解析几何中的参数方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
参数思想在解析几何中的应用
参数思想在解析几何中的应用解析几何是数学中的一个分支，它通过代数方法研究几何问题。
在解析几何中，参数思想是一种十分重要的应用方法。
参数思想通常用于描述几何图形的位置、形状和运动等问题，并通过引入参数来建立几何问题与代数问题之间的联系，从而求解几何问题。
1. 参数方程的使用参数方程是参数思想在解析几何中最常见的应用之一，通过引入参数，可以用代数的方式来描述几何图形。
平面上的直线可以用参数方程来表示，形式为x = x0 + at，y = y0 + bt，其中a和b为常数，称为参数。
通过调整参数a和b的取值，可以得到不同的直线方程，从而描述不同的直线。
参数方程与直线之间存在一一对应的关系，通过参数方程可以求解直线的斜率、截距等相关参数。
还可以使用参数方程来解决直线与其他几何图形的关系问题，例如直线与圆的交点问题。
通过将直线的参数方程代入圆的方程，可以求解直线与圆的交点坐标。
3. 参数化曲线的研究参数化曲线是指通过参数方程来描述的曲线。
在解析几何中，参数化曲线是研究的重点之一。
通过引入参数，可以将复杂的曲线问题转化为简单的代数问题。
椭圆的参数方程可以描述为x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度，θ是一个参数，通过改变θ的取值可以得到椭圆上的所有点。
4. 几何图形的变换参数思想还可以应用于几何图形的变换问题。
通过引入参数，可以表示几何图形的位置、形状和大小等变换。
平面上的等腰三角形可以通过参数方程来表示，形式为x = a*t，y = b*t，其中a和b为常数，t为参数。
通过改变参数t的取值，可以实现对等腰三角形的平移、旋转和缩放等变换。
解析几何中参数取值范围问题（精）
解析⼏何中参数取值范围问题（精）解析⼏何中参数取值范围问题⼀．学习⽬标：1、掌握求参数取值范围的基本思路与⽅法，会解决⼀些简单的求参数取值问题；2、了解双参数问题的求解思路。
⼆．思想⽅法技巧1．利⽤数形结合思想求解：挖掘参数的⼏何意义，转化为直线斜率、距离等问题求解； 2．通过建⽴参数的不等式求解：（1）利⽤题设中已有的不等关系建⽴不等式；（2）利⽤判别式建⽴不等式（3）利⽤图形特征建⽴不等式 3．双参数问题求解策略：建⽴参数的不等式、⽅程的混合组，通过消元转化为⼀元不等式，或转化为求函数值域问题求解。
4、分类讨论思想的运⽤三．基础训练1．已知两点A （－3，4）．B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(,1][3,)-∞-?+∞D ．(,1)(3,)-∞-?+∞2．直线y kx =与双曲线221169x y -=不相交，则k 的取值范围是 3．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181-⼆．典型例题1．若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有⼀个公共点,则有b 的取值范围是。
2．双曲线1422=+ky x 的离⼼率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是________。
3．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是（）A ． [2,2]-B ． [0,2]C ．D ． [-4．直线y=kx －2与焦点在x 轴上的椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围5．已知椭圆C ：2214x y += 和直线:2l y x m =+，椭圆C 上存在两个不同的点A 、B 关于直线l 对称，求m 的取值范围三．巩固练习1．若平⾯上两点A （-4，1），B （3，-1），直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是。
参数思想在解析几何中的应用
参数思想在解析几何中的应用参数思想是一种便捷的解题方法，在解析几何中也有着广泛的应用。
在平面坐标系和空间坐标系中，通过引入参数来建立点、直线或曲线的数学模型，以求解相关的几何问题。
一、平面坐标系中的参数方程在平面直角坐标系中，一个点可以由其横、纵坐标确定，也可以通过参数表示。
当给定点的参数$t$时，其横、纵坐标分别为$x=f(t),y=g(t)$，这就是点$(f(t),g(t))$的参数方程。
参数方程表示的点随参数变化而变化，可以用来表示曲线的形状和特点。
例如，圆的参数方程为$x=r\cos t,y=r\sin t$，其中$r$为圆的半径，参数$t$在区间$[0,2\pi]$内变化，即可画出一个完整的圆。
在三维空间中，同样可以利用参数方程来表示点、直线或曲面。
一个点可以用三个参数表示，即$x=f(t),y=g(t),z=h(t)$。
直线的参数方程形式为$x=x_0+at,y=y_0+bt,z=z_0+ct$，其中$a,b,c$为方向向量，$(x_0,y_0,z_0)$为直线上的一点。
曲面的参数方程形式为$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$，其中$u,v$为曲面上的参数，取遍曲面的范围。
例如，球面的参数方程为$x=r\sin\theta\cos\varphi,y=r\sin\theta\sin\varphi,z=r\cos\theta$，其中$r$为球半径，$\theta$为极角，$\varphi$为方位角，二者范围分别为$0\leq\theta\leq\pi$和$0\leq\varphi<2\pi$。
通过参数方程，可以方便地求解球面上点的坐标、距离、曲率等几何性质。
三、应用举例1. 求解两条直线的交点假设有两条直线$L_1$和$L_2$，它们的参数方程分别为：$L_1:x=1+t,y=-2+2t,z=3-t$，要求解$L_1$和$L_2$的交点，只需要将它们方程联立，解出$t$的值，再带入参数方程求出点的坐标。
解析几何中求参数取值范围的方法(精)
解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。
学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。
那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x 1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ<ARCTAN4< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<A<2< p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<K<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
解析几何十一种方法
解析几何11种方法解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法来研究几何对象。
以下是11种解析几何的方法：1.坐标法：这是解析几何中最基本的方法，通过引入坐标系，将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
2.参数法：当某些几何量（如距离、角度等）不容易直接求出时，可以引入参数，将问题转化为参数的求解问题。
3.向量法：向量是解析几何中的重要工具，它可以表示点、方向、速度等几何概念，通过向量的运算可以方便地解决许多几何问题。
4.极坐标法：在平面几何中，除了直角坐标系外，还可以使用极坐标系。
通过极坐标，可以方便地表示点和线的方程，并解决相关问题。
5.复数法：复数在解析几何中也有广泛应用，例如在解决圆的方程时，可以通过复数的方法简化计算。
6.三角法：在解析几何中，三角函数是重要的工具，它可以用来表示角度、长度等几何量，并解决相关问题。
7.面积法：在解决几何问题时，有时可以通过计算面积来找到解决方案，例如在解决三角形问题时。
8.解析法：通过解析几何的方法，可以将几何问题转化为代数问题，进而通过代数运算解决几何问题。
9.代数法：代数法是解析几何中的一种重要方法，通过代数运算和代数方程的求解，可以解决许多几何问题。
10.对称法：在解析几何中，有时可以通过观察图形的对称性来找到解决方案，例如在解决关于对称点、对称线的问题时。
11.数形结合法：数形结合是解析几何中的一种重要思想，通过将代数与几何相结合，可以更方便地解决许多问题。
以上就是解析几何的11种方法。
需要注意的是，每种方法都有其适用的范围和局限性，需要根据具体的问题选择合适的方法来解决。
参数思想在解析几何中的应用
参数思想在解析几何中的应用参数思想是解析几何中的一个重要理论工具，它通过引入参数来处理几何问题，使得原本复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而更加方便地进行求解。
参数思想在解析几何中有着广泛的应用，包括直线、圆、曲线、平面图形等多个方面。
本文将介绍参数思想在解析几何中的应用，并通过具体的例子来说明其在解析几何中的重要性。
一、参数方程与几何问题在解析几何中，我们常常需要研究由方程描述的几何图形的性质。
在处理一些复杂的几何问题时，直接使用传统的坐标表示经常会导致问题的复杂化。
参数方程的引入有效地解决了这一问题。
通过引入参数，可以将原本复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而更方便地进行求解。
参数方程的一般形式为：x = x(t)y = y(t)其中x和y分别是图形上的点的坐标，t是参数。
通过适当选择参数t的取值范围，可以描述出图形上的所有点。
对于一条直线上的点可以用参数方程表示为：x = at + by = ct + d其中a、b、c、d为常数，代表直线的斜率和截距。
通过引入参数t，我们可以将直线上的所有点用参数方程表示出来。
二、直线的参数方程直线是解析几何中研究的基本图形之一。
直线的参数方程的引入有效地简化了对直线的研究。
对于一般的直线方程y = kx + b，我们可以通过引入参数t，将其表示为：这样，原本用斜率和截距来描述的直线，变成了用参数t来描述的直线。
这种描述方法使得我们可以更加直观地理解直线的几何性质。
当t取值范围为实数时，表示出的直线是无穷长的；当t取值范围为有限区间时，表示出的直线是有限长的。
参数思想的引入还有助于解决直线的交点、平行线和垂直线等问题。
两条直线的交点可以通过参数方程求解：设两条直线分别为x=a1t+b1, y=c1t+d1和x=a2t+b2, y=c2t+d2，通过参数方程求解出t后代入原方程即可得到交点的坐标。
其中a、b分别为圆心的坐标，r为半径。
通过引入参数t，我们可以更加直观地理解圆的几何性质。
高中数学立体几何的解析几何方法
高中数学立体几何的解析几何方法解析几何是数学中的一个重要分支，它运用代数和几何的方法来研究图形的性质和变化。
在高中数学中，解析几何尤其在立体几何的研究中发挥了重要作用。
本文将介绍高中数学立体几何中的解析几何方法，并探讨其在求解问题和证明定理中的应用。
一、直线的方程在立体几何中，直线是研究的基本对象。
通过解析几何方法，我们可以方便地求解直线的性质和方程。
1. 直线的斜率和截距直线的斜率和截距是直线方程中的两个重要参数。
给定直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以通过斜率公式求得直线的斜率k，即k = (y2 - y1) / (x2 - x1)直线的截距可以通过截距公式求得，即b = y - kx其中b为直线与y轴的交点，也是直线的截距。
2. 直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不能同时为0。
这个方程可以表示任意的直线。
3. 直线的向量方程直线的向量方程形式为r = a + tb，其中r为直线上一点的位置矢量，a为直线上已知的一点的位置矢量，b为直线的方向向量，t为参数。
二、平面的方程除了直线的方程，解析几何方法还可以用来求解平面的方程。
1. 平面的点法向式方程平面的点法向式方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数，且至少有一个不为0。
这个方程中的A、B、C为平面的法向量的分量。
2. 平面的截距式方程平面的截距式方程可以表示为 x/a + y/b + z/c = 1，其中a、b、c为平面在坐标轴上的截距。
三、解析几何在立体几何中的应用解析几何方法在立体几何中具有广泛的应用，可以用来求解各种问题和证明定理。
1. 直线与平面的交点通过解析几何方法，我们可以求解直线与平面的交点。
给定直线的参数方程和平面的方程，可以将直线方程代入平面方程，得到一个关于参数的方程组，通过解方程组可以求解直线与平面的交点。
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
（ 求 抛 物 线 ｃ 的 Ｉ） 方程 ； （ 若 直线 ｚ ’一１ Ⅱ） ：，
＝
ｙ ＝６一ｂ ２ｙ ２ ２ ； ｝ ２ ＝６一ｂ
，
。
ｋ 一１ （ ≠０ 垂 直 平 （ ）ｋ ）
图２
从 而 由 一ｎ ｌ ０ 一０ ２ ， ≤ ≤ ， ≤ ≤Ⅱ 可得
＜ ＜ 二 。 。
．
・
． ．
ｍ ：２
＋１ 。
由
ｆ 一 ＋ ， ＝）１ 到 于 的 于 点 Ｊ（ Ｏ，）， 明 ：一旦 ＋ ｎ １≥ ， 关 一 （） ， 得 ＰＸ ０ 证 【 ｙ＝
，
元二次方程 ， 由其判别式等于 ０求得 ｍ＝６ ， 。 综上所得 ， —２ ≤ｍ＜１ ４ 或 ｍ＝６ １ ＋２ ３ 。 二、 构造含参不等式探求参数范 围 例 ２ 已知抛 物线 Ｃ 的顶 点 在 原 点 ， 双 曲线 以 ＼ ／
Ｉ ，
一
分 析 ： 证 Ｘ满 足 关 于 参 数 。 ｂ的 不 等 式 ， 欲 ０ 、 须 从 题 中找 出 不 等 关 系 。 由 椭 圆 的 性 质 可 知 ， 圆 上 椭 的 点 的 坐 标 满 足 如 下 条件 ： ≤ ≤ ， 一ｏ ａ 因此 问 题 转 化 为 寻 求 Ｘ与 的关 系 。 ｏ 简解 ： 由题 设 知 ， Ｐ在 线 段 Ａ 的 垂 直 平 分 线 点 Ｂ
图１
１ ｙ≥ １ 为 半 条 曲 （ ）
线， 若利用方程观点研究这类问题 ， 则需将之转化成 根 的分 布 问题 ， 样 做 较 麻 烦 且 易 出 错 。若 用 数 形 这 结合 的思想 来研 究 ， 则直 观 易解 。如 图 １ ｚ、２ ｆ ，１ ｚ、３ 是 直 线 系 ， 一 ＋ｍ 中 的三 条 直 线 ， 三 条 直 线 是 ， ＝ 这 直 线 系 中的 直 线 与 半 椭 圆 交 点 个 数 的 “ 线 ” 在 Ｚ 界 ， 与 ｆ之 间 的直 线 （ ｚ， 含 ｚ 及 １都 是 与 半 椭 圆 ２ 含 １不 ２ ） 只有 一 个 公 共 点 的 直线 ， ｍ 是 这 些 直 线 在 ｙ轴 上 而 的截 距 ， 由此 可 求 ｍ 的范 围 。 简 解 ：Ｉ （ ２ ３，） Ｚ过 一 ４ １ ，
解析几何中的参数方程
解析几何中的参数方程解析几何是研究几何图形及其相关量的数学分支，它的方法是利用代数和解析工具来研究空间中的几何对象。
参数方程是解析几何中的一种重要工具，它通过引入参数来给出曲线上点的坐标，进而使得曲线的性质更易于研究。
本文将从几何直观、符号解释以及几何应用等方面来解析几何中的参数方程。
一、几何直观解析几何中的参数方程的基本思想是通过引入参数所构成的函数，使得曲线上任意一点(x, y, z)都可以表示为某个参数t的函数，即：x = x(t)y = y(t)z = z(t)其中t是自变量，常常被称为参数。
这种表示法将曲线表达为以自变量t作为参数的函数形式，因此被称为参数方程或者参数式。
从几何上看，参数方程可以看作是一种在空间中运动的“机器人”，不断调整自己的参数值，从而产生一条曲线，如图1所示。
（图1 参数曲线）参数方程的优点在于它可以描述一些曲线的特殊性质，比如对于一个平面曲线，如果形状比较复杂，很难用一般的函数式表达式来描述，此时采用参数方程就可以轻松地完成这一任务。
例如，我们考虑一个圆的参数方程：x = r costy = r sint其中r为圆的半径，参数t变化范围为0到2π，代表旋转角的取值，当t从0变化到2π时，可以得到整个圆的轮廓。
这个参数方程的几何意义是，我们可以设想一个点在圆上运动，它的横坐标和纵坐标分别等于该点的极坐标表示中的r和θ，其中t可以看成时间，表示时间的推移，t每增加一个单位，就让这个点沿着圆弧运动了一个单位。
二、符号解释对于一条曲线，我们通常采用向量的表示方法来建立它的参数方程。
假设有一条曲线C，其中P(x, y, z)是曲线上的一个点，Q(x+h, y+k, z+l)是曲线上离点P一步长度的点，如图2所示：（图2 离点P一步长度的点Q）那么向量QP有如下的分解：QP = h i + k j + l k其中i、j、k分别表示沿x、y、z轴正方向的单位向量。
因此，曲线C可以表示为：P(x, y, z) = P(x(t), y(t), z(t))Q(x+h, y+k, z+l) = P(x(t+Δt), y(t+Δt), z(t+Δt))则有向量QP可以表示为：QP = Q(x+h, y+k, z+l) - P(x, y, z)= [x(t+Δt) - x(t)] i + [y(t+Δt) - y(t)] j + [z(t+Δt) - z(t)] k= Δx i + Δy j + Δz k其中Δx、Δy、Δz为向量QP在三个方向上的分量。
浅议解析几何中求参数范围的几种策略
【 点评】 此题解 法中得 到 Ｓ关于 ６的表达 式应该较为直接 自
然 ，由此应用基本 不等 式也就水到渠 成． 六、利用方程与函数思想求参数范 围
例 ６ 已 知 Ａ（ ， １ ，Ｂ ２ ） ０ ） （ ，３ ，抛 物 线 Ｙ＝ ＋僦 ＋２ ，若
拿 ＋ｒ ＿≤ １ 解得 ４≤ｍ＜ ． ， ５
围．
例２ 已知椭圆ｃ ：莩 ＋ ＝ 和直线ｈ Ｙ ２ ＋ ， １ ＝ ｘ ｍ 椭圆
问题谈谈几种求解 这类 问题 的策 略．
一
解 析 ： 由 已知 得 直 线 ＡＢ上Ｚ ，
、
利用题设中的不等 关系
．，Ｂ ｘ，Ｙ）
抛物线与线段 Ａ Ｂ相交于两点 ，求 ｍ 的取值范围．
分 析 ：线 段 ＡＢ的 方 程 为 Ｙ＝ ＋１（ ≤ ２ ，抛 物 线 与 ０≤ ）
线段
日 交于两Ｉ 量，可转化为方程组ｌ ＝ ｘ ｙ
：
＋ ＋
２
对 于一些特殊曲线 ，它们 自身都包 含了一些不等关系．如椭 有 两组 解．通过 消元 Ｙ又 可 转化 为 关 于 的一 元 二 次 方程 厂 ＝ （ ０ ） 圆长轴长大于短轴长 ，也大于焦距长 ，双 曲线 的实轴长 、虚轴 在 ［ ，２ 上有两个不等实根． Ｏ ］ 长小于焦距长． 于圆与椭圆 ，当点位于其 内部或外部 时 ，都满 对 解 ：线 段 Ａ 的方 程 为 ＇ ＋１０≤ ≤ ２ ． Ｂ ， ＝ （ ） 足一定 的不等关系．当然有些情 况下 ，不等关系 比较隐蔽 ，只有 认真地分析题设中的条件与结论 ，才能找到所需的含参不等式．
若题设条件中有不等关系 ，可直接利用该条件求参数的范围． 例 １ 双 曲线 一
矿 ０—
＝１。＞１ （ ，ｂ＞０ 的焦距为 ２ ，直线 ） ｃ
三类参数方程在解析几何中的应用
三类参数方程在解析几何中的应用解析几何是数学中的一个重要分支，它以坐标系为基础，运用代数和几何方法研究几何对象的性质和相互关系。
三类参数方程是解析几何中的重要工具，根据不同的参数方程可描述不同的图形。
在下面的文章中，我们将介绍三类参数方程在解析几何中的应用。
一、平面图形的参数方程平面曲线的参数方程是通过给出参数 $t$ 与其对应几何图形上点的坐标$(x(t),y(t))$ 的关系式来描述曲线的。
在解析几何中，平面曲线的参数方程的应用较为广泛。
1. 直线的参数方程设直线 $L$ 的一个定点为 $(x_0,y_0)$，方向向量为 $\vec{v}=(a,b)$，则直线$L$ 的参数方程为$$\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{cases}$$其中 $t$ 为参数，表示直线上一点到 $(x_0,y_0)$ 的距离与 $\vec{v}$ 的夹角。
通过直线的参数方程，我们可以方便地求出直线上任意一点的坐标，判定两直线的位置关系，计算直线的斜率等。
其中 $t$ 是参数，$t\in[0,2\pi)$。
圆的参数方程可以用于计算圆上任一点的坐标，求两条直线与圆的交点以及判定两个圆的位置关系等。
其中 $\theta,t$ 为参数，$\theta\in[0,2\pi)$，$t\in[0,1]$。
对于以$(x_0,y_0,z_0)$ 为顶点、$r$ 为底半径、$h$ 为高的圆锥，其参数方程为$$\begin{cases}x=x_0+r(1-t)\cos\theta\\y=y_0+r(1-t)\sin\theta\\z=z_0+ht\end{ca ses}$$三、空间曲线的参数方程空间曲线是三维坐标系中的一条曲线，可以用参数方程描述。
空间曲线的参数方程在解析几何中也有重要的应用。
对于空间中的一条曲线，其参数方程可以表示为$$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$$其中 $t$ 是参数，可以是任意实数。
解析几何中参数范围的求法
ｉ Ｆ ｌ＋ ｌ Ｆ ｌ ２ １ ＯＩ ｌ ） ２ ５ ＋ Ｐ Ｐ ＝ （ Ｐ ＋ Ｏｌ ＜ （ Ｆ
性 可 知 Ａ Ｃ 为等 腰 梯 形 ， Ｃ Ｄ关 于 轴 对 称 ， ＢＤ 故 、 依 题 意设 ： ～ｃ ｏ ， （ ，）ｃ ， ）Ｅ ，） Ａ（ ，）Ｂ Ｃ ｏ ， （ ＾ ， （
Ｖ
＼ ／
Ａ。 ／
・
。
。 Ｅ分
所 成 的 比为
仁 （ ２ Ａ 一 ＋ ２ １ ） Ｃ ’
黪 囊 绔
高 考 数 学
双 曲线方程 ～告 ＝１ ａ ，＞ ０ ， （ ＞０ ６ ） 则离 ｎ Ｄ—
Ｃ ｎ
Ｃ、 在 双 曲 线 上 ， Ｅ
个 例 子 谈 谈 这 类 问 题 的 常 用 解决 方 法 ．
一
、
建 立 函 数 关 系求 函数 值 域
利 用 这 种 方 法 求 范 围 时 ， 键 是 寻 找 变 量 间 关 的等 量 关 系 ， 以确 立 函数 解 析 式 、 义 域 ， 而 求 定 进 值域．
４ ８ 倍 数外学习》０８ ６ ２０年 月号中 旬刊
（ 第 ３ 期） 总 １５
＋ 一 ０对 称 的 不 同两 点 ， 实 数 ａ的 取 值 范 围 ． 求
【 析 】 方 法 （ ） 设 两 点 为 Ｐ、 则 直 线 分 一 Ｐ， Ｐ 方程可设为 ｙ Ｐ的 —ｚ＋６且 Ｐ 抛 物 线 有 两 ， Ｐ与
【 １ 已知 梯 形 ＡＢ Ｄ 中 ，ＡＢｌ ＤＩ 例 】 Ｃ Ｉ 一２ ｌ Ｃ ，
点 Ｅ分 有 向线 段
’
所 成 的 比为 ， 曲线 过 点 ｃ、 双
ｏ ０
０
Ｄ、 且 以 Ａ、 为 焦 点． 图 ， ÷ ≤ ｏ时 ， Ｅ， Ｂ 如 当 ≤ 求 其离心率 ｅ 的取 值 范 围 ． 【 】 如 图建 系 ， Ｃ ／ Ｂ及 双 曲线 的 对 称 解 由 Ｄ／Ａ
在解析几何中求参数范围的9种方法
c ，h)，E(x0，y0), 其 2
c x2 y2 － =1，则离心率 e = 。 2 2 a a b c 代入双曲线方程得 a
由点 C、E 在双曲线上，将点 C、E 的坐标和 e =
e2 h2 1 4 b2 e2 2 2 2 h2 ( ) ( ) 1 4 1 1 b2
-52
F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点。 (1)设 l 的斜率为 1，求 OA与OB 的夹角的大小； (2)设 FB AF , 若 [ 4, 9] ，求 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围。 解：(1)答案为 arccos
3 14 （解答略） 。 41
(2)F(1, 0), 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 由题设 FB AF , 得
x2 y2 圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆 2 2 a >b>0) a b
中，x [ a, a ], y [ b, b], 0 e 1, ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。 例 3： （2002 年全国高考题）设点 P 到点 M(－1，0)、N(1，0)距离之差为 2m，到 x 轴、y 轴距离之比为 2，求 m 的取值范围。 解：设点 P 的坐标为(x，y)，由题设得
2
1
2 ，可知在 [ 4, 9] 上是递减的。 1
∵ [ 4, 9] ∴
3 4 4 3 m 或 m 。 4 3 3 4
故直线 l 在 y 轴上截距 m 的变化范围是 [
4 3 3 4 , ] [ , ]。 3 4 4 3
说明：例 7 和例 8 都是已知一个变量的范围求另一变量的范围，可先利用题设条件建立 变量的关系式，将所求变量和另一已知变量分离，得到函数关系，再由已知变量的范围求出 函数的值域，即为所求变量的范围。这类背景也可归结为背景一。 2、双参数中的范围均未知 例 9： （2004 年全国卷Ⅰ文 2 理 21） 设双曲线 C :
参数方法在解决解析几何问题中的应用
１ 曲线方程的变 量参数 问题
在直 角坐标 系下 ， 坐标平 面上 的点 与有 序实 数对 之间存 在着 一一 对应 的关 系 。当一个 点 的位 置 被确
定 时 ， 的坐标也 就 被唯一 地确 定 ； 它 当点 的位置 变动 时 ， 的坐 标也相 应地 变动 。 点 在平 面解 析几 何 中 ， 的 点
参数 是解析 几何 中最 活跃 的元素 。关 于参 数 的定义 ， 民教育 出版社 １９ 人 ９９年第 ９次 印刷 版“ 级 中 高
学课本《 平面解析几何》 全一册（ 必修 ）本第 １６ ” 页上说 ：在取定的坐标系中 ， １ “ 如果 曲线 上任意一点的坐
标 ｘｙ ．都是某个变数 ｔ 的函数 ｒ ： ， 并且对于 ｔ 、 的每一个允许值 ， 由这个方程组确定 的点 Ｍ（，） ｘ’都在 ，
摘
要： 参数方法是解 析几何 中经常用到的解决 问题 的一种方法。 这种方法内容丰 富、 应用广泛 。 掌握 了这种方
法， 就等于掌握 了～把开启解 析几何 问题解决之门的钥匙 。 关键词 ： 参数方法 ； 变量参数 ； 系数参数
中 图分 类号 ： ８ ０１２ 文献 标 识 码 ： Ｂ 文章 编 号 ： ６４ ２ ２ （０ ８０ — ０ ２０ １７ — ２ ２ ２ ０ ）４ ０ ５ － ４
解设 ； ）Ｂｔ ￡ ｜ ： ， ： 。 ：： ， ， （ ，）则ｉ ＿ （ ２２ ｝ 瑚 １ 萨 ｝ ：
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（ ２ ）
例 Ｐ定 （，）） ＝ 的 ，是 的 点且 足 ＝， Ｑ 圆 ２设 为 点６ｏ，ｔ ９ 点 加上 一 ， 争当 在 Ｑ－ ｊ ￣ 上 满 点
高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
解析几何中的曲面方程与参数方程
解析几何中的曲面方程与参数方程在解析几何中，曲面是一个重要的概念。
曲面可以通过方程或参数方程来描述。
本文将详细解析曲面方程与参数方程的概念、特点和应用。
一、曲面方程曲面方程是通过方程来表示曲面的方法。
一般来说，曲面可以用二元方程或者三元方程来表示。
下面我们将分别介绍这两种情况。
1. 二元方程二元方程是指含有两个变量的方程。
在解析几何中，我们通常用二元方程来表示二次曲面。
常见的二次曲面方程有球面方程、圆柱面方程、抛物面方程等。
以球面方程为例，球面方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a, b,c)是球心坐标，r是球的半径。
2. 三元方程三元方程是指含有三个变量的方程。
在解析几何中，我们通常用三元方程来表示高次曲面。
常见的高次曲面方程有椭球面方程、双曲面方程、二次曲面方程等。
以椭球面方程为例，椭球面方程可以表示为：(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1，其中a、b、c分别代表x、y、z轴上的半轴长。
二、参数方程参数方程是通过参数来表示曲面上的点的方法。
参数方程可以将曲面上的点的坐标表示为参数的函数形式。
参数方程的形式通常为：x = f(u, v)，y = g(u, v)，z =h(u, v)。
参数方程的优点是可以直观地描述曲面的形状。
通过改变参数的取值范围，可以得到曲面上不同的点。
参数方程常用于描述曲面的形状、求曲面的切向量和法向量等。
三、曲面方程与参数方程的关系曲面方程与参数方程是等价的，可以相互转化。
通过曲面方程，可以得到参数方程，反之亦然。
转化的过程需要根据具体情况进行代数运算。
例如，以球面方程为例，通过参数方程可以得到球面方程。
假设球面的参数方程为：x = a + rcosθsinφ，y = b + rsinθsinφ，z = c + rcosφ，其中(a, b, c)是球心坐标，r是球的半径，θ和φ是参数。
三类参数方程在解析几何中的应用
三类参数方程在解析几何中的应用参数方程是数学中一个非常重要的概念，它在解析几何中有着广泛的应用。
参数方程解析几何主要涉及三类参数方程的应用，分别为直角坐标系下的参数方程、极坐标系下的参数方程和空间直角坐标系下的参数方程。
三类参数方程在解析几何中的应用是非常重要的，它们可以帮助我们更好地理解几何问题，解决一些复杂的几何计算问题。
本文将重点介绍三种参数方程在解析几何中的具体应用。
一、直角坐标系下的参数方程在直角坐标系下，参数方程通常表示为 x=f(t), y=g(t)。
直角坐标系下的参数方程在解析几何中主要应用于曲线的研究和描述。
通过参数方程，我们可以更加直观地理解曲线的运动轨迹和形状。
当我们给定一条曲线的参数方程 x=cos(t), y=sin(t)，我们可以通过变化参数 t 的取值来绘制出曲线的轨迹。
这样做可以更加清晰地观察到曲线的变化特点，甚至可以对曲线的形状进行预测和分析。
在解析几何中，常常利用直角坐标系下的参数方程来描述曲线的切线、曲率、凹凸性等性质。
当我们给定一条曲线的参数方程 x=t^2, y=t^3，我们可以通过求导数来得到曲线上任意一点的切线斜率。
利用参数方程求导的方法，我们可以得到与曲线相关的许多重要性质，从而更好地理解曲线的几何特征。
直角坐标系下的参数方程还常常应用于求解曲线的弧长、曲线与坐标轴之间的夹角等问题。
因为通过参数方程我们可以明确地表达出曲线上每一点的坐标，所以利用参数方程可以更加方便地求解曲线的周长、曲线与坐标轴的夹角等问题，这对于解析几何中的计算问题有着非常重要的应用价值。
在极坐标系下，参数方程通常表示为 r=f(t)，θ=g(t)。
极坐标系下的参数方程在解析几何中主要应用于描述极坐标下的曲线和曲面。
极坐标系下的参数方程可以有助于我们更好地理解曲线的径向和角向变化规律，同时也有利于我们对曲线的形状进行更深入的分析。
空间直角坐标系下的参数方程也常常应用于求解曲线在空间中的切线、曲线在空间中的曲率、曲面在空间中的切平面等问题。
解析几何中求参数取值范围的方法
解析几何中求参数取值范围的方法作者：闻豪来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第02期一、利用曲线方程式中变量的范围构造不等式利用曲线方程式中的变量求解析几何参数的取值范围，主要是依据曲线上各点的坐标范围设定的。
比如椭圆x2a2+y2b2=1上的点（x，y），则这个坐标点必须满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，所以可以运用这个数值范围对几何进行求解。
在利用曲线方程式求证取值范围时，还存在多个变量的问题，由于变量之间存在一定的关系，所以可以在表示参数的已知变量之间建立适当的不等式再求解。
例1已知某个椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0），在这个椭圆上存在A、B两点，将两点连成一条线段，且线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），求证：-a2-ab2≤x0≤a2-ab2。
题型分析：这道题需要先求出线段AB的垂直平分线方程，然后再求出x0与端点A、B横坐标的关系，再利用椭圆上A、B所能够满足的范围求证。
解：首先设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）（x1≠x2），然后将坐标数据代入椭圆方程中进行计算，由此可得y2-x2y1-x1=-a2b2×x2+x1y2+y1；又因为AB线段的垂直平分线的方程为y-y1+y22=y2-y1x2-x1x-x1+x22，令y=0，可得x0=x1y2-x2y1y2-y1，且点A和B处于椭圆上。
又因为-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2以及-a≤x1+x22≤a，所以-a2-b2a≤x0≤a2-b2a。
二、利用判别式构造不等式在对几何参数取值范围的求解时，还可以按照直线与曲线之间的位置将求值转换成一元二次方程。
例2已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，如果过点Q的直线l与抛物线有公共点，那么直线l的斜率的取值范围应该是（）。
A.-12，12B.＼[-2，2＼]C.＼[-1，1＼]D.＼[-4，4＼]题型分析：由题意可知直线l与抛物线之间存在公共点，所以可以用一元二次方程的判别式进行解析，那么由此可以判断出Δ≥0。
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参数思想及参数方法在解析几何中的应用一、知识概要1．一般曲线的参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x （t 为参数）x ，y 分别是参数t 的函数。
2．直线的参数方程设直线l 过定点P 0（x 0，y 0），α为其倾斜角，P （x 、y ）是l 上任一点，P 0P ＝t （有向线段P 0的数量），则直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x ，当P 点在P 0的上方（右方）时t>0；当P 在P 0的下方（左方）时t<0。
如果把直线l 看成以P 0为原点，向上或向右为正方向的数轴，则t 是点P 的坐标。
设P 1，P 2是直线l 上的两个点，分别对应t 1，t 2（即P 0P ＝t 1，P 0P ＝t 2），则线段P 1P 2的中点对应t 中＝221t t +；线段P 1P 2的长度为|P 1P 2|＝|t 1－t 2|。
3．圆的参数方程圆：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00r y y r x x （α为参数，表θC 的动半径的旋转角）4．椭圆的参数方程椭圆：b 2(x －x 0)2＋a 2(y －y 0)2＝a 2b 2的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00b y y a x x （θ为参数，表动点P （x ，y ）的离心角）5．双曲线的参数方程双曲线:b 2(x －x 0)2－a 2(y －y 0)2＝a 2b 2的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθtan sec 00b y y a x x （θ为参数，表双曲线上动点P（x ，y ）的离心角）6．抛物线的参数方程抛物线:(y －y 0)2＝2p(x －x 0)的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=pt y y ptx x 22020（t 为参数，表动点P （x ，y ）与顶点连线斜率的倒数）二、典型例题（一）轨迹问题例1 （全国高中联赛） 若动点P （x ，y ）以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点θ（－2xy ，y 2－x 2）的运动方程是A ．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B ．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C ．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D ．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动解：将P （x ，y ）表示成⎩⎨⎧==ty tx ωωsin cos （ω>0，t 为参数）又令θ的坐标为（u ，v ），则u ＝－2xy＝－2cos ωtsin ωt ＝－sin2ωt ＝cos(－2ωt ＋23π)，v ＝y 2－x 2＝sin 2ωt －cos 2ωt ＝－cos2ω t ＝sin(－2ωt ＋23π)，∴θ（u ，v ）的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=)232sin()232cos(πωπωt v t u ，显然，ωt 与－2ωt 的旋转方向是相反的。
而P （x ，y ）在单位圆上逆时针运动，∴θ（－2xy ，y 2－x 2）以角速度2ω在单位圆上顺时针运动。
选C 。
例2 （2000年希望杯一试18题） 过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 。
解：设OA l ：y ＝kx ，则OB l ：y ＝x k 1-（易知k 应存在且不为0），联立：⎩⎨⎧==2xy kx y 得A （k ，k 2），同理B )1,1(2k k -。
设AB 中点为M （x ，y ），则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-=212122k k y k k x 消去k 得y ＝2x 2＋1例3 （全国高中联赛） 设0<a<b ，过两定点A （a ，0）和B （b ，0）分别作直线l 和m ，使与抛物线y 2＝x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这两条直线l 与m 的交点的轨迹。
解：本题是过定点弦问题，宜用参数法。
在利用四点共圆条件时，应充分挖掘几何条件去转化，比如圆幂定理。
设l 与m 交于点P （x 0，y 0），它们与x 轴的倾角分别为θ1，θ2，于是l ：⎩⎨⎧+=+=1010sin cos θθt y y t x x ，t 为参数① m ：⎩⎨⎧+=+=2020sin cos θθt y y t x x t 为参数 ②将①代入y 2＝x 得t 2sin 2θ1＋t(2ysin θ1－cos θ1)＋(y 20－x 0)＝0，由韦达定理得|t 1||t 2|＝|sin |12020θx y -，由参数t 的几何意义得|PA 1||PA 2|＝|sin |12020θx y -。
将②代入y 2＝x ，同理有|PB 1||PB 2|＝|sin |2220θx y -.∵A 1、A 2、B 1、B 2四点共圆，由圆幂定理得，|PA 1||PA 2|＝|PB 1||PB 2|,∴sin 2θ1＝sin 2θ2,故θ1＝θ2或θ1＝π－θ2.若θ1＝θ2，则l ∥m，无交点，故舍去。
若θ1＝π－θ2，故过定点A （a ，0），B （b ，0）的直线方程分别为：l ：y ＝k(x －a)m ：y ＝－k(x －b),联立解得直线的交点P （x 0，y 0）的坐标为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(2200a b k y b a x ,∴交点P 的轨迹为直线2b a x +=（除去与x 轴的交点和与y 2＝x 的交点）方法二： 设l 的方程为y －kx ＋ka ＝0，m 的方程为：y －k′x＋k′b＝0，于是过l ，m 与y 2＝x 的四个不同交点的二次曲线，应有方程：y 2－x ＋λ（y －kx ＋ka ）（y －k′x ＋k′b）＝0,即：（1＋λ）y 2－λ（k ＋k′）xy ＋λkk′x 2＋λ（ka ＋k′b）－[λkk′(a＋b)＋1]x ＋λkk′ab＝0，它成为圆的充要条件是⎩⎨⎧'=+'-=k k k k λλ1即：⎪⎩⎪⎨⎧+-='-=211k k k λ,∴这种直线l ：y －kx ＋ka ＝0；m ：y －k′x＋k′b＝0的交点P （x 0，y 0）的坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(2200a b k y b a x 即P 在AB 的中垂线上，故P 点的轨迹是直线2b a x +=（除去其与x 轴，y 2＝x 的三个交点）. （二）定点定值问题例4 （98年全国高中联赛） 已知抛物线y 2＝2px 及定点A （a ，b ），B （－a ，0）（ab≠0，b 2≠2pa），M 是抛物线上的点，设直线AM ，BM 与抛物线的另一交点分别为M 1，M 2，求证：当M 点在抛物线上变动时（只要M 1，M 2存在且M 1≠M 2），直线M 1M 2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。
解：分析：设动点M 的坐标为（x 0，y 0）由直线AM ，MB 与抛物线相交可以表示出交点M 1，M 2的坐标（用x 0，y 0，a ，b ，p 表示），又可求定点P （x ，y ）在直线M 1M 2上，故P ，M 1，M 2三点共线可化简为关于 P （x ，y ）的方程，系数用x 0，y 0表示，由于（x 0，y 0）的任意性而求出P （x ，y ）。
设M ，M 1，M 2的坐标分别为),2(),,2(),,2(222121020y py y p y y p y ,由A ，M ，M 1共线得：b y a py y y p y p y --=--020012021222，化简得:y 1y 0＝b(y 1＋y 0)－2pa 即y 1＝by paby --002,① 同理：由B ，M 1，M 2共线得：y 2＝2y pa, ② 设（x ，y ）是直线M 1M 2上的点，则y 1y 2＝y(y 1＋y 2)－2px, ③由（1）、（2）和（3）消去y 1，y 2得:px y pab y pa by y y b y pa pa by 2)22()(2)2(000000-+--=-⋅-,经整理得：0)2(2)(2)2(020=-+-⋅+-pa by pa x a pb y by px y ,由（x 0，y 0）的任意性知上式成立，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-02002pa by x a by px 解得⎪⎩⎪⎨⎧==b pa y ax 2∴直线M 1M 2恒过定点（a ，b pa 2）. 评注 ：本题不是直接求出点M 1，M 2的坐标，而是设出M 1，M 2的坐标并当作参数（点参数），再利用共线条件，建立起M 与M 1，M 2的坐标关系，从而间接写出直线M 1M 2的方程，进而求出定点坐标。
这是参数思想的完美体现，具体到技巧而言，就是常见的“设而不求”的手法。
方法二：设M ，M 1，M 2的坐标为),2(),,2(),,2(222121020y py y p y y p y ,同方法一得y 1y 0＝b(y 1＋y 0)－2pa, ①y 2y 0＝2pa, ② 由①,②消去y 0得：y 1y 2＝bpa2(y 1＋y 2)－2pa, ③ 而过两点M 1，M 2的直线方程为：y 1y 2＝(y 1＋y 2)·y－2px, ④ 比较③，④得⎪⎩⎪⎨⎧==b pa y a x 2从而得证例5 （00年全国联赛一试十五题） 已知C 0：x 2＋y 2＝1和C 1：2222by a x +＝1（a>b>0），试问当且仅当a ，b 满足条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形？证明你的结论。
解：所求条件为：11122=+ba 。
必要性：易知圆的外切平行四边形必为菱形，圆心即菱形中心。
假设结论成立，则对点（a ，0），有以（a ，0）为顶点的菱形与C 1内接，与C 0外切，（a ，0）相对的顶点为（－a ，0）。
由于菱形的对角线互相垂直平分。
∴另两个顶点必为（0，b ），（0，－b ）从而菱形的一条边的方程为=+bya x 1，即bx ＋ay －ab ＝0。
由于菱形与C 0外切，故必有1||22=+a b ab ，整理得：11122=+b a 。
充分性：设11122=+b a ，P 是C 1上任意一点，过P ，O 作C 1的弦PR ，再过O 作与PR 垂直的弦QS ，则PQRS 为与C 1内接的菱形，设|OP|＝r 1，|OQ|＝r 2，则P 、Q 的坐标分别为（r 1cos θ，r 1sin θ），（r 2cos(θ＋2π)，r 2sin(θ＋2π)）代入椭圆方程，得1)sin ()cos (221221=+b r a r θθ，1)]2sin([)]2cos([222222=+++br a r πθπθ, 于是212211||1||1r r OQ OP +=+＝111])2(sin )2(cos [)sin cos (2222222222=+=+++++b a b a b a πθπθθθ 又在Rt ΔPOQ 中，设点O 到PQ 的距离为h ，则：1||1||11222=+=OQ OP h ，故h ＝1。