第五章 弯曲应力

第五章弯曲应力

§5-1 梁弯曲正应力

§5-2 惯性矩计算

§5-3 梁弯曲剪应力*

§5-4 梁弯曲时的强度计算§5-5 塑性弯曲的概念*

§5-6 提高梁抗弯能力的措施

§5-1 梁弯曲正应力

一、梁弯曲时横截面上的应力分布

一般情况下，梁受外力而弯曲时，其横截面上同时有弯矩和剪力两个内力。弯矩由分布于横截面上的法向内力元

σdA所组成，剪力由切向内力元τdA组成，故横截面上同时存在正应力和剪应力。

M

σdA

τdA Q

当梁较长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，剪应力则是次要因素。

二、弯曲分类

P P a a

A

C D

B A

C

D +−B

C D

+

P P

Pa 梁AC 、BD 段的横截面上既有剪力又有弯矩，称为剪切弯曲（横力弯曲）。

CD 段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。此处仅研究纯弯曲时梁横截面上正应力与弯矩的关系。

三、纯弯曲实验1.准备

A B

C D

E F G H 在梁侧面画上AB 、CD 、EF 、GH 四条直线，且AB ∥CD 、EF ∥GH

。在梁两端对梁施加纯弯矩M 。

A B C D E F G H M M

A B

C D

E F G H 2.现象

•变形后横向线AB 、CD 发生了相对转动，仍为直

线，但二者不再平行；仍与弧线垂直。

•纵向线EF 、GH 由直线变成曲线，且EF 变短，GH 变长；

•曲线EF 、GH 间的距离几乎没有变化；•横截面上部分沿厚度方向变宽，下部分变窄。

3.假定

•梁的任意一个横截面，如果在变形之前是平面，在变形后仍为平面，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度，且与变形后的轴线垂直。——平截面假定。

•梁上部分纤维受压而下部分纤维受拉，中间一层纤维既不受拉也不受压，这一层叫中性层或中性面。

•中性层与横截面的交线叫中性轴。梁弯曲变形时横截面绕中性轴转动。

中性层

纵向对称面

中性轴

•梁的纵向纤维之间无挤压力作用，故梁的纵向纤维只受拉伸或压缩作用——单向受力假设。

•梁中的纵向应变和横截面上的正应力沿横截面厚度方向不变，而只与高度方向的位置有关，故梁内处在同一高度的一层纤维的正应力相等。

中性层厚

度

高度

长度

纵向

对称轴

横截面

中性轴

3.假定

4.限制条件

•先考虑等截面梁，梁的横截面至少有一个对称轴，即梁至少有一个对称面，并且所有外力都在这个平面内。这样保证了对称平面内的纤维变形后仍在这个平面内。因此，中性轴必与纵向对称轴垂直。

•梁的材料服从虎克定律，受拉和压时，弹性模量一样。•梁的横截面尺寸能保证梁在受弯曲时不致翘曲。

•纵向纤维之间无挤压力假定一般不适用于剪切弯曲。

•梁的长度比横截面度量尺寸大得多(长梁)，平截面假定仅适应于长梁，若梁长度与横截面度量尺寸的比值小于5，由弹性力学知，平截面假定就不适用。

•平截面假定一般不适用于曲梁。

四、梁纯弯曲的正应力

同圆轴扭转的应力公式推导过程一样，从变形几何关系、物理关系和静力学关系三方面考虑。

1.变形几何关系

M M

O 1O 2O 1

O 2y y

ρd φa

b

dx

a'

b'

设为中性层，ρ为其曲率半径。

O O 21变形后dx

d O O ==ϕρ21ϕ

ρd y b a )(+=′′变形前

ϕ

ρd dx ab ==ab 纵向线应变为

()a b ab y d d ab d y ρφρφρφερ

′′−+−=

==

弯曲时，梁横截面上各点的纵向线应变ε与该点至中性轴的距离y 成正比。

在同一横截面上ρ为常数。ρ

(1)

y

ερ

=四、梁纯弯曲的正应力1.变形几何关系

2.物理关系(应力应变关系)

ρ

εσy E E ==横截面上任一点处的正应力与该点到中性

轴的距离y 成正比，在距中性轴等距离的各点上正应力相等。因为纵向纤维之间无正应力，每一纤维都是单向拉伸或压缩。当应力小于比例极限时，由胡克定律知

•弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上压；•弯矩为负时，正应力上拉下压；

M

M

四、梁纯弯曲的正应力

3.静力关系

取纯弯曲梁的一个横截面，建立坐标系O-xyz ，y 轴为纵向对称轴，z 轴为中性轴，其具体位置待定。σdA y O x y z

M M 没有轴向力•内力元σdA 的合力即轴力为零

0===∫∫∫A A A ydA E

ydA E dA ρρσ因const 0E ρ

=≠0=∫A ydA 故由中值定理知

.C A

ydA A

y =∫—横截面图形对z 轴静矩。00.=⇒=y A y C C 故

—横截面图形形心坐标。

.z C A y S =四、梁纯弯曲的正应力

0.=⇒=y A y C C 即横截面形心在z 轴上，故中性轴必通过横截面形心, 同时中性轴与截面纵向对称轴垂直。

()0:

y

M

F =∑A

d 0

A z σ⋅=∫

A d E y A z ρ⋅∫0

yz I ∴=y 轴为截面的对称轴(形心主惯性轴)，故上式成立。

A d E yz A ρ=∫yz E

I ρ=0

=•内力元σdA 对y 轴之矩总和

σdA

y O x

y z M

M

3.静力关系