高中数学第一轮复习复习《函数》精编讲义

集合与简易逻辑

第一节 集合及其运算

知识点1：集合的概念

例1.（1）已知2{2,,},{2,2,},M a b N a b M N ===且，若1A ∈，则有序实数对(,)a b 的值为 。

（2）设2{|8150},{|10}A x x x B x ax =-+==-=，若B A ?，则实数a 构成的集合C = 。

（3）对任意两个集合,M N ，定义：{|},()()M N x x M x N M N M N N M -=∈??=--U 且, 2{|,},{|3sin ,},M y y x x R N y y x x R M N ==∈==∈?=则 。

知识点2：集合的运算

例2.已知集合A x y ??==???，集合{}

2lg(2)B x y x x m ==-++。 （1）当3m =时，求()R A C B I ；

（2）若{|14}A B x x =-<

例3.设函数2()=log (23)f x x -的定义域为集合M ，函数()g x =N ，求：

（1）集合,M N ；

（2）集合,M N M N I U 。

例4.设集合2

{,21,4},{5,1,9}A x x B x x =--=--，若{9},A B A B =I U 求。

例5.若集合2{|280},{|521}A x x x B x m x m =+-<=-<<-。

（1）若4m =，全集U A B =U ,试求()U A C B I ；

（2）若A B A =I ,求实数m 的取值范围；

（3）若A B =?I ，求实数m 的取值范围。

例6.设2222{|(2)10},{|320},{|280}A x x a x a B x x x C x x x =-+++==-+-=+-=。

（1）若A B A B =I U ，求a 的值；

（2）若A B ≠??I ，且A C =?I ，求a 的值； （3）是否存在实数a 使A B A C =≠?I I ，若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由。

第二节 四种命题、充分条件及必要条件

知识点1：四种命题及相互关系

例1.（1）命题“已知0,,c a b ac bc >>>若则”的逆命题是 。

（2）命题“224,280x x x x ≠-≠--≠若且则”是 （填真、假中的一种）。

知识点2：充要条件的判断

例2．已知p r 是充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s r 是的必要条件，q s 是的必要条件，现有下列命题：①r q 是的充要条件；②q p 是充分条件而不是必要条件；③r q 是的必要条件而不是充分条件；④p s ??是的必要条件而不是充分条件；⑤r s 是的充分条件而不是必要条件。则正确命题的序号是 。

知识点3:充要条件的探究与证明

例3.（1）已知集合222{(,)|2},{(,)|()9}M x y y x N x y x a y ===-+=。求证：M N =?I 的充要条件是53a a ><-或；

（2）求证：关于x 的方程2210ax x +-=至少一负根的充要条件是0a >。

例4.在22{|2150},{|(8)80}M x x x P x x a x a =-->=+--≤的前提下：

（1）求a 的一个取值范围，使它成为{|58}M P x x =<≤I 的一个充分但不必要条件；

（2）求a 的一个取值范围，使它成为{|58}M P x x =<≤I 的一个必要但不充分条件。

第三节 简单的逻辑联结词及量词

知识点1：以含逻辑联结词的命题的真假为背景求解参数

例1. 已知命题2:10p x mx ++=方程有两个不等的负根，命题2:44(2)10q x m x +-+=方程无实根，若p q ∨是假命题，求实数m 的取值范围。

例2.已知命题:1x p x a >关于的不等式的解集是{|0}x x <；2:lg()q y ax x a =-+函数的定义域为R ，若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求实数a 的取值范围。

例 3.命题2:,(1)410p x R a x x ?∈++-<使成立；命题0:(,1),3210q x ax a ?∈-∞-+=使成立，是否存在实数a ，使命题p 是真命题，命题q 是假命题，若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由。

例4.设命题3

:()()2x p f x a =-函数是R 上的减函数；命题2

:()43q f x x x =-+函数在[0,]a 上的值域为[1,3]-。若“p q ∧”为假命题，

“p q ∨”为真命题，求a 的取值范围。

知识点2：全称命题、特称命题

例5.写出下列命题的否定，并判断其真假。

（1）:(1,2),(,1),22p a b x a b a b ==+-r r r r r r 已知存在使与平行；

（2）:q 所有的正方形都是矩形；

（3）2:,220r x R x x ∈++≤存在；

（4）2:,10s x x +=至少有一个实数使。

第二章 函数

第一节 函数及其表示

例1.（1）已知()f x 是一次函数，并且满足()312(1)217f x f x x +--=+,求()f x 的解析式；

（2）若22

1

1()f x x x x -=+，求函数()f x 的解析式； （3）已知()2()32f x f x x +-=-，求函数()f x 的解析式；

（4）已知2(sin )cos f x x =，求函数()f x 的解析式。

例2.已知21,0;()1,()2,0.

x x f x x g x x x ->?=-=?-≤?

（1）求[]()(2)2f g g f ????和的值；

（2）当0x >时，求[]()f g x ；

（3）求[]()g f x 的表达式。

例3.已知函数()12f x x x =--+。

（1）用分段函数的形式表示该函数；

（2）在直角坐标系中画出该函数的图像；

（3）写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间（不要求证明）。

例4.设()f x =，是否存在实数a ，使得至少有一个正实数b ，使函数()f x 的定义域和值域相同？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由。

例5.已知向量(1,1),(1,0)a b ==r r ，向量c r 满足0a c ?=r r ，且a c =r r ，0b c ?>r r 。

（1）求向量c r ；

（2）若映射''

:(,)(,)f x y x y xa yc →=+r r ，若将(,)x y 作点的坐标，问是否存在直线l ，使得直线l 上任意一点P 在映射f 的作用下，仍在直线l 上，若存在，求出l 的方程，若不存在，请说明理由。

第二节 函数的定义域和值域

知识点1：函数定义域的求法

例1.求下列函数的定义域：

（1）21()54

f x x x =-+； （2

）()1

f x x =

-； （3

）()f x = （4

）()3f x =

； （5

）()f x = （6

）()f x = （7）211()log 1x f x x x +=

--； （8

）()f x =； （9

）2()f x =。 例2．（1）若函数(1)y f x =+的定义域是[2,3]-，求(21)y f x =-的定义域；

（2）若函数()y f x =的定义域是[3,5]-，求2(4)y f x =-的定义域；

（3）若函数2(1)y f x =-的定义域是[2,3]-，求()y f x =的定义域；

（4）若函数2(1)y f x =-的定义域是[2,3]-，求(32)y f x =-的定义域；

（5）若函数()y f x =过点(0,4)，求(1)y f x =+过点 ；若函数(1)y f x =+过点(0,4)，求()f x 过点 ；

（6）已知函数()f x 的定义域为13[,]22-，求函数()()(0)y f ax f ax a =+->的定义域。

例3.已知函数()f x 的定义域为13[,]22-。

（1）求函数(2)y f x =的定义域；

（2）求函数(2)(2)y f x f x =+-的定义域。

例4.（1）已知函数2()43

f x ax ax =++的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）设01a ≤≤时，函数2()(1)61f x a x ax a =--++恒为正，求()f x 的定义域；

（3）函数y R ，求k 的取值范围；

（4）已知3()2log (19)f x x x =+≤≤，求函数22[()]()y f x f x =+的最大值。

知识点2：函数值域的求法

例5.求下列函数的值域：

（1）2()32,[1,3]f x x x x =-+∈；

（2）()f x =；

（3）31()2

x f x x +=-；

（4）()f x x =

（5）22()1

x x f x x x -=-+； （6）

()f x =；

（7）()f x x =

（8）1010()1010x x

x x

f x --+=-；

（9）()|1|f x x =+；

（10）sin ()2cos x f x x

=

-。 例6.已知函数2328()log 1

mx x n f x x ++=+的定义域(,)-∞+∞，值域为[0,2]，求,m n 的值。

例7.已知函数22(),[1,)x x a f x x x

++=∈+∞。 （1）当12

a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，求a 的取值范围；

（3）若对任意的[1,1],()4a f x ∈->恒成立，求x 的范围；

（4）若a 为正常数，求()f x 的最小值。

例8.对于函数212

()log (23)f x x ax =-+，解答下列问题：

（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；

（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围；

（3）若函数()f x 在[1,)-+∞内有意义，求实数a 的取值范围；

（4）若函数()f x 的定义域为(,1)(3,)-∞+∞U ，求实数a 的取值范围；

（5）若函数()f x 的值域为(,1]-∞-，求实数a 的值；

（6）若函数()f x 在(,1]-∞内为增函数，求实数a 的取值范围。；

知识点3：函数解析式的求法

第三节 函数的单调性与最值

知识点1：判断、证明函数的单调性

例1.已知a 、b 是正整数，函数()2()f x ax x b x b =+

≠-+的图像经过点(1,3)。 （1）求函数()f x 的解析式；

（2）判断函数()f x 在(1,0]-上的单调性，并用单调性定义证明你的结论。 变式题：判断函数()(0)a f x x a x

=+≠在区间(0,)+∞上的单调性，并用定义加以证明。

知识点2：抽象函数与复合函数的单调性

例2.已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）对于任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+；（2）当0x >且(1)2f =-。