高中数学选修1-1北师大版计算导数课件(43张)

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(北师大版)选修1-1课件：第3章-导数的乘法与除法法则-参考课件

2
x 2 (2)函数y 是函数f ( x) x 和函数 ln x g ( x) ln x之商, 根据导数公式表分别得出: 1 f ( x) 2 x, g ( x) , x 由求导的除法法则得: 1 2 2 x ln x x 2 x x(2 ln x 1) x . 2 2 ln x (ln x) ln x

令x 0,由于 lim ( x0 x) x ,
2 x 0 2 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为 x f ( x0 ) 2 x0 f ( x0 ).
导数的加法和减法法则是什么? 两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)

f ( x) g ( x), f ( x) g ( x).
问题提出
如果有函数 y f ( x) g ( x) x f ( x),

例题讲解
例3求下面函数的导数 : (1) y x e ; ( 2) y
2 x
2 x
x sin x; (3) y x ln x.
2 x
解 : (1)函数y x e 是函数f ( x) x 与g ( x) e 之积, 由导数公式表分别得出 f ( x) 2 x, g ( x) e x , 根据两函数之积的求导法则, 可得 : ( x 2 e x ) 2 xe x x 2 e x (2 x x 2 )e x .

北师版高中同步学考数学选修1-1精品课件第三章 §3 计算导数

;④(x-5)'=- x-5.
ln2
5
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:A
解析:①
π
cos8
'=0,所以该运算错误;
②(3x)'=3xln 3,所以该运算错误;
1
,所以该运算正确;
ln2
③(log2x)'=
④(x-5)'=-5x-6,所以该运算错误.所以正确的个数为 1.故选 A.
-22-
§3计算导数
f'(x)= lim
y
Δ→0 x
=
x→0
2(Δ)2 +4·Δ+3Δ
Δ
=4x+3.
当x=1时,f'(1)=7,当x=-2时,f'(-2)=-5.
-4-
§3计算导数
自主预习
首页
探究学习
当堂检测
2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)
函
数
导函数
函
y=c(c 是常数)
y'=0
其中正确的有(
)
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
答案:C
解析:(
3
1
1 -2
x)'=( 3 )'= 3
3
=
1
1
· ,
3 3 x2
所以(2)错.(1)(3)均正确.
-21-
§3计算导数
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自主预习
1
1.下列运算正确的个数是(
①
π
cos8
探究学习
2
3
4
当堂检测
5
)
π
1
1

高中数学第三章变化率与导数3.3计算导数课件北师大版选修1_1

函数导函数 y'=0 y'=αxα-1 y'=axln a y'=
1 1 x�� a
函
数
导函数 y'=cos x y'=-sin x y'=ex y'=
1 x 1
y=c(c 是常数) y=xα(α 为实数) y=ax(a>0, a≠1) y=loga x (a>0, a≠1) y=tan x
(2)f'(x)是关于 x 的函数, 且 f'(x)= lim
f(x+ ��x)-f(x) , ��x Δ�� →0
称f'(x)为f(x)的导函数,简称为导数. 名师点拨导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点处的导数,就是求函数在某点处的导数值.它们之间的关系是函数y=f(x)在x0处的导数就是导函数f'(x)在x0处的函数值.
【做一做1】若f(x)=2x2+3x+1,则 f'(x)= ,f'(1)= ,f'(-2)= . 解析:Δy=f(x+Δx)-f(x)=2(x+Δx)2+3(x+Δx)+1-2x2-3x1=2(Δx)2+4x·Δx+3Δx,
f'(x)= lim
��y Δ�� →0 ��x
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
利用导数公式求导数
【例2】求出下列函数的导数. 4 (1)y=ex;(2)y=10x;(3)y=x2· x3 ;(4)y= x3;(5)y=lo��1x.

高中数学北师大版选修1-1 导数的概念及其几何意义课件 (37张)

1.导数的概念 (1)y′|x＝x0 表示函数 y 关于自变量 x 在 x0 处的导数． (2)在数学上，把函数在点 x0 处的变化率称为函数在点 x0 处的导数，在自然科学及科学技术领域内，只要遇到有关函数变化率的问题，如化学反应速度、物体温度变化率、电流强度等等都需要应用导数．
(3)导数是研究在点 x0 处及其附近函数的改变量 Δy 与自变 Δy 量的改变量 Δx 之比的极限，它是一个局部性的概念，若 lim Δx→0 Δx 存在，则函数 y＝f(x)在点 x0 处就有导数，否则就没有导致，即 Δy lim 存在表示是一个定数，函数 f(x)在点 x0 处的导数应是一 Δx→0 Δx 个定数．
[答案] B
[解析] ∵y＝x3， x＋Δx3－x3 Δx3＋3x· Δx2＋3x2·Δx ∴y′＝ lim ＝ lim Δx Δx Δx→0 Δx→0
2 2 2 ＝ lim [(Δ x ) ＋ 3 x ·Δ x ＋ 3 x ] ＝ 3 x . → Δx 0
令 3x2＝3，得 x＝± 1，∴点 P 的＝2 时，Δy＝(2＋Δx)2＋
[方法规律总结]
用导数定义求函数在某一点处的导数的
第三章
变化率与导数
第三章
§2 导数的概念及其几何意义
课前自主预习
1.理解导数的概念和意义，了解导函数的概念，通过函数图像直观地理解导数的几何意义．
2 ．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处
的切线方程.
导数的概念
Δy 函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的瞬时变化率是 lim ＝ lim Δx→0 Δx Δx→0 fx0＋Δx－fx0 .我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 Δx f ′(x0) 或 y′|x ＝ x0 ，即 fx0＋Δx－fx0 lim Δx _____________________. Δx→0 f ′(x0) ＝ lim →

高中数学北师大版选修1-1《导数的四则运算法则》ppt导学课件

∴f'(1)= 1 =-1,
ln ��
∴ln a=-1,∴a=1.
e
4.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的一条切线,求 k 的值.
【解析】设切点坐标为(x0,y0).
∵y=ln x,∴y'=1.
x
∴f'(x0)=x10=k. ∵点(x0,y0)既在直线 y=kx 上,也在曲线 y=ln x 上,
则 y'= f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x)
.
(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b 为常数).
(3)[f(x)±c]'=f'(x).
1 函数 y=lg x 的导数为( C ).
A.1
B.1ln 10
C. 1
x
x
xln 10
【解析】∵(logax)'=x
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
22
谢谢欣赏！
分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导
数乘以分子的积.
于是,正确解答为:
(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.
(2)f'(x)=(xsin x)'=(xsin
ln x
x
)'ln x-xsin (ln x)2

高中数学北师大版选修1-1 3.2.1 导数的概念课件 (34张)

利用导数求切线方程
已知曲线的切点 P(x0 ， y0) ，求曲线的切线方程
y＝f(x)在点A处的切线．
问题探究
1．如何理解导数的概念？
Δy 提示： (1)函数 f(x)在 x0 处可导，是指 Δx→ 0 时， Δx Δy 有极限，如果不存在极限，就说函数在点 x0 处 Δx 无导数．
(2)导数是研究在点 x0 处及其附近函数的改变量 Δy 与自变量的改变量 Δx 之比的极限，它是一个 Δy 局部性的概念，即 lim 存在表示是一个定数， Δx→ 0 Δx 函数 f(x)在点 x0 处的导数应是一个定数．
例1
(1)求函数 y＝ x在 x＝1 处的导数；
f a＋3Δx－f a－Δx (2)设 f′(a)＝3，求 lim 的值． → Δx 0 2Δx
【思路点拨】
Δy Δy 求Δy ― → 求 ― → 求 lim Δx→ 0 Δx Δx
【解】 (1)∵ f(x)＝ x， ∴ Δy＝f(1＋ Δx)－ f(1)＝ 1＋ Δx－ 1， 1＋ Δx－ 1 1＋ Δx2－12 Δy ∴ ＝＝ Δx Δx Δx 1＋ Δx＋ 1 ＝＝ . Δx 1＋ Δx＋ 1 1＋ Δx＋ 1 Δx 1
知新益能
1．导数的概念 (1)定义：设函数 y＝ f(x)，当自变量 x1 趋于 x0 时，
f x1－f x0 Δy x1－x0 即 Δx 趋于 0 时，如果平均变化率＝___________ Δx f x0＋Δx－fx0 固定的值 Δx ＝ _________________ 趋于一个 _____________ ，
课堂互动讲练
考点突破
导的导数的步骤：第一步：求函数的增加量 Δy＝f(x0＋ Δx)－f(x0)； Δy f x0＋ Δx－fx0 第二步：求平均变化率：＝； Δx Δx Δy 第三步：求当 Δx 无限趋近于 0 时，的值，即 f′ (x0)． Δx

北师大版选修1-1高中数学3.4《导数的四则运算法则》ppt课件

§4 导数的四则运算法则
-*-
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X 新知导学 INZHI DAOXUE
Z 重难探究 HONGNAN TANJIU
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
学习目标
思维脉络
1.了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导. 2.掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则,能正确运用求导法则求某些简单函数的导数. 3.能正确地进行求导运算,树立多角度、换位思考的意识,优化解题思维, 简化解题过程.
2.导数的乘法与除法法则
一般地,若两个函数 f(x)和 g(x)的导数分别是 f'(x)和 g'(x),则有
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
��(��) ��(��)
'=��'(��)��(��2)-(��()��)��'(��)[g(x)≠0].
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
探究一利用导数公式及运算法则求导
利用导数的运算法则求函数的导数时,应注意以下几点: (1)要熟记基本初等函数的导数公式,并能根据具体情境灵活选择相应
的导数公式求其导数. (2)求导之前,尽可能地化简函数解析式,特别是对幂函数求导之前,应
先将根式转化为指数式,再利用幂函数的导数公式求导.
=(sin��+��(clons��)��)2ln��-sin��.
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高中数学北师大版选修1-1 §3 计算导数课件 (34张)

3π 2 (1)∵y＝sin 4 ＝ 2 ，∴y′＝0；
(2)∵y＝log27，∴y′＝0； (3)y′＝(x10)′＝10x10－1＝10x9； 1 (4)y′＝( 2)′＝(x－2)′＝－2x－2－1＝－2x－3. x
(2011· 江西卷， 4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A．1 C．e B．2 1 D.e
(3)y′＝(
4
1 1 1 1 3 x)′＝x4′＝ x －1＝ x－； 4 4 4 4
1 (4)y′＝(log3x)′＝ · log3e x 1 ＝xln 3； (5)y′＝(sin x)′＝cos x； 1 2 (6)y′＝ 5 ＝x－5′ 2 x 2 2 2 7 ＝－5x－5－1＝－5x－5.
4．(2009 年黄冈)求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝ 3；(3)y＝ x； x
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
1 5
.
x2
解析： (1)y′＝(x13)′＝13x13 1＝13x12；
－
1 (2)y′＝x3′＝(x－3)′
＝－3x－3－1＝－3x－4；
2 2 的交点坐标为3，3，y＝－2x＋2
答案： A
x2 已知函数 f(x)＝ a －1(a>0)的图象在 x＝1 处的切线为 l，求 l 与两坐标围成的三角形面积的最小值．
首先利用公式求出在x＝1处的切线斜率，然后求出切线方程，最后利用不等式性质求面积最值．
f′(x)＝
axlna(a>0) . ex
f′(x)＝
.
f(x)＝lnx
1 f′(x)＝ xlna(a>0 且 a≠1). 1 x f ′( x) ＝ .

高中数学(北师大版选修1-1)课件第3章4.1-2导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则 (共39张PPT)

【自主解答】
2 2 (1)∵y＝x＋2＋x ，∴y′＝1－x2.
1 1 x x (2)∵y＝1＋sin2cos2＝1＋2sin x，∴y′＝2cos x.
2 1 1 3 1 2 2 (3)∵y＝x x ＋x ＋x3 ＝x ＋1＋x2，∴y′＝3x －x3.
(4)∵y＝( x＋1) Nhomakorabea f x ________， gx′＝________.
特别地，当 g(x)＝k 时，有[kf(x)]′＝________.
f′xgx－fxg′x f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) kf′(x) g2x
【答案】
若函数 f(x)＝x2ln x，则 f′(x)＝________.
[再练一题] 1．求下列函数的导数： 1 5 4 3 (1)y＝5x －3x ＋3x＋ 2； x 4 x (2)y＝sin 4＋cos 4.
4
【导学号：63470068】
【解】 x4－4x2＋3.
1 5 4 3 (1)y′＝5x －3x ＋3x＋
′ 1 5′ 4 3′ 2 ＝5x －3x ＋(3x)′＋(
1 【解析】 f′(x)＝(x )′ln x＋x · (ln x)′＝2xln x＋x · x ＝(2ln x＋1)x.
2 2 2
【答案】 (2ln x＋1)x
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________

高中数学北师大版选修1-1 计算导数课件(42张)

1．求函数 y＝f(x)导函数的步骤： (1)求函数的增量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)； Δy fx＋Δx－fx (2)求平均变化率Δx＝； Δx (3)当 Δx 趋于 0 时，得导函数 fx＋Δx－fx f′(x)＝ lim . Δ x Δx→0
2．求 f′(x0)的方法： (1)利用定义直接求 f′(x0)， fx0＋Δx－fx0 f′(x0)＝ lim ； Δ x Δx→0 (2)先求导函数，再求 f′(x0)．
【答案】 D
教材整理 2
导数公式表
阅读教材 P69“习题 3－3”以上部分，完成下列问题．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 函数 y＝C(C 是常数) y＝xα(α 为实数) y＝a (a>0，a≠1)
x
导函数 y′＝______ y′＝______ y′＝______ 特别地(ex)′＝________
y＝logax(a>0，a≠1) y＝sin x y＝cos x y＝tan x y＝cot x
y′＝______ 特别地(ln x)′＝______ y′＝______ y′＝______ y′＝______ 1 y′＝－sin2x
【答案】 0 αx
α－1
a ln a e
x
x
1 1 1 xln a x cos x－sin x cos2x
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 f(x)＝ax(a>0，a≠1)，则 f′(x)＝ax－1.( 1 (2)若 f(x)＝x ，则 f′(x)＝ln x．( ) ) )
(3)(sin x)′＝cos x, (cos x)′＝－sin x．( 1 (4)(log3π)′＝πln 3.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×

北师版数学选修1-1课件：第3章 §3 计算导数

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y＝logax(a>0，a≠1) y＝sin x y＝cos x y＝tan x y＝cot x
y′＝______ 特别地(ln x)′＝______ y′＝______ y′＝______ y′＝______ 1 y′＝－sin2x
【答案】 0 αx
α－1
a ln a e
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【解】＋Δx.
2 2 2 2 2 Δy fx＋Δx－fx x＋Δx －x x ＋2x·Δx＋Δx －x (1)∵Δx＝＝＝＝2x Δx Δx Δx
Δy ∴y′＝ lim Δx＝ lim (2x＋Δx)＝2x. Δx→0 Δx→0 1 1 －x x－x＋Δx Δy fx＋Δx－fx x＋Δx 1 (2)∵Δx＝＝ Δx ＝＝－ 2 ， Δx xx＋ΔxΔx x ＋x·Δx
阶段一
阶段三
§3
计算导数
学业分层测评
阶段二
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1．能根据导数的定义求几种常用函数的导数，并能熟练运用．(重点) 2．掌握基本初等函数的求导公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数．(重点、难点)
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[基础· 初探] 教材整理 1 导函数
阅读教材 P66 至 P68“例 3”以上部分，完成下列问题．如果一个函数 f(x)在区间(a， b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为______； f′(x)＝____________________，则 f′(x)是关于 x 的函数，称 f′(x)为 f(x)的 ________，通常也简称为______．

高中数学第三章变化率与导数3.3计算导数课件北师大选修1_1

解:f'(x)= lim
Δ �� →0
(x+��x)2-x2 ��x
=
�� (2x+Δx)=2x,
��x→0
设切点为(x0,y0),
�� = 2��0,
根据题意有 ��0 = ��02, 解得 k=±4.
s'(t)= lim
Δ �� →0
s(t+��t)-s(t) ��t
=
�� (Δt+2t+1)=2t+1.
��t→0
因此,s'(0)=2×0+1=1,它表示物体的初速度为1 m/s;
s'(2)=2×2+1=5,它表示物体在第2 s时的瞬时速度为5 m/s;
【做一做 3】函数 f(x)=cos x 在 x=π6处的导数为 ( )
A.12
B.-12
C.
3 2
D.-
3 2
答案:B
【做一做 4】已知 0<x<14,f(x)=x2,g(x)= ��,则 f'(x)与 g'(x)的大小
关系是
.
解析:f'(x)=2x,g'(x)=21��.
∵0<x<14, ∴0<f'(x)<12,g'(x)>1.∴f'(x)<g'(x).
面加深对公式的理解和记忆:(1)区分公式的结构特征,既要从纵的
方面对“(ln x)'与(logax)'”和“(ex)'与(ax)'”加以区分,又要从横的方面区分“(logax)'与(ax)'”,找出差异,记住公式.(2)公式中(ex)'是(ax)'的特殊情况,当a=e时,(ax)'即为(ex)',(ln x)'和(lg x)'是(logax)'的特殊情况, 当a=e时,(logax)'即为(ln x)';当a=10时,(logax)'即为(lg x)'.

高中数学北师大版选修1-1第三章《计算导数》ppt课件1

编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。

x02
2x x0x
x

x

x02
2 x
1.
当x趋于0时, 得到导数
f
(x0 )

lim
x0
y x

lixm0
x02
2 x
1

2 x02
1.
导函数
一般地,如果一个函数f (x)在区间(a,b)上的每一点x
处都有导数,导数值记为f (x) :
（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f (x) 。
（3）函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f (x) 在x=x0处的函数值，即 f ( x0 ) f ( x) |xx0。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。
1. 2
(3)首先, 对x x0给定自变量x的一个改变量x,得到相应函数值的改变量
y
f (x0
x)
f (x0 )
x0
2 x
(x0
x)
2 x0
x0
2x x. x02 x0x

2020北师大版高中数学选修1-1 教师课件：第三章计算导数

答案：112或－2
2．求下列函数的导数． (1)y＝log3x； (2)y＝2cossin2x2x－1； (3)y＝5x.
解析：(1)y′＝(log3x)′＝xln1 3. (2)∵y＝2cossin2x2x－1＝csions xx＝tan x， ∴y′＝(tan x)′＝co1s2x. (3)y′＝(5x)′＝5xln 5.
[想一想] 1．(sinπ3)′＝cosπ3＝12，正确吗？提示：不正确．因为sinπ3＝ 23是一个常数，所以(sinπ3)′＝0.
[练一练]
2．曲线f(x)＝xn(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：∵f′(x)＝nxn－1， ∴f′(2)＝n·2n－1＝12，
S△ABP就最大．问题转化为在抛物线的
上求一点P到直线AB的距离最大．因
此找到曲线上到已知直线距离最大的点就是与直线平行且与曲线相切的切点，是
解决本题的关键，体现了数形结合思想的应用．
y＝tan x
1
y＝logax
y′＝___x_ln__a__ 1 y＝cot x
(a>0，a≠1) 特别地，(ln x)′＝__x__
导函数 y′＝－__s_i_n__x
1 y′＝_c_o_s_2x__
y′＝－__s_in_1_2x_
[疑难提示]
“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的
数形结合思想在导数问题中的应用 [典例] 已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在
抛物线的

高中数学北师大版选修1-1 计算导数课件(34张)

关于f′(x0)与f′(x)，要注意以下几点：
(1)f′(x0)是一个具体实数值，f′(x)是一个函数；
(2)f′(x0)是当x＝x0时，f′(x)的一个函数值； (3)求f′(x0)可以有两条途径：①利用导数定义直接求； ②先求f′(x)，再把x＝x0代入f′(x)求．
2．基本初等函数的导数公式
答案： D
1 3．f(x)＝ln x，f′(x)＝，则 x＝________. 2 012 1 1 解析：由 f′(x)＝＝，∴x＝2 012. x 2 012
答案： 2 012
4．求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝ 3；(3)y＝ x； x
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
1．(1)求函数 y＝ x在 x＝1 处的导数； 4 (2)求函数 y＝ 2的导数． x
解析： (1)方法一(导数定义法)： 1＋Δx－1 Δy 1 ∵Δy＝ 1＋Δx－1，∴ ＝＝ Δx Δx 1＋Δx＋1 1 1 1 ∴ lim ＝，∴f′(1)＝ . 2 Δx→0 1＋Δx＋1 2
方法二(导函数的函数值法)： ∵Δy＝ x＋Δx－ x， x＋Δx－ x Δy 1 ∴ ＝＝ . Δx Δx x＋Δx＋ x Δy 1 1 ∴f′(x)＝ lim ＝ lim ＝ . Δ x 2 x Δx→0 Δx→0 x＋Δx＋ x 1 ∴f′(1)＝ . 2
1 (4)y′＝(log3x)′＝； xln 3 (5)y′＝(sin x)′＝cos x； 1 2 2 2 2 7 (6)y′＝ 5 ＝x－5′＝－ x－－1＝－ x－ . 5 5 5 5 2 x
讲课堂互动讲义
利用导函数定义求导数

数学北师大版高中选修1-1导数与函数的单调性ppt课件

2
a f ( x) 2 x 2 0对任意x [2, )恒成立. x 2x3 a 0对任意x [2, )恒成立.
3
a 变式：已知函数f ( x) x (a R)在x (, 2] x 上是单调递减的，求a的取值范围. a 16
2
2x a对任意x [2, )恒成立. 3 (2x )min a对任意x [2, )恒成立.
（法二：图像法）y=x2－4x＋3 y
0
2
x
递增区间：（２，+∞）. 递减区间：(－∞，２).
那么如何判断下列函数的单调性呢?
(1) y x 2 x x;
3 2
(2) y x ln x 1;
(3) y e x 1.
x
问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但比较麻烦; 如果函数图象也不方便作出来时.. 是否有更为简捷的方法呢？
已知导函数的下列信息：
当2 x 3时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0; 当x 3或x 2时，f '( x ) 0.
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。
y f ( x)
y A
B
o
2
3
x
y f '( x )的图象如设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数，右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
引例：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
（法一：定义法）解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3） =（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4）则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)，那么 y=f(x)单调递减。当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)，那么 y=f(x)单调递增。综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。