如果 f(c) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 c, b 内。
重复以上步骤，不断缩小包含零点的区间，直到达到我们所需要的精度。
四、二分法的具体步骤以下是使用二分法求函数零点的具体步骤：1、确定初始区间 a, b ：使得函数 f(x) 在这个区间上连续，且f(a)×f(b) ＜ 0 。
2、计算中点 c ： c ＝（a ＋ b) ／ 2 。
3、计算函数在中点处的值 f(c) 。
4、判断 f(c) 的符号：如果 f(c) ＝ 0 ，则 c 就是函数的零点，结束计算。
高中数学《求函数零点近似解的一种计算方法—二分法》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教B版必修一第二章《2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》省级名师优质课教案比赛获奖
教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
通过具体实例理解二分法的概念,掌握运用二分法求简单方程近似解的方法,从中体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用;能借助计算器用二分法求方程的近似解,让学生能够初步了解逼近思想;体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一;通过具体实例的探究,归纳概括所发现的结论或规律,体会从具体到一般的认知过程.
2学情分析
学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化思想.但是对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点,对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难.另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题. 3重点难点
1.教学重点:用“二分法”求方程的近似解,使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.
2.教学难点:方程近似解所在初始区间的确定,恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】（一）创设情境，提出问题
问题1:在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在? 如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每。
二分法求函数零点教案(最新整理)
２、用二分法求函数 f (x) 的零点的近似值的步骤：
（１）确定区间[a, b], 验证： f (a) · f (b) < 0，确定精确度
（２）求区间(a , b)的中点 x1
（３）计算 f (x1 ) 若 f (x1 ) =0, 则就 x1 是函数的零点 若 f (a) · f (x1 ) <０，则令 b = x1 （此时零点 x0∈(a, x1 )） 若 f (x1 ) · f (b) <０，则令 a = x1 （此时零点 x0∈( x1 , b)）
( )1
个零点．方法二：作出 y＝ x 与 y＝ln x 的图象观察可知只有一个交点．故选 B. 2
5、方程 2x－1＋x＝5 的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3)
D．(3,4)
【解析】 令 f(x)＝2x－1＋x－5，则 f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从
解：应选 B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
例 2、
1
利用二分法求方程
3
x 的一个近似解（精确到 0.1）。
x
解：设 f x 1 x 3 ，则求方程 1 3 x 的一个近似解，即求函数 f x 的一个近似零
x
x
点。∵ f 2 1 0 ， f 3 1 0 ，∴取区间 2,3作为计算的初始区间。
f 2
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
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二分法求函数零点教案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】用二分法求方程的近似解１、二分法的概念对于在区间[a, b]上连续不断且)(a f ·)(b f < 0的函数)(x f y =, 通过不断把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。
２、用二分法求函数)(x f 的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证：)(a f ·)(b f < 0，确定精确度ε （２）求区间(a , b)的中点1x（３）计算)(1x f 若)(1x f =0, 则就1x 是函数的零点 若)(a f ·)(1x f <０，则令b =1x （此时零点x 0∈(a, 1x )）若)(1x f ·)(b f <０，则令a =1x （此时零点x 0∈(1x , b)）（４）判断是否达到精确度ε即若 | a – b | <ε, 则得到零点的近似值为a （或b ），否则重复（２）～（４）3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。
否则为不变号零点。
二分法只能求函数的变号零点。
例题讲解：例1：下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）解：应选B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。
例2、 利用二分法求方程x x-=31的一个近似解（精确到）。
解：设()31-+=x x x f ，则求方程x x-=31的一个近似解，即求函数()x f 的一个近似零点。
∵()0212<-=f ，()0313>=f ，∴取区间[]3,2作为计算的初始区间。
∵区间625.2,5625.2的左右端点精确到所取的近似值都是， ∴函数)x (f 满足题设的一个近似零点是故方程x x-=31满足题设的一个近似解是例3、 二次函数)R x (c bx ax y 2∈++=的部分对应值如下表：解：由上表提供数值大于0的自变量的取值集合是),3()2,(+∞⋃--∞ 评析：开口方向是解题关键信息，零点是－2，3，且开口向上，例4、已知函数6x 5x 2x )x (f 23+--=的一个零点为1 （1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量x 的取值范围。
解：（1）由题意，设n x )m n (x )1m (x )n mx x )(1x ()x (f 232--+-+=++-=，∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=-6n 5m n 21m 解得⎩⎨⎧-=-=6n 1m 令0)x (f =，即0)6x x )(1x (2=---，解得=x 1，－2，3 ∴函数的其他零点是－2，3 （2）函数的三个零点将x 轴分成4个区间： ]2,(--∞，]1,2(-，]3,1(，],3(+∞ 作出函数的示意图，观察图象得函数值大于0时自变量x 的取值范围是：),3()1,2(+∞⋃-例5、求函数f(x)＝x 2－5的负零点(精确度．【解析】 由于f(－2)＝－1<0， f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：所以函数的一个近似负零点可取－. 达标练习：1．下列函数零点不宜用二分法的是( )A ．f(x)＝x 3－8B ．f(x)＝lnx ＋3 【答案】C C ．f(x)＝x 2＋22x ＋2D ．f(x)＝－x 2＋4x ＋12．用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f>0，f<0，则方程的根在区间( )A ．,B ．(1,C ．,2)D ．不能确定【解析】 由题意知f·f<0，∴方程的根在区间,内，故选A.3．若函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)＝－2， f ＝，f ＝－f ＝－，f 5)＝， f 25)＝－，那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为________． 【解析】 根据题意知函数的零点在 25至 5之间，因为此时| 5－ 25|＝ 25<，故方程的一个近似根可以是 5.答案不唯一，可以是[ 5, 25]之间的任意一个数．【答案】 54、方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝ln x 的根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 方法一：令f(x)＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x， 则f(1)＝－12<0，f(e)＝1－12e >0，∴f(x)在(1，e)内有零点．又f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)在定义域内仅有1个零点．方法二：作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝ln x 的图象观察可知只有一个交点．故选B.5、方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 令f(x)＝2x －1＋x －5，则f(2)＝2＋2－5＝－1<0，f(3)＝22＋3－5＝2>0，从而方程在区间(2,3)内有解．故选C.6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：A ．,B ．,C ．,D ．,【解】 设f(x)＝2x －x 2，由表格观察出在x ＝时，2x >x 2，即f>0；在x ＝时，2x <x 2，即f<0.所以f·f<0，所以方程2x ＝x 2的一个根位于区间,内．故选C. 7、函数f(x)＝e x－1x的零点所在的区间是( )【解析】 f(12)＝e －2<0， f(1)＝e －1>0， ∵f(12)·f(1)<0， 故选B.二、填空题(每小题5分，共10分)8、用二分法求函数y ＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．【解析】由f(2)·f(3)<0可知．【答案】(2,3)9、用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中间x0＝，那么下一个有根区间是________．【解析】∵f(2)<0，f>0，∴下一个有根区间是(2,．三、解答题(每小题10分，共20分)10、求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度．【解析】设f(x)＝2x3＋3x－3，经试算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有实数解，取(0,1)的中点，经计算f<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在,1)内有解．如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：近似解可取为.11、求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的根(精确到．【解析】令f(x)＝ln x＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点．用二分法逐步计算．列表如下：[,] 5－ 7[ 5,]下为学生卷用二分法求方程的近似解１、二分法的概念对于在区间[a, b]上连续不断且)(a f ·)(b f < 0的函数)(x f y =, 通过不断把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。
２、用二分法求函数)(x f 的零点的近似值的步骤：（１）确定区间[a, b], 验证：)(a f ·)(b f < 0，确定精确度ε （２）求区间(a , b)的中点1x（３）计算)(1x f 若)(1x f =0, 则就1x 是函数的零点 若)(a f ·)(1x f <０，则令b =1x （此时零点x 0∈(a, 1x )）若)(1x f ·)(b f <０，则令a =1x （此时零点x 0∈(1x , b)）（４）判断是否达到精确度ε即若 | a – b | <ε, 则得到零点的近似值为a （或b ），否则重复（２）～（４）3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。
否则为不变号零点。
二分法只能求函数的变号零点。
例题讲解：例1、下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ） 例2、 利用二分法求方程x x-=31的一个近似解（精确到）。
例3、 二次函数)R x (c bx ax y 2∈++=的部分对应值如下表：例4、已知函数6x 5x 2x )x (f 23+--=的一个零点为1（1）求函数的其他零点；（2）求函数值大于0时自变量x 的取值范围。
例5、求函数f(x)＝x 2－5的负零点(精确度． 达标练习：1．下列函数零点不宜用二分法的是( )A ．f(x)＝x 3－8B ．f(x)＝lnx ＋3C ．f(x)＝x 2＋22x ＋2D ．f(x)＝－x 2＋4x ＋12．用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f>0，f<0，则方程的根在区间( )A ．,B ．(1,C ．,2)D ．不能确定3．若函数f(x)＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)＝－2， f ＝，f ＝－f ＝－，f 5)＝， f 25)＝－，那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为________．4、方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝ln x 的根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35、方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：A．, B．, C．, D．,7、函数f(x)＝e x－1x的零点所在的区间是()二、填空题(每小题5分，共10分)8、用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．9、用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中间x0＝，那么下一个有根区间是________．三、解答题(每小题10分，共20分)10、求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度．11、求方程ln x＋x－3＝0在(2,3)内的根(精确到．。