运筹学习题集二
2375运筹学基础2--11章真题整理
第二章31．某地区前三个年度的茶叶销售量的实际值见下表。
此外，根据专家估计，第一年度的销售量预测值为350千克。
27．已知某厂2000至2003的利润如表所示，2000年专家的预测值为2450万元，平滑系数，试用指数平滑法，预测该厂2004年的利润。
年份2000 2001 2002 2003利润（万元） 2350 3210 4020 451031.取(单位：吨)试推算1，2月份的实际产量(保留两位小数)31.某企业欲根据其产品前6 个月的售价x(单位：万元)和销售量y(单位：吨)用一元线性回归法预测第7 个月的销售量。
现通过对前6 个月的资料整理，得Σxi=27,Σyi=71，回归方程斜率b=-2.03。
若预计第7 个月售价为6.5 万元，试预测第7 个月销售量(保留两位小数)。
31.某商品前三个月度的售价实际值见题31表。
此外，根据专家估计，第一月度的售价预测值为7500元。
试用指数平滑法，取α=0.931.某企业要对其生产的某种产品的售价进行预测，已知市场上同类商品的售价分别为125元，127元，135元，138元，140元。
(1)试用加权平均数法进行价格预测。
32．为研究某一化学反应过程中温度x(℃)对产品得率y(%)的影响，测得一组数据，经加工整理后，得到=145(℃),=67.3(%)。
又已知回归直线在y轴上的截距为-2.74。
试据此用一元线性回归法估计当温度为125℃时的产品得率(保留两位小数)。
31.某手机制造商推出一款新型手机，通过市场调研，发现功能相近的5种其他品牌手机的价格和销售量如题31表：题31表为保证该款手机有较大的市场占有率，同时又有较高的销售收入，厂商决定采用加权横向比较法为手机定价，试求其价格。
33．某商店统计了最近5个季度某商品的进价与售价数据，具体数据列题33表（单位：元）如下：题33表现希望利用一元线性回归模型预测法来预测第6个季度的售价。
已知：该季度的预计进价为15元。
运筹课后习题
第2章 习题 P 58—6、86、福安商场是个中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如表 2-15 所示：表 2-15 每日售货员的需求情况表为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作 5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？ 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++++++++=0,,,,,,19252415282831..654321,,,,,,76543217432176321765217654176543654325432176543217654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x f Min x x x x x x x ，日的上班人数，，，，，分别为星期设8、有1，2，3，4四种零件均可在设备A 或设备B 上加工，已知在这两种设备上分别加工一个零件的费用如表 2-16 所示。
又知设备A 或B 只要有零件加工均需要设备的启动费用，分别为100元和150元。
现要求加工1，2，3，4零件各三件。
问应如何安排使总的费用最小。
试建立线性规划模型。
解：关键问题是启动费用，因此，应有三个模型来比较结果：设 x ij ，i = 1、2、3、4；j = 1、2；分别为产品 i 在设备 j ( 1 为 A ，2 为 B )上加工的数量。
模型1 只用设备A 加工：总费用：z = (50+80+90+40)*3+100 = 880元。
模型2 只用设备B 加工：总费用：z = (30+100+50+70)*3+150 = 900元。
模型3 同时用设备A 、B 加工：.030330302,1;4,3,2,103333..25070501003040908050423222124131211142413231222112114232221241312111========⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=+=+=+=+++++++++=x x x x x x x x j i x x x x x x x x x t s x x x x x x x x f Min ij ，，，，，，，最优解总费用：z = 850元。
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï+£ïí+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï-+£ïí+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++£ìï+£íï³î7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+£ìï£ïí+£ïï³î二．对偶单纯性法二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++£ìï+³ïí£ïï³î 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++£ìï+³ïï-³íï³ïï³î4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 124123412341234min 262335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++£ìï-+-³íï³î5.运用对偶单纯形法解下列问题（共运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）分） 12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+³íï³î6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î三．0-1整数规划整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-³ìï+--+³ïí--+++³ï=î 2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+£ì++³ïí+³ïï=î 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++£ìï++++£ïí++++£ïï=î或 4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+£ìï-+-+£íï=î或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++³ì-+++³ïí+-+³ïï=î或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++£ìï+-+£ïí-+-³ï 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-£ìï++£ïï+£íï+£ïï=四.K-T 条件条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共）条件求解以下问题（共 15 分）分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+£ìï+£íï³î2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
运筹学习题集二
运筹学习题集二习题一1.1 用法求解下列线性规划问题并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2 (2) max z ＝4x1＋8x2 st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2 (4) max z ＝3x1－2x2 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2 (6) max z ＝3x1＋4x2 st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中找出所有基本解指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2 (2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1 ＋x3 ＝4 st. x1 ＋3x3－x4 ＝32x2 ＋x4 ＝12 2x2＋2x3 －x5＝53x1＋2x2 ＋x5 ＝18 xj ≥0 （j＝1, (5)xj ≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用法和单纯形法求解下列线性规划问题并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1 ≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3 (2) max z ＝2x1＋x2＋x3st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2 ≤4 2x1＋4x2 ≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16xj ≥0 （j＝1,2,3）xj ≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝x1＋x2 (4) max z ＝x1＋2x2＋3x3－x4 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋2x2＋3x3＝154x1＋6x2≥－12 2x1＋x2＋5x3＝202x2≥4 x1＋2x2＋x3＋x4＝10x1, x2≥0 xj ≥0 （j＝1, (4)(5) max z ＝4x1＋6x2 (6) max z ＝5x1＋3x2＋6x3 st. 2x1＋4x2 ≤180 st. x1＋2x2＋x3≤183x1＋2x2 ≤150 2x1＋x2＋3x3≤16x1＋x2＝57 x1＋x2＋x3＝10x2≥22 x1, x2≥0x3无约束x1, x2≥01.5 线性规划问题max z＝CXAX＝bX≥0如X*是该问题的最优解又λ0为某一常数分别讨论下列情况时最优解的变化：（1）目标函数变为max z＝λCX；（2）目标函数变为maxz＝（C＋λ）X；（3）目标函数变为max z＝X约束条件变为AX＝λb。
运筹学习题答案(第二章)
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第二章习题解答
2.4 给出线性规划问题
min Z = 2 x1 + 3 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 + x 4 ≥ 2 st . − 2 x1 + x 2 − x 3 + 3 x 4 ≤ − 3 x j ≥ 0 , ( j = 1, L , 4 )
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第二章习题解答
是原问题的可行解。 解：x1=1,x2=x3=0是原问题的可行解。原问题的对 是原问题的可行解 偶问题为： 偶问题为：
min W = 2 y1 + y 2 − y1 − 2 y 2 ≥ 1 (1) y + y ≥1 (2) 1 2 st . ( 3) y1 − y 2 ≥ 0 y1 , y 2 ≥ 0 (4)
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2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题。 写出下列线性规划问题的对偶问题。
min Z = 2 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 x1 + 3 x 2 + 4 x 3 ≥ 2 2 x + x + 3x ≤ 3 2 3 st 1 x1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 5 x1 , x 2 , ≥ 0 , x 3 无约束
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max Z = 5 x1 + 6 x2 + 3 x3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 5 − x + 5 x − 3 x ≥ 3 2 3 st 1 4 x1 + 7 x2 + 3 x3 ≤ 8 x1无约束 , x2 , ≥ 0, x3 ≤ 0
运筹学课后答案2
运筹学（第2版）习题答案2第1章 线性规划 P36~40第2章 线性规划的对偶理论 P68~69 第3章 整数规划 P82~84 第4章 目标规划 P98~100 第5章 运输与指派问题 P134~136 第6章 网络模型 P164~165 第7章 网络计划 P185~187 第8章 动态规划 P208~210 第9章 排队论 P239~240 第10章 存储论 P269~270 第11章 决策论 Pp297－298 第12章 博弈论 P325~326 全书360页由于大小限制，此文档只显示第6章到第12章，第1章至第5章见《运筹学课后答案1》习题六6.1如图6－42所示，建立求最小部分树的0－1整数规划数学模型。
【解】边[i ，j ]的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最小部分树内边0],[1j i x ij数学模型为：,12132323243434364635365612132434343546562324463612132446362335244656121324354656m in 52,22,233344,510ij ijij i j ij Z c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ==++≤++≤++≤++≤+++≤+++≤+++≤++++≤++++≤+++++≤=∑或,[,]i j ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩所有边6.2如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最短路问题的0－1整数规划数学模型。
图6－42【解】弧(i ，j )的长度记为c ij ，设⎩⎨⎧=否则包含在最短路径中弧0),(1j i x ij数学模型为：,1213122324251323343524344546253545564656m in 100,00110,(,)ijiji jij Z cx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =⎧+=⎪---=⎪⎪+--=⎪⎪+--=⎨⎪++-=⎪⎪+=⎪=⎪⎩∑或所有弧 6.3如图6－43所示，建立求v 1到v 6的最大流问题的线性规划数学模型。
(完整版)《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
运筹学习题集（第二章）
运筹学习题集（第二章）判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=C B B-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。
选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划A约束条件相同B目标函数相同C最优目标函数值相同D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证A使原问题保持可行B 使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A若最优解存在，则最优解相同B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解D一个问题无界，则另一个问题无可行解E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为A—（λ1，λ2，……λn）B （λ1，λ2，……λn）C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D （λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题2.1 对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2 +x3s.t. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3s.t. y1 + 2y- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3s.t. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x23+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)原始问题的最优解为（X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11 对偶问题的最优解为（y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=112.2 对于以下线性规划问题max z = -x 1 - 2x 2s.t. -2x 1 + 3x 2 ≤ 12 (1) -3x 1 + x 2 ≤ 6 (2) x 1 + 3x 2 ≥ 3 (3) x 1 ≤ 0，x 2 ≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b 2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。
运筹学II习题解答
第七章 决策论1. 某厂有一新产品，其面临的市场状况有三种情况，可供其选择的营销策略也是三种，每一钟策略在每一种状态下的损益值如下表所示，要求分别用非确定型决策的五种方法进行决策(使用折衷法时α＝0.6)。
营销策略 市 场 状 况Q1 Q2 Q3S1 S2 S3 50 30 10 10 25 10 －50 10【解】（1） 悲观法：根据“小中取大”原则，应选取的经营策略为s3；（2） 乐观法：根据“大中取大”原则，应选取的经营策略为s1；（3） 折中法（α=0.6）：计算折中收益值如下：S1折中收益值=0.6⨯50+0.4⨯ (-5)=28S2折中收益值=0.6⨯30+0.4⨯0=18S3折中收益值=0.6⨯10+0.4⨯10=10显然，应选取经营策略s1为决策方案。
（4） 平均法：计算平均收益如下：S1:x _1=（50+10-5）/3=55/3 S2:x _2=(30+25)/3=55/3 S3:x _3=(10+10)/3=10 故选择策略s1,s2为决策方案。
（5） 最小遗憾法：分三步第一，定各种自然状态下的最大收益值，如方括号中所示；第二，确定每一方案在不同状态下的最小遗憾值，并找出每一方案的最大遗憾值如圆括号中所示；第三，大中取小，进行决策。
故选取S 1作为决策方案。
2．如上题中三种状态的概率分别为: 0.3, 0.4, 0.3, 试用期望值方法和决策树方法决策。
（1）用期望值方法决策：计算各经营策略下的期望收益值如下：故选取决策S2时目标收益最大。
（2）用决策树方法，画决策树如下：3. 某石油公司拟在某地钻井，可能的结果有三：无油(θ1)，贫油（θ2）和富油（θ3），估计可能的概率为：P (θ1) =0.5, P (θ2)=0.3，P (θ3)=0.2。
已知钻井费为7万元，若贫油可收入12万元，若富油可收入27万元。
为了科学决策拟先进行勘探，勘探的可能结果是：地质构造差(I1)、构造一般(I2)和构造好(I3)。
运筹学基础习题二答案
运筹学基础习题二答案运筹学基础习题二答案运筹学是一门研究如何做出最佳决策的学科，它涉及到数学、统计学和计算机科学等领域的知识。
在运筹学的学习过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高分析和解决问题的能力。
下面是一些运筹学基础习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 线性规划问题是一种常见的运筹学问题，它的目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。
解决线性规划问题的方法有很多，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过迭代计算，逐步接近最优解。
具体步骤如下：- 建立线性规划模型，并将其转化为标准形式。
- 初始化基变量和非基变量，并计算初始基可行解。
- 计算当前基可行解对应的目标函数值，并判断是否为最优解。
- 如果当前基可行解不是最优解，则选择一个非基变量作为入基变量，选择一个基变量作为出基变量，并进行迭代计算，直到找到最优解。
2. 整数规划问题是线性规划问题的扩展，它的变量值必须为整数。
解决整数规划问题的方法有很多，其中最常用的是分支定界法。
分支定界法的基本思想是通过将整数规划问题划分为多个子问题，并逐步缩小解空间，最终找到最优解。
具体步骤如下：- 建立整数规划模型，并将其转化为线性规划模型。
- 初始化问题的上界和下界。
- 选择一个变量进行分支，并根据其取值范围划分为两个子问题。
- 对每个子问题进行求解，更新上界和下界。
- 如果上界等于下界，则找到最优解；否则，选择一个子问题进行分支，继续迭代计算，直到找到最优解。
3. 排队论是运筹学的一个重要分支，它研究的是排队系统中的客户到达、等待和服务的过程。
解决排队论问题的方法有很多，其中最常用的是马尔可夫链方法。
马尔可夫链方法的基本思想是通过构建状态转移矩阵，计算系统的稳态分布，从而得到系统的性能指标。
具体步骤如下：- 确定排队系统的基本参数，包括到达率、服务率和系统容量等。
- 根据排队系统的特点，建立马尔可夫链模型。
管理运筹学试题二(含答案)
运筹学试题二
一、用单纯形法求解下述线性规划问题（20分）
⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪0
,824424m ax 2121212121≥≤-≤-≤+-+=x x x x x x x x x x z
二、设一线性规划问题为（25分）
234
700件，且在第二、三周能加班生产。
加班后，每周可增产200件产品，但成本每件增加5元。
产品如不能在本周交货，则每件每周存贮费是3元。
问如何安排生产计划，使总成本最小，要求建立运输问题数学模型求解。
（25分）
四、某高校拟开设文学、艺术、音乐、美术四个学术讲座。
每个讲座每周下午举行一次。
经调查知，每周星期一至星期五不能出席某一讲座的学生数如下表：（20分）
座的学生总数。
试题二答案
()0
1310232>=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=r
6
*=Z
（3） 最优解不满足新增加的约束条件2231≥+-x x ∴最优解要发生改变 将约束条件改写为 22631-=+-x x x
加入最优表中继续迭代。
运筹学课后习题集规范标准答案林齐宁版本北邮出版社
运筹学课后习题集规范标准答案林齐宁版本北邮出版社No .1 线性规划1、某织带⼚⽣产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加⼯⽽(1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最⼤；(2) 如果组织这次⽣产具有⼀次性的投⼊20万元，模型有什么变化？对模型的解是否有影响？解：(1)设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3+(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ??=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i(2)如果组织这次⽣产有⼀次性的投⼊20万元，由于与产品的⽣产量⽆关，故上述模型只需要在⽬标函数中减去⼀个常数20万，因此可知对模型的解没有影响。
2、将下列线性规划化为极⼤化的标准形式解：将约束条件中的第⼀⾏的右端项变为正值，并添加松弛变量x 4，在第⼆⾏添加⼈⼯变量x 5，将第三⾏约束的绝对值号打开，变为两个不等式，分别添加松弛变量x 6, x 7，并令，则有max[-f (x )]= {-2 x 1 -3 x 2 -5()+0 x 4 -M x 5+0 x 6 +0 x 7}±≥≤+-=-+--≥-+++=不限321321321321321 ,0,13|5719|169765..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x fs.t. 0,,,,,,,1355719 13 5571916 9976 5 7654332173321633215332143321≥'''=+''+'-+-=+''-'+-=+''+'-+-=+''-'+--??x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x3、⽤单纯形法解下⾯的线性规划≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.021********* ..352)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 解：在约束⾏1,2,3分别添加x 4, x 5, x 6松弛变量，有初始基础可⾏解和单纯答：最优解为x1 =244.375, x2 =0, x3 =123.125, 剩余变量x6 =847.1875；最优解的⽬标函数值为858.125。
管理运筹学(第四版)第二章习题答案
第二章补充作业习题：用大M 法和两阶段法求解下面LP 问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≥-+=0,3232s.t.42min 21212121x x x x x x x x z解： 标准化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-=----=0,,,3232s.t.42max 432142132121x x x x x x x x x x x x z（1）大M 法引入人工变量65,x x ，得到下面的LP 问题⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+-+-=+------=6,,1,03232s.t.42max 642153216521 j x x x x x x x x x Mx Mx x x z j因为人工变量6x 为4>0，所以原问题没有可行解。
（2）两阶段法：增加人工变量65,x x ，得到辅助LP 问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+-+-=+----=6,,1,03232s.t.max 6421532165 j x x x x x x x x x x x g j初始表因为辅助LP 问题的最优值为4>0，所以原问题没有可行解。
习2.1 解：设1x 为每天生产甲产品的数量，2x 为每天生产乙产品的数量，则数学模型为,5183202..200300max 211212121≥≤≤+≤++=x x x x x x x t s x x z最优解为：()TX 4.8,2.3*=，最优值为：z = 2640。
（1）最优解为：()TX 5.0,5.1*=，最优值为：z = 4.5。
（2）无可行解有无穷多最优解，其中一个为：TX⎪⎭⎫⎝⎛=0,310*1，另一个为：()TX10,0*2=，最优值为：z = 20。
（4）无界解解：A B 资源限额 会议室 1 1 5 桌子 3 2 12 货架 3 6 18 工资2522设1x 为雇佣A 的天数，2x 为雇佣B 的天数，则数学模型为,186312235..2225min 2121212121≥≥+≥+≥++=x x x x x x x x t s x x z最优解为：()TX3,2*=，最优值为：z = 116。
运筹学习题集
A B D
原材料C不少于50%， 原材料P不超过25% 原材料C不少于25%， 原材料P不超过50% 不限
50 35 25
C P H
100 100 60
65 25 35
例4、截料问题
现要做100套钢架，每套用长为2.9米、2.1米和1.5米的圆钢 各一根。已知原材料长7.4米。问：应如何下料，使用的 原材料最省？
例5、投资问题
例6、运输问题
例7、连续加工问题
例8、配套生产问题
例9、基解、基可行解
例10、单纯形法及解的特征
例11、大M法及解的特征
例1、生产安排问题
例2、运力配置问题
某远洋运输公司将从澳大利亚某港运14万吨铁矿石 到日本东京港，现有2艘船可供使用，数据如下 表，问：如何进行运力配置，使总的运输成本最 小？
载重吨（万吨） 甲船 乙船 6.5 3.2
营运成本（万元） 15 9
例3、混合配料问题
某工厂要用三种原材料C、P、H混合调配出三种不 同规格的产品A、B、D，已知产品规格要求和单 价，每天能供应的原材料数量和单价，数据见下 表。问：如何安排生产，使利润最大？
《管理运筹学》第二课后习题答案
《管理运筹学》第⼆课后习题答案《管理运筹学》(第⼆版)课后习题参考答案第1章线性规划(复习思考题)1.什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？答：线性规划(Linear Programming, LP)是运筹学中最成熟的⼀个分⽀，并且是应⽤最⼴泛的⼀个运筹学分⽀。
线性规划属于规划论中的静态规划，是⼀种重要的优化⼯具，能够解决有限资源的最佳分配问题。
建⽴线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、⽬标函数。
决策变量是决策问题待定的量值，取值⼀般为⾮负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策⽅案的可⾏性；⽬标函数是决策者希望实现的⽬标，为决策变量的线性函数表达式，有的⽬标要实现极⼤值，有的则要求极⼩值。
2.求解线性规划问题时可能出现⼏种结果，哪种结果说明建模时有错误？答：(1)唯⼀最优解：只有⼀个最优点；(2)多重最优解：⽆穷多个最优解；(3)⽆界解：可⾏域⽆界，⽬标值⽆限增⼤；(4)没有可⾏解：线性规划问题的可⾏域是空集。
当⽆界解和没有可⾏解时，可能是建模时有错。
3.什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？答：线性规划的标准型是：⽬标函数极⼤化，约束条件为等式，右端常数项b i 0，决策变量满⾜⾮负性。
如果加⼊的这个⾮负变量取值为⾮零的话，则说明该约束限定没有约束⼒，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为⾮零的话，则说明型约束的左边取值⼤于右边规划值，出现剩余量。
4.试述线性规划问题的可⾏解、基础解、基可⾏解、最优解的概念及其相互关系。
答：可⾏解：满⾜约束条件AX b，X 0的解，称为可⾏解。
基可⾏解：满⾜⾮负性约束的基解，称为基可⾏解可⾏基：对应于基可⾏解的基，称为可⾏基。
最优解：使⽬标函数最优的可⾏解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
它们的相互关系如右图所⽰：5.⽤表格单纯形法求解如下线性规划。
8x 1 3X 2 x 32s. t. 6X 1 X 2 X 3 8X i , X 2,X 3 0解：标准化max Z 4X -IX 2 2x 38X 13X 2 X 3X 42s.t.6X 1X 2X 3X 5 8X 1,X 2 ,X 3,X 4,X s列出单纯形表故最优解为X* （0,0,2,0,6）T，即X i 0,X 2 0, X 3 2，此时最优值为 Z （X*）4 .6. 表1 —15中给出了求极⼤化问题的单纯形表，问表中 a 1,a 2,c 1,c 2,d 为何值及变量属于哪⼀类型时有：（1）表中解为唯⼀最优解；（2）表中解为⽆穷多最优解之⼀；（3）下⼀步迭代将以X i 代替基变量X s ；（ 4）该线性规划问题具有⽆界解；（5）该线性规划问题⽆可⾏解。
运筹学第2章答案
即令 C1 ' = 3 + λ
σ 1 = −λ <= 0
1
σ2
=
λ 3
<=
0
σ3 =0
11 σ 1 = − 3 λ − 5 <= 0
13
σ5
=
λ 3
−
5
<=
0
P5=1/3X-3/5<=0
Cj
3
1
4
0
0
Cb
xb
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x4
15
3
-1
0
4
x3
6
3/5
4/5
1
σi
3/5
-11/5
0
x1 入基，min{15/3,3/(3/5)}=5,所以 x4 出基
Cj
3
1
4
Cb
xb
b
x1
x2
x3
3
x1
5
13
-1/3
0
4
x3
3
0
1
1
σi
0
-2
0
因为所有的σ i <=0,所以得到最优解 X=（5，0,3,0,0）T，
32/5
0
0
1
-1/5
8/5
2
x2
3/5
0
1
0
1/5
-3/5
3
18/5
1
0
01/52Fra bibliotek5x1
清华大学胡运权《运筹学习题集》第二版共53页
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
清华大学胡运权《运筹学习题集》第 二版
11、用道德的示范来造就一个人Fra bibliotek显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
2-9章运筹学课后题及答案
第二章决策分析2.1 某公司面对五种自然状态、四种行动方案的收益情况如下表：假定不知道各种自然状态出现的概率，分别用以下五种方法选择最优行动方案：1、最大最小准则2、最大最大准则3、等可能性准则4、乐观系数准则（分别取α=0.6、0.7、0.8、0.9）5、后悔值准则解：1、用最大最小准则决策S4为最优方案；2、用最大最大准则决策S2为最优方案；3、用等可能性准则决策S4为最优方案；4、乐观系数准则决策(1) α=0.6，S1为最优方案；(2) α=0.7，S1为最优方案；(3) α=0.8，S1为最优方案；(4) α=0.9，S2为最优方案；可见，随着乐观系数的改变，其决策的最优方案也会随时改变。
5、用后悔值准则决策S4为最优方案。
2.2 在习题1中，若各种自然状态发生的概率分别为P（N1）=0.1、P（N2）=0.3、P（N3）=0.4、P（N4）=0.2、P（N5）=0.1。
请用期望值准则进行决策。
解：期望值准则决策S1为最优方案。
3.3 市场上销售一种打印有生产日期的保鲜鸡蛋，由于确保鸡蛋是新鲜的，所以要比一般鸡蛋贵些。
商场以35元一箱买进，以50元一箱卖出，按规定要求印有日期的鸡蛋在一周内必须售出，若一周内没有售出就按每箱10元处理给指定的奶牛场。
商场与养鸡场的协议是只要商场能售出多少，养鸡场就供应多少，但只有11箱、12箱、15箱、18箱和20箱五种可执行的计划，每周一进货。
1、编制商场保鲜鸡蛋进货问题的收益表。
2、分别用最大最小准则、最大最大准则、等可能性准则、乐观系数准则（α=0.8）和后悔值准则进行决策。
3、根据商场多年销售这种鸡蛋的报表统计，得到平均每周销售完11箱、12箱、15箱、18箱和20箱这种鸡蛋的概率分别为：0.1、0.2、0.3、0.3、0.1。
请用期望值准则进行决策。
1、收益表2、用各准则模型求解（1）最大最小准则得S5为最优方案；（2）最大最大准则得S1为最优方案；（3）等可能性准则得S4为最优方案；（4）乐观系数（ =0.8）准则得S1为最优方案；（5）后悔值准则得S3为最优方案。
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运筹学习题集二习题一1.1 用法求解下列线性规划问题并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2 (2) max z ＝4x1＋8x2 st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2 (4) max z ＝3x1－2x2 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2 (6) max z ＝3x1＋4x2 st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中找出所有基本解指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2 (2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3 st. x1 ＋x3 ＝4 st. x1 ＋3x3－x4 ＝32x2 ＋x4 ＝12 2x2＋2x3 －x5＝53x1＋2x2 ＋x5 ＝18 xj ≥0 （j＝1, (5)xj ≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用法和单纯形法求解下列线性规划问题并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1 ≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3 (2) max z ＝2x1＋x2＋x3 st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2 ≤4 2x1＋4x2 ≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16xj ≥0 （j＝1,2,3）xj ≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝x1＋x2 (4) max z ＝x1＋2x2＋3x3－x4 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋2x2＋3x3＝154x1＋6x2≥－12 2x1＋x2＋5x3＝202x2≥4 x1＋2x2＋x3＋x4＝10x1, x2≥0 xj ≥0 （j＝1, (4)(5) max z ＝4x1＋6x2 (6) max z ＝5x1＋3x2＋6x3 st. 2x1＋4x2 ≤180 st. x1＋2x2＋x3≤183x1＋2x2 ≤150 2x1＋x2＋3x3≤16x1＋x2＝57 x1＋x2＋x3＝10x2≥22 x1, x2≥0x3无约束x1, x2≥01.5 线性规划问题max z＝CXAX＝bX≥0如X*是该问题的最优解又λ0为某一常数分别讨论下列情况时最优解的变化：（1）目标函数变为max z＝λCX；（2）目标函数变为maxz＝（C＋λ）X；（3）目标函数变为max z＝X约束条件变为AX＝λb。
1.6 下表中给出某求极大化问题的单纯形表问表中a1, a2, c1, c2, d为何值时以及表中变量属于哪一种类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）表中解为退化的可行解；（4）下一步迭代将以x1替换基变量x5 ；（5）该线性规划问题具有无界解；（6）该线性规划问题无可行解。
x1 x2 x3 x4 x5x3 d 4 a1 1 0 0x4 2 －1 －5 0 1 0x5 3 a2 －3 0 0 1cj －zj c1 c2 0 0 01.7 战斗机是一种重要的作战工具但要使战斗机发挥作用必须有足够的驾驶员。
因此生产出来的战斗机除一部分直接用于战斗外需抽一部分用于驾驶员。
已知每年生产的战斗机数量为aj（j＝1,…,n）又每架战斗机每年能出k名驾驶员问应如何分配每年生产出来的战斗机使在n年内生产出来的战斗机为空防作出最大贡献？1.8. 某石油管道公司希望知道在下图所示的管道络中可以流过的最大流量是多少及怎样输送弧上数字是容量限制。
请建立此问题的线性规划模型不必求解。
2 5 4103 111 4 3 656 8 73 51.9. 某昼夜服务的公交线每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下：班次时间所需人数1 6:00-10:00 602 10:00-14:00 703 14:00-18:00 604 18:00-22:00 505 22:00-2:00 206 2:00-6:00 30设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班并连续工作八小时问该公交线至少配备多少名司机和乘务人员。
列出此问题的线性规划模型。
1.10 某班有男生30人女生20人周日去植树。
根据经验一天男生平均每人挖坑20个或栽树30棵或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个或栽树20棵或给15棵树浇水。
问应怎样安排才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型不必求解。
1.11.某糖果用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中A、B、C含量原料成本各种原料的每月限制用量三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
问该每月应生产这三种牌号糖果各多少千克使该获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。
甲乙丙原料成本(/千克) 每月限量（千克）A≥60％≥15％ 2.00 2000B 1.50 2500C ≤20％≤60％≤50％ 1.00 1200加工费（/千克）0.50 0.40 0.30售价 3.40 2.85 2.251.12. 某商店制定7－12月进货售货计划已知商店仓库容量不得超过500件6月底已存货200件以后每月初进货一次假设各月份此商品买进售出单价如下表所示问各月进货售货各多少才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型不必求解。
月份7 8 9 10 11 12买进单价28 24 25 27 23 23售出单价29 24 26 28 22 251.13 .某农场有100公顷土地及15000资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季3500人日春夏季4000人日如劳动力本身用不了时可外出干活春夏季收入为2.1／人日秋冬季收入为1.8／人日。
该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦并饲养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资而饲养动物时每头奶牛投资400每只鸡投资3。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草并占用人工秋冬季为100人日春夏季为50人日年净收入400／每头奶牛。
养鸡时不占土地需人工为每只鸡秋冬季需0.6人日春夏季为0.3人日年净收人为2／每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡牛栏允许最多养32头奶牛。
三种作物每年需要的人工及收人情况如下表所示。
大豆玉米麦子秋冬季需人日数203510春夏季需人日数507540年净收入(／公顷)175300120试决定该农场的经营方案使年净收人为最大。
(建立线性规划模型不需求解)习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4 st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4 ≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3 ＝－4xj ≥0 （j＝1,2,3）x1 －x3＋x4≥1x1x3≥0x2x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3 ≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3 ≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5x1≥0x4≤0x2x3 无约束x1≤0 x2≥0x3 无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CXAX=bX≥0。
分别说明发生下列情况时其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；（4）模型中全部x1用3 代换。
2.3已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2 ＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2xj≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1120）试根据对偶理论直接求出对偶问题的最优解。
2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2xj≥0（j＝1,2,3,4）其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1试根据对偶问题的性质求出原问题的最优解。
2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80xj≥0 （j＝1,2,3）（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。
2.6 已知线性规划问题max z＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8xj≥0（j＝1,2）用单纯形法求得最终表如下表所示：x1x2x3x4bx201—x110—1j=cj-Zj00——试用灵敏度分析的方法分别判断：（1）目标函数系数c1或c2分别在什么范围内变动上述最优解不变；（2）约束条件右端项b1b2当一个保持不变时另一个在什么范围内变化上述最优基保持不变；（3）问题的目标函数变为max z ＝12x1＋4x2时上述最优解的变化；（4）约束条件右端项由变为时上述最优解的变化。
2.7 线性规划问题如下：max z＝—5x1＋5x2＋13x3st. —x1＋x2＋3x3≤20 ①12x1＋4x2＋10x3≤90 ②xj≥0 （j＝1,2,3）先用单纯形法求解然后分析下列各种条件下最优解分别有什么变化？（1）约束条件①的右端常数由20变为30；（2）约束条件②的右端常数由90变为70；（3）目标函数中x3的系数由13变为8；（4）x1的系数列向量由（—112）T变为（05）T；（5）增加一个约束条件③：2x1＋3x2＋5x3≤50；（6）将原约束条件②改变为：10x1＋5x2＋10x3≤100。