最新2.2.1椭圆及其标准方程(第一课时)教学讲义PPT

如果把细绳的两端的距离拉大，那是否还能画出椭圆？
结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0). （1）当2a>2c时，轨迹是 椭圆 ； （2）当2a=2c时，轨迹是以F1、 F2为端点的线段 ； （3）当2a<2c时， 无轨迹 ；
二、基础知识讲解
1.椭圆定义：
• 平面上到两个定点的距离 如图：
y
∵2a>2c>0，即a>c>0，∴a2-c2>0，
P M(x,y)
两边同除以a2(a2-c2)得
①
如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
F1(-c,0) O
F2(c,0) x
可 |P 1 | 得 |P F 2 | a F ,|O 1 | |O F 2 | c , F |PO| a2c2
的和等于定长2a,（大于
|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 M1 F M2 F 2a2c
M
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦
点。
F1
2c F2
• 两焦点之间的距离叫做焦
距（2c）。
y
F1(-c,0) O
M (x,y) 如图所示:F1、F2为两定点，且 |F1F2|=2c，求平面内到两定点
F2(c,0) x F1、F2距离之和为定值2a(2a>2c) 的动点M的轨迹方程。
整a 理 2c 你 能x 得 a 在(图x 中c)2 找 出y2
怎 样 判 断 a ,b ,c大 小 关 系 ？
两边 表示a a4 ，平 2 ca ，2 ca 方 x 2c 2 x 2 c 2 ，得 a 2 x 2 2 ： a 2 c x a 2 c 2 a 2y 2
的线段吗？
整理，得 (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
解：以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴
建立直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。
问题: 求曲线方程的基本步骤？
设（M1（）建x,y系)为设点所;求轨迹上的任意一点，
则（（椭23）圆）写列就出出是条方集件程合；；P={M||MF1|+ |MF2|=2a} 如何化简?
F1
F2
∆F2CD的周长为 20 。 D
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),
并且经过点 ( 5 , 3 ), 求它的标准方程. 22
解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2 y2 a2 b2 1(ab0).
由椭圆的定义知
2 a(5 2 )2 ( 3 )2(5 2 )2 ( 3 )2 210
bx22
1(ab0)
这 里 c2a2b2
思考：方程Ax2+By2=C何时表示椭圆？ 答：A、B、C同号且A、B不相等时。
三、例题分析
例1.已知椭圆方程为 x 2 y 2 1 , 25 16
则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为 (-3,0)、(3,0) ,
2.2.1椭圆及其标准方程(第 一课时)
引例:
若取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它的两端 都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动 笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？
平面内到定点的 距离等于定长的 点的轨迹是圆.
思考: 平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹 又是什么呢？
探究：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上 不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一 周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？
焦距为 6 。
(3)若椭圆方程为 x2 y2 1 , 16 25
其焦点坐标为 (0,3)、(0,-3)
.
例1.已知椭圆方程为
x2
y2
1
,
25 16
(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6，
则点P到右焦点的距离是 4 (5)若CD为过左焦点F1的弦，
；
C
则∆CF1F2的周长为 16 ，
2
22
2
所以 a 10.
又因为 c2,所以 b 2 a 2 c 2 1 0 4 6 .
因此,
所求椭圆的标准方程为
x2
y2
1.
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例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),
并且经过点 ( 5 , 3 ) , 求它的标准方程. 22
解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
令 b|PO | a2c2
那么①式
x2 y2 a2 b2 1
(a>b>0)
2.椭圆的标准方程 y
M
F1
O
F2
x
y
F2
O F1
M
x
焦 F 1 ( 点 c,0 )F ,2(c,0 )
x2 a2
y2 b2
1(ab0)
这 里 c2a2b2
焦 F 1 (0 点 , c )F ,2 (0 ,c )
y2 a2
2.方程 x2 y2 1表示的曲线是椭圆，求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4
变式：
（1）方程
x2 y2
1表示焦点在y轴上的椭圆，求k的
5 4k
取值范围. k>5/4
（2）方程 x2 y2 1表示焦点坐标为（±2，0）的椭圆， 5 4k
x2 y2 a2 b2 1(ab0). 又 焦点的坐 (2标 ,0)(,2分 ,0) 别 c2是
a2b24 ①
求椭圆标准方程的解题步骤：
又 由(已 a5 2)22知 (b2 32)2（（21））1设确出定椭焦圆点②的的标位准置方；程；
联立①②,
解 （a 3得 2 ） 用1待， 定0b 系2数法6确定a、b的值，
即 （4(）x 化c 简)2 方 程y ；2(x c )2 y 2 2 a
（5）下结论。
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2
(x c )2 y 2 2 a (x c )2 y 2
则 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
因此, 所求椭圆的标准方程写为出椭x2圆的y标2 准 1方.程.
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四、针对性训练
（一）补充练习 1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10，则 动点P的轨迹为（ A ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
变式：
(1)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则 动点P的轨迹为（ B ） (2)动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是7，则 动点P的轨迹为（ D ）