第五章 弯曲应力

第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力*§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*§5-6 提高梁抗弯能力的措施§5-1 梁弯曲正应力一、梁弯曲时横截面上的应力分布一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。

弯矩由分布于横截面上的法向内力元σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。

MσdAτdA Q当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。

二、弯曲分类P P a aAC DB ACD +−BC D+P PPa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。

CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。

此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。

三、纯弯曲实验1.准备A BC DE F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH。

在梁两端对梁施加纯弯矩M 。

A B C D E F G H M MA BC DE F G H 2.现象•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。

•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长；•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；•横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。

3.假定•梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。

——平截面假定。

•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。

•中性层与横截面的交线叫中性轴。

梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。

中性层纵向对称面中性轴•梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。

•梁中的纵向应变和横截面上的正应力沿横截面厚度方向不变，而只与高度方向的位置有关，故梁内处在同一高度的一层纤维的正应力相等。

中性层厚度高度长度纵向对称轴横截面中性轴3.假定4.限制条件•先考虑等截面梁，梁的横截面至少有一个对称轴，即梁至少有一个对称面，并且所有外力都在这个平面内。

这样保证了对称平面内的纤维变形后仍在这个平面内。

因此，中性轴必与纵向对称轴垂直。

•梁的材料服从虎克定律，受拉和压时，弹性模量一样。

•梁的横截面尺寸能保证梁在受弯曲时不致翘曲。

•纵向纤维之间无挤压力假定一般不适用于剪切弯曲。

•梁的长度比横截面度量尺寸大得多(长梁)，平截面假定仅适应于长梁，若梁长度与横截面度量尺寸的比值小于5，由弹性力学知，平截面假定就不适用。

•平截面假定一般不适用于曲梁。

四、梁纯弯曲的正应力同圆轴扭转的应力公式推导过程一样，从变形几何关系、物理关系和静力学关系三方面考虑。

1.变形几何关系M MO 1O 2O 1O 2y yρd φabdxa'b'设为中性层，ρ为其曲率半径。

O O 21变形后dxd O O ==ϕρ21ϕρd y b a )(+=′′变形前ϕρd dx ab ==ab 纵向线应变为()a b ab y d d ab d y ρφρφρφερ′′−+−===弯曲时，梁横截面上各点的纵向线应变ε与该点至中性轴的距离y 成正比。

在同一横截面上ρ为常数。

ρ (1)yερ=四、梁纯弯曲的正应力1.变形几何关系2.物理关系(应力应变关系)ρεσy E E ==横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y 成正比，在距中性轴等距离的各点上正应力相等。

因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。

当应力小于比例极限时，由胡克定律知•弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；•弯矩为负时，正应力上拉下压；MM四、梁纯弯曲的正应力3.静力关系取纯弯曲梁的一个横截面，建立坐标系O-xyz ，y 轴为纵向对称轴，z 轴为中性轴，其具体位置待定。

σdA y O x y zM M 没有轴向力•内力元σdA 的合力即轴力为零0===∫∫∫A A A ydA EydA E dA ρρσ因const 0E ρ=≠0=∫A ydA 故由中值定理知.C AydA Ay =∫—横截面图形对z 轴静矩。

00.=⇒=y A y C C 故—横截面图形形心坐标。

.z C A y S =四、梁纯弯曲的正应力0.=⇒=y A y C C 即横截面形心在z 轴上，故中性轴必通过横截面形心, 同时中性轴与截面纵向对称轴垂直。

()0:yMF =∑Ad 0A z σ⋅=∫A d E y A z ρ⋅∫0yz I ∴=y 轴为截面的对称轴(形心主惯性轴)，故上式成立。

A d E yz A ρ=∫yz EI ρ=0=•内力元σdA 对y 轴之矩总和σdAy O xy z MM3.静力关系•内力元σdA 对z 轴之矩总和构成横截面上的弯矩M MdA y E dA y A A ∫∫==2ρσ∫=Az dA y I 2令—横截面对z 轴的惯性矩，代表横截面一个几何性质。

ρI E M z=则z EI —抗弯刚度，愈大，梁愈不易变形。

将上式代入应力应变关系式得：I Myz=σσ—横截面上任意点的正应力；M —横截面上的弯矩；I z —横截面对中性轴z 的惯性矩。

y —横截面上任意点到中性轴的距离；I y M σz maxmax =令——抗弯截面模量y I W zz max=则W Mσz=max σdAyO xy z MM3.静力关系zOxyMMσσmax 4.结论横截面上的正应力σ与该截面上的弯矩M 成正比，与横截面的惯性矩I z 成反比，正应力的数值沿横截面高度成线性分布。

在中性轴上正应力为零，离中性轴愈远正应力愈大，在横截面上下边缘取得σmax 。

σmaxσmaxMM将弯矩M 和坐标y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为正，即为拉应力，若为负则为压应力。

也可由弯曲变形直接判定。

只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的公式就可适用。

I My z=σ五. 梁横力弯曲时横截面上的正应力*在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不但有正应力还有剪应力。

因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。

虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，足以满足工程中的精度要求。

且梁的跨高比l/h 越大，其误差越小。

zI My =σ(0.2)hl≤例：已知l =1m ，q =6kN/m ，10号槽钢。

求最大拉应力和压应力。

解：（1）作弯矩图mN 3000212max ⋅==ql M （2）由型钢表查得，10号槽钢4cm 6.25=z I cm 8.4=b cm 52.11=y （3）求最大应力zI y M 1max max ,t =σzI y M 2max max,c =σ48-2m 1025.6)m 1052.1)(m N 3000(××⋅=−MPa 1.178=[]48-2m 1025.6m10)52.18.4()m N 3000(××−⋅=−MPa 4.384=第五章弯曲应力§5-1 梁弯曲正应力§5-2 惯性矩计算§5-3 梁弯曲剪应力§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念§5-6 提高梁抗弯能力的措施一、截面的静矩与形心截面对y 轴的静矩d y AS z A =∫C d z AS y A y A==∫截面对z 轴的静矩截面对形心轴的静矩恒等于零；截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心。

组合截面的静矩等于截面各部分对同一轴静矩的代数和。

C 11n nz zi i ii i S S A y ====∑∑1ny y i i S S ==∑C 1ni ii A z ==∑C z A=§5-2 惯性矩计算•组合截面的静矩三、惯性矩和惯性半径1. 惯性矩截面对z 轴的惯性矩2A d z I y A=∫2Ad y I z A=∫惯性矩与极惯性矩的关系2Ad A ρ∫截面对y 轴的惯性矩I ρ=22A()d y z A =+∫z yI I =+二、极惯性矩2d AI Aρρ=∫§5-2 惯性矩计算2. 惯性半径y y I i A=z z I i A=截面对y 、z 轴的惯性半径四、惯性积截面对y 、z 轴的惯性积Ad yz I yz A=∫如y 、z 轴之一为截面对称轴，则I yz = 0五、常见截面的惯性矩和惯性半径w 1. 矩形截面（矩形截面高h ，宽b ，z 轴过截面形心平行矩形底边）y dyy O z b h z I =2A d y A ∫222(d )hh y b y −=∫312bh =312z bh I =z z I i A =3/12bh bh =3h =23z h i =312y hb I =23y b i =w 圆形截面dAz y dA I A A P ∫∫+==)(222ρ因y 、z 轴均通过圆截面直径，6424D I I I Pz y π===故D O yz ρ(z,y )32422D dA z dA y A A π=+=∫∫w 圆环形截面()4464z y d D I I π==−d D α=D d()44164z y D I I πα==−令则：（圆直径为D ，z 轴过圆心）（圆内径为d ，外径为D ，z 轴过圆心）4z y Di i ==五、常见截面的惯性矩和惯性半径224z D d i +=2Ad z I y A =∫2A1+A2++And y A⋅⋅⋅=∫12n z z z I I I =++⋅⋅⋅+222A1A2And d d y A y A y A =++⋅⋅⋅+∫∫∫截面对轴的惯性矩或惯性积等于该截面各部分对同一轴的惯性矩或惯性积代数和。

六、组合截面的惯性矩和惯性积bBh H333(112z BH bh I BH=−例如：回字框截面七、惯性矩的平行移轴定理设任意形状的横截面，其面积为A ，y 轴、z 轴通过形心(称为形心轴)，对z 轴的惯性矩为I z 。

现有z 1轴与z 轴平行，y 1轴与y 轴平行，形心C 在坐标系O-y 1z 1中的坐标为(b ，a )。

∫=A z dA y I 211Ab I I y y 21+=同理知：dA(z,y )C(b,a )Oy 1z 1yzA a ydA a dA y AA 222++=∫∫Aa I A a S a I z z z 222+=++=∫+=AdA a y )(2横截面对任一轴的惯性矩等于它对平行于该轴的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。