第4讲 几何作图
2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第七章图形变化第一节几何作图
大于
AB
⑧
为半径在
⑩ 大于AB 长为半径
直线同侧作弧,两弧交于
作弧,两弧交于点N；
点M；
Ⅳ)连接PN,直线PN即为所求垂线
Ⅲ)连接MP,直线MP即为所求垂线
已知一直角边和斜边作直角三角形
作三角形的高线
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2.两个延伸尺规作图(2022版课标新增内容)
作图
过直线外
一点作这
条直线的
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第七章
第一节
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图形变化
几何作图
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1.五种基本尺规作图
Ⅰ)作射线OP；
作法及
Ⅱ)以点O为圆心,a为半径作弧,
图示
交OP于点A,OA即为所求线段
作一条
线段等
于已知
线段
(1)已知三边作三角形
应
用
(2)作圆内接正六边形
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计算面积
面积
利用扇形面积公式计算即可
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1.如图,点C,D分别是线段AB上两点(CD>AC,CD>BD),用圆规在线段CD上截取
CE＝AC,DF＝BD,若点E与点F恰好重合,AB＝9,则CD长为( B )
A.4
B.4.5
C.5
D.5.5
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平行线
*过圆外一
点作圆
的切线
已知
作法及原理
同位角相等,两 菱形对边平行
北师大版八年级(下)数学第4讲：角平分线(教师版)——王琪
角平分线一、角平分线的性质定理1. 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；2. 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。
二、角平分线的判定定理在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线。
三、关于三角形三条角平分线的定理1. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题。
2. 三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部，这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）。
1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C．故选C．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠C的平分线与∠B的外角的平分线交于E点，则∠AEB是（）A．50° B．45° C．40° D．35°解：∵E在∠C的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AC的距离，∵E在∠B的外角的平分线上，∴E点到CB的距离等于E到AB的距离，∴E点到AC的距离等于E到AB的距离，∴AE是∠A的外角的平分线．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，，∵EB是∠B的外角的平分线，∴∠ABE=60°，∴∠AEB=180°﹣60°﹣75°=45°．故选B．3．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（）A．2 B．3 C．D．4解：作PE⊥OA于E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故选：A．4．如图，OP是∠AOB的平分线，点P到OA的距离为3，点N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围为（）A．PN＜3 B．PN＞3 C．PN≥3 D．PN≤3解：作PM⊥OB于M，∵OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PM⊥OB，∴PM=PE=3，∴PN≥3，故选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE=5cm，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°．6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若AC=5，BC=12．求点D 到AB的距离．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC=5，BC=12，∴AB==13，∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，∴CD=DE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（HL），∴AE=AC=5，BE=AB﹣AE=13﹣5=8，设DE=x，则BD=12﹣x，在Rt△BDE中，DE2+BE2=BD2，∴x2+82=（12﹣x）2，解得x=．答：点D到AB的距离是．7．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DC=DE；∴BD+DE=BD+CD=BC；∵AC2=AD2﹣CD2，AE2=AD2﹣DE2，∴AC=AE，而AC=BC，∴BC=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB，即△DBE的周长等于AB．8．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA．证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，∴AM=BM，在Rt△AOM和Rt△BOM中，，∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE=BF．证明：∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2，∵DE⊥AC，∠ABC=90°∴DE=BD，∠3=∠4，∵BF∥DE，∴∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴BD=BF，∴DE=BF．基础演练1．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点 B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故选D．2．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A．B．2 C．3 D．2解：过点P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PB=PA=3，∴PQ的最小值为3．故选：C．3．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，∴∠AOP=AOB=30°，∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，∴OP=2OM=8，∴PD=OP=4，∵点C是OB上一个动点，∴PC的最小值为P到OB距离，∴PC的最小值=PD=4．故选C．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE=1cm，BE=cm，则BC 等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．（+1）cm解：∵DE=1cm，BE=cm，∴BD==2cm，∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=1cm，∴BC=CD+BD=3cm，故选：C．5．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长．∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB×DE+AC×DF∴S△ABC=（AB+AC）×DE即×（16+12）×DE=28，故DE=2（cm）．巩固提高6．（1）求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．（2）如图，AD是△ABC的角平分线，求证：=．解：已知：OC平分∠AOB，点P为OC上任一点，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．求证：PE=PF证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POE=∠POF，∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴∠PEO=∠PFO=90°，在△PEO和△PFO中，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴PE=PF，∴角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）如图，过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴，又∵AD是角平分线，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=．7．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA平分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB=∠AOE，同理求出∠COD=∠COE，∴∠AOC=∠AOE+∠COE=×180°=90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE，同理可得CD=CE，∵AC=AE+CE，∴AB+CD=AC．8．如图：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，AB=10，AC=6，求D到AB的距离．解：作DE⊥AB，垂足为E，DE即为D到AB的距离．又∵∠C=90°，AD平分∠CAB，∴DE=DC在△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，AC=6，∴BC=8，设CD=x，则DE=CD=x，BD=8﹣x．在Rt△ACD与Rt△AED中，∵，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE=AC=6，∴BE=4，在Rt△BED中，∵DE2+EB2=DB2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3．∴D到AB的距离是3．1．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB 的距离为（）A．18 B．16 C．14 D．12解：∵BC=32，BD：DC=9：7 ∴CD=14∵∠C=90°，AD平分∠BAC ∴D到边AB的距离=CD=14．故选C．2．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．A、OE是∠AOB的平分线，A正确；B、OC=OD，B正确；C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；D、∠AOE=∠BOE，D正确．故选C．3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（）A．48 B．50 C．54 D．60解：作DE⊥AB于E，∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4，∴△ABC的面积为：×AC×DC+×AB×DE=54，故选：C．4．如图，OP平分∠MON，PA⊥OA于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的值为（）A．1 B．2 C．大于2 D．不小于2解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=2，∴点P到OM的距离等于2，而点Q是射线OM上的一个动点，∴PQ≥2．故选D．5．如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB．证明：∵P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，在Rt△PAO和Rt△PBO中，，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），∴OA=OB，∵OP平分∠AOB，∴OP垂直平分AB（三线合一）．6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=6，AC=4，若S△ABD=9，求S△ACD．解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵S△ABD=9，AB=6，∴DE=3，∴DF=3，∵AC=4，∴S△ACD=AC•DF=6，故答案为：6．1．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB 的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对解：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，又AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，∴CD=ED，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，又AC=BC，∴AC=AE=BC，又AB=6cm，∴△DEB的周长=DB+BE+ED=DB+CD+BE=BC+BE=AE+EB=AB=6cm．故选A．2．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ≤5解：∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5则P到OB的距离为5因为Q是OB上任一点，则PQ≥5故选B．3．如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，连接DE，四边形ABCD的面积为12cm2．若BE平分∠ABC，则四边形ABED的面积为（）A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，∴AE=EC，∴S△ABE=S△ABC，S△ADE=S△ADC，∴四边形ABED的面积=×四边形ABCD的面积=6cm2，故选：B．4．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE=DF=2．∴S△ACD=AC•DF=×3×2=3，故选A．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．6．如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∠BOC=30°，求∠AOB的度数．解：∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN，∴P在∠AOB的角平分线上，∴∠AOB=2∠BOC=2×30°=60°．7．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）若△ABC面积是40cm2，AB=12cm，AC=8cm，求DE的长．（2）求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC．（1）解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵△ABC面积是40cm2，AB=12cm，AC=8cm，∴40=×12×DE+×8×DF，DE=DF=4（cm）．（2）证明：∴S△ABD=×AB×DE，S△ACD=×AC×DF，DE=DF，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，若AC=12，AD=8，求点D到AB的距离．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵CA=12，AD=8，∴CD=CA﹣AD=12﹣8=4，∵BD是∠ABC的平分线，∴DE=CD=4，故D到AB的距离是4．9．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．求证：AD是△ABC的角平分线．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．。
第4讲实验二探究力的平行四边形定则
第4讲实验二探究力的平行四边形定则第一课时误差分析本实验的误差除弹簧测力计本身的误差外，还主要来源于以下两个方面：1．读数误差：减小读数误差的方法：弹簧测力计数据在允许的情况下，尽量一些．读数时眼睛一定要正视，要按有效数字正确读数和记录．2．作图误差：减小作图误差的方法：作图时两力的对边一定要平行，两个分力F1、F2间的夹角越大，用平行四边形作出的合力F的误差ΔF就越，所以实验中不要把F1、F2间的夹角取得太．,注意事项：1．位置不变：在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点的位置一定要．2．角度合适：用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角不宜太，也不宜太，以60°～120°之间为宜．3．尽量减少误差(1)在合力不超出量程及在橡皮条弹性限度内形变应尽量一些．(2)细绳套应适当一些，便于确定力的方向．4．统一标度：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍一些.热点对实验原理及实验过程的考查【典例1】在“验证力的平行四边形定则”实验中，需要将橡皮条的一端固定在水平木板上，先用一个弹簧秤拉橡皮条的另一端到某一点并记下该点的位置；再将橡皮条的另一端系两根细绳，细绳的另一端都有绳套，用两个弹簧秤分别勾住绳套，并互成角度地拉橡皮条．(1)(多选)某同学认为在此过程中必须注意以下几项：A．两根细绳必须等长B．橡皮条应与两绳夹角的平分线在同一直线上C．在使用弹簧秤时要注意使弹簧秤与木板平面平行D．在用两个弹簧秤同时拉细绳时要注意使两个弹簧秤的读数相等E．在用两个弹簧秤同时拉细绳时必须将橡皮条的另一端拉到用一个弹簧秤拉时记下的位置其中正确的是________(填入相应的字母)．(2)“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图2－4－1甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳．图乙是在白纸上根据实验结果画出的力的示意图．①图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是______．②(单选)本实验采用的科学方法是________．A．理想实验法B．等效替代法C．控制变量法D．建立物理模型法图2－4－1 (3)(多选)某同学在坐标纸上画出了如图2－4－2所示的两个已知力F1和F2，图中小正方形的边长表示2 N，两力的合力用F表示，F1、F2与F的夹角分别为θ1和θ2，关于F1、F2与F、θ1和θ2关系正确的有________．A．F1＝4 N B．F＝12 NC．θ1＝45°D．θ1<θ2 图2－4－21．实验过程应注意(1)结点O：①定位O点时要力求准确．②同一次实验中橡皮条拉长后的O点必须保持．(2)拉力：①用弹簧秤测拉力时要使拉力沿弹簧秤轴线方向．②应尽量使橡皮条、弹簧秤和细绳套位于与纸面平行的同一内．③两个分力F1、F2间的夹角θ不要太大或太小．(3)作图①在同一次实验中，选定的比例要相同．②严格按力的图示要求和几何作图法作出平行四边形，求出合力．2．操作不忘“三”“二”“一”用两个弹簧秤拉橡皮条时的“三记录”(记录两弹簧秤示数、两细绳方向和结点O的位置)，用一个弹簧秤拉橡皮条时的“二记录”(记录弹簧秤示数和细绳方向)及“一注意”(结点O的位置必须在同一位置)等．【变式跟踪1】(2013·海口模拟)将橡皮筋的一端固定在A点，另一端拴上两根细绳，每根细绳分别连着一个量程为5 N、最小刻度为0.1 N的弹簧测力计，沿着两个不同的方向拉弹簧测力计，当橡皮筋的活动端拉到O点时，两根细绳相互垂直，如图2－4－3所示．这时弹簧测力计的读数可从图中读出．图2－4－3图2－4－4(1)由图可读得两个相互垂直的拉力的大小分别为______ N和______ N.(2)在如图2－4－4所示的方格纸上按作图法的要求画出这两个力及它们的合力．答案(1)2.50 4.00(2)见解析图深刻理解实验原理，实现实验方法的迁移实验原理是实验的核心和灵魂，实验方法、实验步骤、仪器的选择、数据的处理等一切实验的问题都是围绕实验原理展开的，深刻理解实验原理是形成设计实验的能力的基础．只要弄懂了实验原理，实验操作过程中的一些规定、注意事项就变成了易于理解掌握的知识，完成相同的实验，可以有不同的实验方法．如可以用三个共点力平衡的装置来验证平行四边形定则．【典例2】(2011·江苏卷，10)某同学用如图2－4－5所示的实验装置来验证“力的平行四边形定则”．弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M.弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置．分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向．(1)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为______N.(2)(单选)下列不必要的实验要求是_____．(请填写选项前对应的字母)A．应测量重物M所受的重力B．弹簧测力计应在使用前校零C．拉线方向应与木板平面平行D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置图2－4－5 (3)某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请您提出两个解决办法．答案(1)3.6(2)D(3)①减小弹簧测力计B的拉力；②减小重物M的质量(或将A更换成较大量程的弹簧测力计、改变弹簧测力计B拉力的方向等)．【变式跟踪2】(多选)有同学利用如图2－4－6所示的装置来验证力的平行四边形定则：在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重量相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力F1、F2和F3，回答下列问题：(1)(多选)改变钩码个数，实验能完成的是()．A．钩码的个数N1＝N2＝2，N3＝4B．钩码的个数N1＝N3＝3，N2＝4C．钩码的个数N1＝N2＝N3＝4D．钩码的个数N1＝3，N2＝4，N3＝5 图2－4－6(2)(单选)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是()．A．标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向D．用天平测出钩码的质量B．量出OA、OB、OC三段绳子的长度C．用量角器量出三段绳子之间的夹角(3)在作图时，你认为图2－4－7中________是正确的．(填“甲”或“乙”)图2－4－7答案(1)BCD(2)A(3)甲1．在探究求合力的方法时，先将橡皮条的一端固定在水平木板上，另一端系上带有绳套的两根细绳．实验时，需要两次拉伸橡皮条，一次是通过两细绳用两个弹簧秤互成角度地拉橡皮条，另一次是用一个弹簧秤通过细绳拉橡皮条．(1)(多选)实验对两次拉伸橡皮条的要求中，下列哪些说法是正确的________(填字母代号)．A ．将橡皮条拉伸相同长度即可B ．将橡皮条沿相同方向拉到相同长度C ．将弹簧秤都拉伸到相同刻度D ．将橡皮条和绳的结点拉到相同位置(2)(单选)同学们在操作过程中有如下议论，其中对减小实验误差有益的说法是________(填字母代号)．A ．两细绳必须等长B ．弹簧秤、细绳、橡皮条都应与木板平行C ．用两弹簧秤同时拉细绳时两弹簧秤示数之差应尽可能大D ．拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要近些答案 (1)BD (2)B2．在“探究共点力合成规律”的实验中，某同学经历了以下实验步骤：A ．在白纸上按比例做出两个力F1和F2的图示，根据平行四边形定则作图求出合力F ；B ．只用一个测力计，通过细绳把橡皮筋拉同样长度；C ．记下两个测力计F1和F2的读数，并且记录它们的方向；D ．在水平放置的木板上，垫一张白纸，把橡皮筋的一端固定在板上P点，用两条细绳连接在橡皮筋的另一端，通过细绳同时用两个测力计互成角度地拉橡皮筋，使橡皮筋与细绳的连接点到达某一位置O ，并记下此位置，如图2－4－8所示； E ．记下测力计的读数F′和细绳方向，按同一比例作出这个力的图示，比较这个实测合力F′和按平行四边形定则求出的合力F ，看它们的大小和方向是否相近；F ．用刻度尺测量出P 、O 之间的距离并记录；G ．改变两测力计拉力的大小和方向，多次重复实验，从实验得出结论．(1)上述实验步骤有明显的错误，这个步骤是________(填选项前的字母)；正确的操作应为________．(2)上述实验步骤中有一步骤是多余的，这个步骤是________(填选项前的字母)；图2－4－8(3)将以上实验步骤按正确顺序排列，应为________(填选项前的字母)．答案(1)B只用一个测力计，通过细绳把橡皮筋拉到O点(2)F(3)DCABEG3．用等效代替法验证力的平行四边形定则的实验情况如图2－4－9甲所示，其中A为固定橡皮筋的图钉，O为橡皮筋与细绳的结点，OB和OC为细绳，图乙是白纸上根据实验结果画出的图．图2－4－9(1)本实验中“等效代替”的含义是________．A．橡皮筋可以用细绳替代B．左侧弹簧测力计的作用效果可以替代右侧弹簧测力计的作用效果C．右侧弹簧测力计的作用效果可以替代左侧弹簧测力计的作用效果D．两弹簧测力计共同作用的效果可以用一个弹簧测力计的作用效果替代(2)图乙中的F与F′两力中，方向一定沿着AO方向的是________，图中________是F1、F2合力的理论值，______是合力的实验值．(3)(多选)完成该实验的下列措施中，能够减小实验误差的是________．A．拉橡皮筋的绳细一些且长一些B．拉橡皮筋时，弹簧秤、橡皮筋、细绳应贴近木板且与木板面平行C．拉橡皮筋的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些D．使拉力F1和F2的夹角很小答案(1)D(2)F′F F′(3)ABC4．在“探究求合力的方法”实验中，现有木板、白纸、图钉、橡皮筋、细绳套和一把弹簧秤．(1)为完成实验，某同学另找来一根弹簧，先测量其劲度系数，得到的实验数据如下表：根据表中数据在图2－4－10中作出F －x 图象并求得该弹簧的劲度系数k ＝________N/m ；图2－4－10(2)某次实验中，弹簧秤的指针位置如图2－4－11所示，其读数为________N ；同时利用(1)中结果获得弹簧上的弹力值为2.50 N ，请在下列虚线框中画出这两个共点力的合力F 合；(3)由图得到F 合＝________N.答案 (1)见解析图 53(说明：±2范围内都可)(2)2.10(说明：有效数字位数正确，±0.02范围内都可) 见解析图 (3)3.3(说明：±0.02范围内都可)5．甲、乙、丙三位同学做“互成角度的两个力的合成”实验，所用弹簧测力计的量程为0～5 N ，他们都把橡皮条的一端固定在木板上的A 点，橡皮条的另一端通过细绳连接弹簧测力计，用两个弹簧测力计把橡皮条的另一端拉到某一确定的O 点，如图2－4－12所示，此时细绳都与平板平行，用F1和F2表示拉力的方向和大小．甲同学：F1和F2的方向互相垂直，F1＝3.0 N 、F2＝3.8 N ；乙同学：F1和F2方向间的夹角约为30°，F1＝F2＝4.0 N ；丙同学：F1和F2方向间的夹角约为120°，F1＝F2＝4.0 N ．这三位同学中操作不正确的是哪一位？并说明原因．图2－4－11图2－4－12解析甲同学：F1和F2的方向互相垂直，其合力大小小于5 N，小于弹簧测力计的最大测量值；乙同学：F1和F2方向间的夹角约为30°，其合力大小大于5 N，超过了弹簧测力计的最大测量值；丙同学：F1和F2方向间的夹角约为120°，其合力大小小于5 N，小于弹簧测力计的最大测量值；这三位同学中操作不正确的是乙同学．答案操作不正确的是乙同学，因为他这两个力的合力超过了弹簧测力计刻度的最大值5 N，之后再用一个弹簧测力计拉橡皮条时拉不到O点.。
《几何作图方法》PPT课件
第三节 几何作图方法
根据已知条件画出所需要的平面图形的过程 称为几何作图。几何作图是绘制各种平面图形
的基础，也是绘制各种工程图样的基础。
在制图过程中，经常会遇到线段的等分、正 多边形的画法、圆弧连接、椭圆画法等几何作 图问题，因此，掌握几何作图的基本方法可以
提高工程制图的速度和准确度。
圆弧连接的实质是圆弧与圆弧，或圆弧与 直线间的相切关系。
圆弧连接的作图，主要就是求连接圆弧的圆 心和切点。
（1）与已知直线相切
o
o
o
连接圆弧 圆心轨迹
R
t
切点
已知直线
连接圆弧的圆心轨迹在一条与已知直线平行，距离为R（连
接圆弧的半径）的直线上。
切点为由连接圆弧的圆心向已知直线所作垂线的垂足。
（2）与已知圆弧相切—外切
一.等分线段
1.平行线法
利用相似三角形的平行截割定理作图。 例：将已知线段ＡＢ五等分。
A
B
AAA
BBB AAA
BBB AAA 1′1′12′′2′23′′3′34′′4′4′BBB
CCC
112123234345455CCC
112123234345455CCC
2.分规试分法
例：若将已知线段AB三等分，其作图方法和步聚如下:
2.分别连OO1．OO2,交得切点T1,T2; 3.以O为圆心,R为半径画弧,即得所求。
1.分别以O1．O2为圆心,R-R1．R-R2 为半径画弧,交得连接弧圆心O;
2.分别连OO1．OO2并延长交得切点 T1．T2
3.以O为圆心,R为半径画弧,即得所求 。
R+R1 R
R-R2
O
常用几何图形的画法
【课题名称】
第一章制图的基本知识和技能第三节常用几何图形的画法
【教材版本】
柳燕君主编．中等职业教育国家规划教材—机械制图（多学时）．北京：高等教育出版社，2010
【教学目标与要求】
一、知识目标
掌握圆等分方法，斜度、锥度画法与标注，了解椭圆画法，掌握平面图形的线段分析与绘图步骤。
二、能力目标
1．通过学习与练习，能自如地运用常用的绘图工具；
2．能正确规范绘制平面图形。
三、素质目标
正确熟练地运用常用的绘图工具绘制较复杂的平面图形。
四、教学要求
了解并掌握用常用的绘图工具绘制制较复杂的平面图形。
【教学重点】
定位块平面图形绘制。
【难点分析】
斜度、锥度画法及平面图形线段分析。
【分析学生】
1．部分绘图工具，学生在学几何时已会使用。
2．运用常用的绘图工具，从学习一开始要注意正确的方法，并通过不断练习达到运用自如。
3．学习时学生可能会认为简单易学，产生马虎现象。
要引导学生正确运用绘图工具的方法，通过练习熟练地绘制图线。
【教学设计思路】
教学方法：讲练法、演示法、归纳法。
【教学资源】
机械制图网络课程，圆规、三角板、直尺、图板、丁字尺、曲线板。
【教学安排】
11 学时
教学步骤：讲课与演示交叉进行，讲课与练习交叉进行，最后进行归纳。
【教学过程】
新授课教案
新授课教案
新授课教案
新授课教案
新授课教案
作图训练课教案。
2023年中考数学一轮复习讲义：几何初步与尺规作图
2023年中考复习讲义几何初步与尺规作图第一部分：知识点精准记忆一、直线、射线、线段1．直线的性质：1）两条直线相交，只有一个交点；2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质：1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角：有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角：在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、相交线1．三线八角1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：2．垂直1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．四、平行线1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定1）同位角相等，两直线平行．2）内错角相等，两直线平行．3）同旁内角互补，两直线平行．4）平行于同一直线的两直线互相平行．5）垂直于同一直线的两直线互相平行． 3．平行线的性质1）两直线平行，同位角相等．2）两直线平行，内错角相等．3）两直线平行，同旁内角互补． 4．平行线间的距离1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．五、五种基本作图：1.作一条线段等于已知线段。
三角形的尺规作图
本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种 基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形 的性质和基本作图方法. 解决此类题目的关键是熟悉基 本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂 作图拆解成基本作图.
感悟新知
1.尺规作图的画图工具是( D ) A．刻度尺、圆规 B．三角板和量角器 C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规
感悟新知
作法：第一步：作线段AB等于c.
知2－练
第二步：以点A为圆心，b为半径画弧.
感悟新知
第三步：以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点知C2－. 练
第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.
感悟新知
总结
知2－讲
由三角形全等的判定可以知道，每一种判定两个三 角形全等的条件(SSS，SAS，ASA，AAS)都只能作出 唯一的三角形．
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从 左向右上升，y随着x的增大而增大；
特别解读 1. 作图依据：全等三角形的判定方法“SSS”. 2. 作图思路：三次运用“作一条线段等于已知线段”
这一基本作图方法.
感悟新知
知1－练
例 1 【中考·漳州】下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上 的高的是( B )
分析：过点Ａ作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求.
感悟新知
总结
知1－讲
如图所示(见下页)，在直角坐标系中描出以表中的
初中尺规作图详细讲解(含图)
初中数学尺规作图讲解初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形,因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种。
限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。
最简单的尺规作图有如下三条：⑴经过两已知点可以画一条直线；⑵已知圆心和半径可以作一圆;⑶两已知直线;一已知直线和一已知圆；或两已知圆,如果相交,可以求出交点；以上三条，叫做作图公法。
用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点。
一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。
历史上，最著名的尺规作图不能问题是：⑴三等分角问题：三等分一个任意角；⑵倍立方问题:作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍;⑶化圆为方问题：作一个正方形,使它的面积等于已知圆的面积.这三个问题后被称为“几何作图三大问题"。
直至1837年,万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π（即当圆半径1r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。
数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴正多边形作法·只使用直尺和圆规，作正五边形.·只使用直尺和圆规,作正六边形。
第二章 第4讲 实验二 探究力的平行四边形定则
钩码个数读出三根绳子的拉力F1、F2和
F3，回答下列问题： (1)(多选)改变钩码个数，实验能完成的是 A．钩码的个数N1＝N2＝2，N3＝4 B．钩码的个数N1＝N3＝3，N2＝4 C．钩码的个数N1＝N2＝N3＝4
图2-4-6
( )．
D．钩码的个数N1＝3，N2＝4，N3＝5
基本实验要求 实验热点聚焦 拓展创新实验
用F表示，F1、F2与F的夹角分别为θ1和θ2，关于F1、F2与
F、θ1和θ2关系正确的有________．
基本实验要求 实验热点聚焦 拓展创新实验
图2-4-2 A．F1＝4 N B．F＝12 N C．θ1＝45° D．θ1<θ2 解析 (1)两细绳套不要太短，但是不一定要等长，选项A错 误；橡皮条与两绳夹角的平分线是否在同一直线上，由两分 力的大小和方向决定，选项B错误；用弹簧秤拉细绳套时，弹 簧秤与木板平面必须平行，选项C正确；验证力的平行四边形 定则实验中，测量分力大小的两个弹簧秤的读数不一定要相 等，选项D错误；在同一次实验中，需要保持F1和F2的作用效 果与合力F的作用效果相同，即拉到同一位置，所以选项E正 确，答案为C、E.
图2-4-7
基本实验要求 实验热点聚焦 拓展创新实验
解析 (2)A 答案
(1)实验中的分力与合力的关系必须满足：|F1－ (3)甲 实验中F3是竖直向下的． (2)A (3)甲
F2|≤F3≤F1＋F2，因此B、C、D选项是可以的．
(1)BCD
基本实验要求
实验热点聚焦
拓展创新实验
预测高考命题视角
以本实验为背景，通过改变实验条件、实验仪器设置题 目，不脱离教材而又不拘泥教材，体现拓展性、开放
基本实验要求 实验热点聚焦 拓展创新实验
第四讲《光学》--几何光学的基本原理
14
例1、一个点状物体放在离凹球面镜前0.05m 处，凹球面镜的曲率半径为0.20m，试确定像 的位置和性质（虚像，实像）。
解：若光线自左向右进行，这时 • • 由近轴物像公式式： • •
• 所成的是在凹面镜后0.10m处的一个虚像。
15
例1、一个点状物体放在离凹球面镜前0.05m 处，凹球面镜的曲率半径为0.20m，试确定像 的位置和性质。
n' f ' r n ' n
n ' n n ' f' r
O
F
C
n
n’
r
f’
22
F’
-f
n ' n n ' n s' s r 五、近轴光线条件下球面折射的物像公式
物方焦点F : 与光轴上无穷远处像点对应的物点 物方焦距f ：与物方焦点对应的物距。 物方焦平面：过F点垂直于光轴的平面。 物方焦距：
1 2 1 2
n '[(r )2 (s r )2 2(r )(s r ) cos ]
17
四、球面折射对光束单心性的破坏
Fermat原理
n n 1 ns ns ( ) l l r l l
s 随 而变，光束的单心性被破坏。
五、近轴光线条件下球面折射的物像公式 在近轴条件下，值很小
对于r一定的球面，只有一个s’与s对应，即存 在一个确定的像点，这个像点是一个理想的像 点---高斯像点
C
o
13
三、近轴光线条件下球面反射的物像公式
当
s ,
r 得 s ' f ; 2
凹面镜 r 0, 凸面镜 r 0,
f 0; f 0.
专题教材-第4讲：平移专题-讲义
平移专题1、掌握平移的定义、性质，以及图形平移后线段和角的计算；2、能运用平移的方法探索并发现简单图形覆盖现象中的规律；1、运用平移的知识作图探索规律。
2、方案设计题和几何代数综合题。
1.平移的概念:在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小.2.图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据.3.平移的基本性质:经过平移，对应点所连的线段平行且相等(或在同一直线上)，即对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等.类型一：平移线段例AB=,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有检测2、在等腰三角形ABC中,AC=.求BAC∠的度数.AD==DECEBC题目中出现相等不相邻的线段，可以选择平移构造平行四边形，进而通过全等解决问题。
类型二：缩、倍平移线段例例3、如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC及AB的中点，射线FE与AD 及BC的延长线分别交于点H及G．试猜想∠AHF与∠BGF的关系，并给出证明．检测2、在△ABC中，D是△ABC的BC边上的中点，F是AD的中点，BF的延长线交AC于点E．求证：AE=CE．求角度相等，考虑全等或者等腰。
类型三：平移图形例4、在△ABC中，∠ABC=90°，D为平面内一动点，AD=a，AC=b，其中a，b为常数，且a＜b．将△ABD沿射线BC方向平移，得到△FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E．连接BE．（1）如图1，若D在△ABC内部，请在图1中画出△FCE；（2）在（1）的条件下，若AD⊥BE，求BE的长（用含a，b的式子表示）；（3）若∠BAC=α，当线段BE的长度最大时，则∠BAD的大小为；当线段BE 的长度最小时，则∠BAD的大小为（用含α的式子表示）．例5、如图，已知△ABC．（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连接AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC＞AD+AE．检测1、如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD 中，3=AB ，︒=∠45BAD ，按步骤进行裁剪和拼图。
四年级下册第四讲《图形与几何》期末专项训练
第四节：图形与几何专项复习三视图的认识【例1】观察物体分别画出从正面、上面、和左面看到物体的形状。
思路引导从正面看共两层，从下往上第一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，靠左对齐。
从上面看共两排，从下往上第一排有2个小正方形，第二排有1个小正方形，靠右对齐；从左面看共两层，从下往上第一层有2个小正方形，第二层有1个小正方形，靠右对齐，据此作图即可。
正确解答：这个物体从正面、上面、和左面看到的形状如下图所示：本题主要考查学生的方位感和空间想象力，观察哪个方位的平面图就假设自己站在那个方位。
【变式1】观察物体，连一连。
【例2】你说我搭。
（1）有（）种搭法。
（2）请你分别画出两种搭法从正面和右面看到的图形。
思路引导（1）总共有4个正方体，从上面看到是，说明下层有3个正方体，第二层有1个正方体，上层正方体可以放在下层任意一个正方体的上方，有3个位置可以放，所以总共有3种搭法。
（2）根据所搭的几何体，从正面、右面进行观察，判断出看到的形状由几个小正方形组成，以及每个小正方形的位置，然后画出图形即可。
正确解答：（1）有（3）种搭法。
（2）本题先要确定下层正方体的个数及摆放位置，再确定上层正方体的个数及位置，然后根据要求解答。
【变式2】在下面的立体图形中添上1个小正方体，使其从上面看到的形状不变，符合要求的是（）。
A. B. C.三角形的特性【例3】说一说三角形有几条边，几个角，几个顶点。
（1）画一画：请你利用手中的三角板，画一个三角形。
（2）说一说：再跟同桌交流一下你是怎样画这个三角形的？（3）判一判：那么这两个图形是三角形吗？为什么？（4）看一看：三角形有几条边，几个角，几个顶点。
（5）议一议：什么样的图形叫三角形？思路引导由平面上不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形；三角形有三条边，三个顶点，三个角；在平面上任意画三个点（这三个点不在同一条直线上），用线段把每两个点连接起来就围成了一个三角形。
第4讲 基本平面图形(有答案)
第四讲图形的初步认识丰富的图形世界：一、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
二、点、线、面、体几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
点动成线，线动成面，面动成体。
点、线、面、体都是几何图形。
任何一个几何体都由点、线、面构成，点无大小，线有曲直而无粗细，平面是无限延伸的，面有平面和曲面，面面相交得线，线线相交得点。
三、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
棱柱的所有侧棱长都相等。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共(n+2)个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
面：棱柱的上、下底面相同。
侧面都是长方形，棱柱的名称与底面多边形的边数有关。
将一个图形折叠后能否变成棱柱，一要看有无两个底面，二要看底面的形状，三要看两个底面的位置。
（要学会自己总结规律。
）四、 正方体的平面展开图：11种一个正方体的表面沿某些棱剪开，可得到十一种不同的平面图形，这些平面图形经过折叠后又能围成一个正方体，圆柱和圆锥的侧面展开图分别是长方形和扇形。
任何一个立体图形的表面沿某些棱剪开都可以得到不同的平面图形，必须提高自己的空间想象力。
五、 截一个几何体用一个平面去截一个正方体，若这个平面与这个正方体的几个面相交，则截面就是几边形，依次得到三角形、四边形、五边形、六边形，不可能得到七边形。
用一个平面去截一个几何体，平面截的位置不同，所得的截面也不同，常见的截面是一个多边形或圆。
截正方体截圆柱体截圆锥体 截球体一四一型6种二三一型3种二二二型1种三三型 1种六、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
中考数学专题训练第4讲几何初步、相交线、平行线(知识点梳理)
几何初步、相交线、平行线知识点梳理考点01 几何图形一、几何图形（一）几何图形的概念和分类1.定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.2.几何图形的分类：立体图形和平面图形。
（1）立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，例如：长方体、圆柱、圆锥、球等。
立体图形按形状可分为：球、柱体（圆柱、棱柱）、椎体（圆锥、棱锥）、台体（圆台、棱台）.按围成立体图形的面是平面或曲面可以分为：多面体（有平面围成的立体图形）、曲面体（围成立体图形中的面中有曲面）。
（2）平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、圆、四边形等）的各部分都在同一平面内，称为平面图形.常见的平面图形有圆和多边形（三角形、四边形、五边形、六边形等）。
（二）从不同方向看立体图形：从正面看：正视图.从左面看：侧视图.从上面看：俯视图。
（三）立体图形的展开图：1.有些立体图形是由一些平面图形围成，把他们的表面沿着边剪开，可以展开形成平面图形。
2.立体图形的展开图的注意事项：（1）不是所有的立体图形都可以展开形成平面图形，例如：球不能展开形成平面图形. （2）不同的立体图形可展开形成不同的平面图形，同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图形。
（四）正方体的平面展开图正方体的展开图由6个小正方形组成，把正方体各种展开图分类如下：二、点、线、面、体1.体：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球、棱锥、棱柱等都是几何体，几何体也简称体。
2.面：包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种.3.线：面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种.4.点：线和线相交的地方形成点。
5.所有的几何图形都是由点、线、面、体组成的，从运动的角度来看，点动成线，线动成面，面动成体。
考点02 直线、射线、线段一、直线1.直线的表示方法：（1）可以用直线上表示两个点的大写英文字母表示，可表示为直线AB或直线BA.（2）也可以用一个小写英文字母表示，例如直线m等.2.直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有1条直线.简称：两点确定一条直线。
几何作图ppt
三角形作图
总结词
稳定、简单
详细描述
三角形是由三条直线段连接三个点形成的图形。根据需要，三角形可以被绘制为等边、等腰或直角等不同类型 。三角形具有稳定性，被广泛应用于结构工程和机械工程等领域。在几何作图中，三角形经常被用于绘制其他 复杂的几何图形。
多边形作图
总结词
规则、多变
详细描述
多边形是由三条或更多的直线段连接多个点形成的封闭图形。多边形的边数可以是三、四、五、六等 不同数目。多边形具有规则的形状和多变的特点，被广泛应用于建筑设计、地图绘制和游戏开发等领 域。在几何作图中，多边形也是常见的绘制对象之一。
几何作图ppt
xx年xx月xx日
目 录
• 几何作图基本知识 • 平面几何作图 • 立体几何作图 • 作图技巧 • 作图实践与拓展
01
几何作图基本知识
定义与分类
定义
几何作图是指利用几何图形和几何作图工具，按照一定的作 图方法和步骤，准确地绘制出所需的几何图形。
分类
根据不同的作图方法和技巧，几何作图可以分为多种类型， 如尺规作图、徒手作图、测量作图等。
标注不规范
主要是由于对标注方法和规则掌握 不够准确，需要加强标注训练，统 一标注风格。
图面不清晰
主要是由于线条和图形过于复杂或 者细节处理不当，需要简化作图步 骤，注重细节处理。
其他问题
如作图速度慢、缺乏创意等，需要 加强训练和提高思维水平。
02平面几何作图直与线段作图总结词基础、应用广泛
详细描述
3
一个正方形在立体空间中的表示需要指定其顶 点的位置。
立体几何作图示例
示例1
绘制一个立体图形，该图形包含一个正方形和一 条对角线。
示例2
4.第四讲 直线(1+2)
分析 依据等边三角形的
边长及坐标差可求未知边的
b′
ZBC
ZAC a′
c1′
b
投影长，C点在H面上，即C 点的Z坐标等于0，就知道了 ZAC， ZBC 。
投影作图 •求SCAB。 •用SCAB 和ZA、ZB求得ac、bc 投影长。 •分别以a、b为圆心，相应 的投影长为半径画圆弧相交
YAB
于点c。
a
X
6
c′ 3
1
O
1
b2
c″
a
YW
a
5
c6
YH
复习题：已知点A的坐标为X﹦15，Y﹦10，Z﹦20，作点A的
三面投影图，并用直观图来表达点A的空间位置。
Z
a
a
Z
V
a az
X
O
YW X
a
YH
A
a
20
ax 15 O
W
a 10 ay
H
Y
复习题：已知А点的正投影位置，且А、В两点等高，又知А点距Ｖ面20，Ｂ
用细实线 画直角三 角形（不 是画直角 三角形的 投影，而 是一个几 何作图的 方法）
例题1 已知 线段的实长AB和正面投影及B点的
水平投影，求它的水平投影。
作图方法一
b
AB
|zA-zB|
a
X a1
AB
ab
|zA-zB|
b ab
a
例题1（续）已知 线段的实长AB和正面投影及B点
的水平投影，求它的水平投影。
ab
b
AB
|zA-zB |
直角三角形法求线段实长及β的空间分析
b
B
AB
b
第4讲倒格子
第四讲：倒格子倒格子由于晶格具有周期性，晶格中x 点和x + l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3点的情况完全相同，它们表示两个原胞中相对应的点。
如V (x )表示x 点某一个物理量，例如静电势能，电子云密度等，则有V (x ) ＝ V (x + l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3) (1−4)V (x )是以a 1, a 2, a 3为周期的三维周期函数。
引入倒格子以后，可以方便地把上述三维周期函数展开成傅立叶级数。
根据基矢定义三个新的矢量[][][]231312123222πππ ×=Ω×=Ω×=Ωa ab a a b a a b (1−5) 称为倒格子基矢量。
正如以a 1, a 2, a 3为基矢可以构成布拉伐格子一样，以b 1, b 2, b 3为基矢也可以构成一个倒格子，倒格子每个格点的位置为123,,112233= n n n n n n ++G b b b ,其中n 1, n 2, n 3为一组整数。
称123,,n n n G 为倒格子矢量。
倒格子基矢的基本性质由倒格子基矢的定义(1-5)式很容易验证有下列基本性质()()() 2 2 ,1,2,3 0 i j i ji =j i j i j ππδ ⋅=== ≠a b (1−6) 也有人把(1−6)式作为倒格子基矢的定义。
倒格子具有[长度]−1的量纲，与波矢具有相同的量纲。
例题4.1计算二维正方的倒格子基矢。
解答1：设a 3为垂直于二维平面的第三个方向的单位矢量，则二维正方格子的原胞基矢加上a 3为123a a == = a ia j a k 设倒格子基矢为： ()()()111121322122233313233,,,,,,b b b b b b b b b == = b b b 应用[][][]231312123222πππ ×=Ω× = Ω×= Ωa ab a a b a a b 解得()()()1232,0,02,0,00,0,2 a a πππ== = b b b 即()()122,00,2a a ππ = = b b 解答2：二维正方格子的原胞和倒格子原胞基矢为 ()()12,00,a a a a ==== a i a j ()()1111222122,,b b b b == b b 应用()() 2 20 i j i j i =j i j ππδ ⋅== ≠a b解得()()122,00,2a a ππ == b b 周期性物理量的傅立叶级数若把晶格中的任意一点x 用矢量表示112233ξξξ=++x a a a (1−7)则一个具有晶格周期性的函数V (x ) ＝ V (x + l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3) (1−8) 可以看成是以ξ1, ξ2, ξ3为宗量，周期为1的周期函数，因此可以写成傅立叶级数()()1122331231232123,,,,,,i h h h h h h h h h V V eπξξξξξξ=∑+ + (1−9)h 1, h 2, h 3为整数。
第4讲-贝齐尔曲线
7
3. Bezier 曲线---性质
（2）对称性
* P 由控制顶点 i = Pn −i ,(i = 0,1,..., n),
构造出的新Bezier曲线，与原
Bezier曲线形状相同，走向相反。因为：
C * (t ) = ∑ Pi Bi ,n (t ) = ∑ Pn −i Bi ,n (t )
* i =0 i =0
2 0 2 2
17
3. Bezier 曲线---递推(de Casteljau)算法
当t从0变到 1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义 的一条二次 Bezier 曲线 。 并且表明：这二次 Bezier 曲线 P20 可以定义为分别由前两个顶点（ P0 ， P1 ）和后两个顶 点（ P1 ， P2 ）决定的一次 Bezier 曲线的线性组合。依次 类推，由四个控制点定义的三次 Bezier 曲线 P30可被定义 为分别由 (P0 ， P1 ， P2) 和 (P1 ， P2 ， P3) 确定的二条二次 Bezier曲线的线性组合，
}
if ((pow ((d.x - t2.x),2) + pow ((d.y-t2.y),2))>25){ bezier_DeC (t2, t5, t3, d); } else { ::Sleep(5); ddaline (t2.x, t2.y, t5.x, t5.y, COLOR); ddaline (t5.x, t5.y, t3.x, t3.y, COLOR); ddaline (d.x, d.y, t3.x, t3.y, COLOR); }
车 身 CAD
吴 娜
山东交通学院 汽车工程系
1
第3章 车身曲线曲面的数学模型基础
主要讲授内容
第4讲 全等三角形常见辅助线专题探究-2024-2025学年八年级数学上学期重难点及章节分类精品讲义
第4讲全等三角形常见辅助线专题探究类型一倍长中线——构全等【知识点睛】❖倍长中线辅助线方法规律总结❖倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型：【类题训练】1．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为．2．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（）A．1B．2C．3D．53．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE 交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为．4．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC 边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．5．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF．6．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD到M，使得DM＝AD；②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．类型二截长补短——造全等【知识点睛】❖截长补短辅助线方法规律总结总结：因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF【类题训练】7．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点（不与A，D重合），则AB﹣AC PB﹣PC（填“＞”、“＜”或“＝”）．8．问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．解法探究：小明同学通过思考，得到了如下的解决方法．延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而可得结论．（1）请先写出小明得出的结论，并在小明的解决方法的提示下，写出所得结论的理由．解：线段BE、EF、FD之间的数量关系是：理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．（以下过程请同学们完整解答）（2）拓展延伸：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，若∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝∠BAD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请再把结论写一写；若不成立，请直接写出你为成立的结论．9．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．（1）求∠APC的度数；（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．10．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．（1）求证：∠BAD＝∠EDC：（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．11．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．类型三整体旋转—共线—再全等【知识点睛】❖整体旋转三角形得全等辅助线方法规律总结【类题训练】9．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积．10．已知正方形ABCD中，M，N是边BC，CD上任意两点，∠MAN＝45°，连结MN．（1）如图①，请直接写出BM，DN，MN三条线段的数量关系：；（2）如图②，过点A作AH⊥MN于点H，求证：AB＝AH；11．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A 旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．12．如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP 绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；（2）当∠BPC＝120°时，①直接写出∠P'BP的度数为；②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．类型四 连接线段——得全等【知识点睛】❖ 连接线段得△全等辅助线方法规律总结【类题训练】13．如图，已知：AB AC =，BD CD =，60A ∠=︒，140D ∠=︒，则B ∠=（ ） A ．50B ．40C ．40或70D ．3014．把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【课后综合练习】 1．[方法呈现]（1）如图①，△ABC 中，AD 为中线，已知AB ＝3，AC ＝5，求中线AD 长的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD 至点E ，使DE ＝AD ，连接CE ，则易证△DEC ≌△DAB ，得到EC ＝AB ＝3，则基本图形辅助线 条件与结论结论应用连接AD条件：AB=AC ，BD=CD 结论：△ABD ≌△ACD(SSS)此种类型的辅助线虽然最简单，但是也最常见，常用来证明角相等可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是．[探究应用]（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC 的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．2．阅读理解（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？（S表示面积）；应用拓展（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；解决问题（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．3．（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OM上一点，点B为OP上一点．请你利用该图形在ON上找一点C，使△COB≌△AOB，请在图①画出图形．参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（2）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F ．请你写出FE 与FD 之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件不变，在（2）中所得结论是否仍然成立？请你直接作出判断，不必说明理由．4．如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题(1)如果AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ (2)如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90°点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？并说明理由．5．如图，已知在四边形ABCD 中，BD 是ABC ∠的平分线，AD CD =．2 求证：180A C ∠+∠=︒．6．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．。
高二数学第4讲：空间中的垂直关系(学生版)
第5讲空间中的垂直关系（分教师版和学生版两个文档，区别在于教师版特色讲解配有解析和答案，其他题目配有答案；学生版无解析无答案，其他都一样）文档名命名方式：小×数学第×讲：××××（教师版）——平台制作人小×数学第×讲：××××（学生版）——平台制作人（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（不用添加内容，也不做修改）（相关知识点精讲，标题加粗，正文宋体5号，单倍行距，首行缩进2字符）一、空间中的垂直关系1．直线与平面垂直直线和平面垂直的判定如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．直线和平面垂直的性质（推论2）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．2．平面与平面垂直两平面垂直的判定如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．两平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．二、方法归纳求距离的方法从空间中各种距离的定义看，它们基本上都是转化为两点间的距离来计算．因此，会求空间中两点的距离是基础，求点到直线和点到平面的距离是重点，求异面直线的距离是难点．求解距离问题要注意运用化归与转化思路：面面距离→线面距离→点面距离→点点距离．求距离的一般步骤1．找出或作出有关距离的图形．2．证明它们就是所求的距离．3．利用平面几何知识在平面内计算求解．七种空间中的距离1．两点间的距离2．点到直线的距离3．点到平面的距离．4．平行直线间的距离．5．异面直线间的距离6．直线与平面间的距离7．两平行平面间的距离异面直线间的距离的求法：直接法：找两异面直线的公垂线段并求解；…….两点之间的距离、点线距离的求法：两点之间的距离，常利用异面直线上两点间的距离公式来求；点到直线的距离，常用三垂线定理来求．点面距离的求法：(1)直接法：往往利用面面垂直作线面垂直，作图时，应避免引垂线的随意性与盲目性；(2)等积法；(3)转化法：转化为线面距离、面面距离等．注意各种距离之间的相互转化：如点面距离→线面距离→面面距离；面面距离→线面距离→点面距离．（添加2条以上，加粗，宋体5号）1．直线与平面垂直直线和平面垂直的判定如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面． 直线和平面垂直的性质（推论2）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．2．平面与平面垂直两平面垂直的判定如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 两平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．（不用添加内容，任课老师根据学生情况自行添加）（至少6道例题（小题、大题比例2：1），逐一配解析和答案，“答案”和“解析”二字加粗）例1：已知四面体ABCD 中，CD CB =，BD AD ⊥,点E 、F 分别是BD AB ,中点。
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两边对齐
过点C作直线
C
C A
A
B
B
步骤1
步骤2
步骤3
01
几何作图
3.分直线段为任意等分
分线段AB为六等份
B
B
过点1～5分别作B6平
行线与AB相交得各等
B分点
B
A
过端点A任 作一直线
步骤1
A 1 23456
以任意长度为单 位截取六等份
A 1 2345 6
连接点B、6
A 1 2345 6
步骤2
步骤3
01
几何作图
8.绘制椭圆
已知长短轴作近似椭圆(四心法) （1）作长短轴并连接其端点A、C （2）以O为圆心，OA为半径作弧与DC的延长线 交于E点;
以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点； （3）作AF的垂直平分线交于长短轴于O1、O点， 再定出其对称点O3、O4，并连接起来； （4）分别以O1、O3为圆心，r＝O1A＝O3B为半 径，以O2、O4为圆心，R＝O2C＝O4D为半径画四 段圆弧相切于1、2、3、4各点，即近似作出椭圆；
01
几何作图
4.作正多边形
思考题：以外接圆作正四边形 如何四等分圆周和作正四边形 ？
01
几何作图
5.绘制斜度
（1）斜度的概念 指一直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度，在图样中以1：n形式标注。
aH L
斜度= tan a = H:L = 1：—LH
图样上表示斜度的符号：
倾斜方向与斜度方向一致
h 为字高
01
02
思考题
012
思考题
① 如何过点作直线的平行线和垂直线？ ② 如何进行线段的等分？ ③ 如何绘制正多边形？ ④ 什么是斜度? ⑤ 什么是锥度? ⑥ 怎样作出已知的斜度和锥度? ⑦ 在作圆弧连接时，为何必须准确作出连接圆弧的圆心和切点?
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A M
O
N
B
O
C
N
B
以R为半径作MN完成圆弧连接
步骤1 确定连接圆弧圆心
步骤2 确定连接圆弧切点
步骤3 完成圆弧连接
01
几何作图
7.绘制圆弧
（2）用圆弧连接两已知圆弧
作圆弧R在上方与两圆外切 R
两圆交于O即外切圆弧圆心
以O为圆心R为半径作MN，完成圆弧连接
O
O
NM
o2
o1
o2
o1
分别以O1、O2为圆心R+R1、R+R2为半径作圆
01
几何作图
8.绘制椭圆
同心圆法画椭圆 己知椭圆长轴AB和短轴CD，用同心圆法作椭圆 的步骤如下: (1)以长轴AB和短轴CD为直径画两个同心圆，然 后过圆心作一系列直线与两圆相交，如图a所示; (2)自大圆交点作垂线，小圆交点作水平线，得 到的交点就是椭圆上的点，如图b所示; (3)用曲线板光滑连接各点，即得所求椭圆。
30°
h
01
几何作图
5.绘制斜度
（2）斜度的绘制
示例: 绘制斜度为1:10、小端高H、长L的楔块。
画出斜度为 1:10的斜线
步骤1 确定斜度线
画高度H及长度L
步骤2 作楔块的高和长
标注斜度
1:10 完成楔块
H
L 标注尺寸
步骤3 完成楔块
01
几何作图
6.绘制锥度
（1）锥度的概念
圆锥的底圆直径与圆锥高度之比。圆锥台的锥度为其上、下底圆直径之差与圆台高度之比。 锥度在图样用1:n形式标注
机械制图
Mechanical drawing
—第4讲 几何作图
0目1 录
01 几何作图 02 思考题
01
01
几何作图
01
几何作图
1.过点作直线的平行线
边与线重合 A
两边对齐 A
沿边移动 A
过点C作直线 A
C
C
C
C
B
B
B
B
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
01
几何作图
2.过点作直线的垂直线
边与线重合 C
连接O1O交圆O1于M，连接O2O交圆O2于N，M、N为切点
步骤1 确定连接圆弧圆心
步骤2 确定连接圆弧切点
步骤3 完成圆弧连接
01
几何作图
7.绘制圆弧
（3）用圆弧连接已知直线与圆弧
作圆弧R与直线相切、与圆外切 R
以O1为圆心作半 径为R1+R的圆弧
O1
作直线平行于已知 直线且距离为R
连接OO1交于已知圆弧于N， N为连接圆弧切点
步骤4
01
几何作图
4.作正多边形
以外接圆作正五边形
步骤1
步骤2
步骤3
作水平半径OA的中点B 以B为圆心，B1为半径作弧， 以C1为边长，即可
交水平中心线于C
作出圆内接正五边形
步骤4
连接5个点 完成五边形
01
几何作图
4.作正多边形
以外接圆作正六边形---方法1
作正六边形 的外接圆
确定顶点
步骤1 作外接圆
步骤2 确定两顶点
以外接圆半径为半 径作圆弧交外接圆 于四点
步骤3 确定四顶点
连接各点完 成正六边形
步骤4 完成正六边形
01
几何作图
4.作正多边形
以外接圆作正六边形---方法2
① 用60°三角板配合丁字尺 通过水平直径的端点作四 条边。
② 用丁字尺作上、下水平边 即可得到圆内接正六边形。 如图所示。
5单位 50
步骤1 确定锥度线
已知端点
步骤2 确定锥面轮廓
50
完成圆锥台
标注尺寸
步骤3 完成圆锥台
01
几何作图
7.绘制圆弧
（1）用圆弧连接两已知直线
用圆弧R连接直线AC、BC R
分别作与AC、BC平行且距离为R的直线 A
O
R
C
B
C
两直线交于O即连接圆弧圆心
OM⊥AC、ON⊥BC，M、N为切点
A M
N
O1
O
O
R
A
B
辅助直线与圆弧交于O， 即连接圆弧圆心
AM B
以O为圆心R
作OM⊥AB，垂足连接
为半径作MN
圆弧M为切点
步骤1 确定连接圆弧圆心 步骤2 确定连接圆弧切点 步骤3 完成圆弧连接
01
几何作图
7.绘制圆弧
（4）两圆外公切线的几何作法
(A) 已知圆O1和O2及各自的半径R1和R2； (B) 以(R2-R1) 为半径作圆O2的辅助同心圆； 再以O1 O2为直径作辅助圆O3； (C) 圆O3与辅助同心圆O2交于M3和N3; 连接O2M3并延长交圆O2于点M2，连O2N3并延长 交圆O2于点N2； (D) 过O1分别作O2M2和O2N2的平行线，交圆O1于M1和N1； 连M1M2和N1N2即为二已知圆的两条外公切线。
D d —D—l- — d = 2tan —a2
图样上表示锥度的符号
15°
01
几何作图
6.绘制锥度
（2）锥度的绘制 示例：绘制底圆Ø40、长50、锥度为1:5的圆锥台。
1:5锥度线
从已知端点画 锥度线的平行 线
指引线
锥度符号 标注锥度 1:5 基准线
ø 40 1单位 ø 40